第5章 角動(dòng)量 關(guān)于對(duì)稱性習(xí)題課

1、第第5章章 角動(dòng)量角動(dòng)量 關(guān)于對(duì)稱性習(xí)題課關(guān)于對(duì)稱性習(xí)題課例例1.有兩個(gè)力作用在一個(gè)有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上：有兩個(gè)力作用在一個(gè)有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上：（1）這兩個(gè)力都平行于軸作用時(shí)，它們對(duì)軸的合力）這兩個(gè)力都平行于軸作用時(shí)，它們對(duì)軸的合力矩一定是零；矩一定是零；（2）這兩個(gè)力都垂直于軸作用時(shí)，它們對(duì)軸的合力）這兩個(gè)力都垂直于軸作用時(shí)，它們對(duì)軸的合力矩可能是零；矩可能是零；（3）當(dāng)這兩個(gè)力的合力為零時(shí)，它們對(duì)軸的合力矩）當(dāng)這兩個(gè)力的合力為零時(shí)，它們對(duì)軸的合力矩也一定是零；也一定是零；（4）當(dāng)這兩個(gè)力對(duì)軸的合力矩為零時(shí)，它們的合力）當(dāng)這兩個(gè)力對(duì)軸的合力矩為零時(shí)，它們的合力也一定是零。也一定是零。在上述說法

2、中，在上述說法中，( )（A）只有（）只有（1）是正確的。）是正確的。（B）（）（1）、（）、（2）正確，（）正確，（3）、（）、（4）錯(cuò)誤。）錯(cuò)誤。（C）（）（1）、（）、（2）、（）、（3）都正確，（）都正確，（4）錯(cuò)誤。）錯(cuò)誤。（D）（）（1）、（）、（2）、（）、（3）、（）、（4）都正確。）都正確。 B 解：力作用在一個(gè)有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上，其解：力作用在一個(gè)有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上，其力矩垂直于軸作用時(shí)才能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)，（力矩垂直于軸作用時(shí)才能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)，（1）和（和（2）是正確的；但是，當(dāng)兩個(gè)力的合力）是正確的；但是，當(dāng)兩個(gè)力的合力為零時(shí)，它們對(duì)軸的合力矩不一定是零，同為零時(shí)，它們對(duì)軸的合力矩

3、不一定是零，同理當(dāng)這兩個(gè)力對(duì)軸的合力矩為零時(shí)，它們的理當(dāng)這兩個(gè)力對(duì)軸的合力矩為零時(shí)，它們的合力也不一定是零，所以（合力也不一定是零，所以（3）和（）和（4）是錯(cuò)）是錯(cuò)誤的。故選（誤的。故選（B）。）。例例2.有一半徑為有一半徑為R的水平圓轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞過其的水平圓轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。開始時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)以角速度開始時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)以角速度0轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)有一質(zhì)轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)有一質(zhì)量為量為M的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)中心，隨后人沿半徑向的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)中心，隨后人沿半徑向外跑去。當(dāng)人到達(dá)轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速外跑去。當(dāng)人到達(dá)轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為度為 （ ） （A）、

4、）、 ；（B）、 ；（C）、）、 ； （D）、）、0。20MRJJ 20)(RMJJ 20MRJ A解：根據(jù)題意可知：人沿半徑向外跑去，系解：根據(jù)題意可知：人沿半徑向外跑去，系統(tǒng)所受合外力矩為零，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，統(tǒng)所受合外力矩為零，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，即即 ， （當(dāng)人到達(dá)轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣時(shí)，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（當(dāng)人到達(dá)轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣時(shí)，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為為 ），故選（），故選（A）。）。 例例3.3. 一小球在豎直平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則小一小球在豎直平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則小球在運(yùn)動(dòng)過程中（球在運(yùn)動(dòng)過程中（ ） （A A）機(jī)械能不守恒、動(dòng)量不守恒、角動(dòng)量守恒）機(jī)械能不守恒、動(dòng)量不守恒、角動(dòng)量守恒 （B B）機(jī)械

5、能守恒、動(dòng)量不守恒、角動(dòng)量不守恒）機(jī)械能守恒、動(dòng)量不守恒、角動(dòng)量不守恒 （C C）機(jī)械能不守恒、動(dòng)量守恒、角動(dòng)量不守恒）機(jī)械能不守恒、動(dòng)量守恒、角動(dòng)量不守恒 （D D）機(jī)械能守恒、動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒）機(jī)械能守恒、動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒A 解：解：小球在豎直平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)能小球在豎直平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)能不變，勢(shì)能改變，所以機(jī)械能不守恒。不變，勢(shì)能改變，所以機(jī)械能不守恒。 小球在運(yùn)動(dòng)過程中，速度方向在改變，所以動(dòng)量小球在運(yùn)動(dòng)過程中，速度方向在改變，所以動(dòng)量不守恒不守恒. 由于小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它所受的合力指向圓由于小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它所受的合力指向圓心，力矩為零，所以角動(dòng)量

6、守恒心，力矩為零，所以角動(dòng)量守恒.例例4. X軸沿水平方向，軸沿水平方向，Y軸豎直向下，在軸豎直向下，在 t=0時(shí)刻時(shí)刻將質(zhì)量為將質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)由的質(zhì)點(diǎn)由a處（距離坐標(biāo)原點(diǎn)處（距離坐標(biāo)原點(diǎn)O為為b）靜止釋放，讓它自由下落，則在任意時(shí)刻靜止釋放，讓它自由下落，則在任意時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的所受的重力重力對(duì)原點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O的力矩的力矩 _，在任，在任意時(shí)刻意時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O的角動(dòng)量的角動(dòng)量 _ 。M L xyoaMrFbimg jmgbk 提示：提示：dLrFMdt Lrmvbimgt jmgbtk 0tLM dtmgbtk 或或 例例 5.地球半徑地球半徑R=6378km, 衛(wèi)星

7、離地面最近衛(wèi)星離地面最近距離為距離為l1 = 439km,最遠(yuǎn)距離為最遠(yuǎn)距離為l2 = 2384km ,設(shè)設(shè)近地點(diǎn)衛(wèi)星速度為近地點(diǎn)衛(wèi)星速度為 v1 = 8.1km/s。求：遠(yuǎn)地點(diǎn)。求：遠(yuǎn)地點(diǎn)衛(wèi)星速度。衛(wèi)星速度。mvRl11v2l2解解由角動(dòng)量守恒得：由角動(dòng)量守恒得：()Rmv l11+()Rmv l22+=v2()Rl1+()Rl2+v1=6.3(km.s )-1例例6. 如圖如圖3-59所示，在光滑的水平面上有一輕質(zhì)彈簧所示，在光滑的水平面上有一輕質(zhì)彈簧（其勁度系數(shù)為（其勁度系數(shù)為k），它的一端固定，另一端系一質(zhì)），它的一端固定，另一端系一質(zhì)量為量為m1 的滑塊。最初滑塊靜止時(shí)，彈簧呈自然長(zhǎng)

8、度的滑塊。最初滑塊靜止時(shí)，彈簧呈自然長(zhǎng)度 l0，今有一質(zhì)量為，今有一質(zhì)量為 m2的子彈以速度的子彈以速度 v0沿水平方向并沿水平方向并垂直于彈簧軸線射向滑塊且留在其中，滑塊在水平面垂直于彈簧軸線射向滑塊且留在其中，滑塊在水平面內(nèi)滑動(dòng)，當(dāng)彈簧被拉伸至長(zhǎng)度內(nèi)滑動(dòng)，當(dāng)彈簧被拉伸至長(zhǎng)度l 時(shí)，求滑塊速度的大時(shí)，求滑塊速度的大小和方向。小和方向。分析：在子彈與滑塊碰撞過程中，以子彈和滑塊分析：在子彈與滑塊碰撞過程中，以子彈和滑塊為一系統(tǒng)，在水平方向系統(tǒng)所受合外力為零，則為一系統(tǒng)，在水平方向系統(tǒng)所受合外力為零，則動(dòng)量守恒；在子彈與滑塊碰撞后，子彈留在滑塊動(dòng)量守恒；在子彈與滑塊碰撞后，子彈留在滑塊內(nèi)并以共同

9、速度運(yùn)動(dòng)，在此過程中，彈簧不斷伸內(nèi)并以共同速度運(yùn)動(dòng)，在此過程中，彈簧不斷伸長(zhǎng)，若取子彈和滑塊為一系統(tǒng)，則系統(tǒng)將受彈力長(zhǎng)，若取子彈和滑塊為一系統(tǒng)，則系統(tǒng)將受彈力作用，但彈力對(duì)于固定點(diǎn)作用，但彈力對(duì)于固定點(diǎn)O并不產(chǎn)生力矩，則角并不產(chǎn)生力矩，則角動(dòng)量守恒；在此過程中，若取子彈、滑塊、彈簧動(dòng)量守恒；在此過程中，若取子彈、滑塊、彈簧和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，只有彈力做功，則機(jī)械能守恒，和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，只有彈力做功，則機(jī)械能守恒，這樣，當(dāng)彈簧伸長(zhǎng)至這樣，當(dāng)彈簧伸長(zhǎng)至 l時(shí)滑塊速度的大小和方向時(shí)滑塊速度的大小和方向就可通過上面三條守恒定律求得。就可通過上面三條守恒定律求得。解：設(shè)解：設(shè)vA 、vB 、 分別表示為子彈

10、嵌入滑塊后的共分別表示為子彈嵌入滑塊后的共同速度、彈簧被拉伸至長(zhǎng)度同速度、彈簧被拉伸至長(zhǎng)度l 時(shí)滑塊的速度、彈簧被時(shí)滑塊的速度、彈簧被拉伸至長(zhǎng)度拉伸至長(zhǎng)度l 時(shí)滑塊的速度與拉伸長(zhǎng)度時(shí)滑塊的速度與拉伸長(zhǎng)度 的延長(zhǎng)線之的延長(zhǎng)線之間夾角，如圖間夾角，如圖3-59所示。在子彈與滑塊碰撞過程中，所示。在子彈與滑塊碰撞過程中，以子彈和滑塊為一系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得以子彈和滑塊為一系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得2012Ammm 在子彈與滑塊碰撞后運(yùn)動(dòng)過程中，取子彈、在子彈與滑塊碰撞后運(yùn)動(dòng)過程中，取子彈、滑塊、彈簧和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，只有彈力做功，由滑塊、彈簧和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，只有彈力做功，由機(jī)械能守恒定律得機(jī)械能守恒定律

11、得（1）22212012111222ABmmk llmm（2）12012()sinABmmll mm（3）22202021212Bk llmmmmm聯(lián)解（聯(lián)解（1）、（）、（2）、（）、（3）式可得當(dāng)彈簧被拉伸）式可得當(dāng)彈簧被拉伸至長(zhǎng)度至長(zhǎng)度 時(shí)滑塊速度的大小和方向時(shí)滑塊速度的大小和方向12222020 0202121212arcsin()k llmlml mmmmmm 在子彈與滑塊碰撞后運(yùn)動(dòng)過程中，取子彈和滑在子彈與滑塊碰撞后運(yùn)動(dòng)過程中，取子彈和滑塊為一系統(tǒng)，由角動(dòng)量守恒定律得塊為一系統(tǒng)，由角動(dòng)量守恒定律得例例7.花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員繞過自身的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員繞過自身的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開始

12、時(shí)兩臂伸開，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為始時(shí)兩臂伸開，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0角速度為角速度為 0，然后，然后她將兩臂收回，使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減少為她將兩臂收回，使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減少為J0/3。這時(shí)她。這時(shí)她轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度變?yōu)椋ㄞD(zhuǎn)動(dòng)的角速度變?yōu)椋?）解：解：A 0 /3 B C 3 0 D013 03 轉(zhuǎn)動(dòng)過程角動(dòng)量守恒：轉(zhuǎn)動(dòng)過程角動(dòng)量守恒：JJ0003 03 C 例例8.一桿長(zhǎng)一桿長(zhǎng) l = 50cm，可繞上端的光滑，可繞上端的光滑固定軸固定軸 O 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，相對(duì)于在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，相對(duì)于 O 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J = 5 kgm2。原來?xiàng)U靜原來?xiàng)U靜止止并自然下垂。若在桿的下端水平射并自然下垂。若在桿的下端水平射入質(zhì)量

13、入質(zhì)量 m = 0.01 kg、速率為、速率為v = 400 m/s 的子彈并陷入桿內(nèi)，此時(shí)桿的角速度的子彈并陷入桿內(nèi)，此時(shí)桿的角速度 =_。 解：解：子彈射入過程角動(dòng)量守恒：子彈射入過程角動(dòng)量守恒：vmLm l1 v LmlJ22 LL12 m lmlJ2 vm lmlJ2 v 10.40 rad s 例例9. 如圖，水平面內(nèi)如圖，水平面內(nèi)O點(diǎn)固定，開始時(shí)，點(diǎn)固定，開始時(shí)，繩松弛試求：當(dāng)繩子到達(dá)繩松弛試求：當(dāng)繩子到達(dá)B點(diǎn)（繩長(zhǎng)為點(diǎn)（繩長(zhǎng)為L(zhǎng)）時(shí)）時(shí)的速度。的速度。解：由角動(dòng)量守恒得解：由角動(dòng)量守恒得=mv d0mvdl=v d0vv0vOAdBL16例例10.如圖所示，一質(zhì)量為如圖所示，一質(zhì)

14、量為 m 的小的小球由一繩索系著，以角速度球由一繩索系著，以角速度 0 在在無摩擦的水平面上，繞以半徑為無摩擦的水平面上，繞以半徑為 r0 的圓周運(yùn)動(dòng)的圓周運(yùn)動(dòng). 如果在繩的另一端作如果在繩的另一端作用一豎直向下的拉力，小球則以半用一豎直向下的拉力，小球則以半徑徑r0/2 為的圓周運(yùn)動(dòng)為的圓周運(yùn)動(dòng). 試求：（試求：（1）小球新的角速度；（小球新的角速度；（2）拉力所作）拉力所作的功的功. 解：（解：（1）小球運(yùn)動(dòng)過程角動(dòng)量守恒）小球運(yùn)動(dòng)過程角動(dòng)量守恒 Lmr2100 rLm2022 LL12 rmrm220002 04 17 （2）由動(dòng)能定理：）由動(dòng)能定理：FWmm2201122 vv m r

15、m r22001122 rmm r220000114222 mr220032 例例11.如圖所示，一水平剛性輕桿，質(zhì)量不計(jì)，桿長(zhǎng)如圖所示，一水平剛性輕桿，質(zhì)量不計(jì)，桿長(zhǎng) l = 20cm，其上穿有兩個(gè)小球。初始時(shí)，兩小球相對(duì)桿中，其上穿有兩個(gè)小球。初始時(shí)，兩小球相對(duì)桿中心心O對(duì)稱放置，與對(duì)稱放置，與O的距離的距離 d = 5cm，二者之間用細(xì)線拉，二者之間用細(xì)線拉緊?，F(xiàn)在讓細(xì)桿繞通過中心緊?，F(xiàn)在讓細(xì)桿繞通過中心O的豎直固定軸作勻角速的的豎直固定軸作勻角速的轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為 0，再燒斷細(xì)線讓兩球向桿的兩端滑動(dòng)。，再燒斷細(xì)線讓兩球向桿的兩端滑動(dòng)。不考慮轉(zhuǎn)軸的和空氣的摩擦，當(dāng)兩球都滑至桿端時(shí)，桿不考慮轉(zhuǎn)軸的和空氣的摩擦，當(dāng)兩球都滑至桿端時(shí)，桿的角速度為（的角速度為（ ） A 0 B 2 0 C 0 /2 D 0 /4 D 19解：解：轉(zhuǎn)動(dòng)過程角動(dòng)量守恒：轉(zhuǎn)動(dòng)過程角動(dòng)量守恒：Lmd2102 lLm2222 LL12 lmdm220222 dl2024 014例例12 .求作用于圓錐擺質(zhì)點(diǎn)求作用于圓錐擺質(zhì)點(diǎn)m上的重力上的重力,拉拉力及合力對(duì)力及合力對(duì)O點(diǎn)及點(diǎn)及O點(diǎn)的力矩點(diǎn)的力矩.（擺長(zhǎng)（擺長(zhǎng)r0.）omTFgm O質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m 相對(duì)圓錐運(yùn)動(dòng)中心相對(duì)圓錐運(yùn)動(dòng)中心O矢徑矢徑Or tanmgF cos/T mgF 對(duì)對(duì)O 點(diǎn)點(diǎn)gmrMO