工程流體力學(xué)流體動(dòng)力學(xué)理論基礎(chǔ)

1、研究流體運(yùn)動(dòng)的若干基本概念流體的連續(xù)性方程流體運(yùn)動(dòng)微分方程伯努利方程及其應(yīng)用動(dòng)量方程及其應(yīng)用理想流體( )實(shí)際流體( )00質(zhì)量守恒定律牛頓第二定律動(dòng)量定理 著眼于流體各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，研究各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)歷程，并通過綜合所有被研究流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況來獲得整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。 運(yùn)動(dòng)流體質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系。xzyO M （a，b，c）t0（x，y，z）t),(),(),(tcbazztcbayytcbaxx222222tzatyatxazyx式中：a,b,c為運(yùn)動(dòng)流體質(zhì)點(diǎn)的起點(diǎn)坐標(biāo)a,b,c,t稱為拉格朗日變量tzutyutxuzyx, 固體運(yùn)動(dòng)常采用拉格朗日法研究，但流體運(yùn)動(dòng)一般較固體運(yùn)動(dòng)復(fù)雜，通常采用

2、歐拉法研究。 著眼于流體經(jīng)過流場中各空間點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況，并通過綜合流場中所有被研究空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素及其變化規(guī)律，來獲得整個(gè)流場的運(yùn)動(dòng)特性。充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間(流體運(yùn)動(dòng)所有物理量場的總體）。表征流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，如流速、加速度、壓強(qiáng)等。流場),(tzyxpp xzyO M （x，y，z）t時(shí)刻( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t若x，y，z為常數(shù)，t為變數(shù)若t 為常數(shù)， x，y，z為變數(shù)zuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazzzyzxzzyzyyyxyyxzxyx

3、xxxuuuua)(ddtt即式中：x,y,z為流場中空間點(diǎn)的坐標(biāo)x,y,z,t稱為歐拉變量kjiuzyxuuukjizyx為哈密頓算子符說明： 用歐拉法描述流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，流體質(zhì)點(diǎn)的加速度由兩部分組成： ：當(dāng)?shù)丶铀俣然驎r(shí)變加速度，表示通過固定空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)速度隨時(shí)間的變化率； ：遷移加速度或位變加速度，表示流體質(zhì)點(diǎn)所在空間位置的變化所引起的速度變化率。t uuu)( ，即運(yùn)動(dòng)要素不隨時(shí)間變化，當(dāng)?shù)丶铀俣葹榱?，如枯水季?jié)的河流。 ，如洪水季節(jié)的河流。0)(t0)(t如:)()(sfuxfu或?yàn)橐辉鲃?dòng)),(zyxfu 為二元流動(dòng)),(yxfu 為三元流動(dòng)運(yùn)動(dòng)要素是幾個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，就稱為幾元流動(dòng)。

4、同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)軌跡。時(shí)間為變量。流場中同一時(shí)刻與許多流體質(zhì)點(diǎn)的流速矢量相切的空間曲線。時(shí)間為參變量。u21uu2133u6545u46u一般情況下，流線不能相交，且只能是一條一般情況下，流線不能相交，且只能是一條光滑曲線；光滑曲線；流場中每一點(diǎn)都有流線通過，流線充滿整個(gè)流場，這些流線構(gòu)成某時(shí)刻流場內(nèi)的流譜；恒定流動(dòng)時(shí)，流線的形狀、位置均不隨時(shí)間發(fā)生變恒定流動(dòng)時(shí)，流線的形狀、位置均不隨時(shí)間發(fā)生變化，且流線與跡線重合；化，且流線與跡線重合；對(duì)于不可壓縮流體，流線簇的疏密程度反映了該時(shí)刻流場中各點(diǎn)的速度大小。tuzuyuxzyxddddzyxuzuyuxddd0d或su例1已知平面流動(dòng)

5、的流速分布為ux=kx uy=-ky，其中y0，k為常數(shù)。試求：流線方程；跡線方程。據(jù)y0知，流體流動(dòng)僅限于xy半平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)要素與時(shí)間t無關(guān)，流體流動(dòng)為恒定二元流流線方程：kyykxxdd積分得：cxy 該流線為一組等角雙曲線。tkyykxxddd積分得：ktktecyecx21,ccceeccxyktkt2121與流線方程相同，表明恒定流動(dòng)時(shí)，流線與跡線在幾何上完全重合。例2已知速度ux=x+t，uy=y+t求：在t=0時(shí)過（1，1）點(diǎn)的流線和跡線方程。解：（1）流線： 積分： t=0時(shí)，x=1，y=1c=0tydytxdxctytx)(ln(流線方程（雙曲線）1xy（2）跡線：dttydy

6、dttxdxtydtdytxdtdx1121tecytecxtt由t=0時(shí)，x=1，y=1得c1=c2=0跡線方程（直線）2 yx11tytx（3）若恒定流：ux=x，uy=y 流線 跡線1xy1xy注意：恒定流中流線與跡線重合在流場中通過任意不與流線重合的封閉曲線上各點(diǎn)作流線而構(gòu)成的管狀面。流管內(nèi)所有流線的總和。流束可大可小，視流管封閉曲線而定。流管封閉曲線無限小，故元流又稱微元流束。流管封閉曲線取在流場邊界上，總流即為許多元流的有限集合體。與流束中所有流線正交的橫斷面。過流斷面一般為曲面，在特殊情況下才是平面。dA單位時(shí)間內(nèi)通過過流斷面的流體量。AAuQd m3/s或L/s 1m3=100

7、0L元流的流量為AuQdd總流的流量等于所有元流的流量之和，即過流斷面上實(shí)際的點(diǎn)流速分布都是不均勻的在工程流體力學(xué)中，為簡化研究，通常引入斷面平均流速概念A(yù)AuAQvAd0)(uu即遷移加速度等于零。各流線為彼此平行的直線。0)(uu各流線或?yàn)橹本€但彼此不平行或?yàn)榍€。天然河流是典型的非均勻流。流線的曲率半徑R足夠大，流線間的夾角足夠小。天然河流是漸變流的近似。漸變流過流斷面具有漸變流過流斷面近似為平面；漸變流過流斷面近似為平面；恒定漸變流過流斷面上恒定漸變流過流斷面上即流體動(dòng)壓強(qiáng)近似按流體靜壓強(qiáng)分布。Cpz均勻流均勻流非均勻流均勻流非均勻流均勻流非均勻流非均勻流漸變流急變流急變流急變流包含確

8、定不變的流體質(zhì)點(diǎn)的流體團(tuán)(即質(zhì)點(diǎn)系) 。為拉格朗日法研究流體運(yùn)動(dòng)的研究對(duì)象。相對(duì)于某個(gè)坐標(biāo)系而言，有流體流過的固定不變的任何體積。為歐拉法研究流體運(yùn)動(dòng)的研究對(duì)象。連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。取如圖所示微小正交六面體為控制體。分析流進(jìn)、流出控制體的流體質(zhì)量差：zyxxuzyxxuuxxzyxxuuxxmxxxxxxddd)(dd)d21)(d21(dd)d21)(d21(zyxyumyyddd)(zyxzumzzddd)(即zyxtmmmzyxddd將zyxmmm、代入上式，化簡得：0)()()(zuyuxutzyx0)(ut或上式即為流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性微分方程的一般形式

9、單位時(shí)間內(nèi)流進(jìn)、流出控制體的流體質(zhì)量差之總和等于控制體內(nèi)流體因密度發(fā)生變化所引起的質(zhì)量增量對(duì)于恒定流 ，連續(xù)性方程可簡化為：)0(t0)()()(zuyuxuzyx或0)(u不可壓縮流體)(常數(shù)0zuyuxuzyx例3假設(shè)不可壓縮流體的流速場為ux=f(y,z), uy=uz=0試判斷該流動(dòng)是否存在。判斷流動(dòng)是否存在，主要看其是否滿足連續(xù)性微分方程本題0zuyuxuzyx滿足0zuyuxuzyx故該流動(dòng)存在取圖示總流控制體，將連續(xù)性微分方程對(duì)總流控制體積分：VV0dV)(dVut因控制體不隨時(shí)間變化，故式中第一項(xiàng)VVdVdVtt據(jù)數(shù)學(xué)分析中的高斯定理，式中第二項(xiàng)VddV)(AnAuu故連續(xù)性積

10、分方程的一般形式：0ddVVAnAut對(duì)于恒定 不可壓縮（常數(shù)）)0dV(Vt總流，連續(xù)性積分方程可簡化為：AnAu0d取圖示管狀總流控制體，因其側(cè)面上un=0（為什么？請(qǐng)思考），故有120dd2211AAAuAu式中第一項(xiàng)取負(fù)號(hào)是因?yàn)榱魉賣1與dA1的外法線方向相反。應(yīng)用積分中值定理，可得上式即為恒定不可壓縮總流的連續(xù)性方程。說明：流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程是不涉及任何作用力的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，因此對(duì)實(shí)際流體和理想流體均適用。QAvAv2211Q1Q2Q3Q1Q2Q3123QQQ132QQQ例4 已知變擴(kuò)管內(nèi)水流作恒定流動(dòng)，其突擴(kuò)前后管段的管徑之比d1/d2=0.5，則突擴(kuò)前后斷面平均流速之比v1/v2

11、=?據(jù)恒定不可壓縮總流的連續(xù)性方程有22221144dvdv25 . 01)/(1)(22121221ddddvv將歐拉平衡微分方程 0F01pf推廣到理想運(yùn)動(dòng)流體 ,得aFmtpdd1uf上式即為理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程,亦稱歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程。將 各項(xiàng)點(diǎn)乘微元線段 ,得tpdd1ufsdsussfdddd1dtp為積分上式,現(xiàn)附加限制條件:)0)(tppdd s)(cpppdd1d1sWsfdd 2dddddddd2uttuususu代入前式,整理得02d2upW積分上式,得Cup22W上式即為沿流線成立的伯努利積分式。對(duì)于質(zhì)量力只有重力的情況gzzgWWdd代入伯努利積分式,得Cupgz22或

12、Cgupz22或2gz222222111upgupz上式即為理想流體恒定元流的伯努利方程(同一流線)S21 :mgmgzz單位重量流體所具有的位能。 :mgpmgp/單位重量流體所具有的壓能。pz單位重量流體所具有的勢(shì)能。 : :mgmuu/212g22單位重量流體所具有的動(dòng)能。 由此可見,對(duì)于理想流體恒定元流,其單位重量流體的機(jī)械能沿流線是守恒的。2g2upz : 單位重量流體所具有的機(jī)械能。001Z2Z12 :z位置水頭 :p壓強(qiáng)水頭 :2g2u流速水頭 由此可見,對(duì)于理想流體恒定元流,其總水頭沿流線是不變的。pz : 測壓管水頭gupz22:總水頭設(shè) 為元流中單位重量流體沿程的機(jī)械能損失

13、，亦稱水頭損失，則據(jù)能量守恒定律，可得WhWhgupzgupz2222222111上式即為實(shí)際流體恒定元流的伯努利方程001Z2Z12wh為了形象地了解流體運(yùn)動(dòng)時(shí)能量沿程的變化情況定義：測壓管線坡度lpzJpdd總水頭線坡度lgupzJd2d2總水頭線坡度亦稱水力坡度。不難看出，實(shí)際流體 ；理想流體 ；均勻流動(dòng) JJp0J0J例5 皮托管是一種測量流體點(diǎn)流速的裝置，它是由測壓管和一根與它裝在一起且兩端開口的直角彎管（稱為測速管）組成，如圖所示。測速時(shí)，將彎端管口對(duì)著來流方向置于A點(diǎn)下游同一流線上相距很近的B點(diǎn)，流體流入測速管，B點(diǎn)流速等于零（稱為駐點(diǎn)），動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為勢(shì)能，測速管內(nèi)液柱保持一定

14、高度。試根據(jù)B、A兩點(diǎn)的測壓管水頭差A(yù)ABBupzpzhu，計(jì)算A點(diǎn)的流速 先按理想流體研究，由A至B建立恒定元流的伯努利方程，有022BBAApzgupz故uAABBghpzpzgu22考慮到實(shí)際流體粘性作用引起的水頭損失和測速管對(duì)流動(dòng)的影響，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，應(yīng)對(duì)上式進(jìn)行修正：ughu2式中： 稱為皮托管系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定，通常接近于1.0實(shí)際工程中往往要求解決的是總流問題，現(xiàn)將恒定元流的伯努利方程推廣到總流上去QgupzAd221111上式含有三種類型的積分，即QhQgupzWQAdd222222勢(shì)能的積分動(dòng)能的積分QpzAd漸變流過流斷面QguAd22AuQddQpzQgv22AuQdd式中：

15、 稱為動(dòng)能修正系數(shù)，AvuAAd1310. 105. 10 . 1能量損失積分 QhQhWWQd一般流動(dòng) ，工程中常取式中： 為單位重量流體在兩過流斷面間的平均機(jī)械能損失，通常稱為總流的水頭損失Wh將上述三種類型的積分結(jié)果代入總流積分式，化簡得Whgvpzgvpz222222221111上式即為實(shí)際流體恒定總流的伯努利方程流體是不可壓縮的，流動(dòng)為恒定的；質(zhì)量力只有重力；過流斷面為漸變流斷面；兩過流斷面間沒有能量的輸入或輸出，否則應(yīng)進(jìn)行修正：應(yīng)用恒定總流的伯努利方程解題時(shí)，應(yīng)注意的問題：基準(zhǔn)面、過流斷面、計(jì)算點(diǎn)的選取壓強(qiáng)p的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)式中：H為單位重量流體流過水泵、風(fēng)機(jī)所獲得的能量（取“+”）或流

16、經(jīng)水輪機(jī)失去的能量（取“-”）。WhgvpzHgvpz222222221111Q1Q2Q311223322333111131 322wpVpVZZhgggg22333222232 322wpVpVZZhgggg例6 如圖所示管流，已知H、d、hW，試求通過流量Q。 據(jù)12建立總流的伯努利方程，有WhgvH200002WhHgdAvQ242WhHgv2得討論：在理想流體情況下，hW=0，則gHdQ242在H、d不變情況下，若欲使Q增加，可采取什么措施？例7 文丘里流量計(jì)是一種測量有壓管道中液體流量的儀器，它是由光滑的收縮段、喉管與擴(kuò)散段三部分組成，如圖所示。已知 、 、 （或 ），試求管道的通過

17、流量Q。1d2dhph 從12建立總流的伯努利方程0222222221111gvpzgvpz取 ，則得0 . 12122112121221pzpzgvvv式中：可據(jù)總流的連續(xù)性方程12vv2211AvAv22112ddvv求得將其代入前式，整理得22114211211pzpzgddv故管道的通過能力pphKhKpzpzgdddAvQ) 1(21422114212111測壓管差壓計(jì)式中：12442121ddgdK因?qū)嶋H流體存在水頭損失，故實(shí)際流量略小于上式計(jì)算結(jié)果，即pphKhKQ1式中：為文丘里流量系數(shù)，一般99. 095. 0稱為文丘里管系數(shù)例8 如圖所示水流流經(jīng)等徑彎管，已知A、B兩點(diǎn)高差

18、50cm， U形水銀差壓管讀數(shù)h=20cm，管流速度 m/s 若 ，試求： A、B兩點(diǎn)測壓管水頭差； A、B兩斷面間的能量損失。5 . 1v6 .13/水水銀據(jù)理論力學(xué)知，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理為uFmt dd上式是針對(duì)系統(tǒng)而言的，通常稱為拉格朗日型動(dòng)量方程?，F(xiàn)應(yīng)用控制體概念，將其轉(zhuǎn)換成歐拉型動(dòng)量方程。如圖所示，設(shè)t時(shí)刻系統(tǒng)與控制體（虛線）重合，控制體內(nèi)任意點(diǎn)的密度為、流速為u t時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)量tdVVu t+t時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)量AutnAttddVVuu21AAAAutAutnAnAttdddV21Vuuu 將t時(shí)刻和t+t時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)量代入拉格朗日型動(dòng)量方程，整理得AutnAddVVuuF上式即為歐

19、拉型積分形式的動(dòng)量方程 式中式中: :F為作用在控制體內(nèi)流體上所有外力的矢量和；VVtdu為控制體內(nèi)流體動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率；AnAu du為單位時(shí)間通過全部控制面的動(dòng)量矢量和。對(duì)于恒定 不可壓縮 總流，歐拉型0)(tc式中：式中：積分形式的動(dòng)量方程可簡化為AQAuvudAAAnAuAuAu211122ddd12uuuF故12FvvQ12上式即為恒定總流的動(dòng)量方程，其中稱為動(dòng)量修正系數(shù)，一般流動(dòng)=1.021.05，工程中常見流動(dòng)通常取=1.0AAvuAd2 適用條件1 流體是不可壓縮的；2 流動(dòng)是恒定的。 應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意的問題動(dòng)量方程為矢量方程，式中流速和作用力都是有方向的，因此應(yīng)用動(dòng)量方程式時(shí)，

20、其步驟如下：建立坐標(biāo)系；取控制體；進(jìn)行受力分析；列動(dòng)量方程的投影式，2211()xxxFQVV2211()yyyFQVV2211()zzzFQVV例9 如圖所示矩形斷面平坡渠道中水流越過一平頂障礙物。已知 m， m，渠寬 m，渠0 . 21h5 . 02h5 . 1bsm5 . 13Q道通過能力 ，試求水流對(duì)障礙物迎水面的沖擊力F 取圖示控制體，并進(jìn)行受力分析 建立xoy坐標(biāo)系 在x方向建立動(dòng)量方程（取 ）0 . 1211221vvQFPP式中：kNbhhP5 .292111kNbhhP8 . 12222smbhQv/5 . 011smbhQv/0 . 222代入動(dòng)量方程，得kNF31.25故水流對(duì)障