空間解析幾何1

1、一、向量概念 二、向量的線性運算 三、空間直角坐標系 向量及其線性運算四、利用坐標作向量的線性運算 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁五、向量的模、方向角 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、向量概念 既有大小, 又有方向的量叫做向量(矢量). v向量 向量可用粗體字母、或加箭頭的書寫體字母表示. 例如, a、r、v、F或a、r、v、F. 與起點無關(guān)的向量, 稱為自由向量. 用有向線段表示向量. :AB 如向量 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 則說向量a和b是相等的, 記為a=b. 相等的向量經(jīng)過平移后可以完全重合. 向量的相等 向量的模 向量的大小叫做向量的模. 向量 a、a、A

2、B的模分別記為|a|、|a、|AB. 單位向量 模等于1的向量叫做單位向量. 零向量 零向量的起點與終點重合, 它的方向可以看作是任意的. 模等于 0 的向量叫做零向量, 記作 0 或0. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二、向量的線性運算1.向量的加法 c=a+bbacb三角形法則OAC平行四邊形法則 bac 加法公式OAACOC+= 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 向量的加法的運算規(guī)律 (1)交換律 a+b=b+a; (2)結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c).上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 向量的減法 向量b與a的差規(guī)定為 b-a=b+(-a). 負向量 三角不等式 |a+b|a|+|b|, |a-b|a|+|

3、b|, 等號在b與a同向或反向時成立. 與向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的負向量, 記為-a. .OBOAAB-= 減法公式OAB上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 向量a與實數(shù)的乘積記作a, 規(guī)定a是一個向量, 它的模|a|=|a|, 它的方向當0時與a相同, 當0時與a相反. 2.向量與數(shù)的乘法 當=0時, |a|=0, 即a為零向量.當=-1時, 有(-1)a =-a. 當=1時, 有1a=a; 向量與數(shù)的乘積的運算規(guī)律 (1)結(jié)合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a; (a+b)=a+b. 向量的單位化 與非零向量a同方向的單位向量, 記為ea. |,a=aa e1.

4、|a=eaa上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例1 形對角線的交點. 例 1 在平行四邊形 ABCD 中, 設a=AB, b=AD. 試用 a 和 b 表示向量MA、MB、MC、MD, 其中 M 是平行四邊 -=+MAAMAC22ba)(21ba+-=MA)(21ba+=-=MAMC于是 因為=+-MDBD 2ba所以 )(21ab-=MD 解 由于平行四邊形的對角線互相平分, 所以 -=+MAAMAC22ba-=+MAAMAC22ba, )(21ba+=-=MAMC)(21ba+=-=MAMC. )(21ba+-=MA; =+-MDBD 2ba, )(21ab-=MD; )(21ab-=MD; )(2

5、1ba-=-=MDMB)(21ba-=-=MDMB)(21ba-=-=MDMB. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 設向量a0, 那么, 向量b平行于a的充分必要條件是: 存在唯一的實數(shù), 使 b=a. v定理1(向量平行的充要條件) 提示:當b與a同向時,|/ |;= ba當b與a反向時,| / |.= - ba 給定一個點O及一個單位向量 i 就確定了一條數(shù)軸Ox. 對于軸上任一點 P, 必有唯一的實數(shù) x, 使OP=xi, 并且 實數(shù)x稱為軸上點P的坐標. v數(shù)軸與點的坐標 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁三、空間直角坐標系 v空間直角坐標系 y軸 z軸原點 x軸單位向量i、j、k兩兩垂直. 數(shù)軸的正向符合

6、右手規(guī)則. 通常把x軸和y軸配置在水平面上, 而z軸則是鉛垂線. 直角: 右手系:上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 坐標面 卦限 三、空間直角坐標系 v空間直角坐標系 單位向量i、j、k兩兩垂直. 數(shù)軸的正向符合右手規(guī)則. 通常把x軸和y軸配置在水平面上, 而z軸則是鉛垂線. 直角: 右手系:上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁v向量的坐標分解式 以OM為對角線、三條坐標軸為棱作長方體, 任給向量r, 存在點M, 使 =OMr(點M關(guān)于原點O的向徑). +=+=OROQOPNMPNOPOMr設 i xOP=, j yOQ=, kzOR=, 則 kjirzyxOM+=. +=+=OROQOPNMPNOPOMr, 上式稱

7、為向量r的坐標分解式. 有 有序數(shù)x、y、z與點M一一對應, 稱為點M的坐標, 記為M(x, y, z). 有序數(shù)x、y、z稱為向量r的坐標, 記作 r=(x, y, z). xi、yj、zk稱為向量r沿三個坐標軸方向的分向量. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 坐標面上和坐標軸上的點有何特征? 例如: 點M在yOz面上, 則x=0. 點M在x軸上, 則y=z=0. 觀察與思考 八個卦限中點坐標的正負分布如何? 點(x, y, z)關(guān)于坐標軸, 坐標面和原點 對稱的點坐標如何? 例如: 關(guān)于x軸對稱的點為 (x, -y, -z); 關(guān)于xOy面對稱的點為 (x, y, -z); 關(guān)于原點對稱的點為 (-

8、x, -y, -z). 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁提示：四、利用坐標作向量的線性運算 a=axi+ay j+azk, b=bxi+by j+bzk, a+b =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k, a-b =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k, a =(ax)i+(ay)j+(az)k. 設a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 則 a=(ax, ay, az). ab=(axbx, ayby, azbz), 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁v利用坐標判斷兩個向量的平行 設a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 因為 b/

9、a b=a, 即 b/a (bx, by, bz)=(ax, ay, az), 所以 b/a zzyyxxababab=. 四、利用坐標作向量的線性運算 設a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 則 a=(ax, ay, az). ab=(axbx, ayby, azbz), 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁) 1 ,1 ,1 (212121+=zzyyxx, 從而 )(11+=OBOAOM 因此 )(-=-OMOBOAOM, -=OAOMAM, 解 例2 已知兩點A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及實數(shù)-1, 在直線 AB 上求一點 M, 使= MBAM.

10、 這就是點M的坐標. 由于 , -=OMOBMB, 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁五、向量的模、方向角 1.向量的模與兩點間的距離公式 簡要證明 向量r=(x, y, z)的模 222|zyx+=r. 如圖示:22| |rOMONNM=+222|OPOQOR=+222.xyz=+ 點A(x1, y1, z1)與點B(x2, y2, z2)的距離212212212)()()(|zzyyxxABAB-+-+-=. -=OAOBAB=(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1) =(x2-x1, y2-y1, z2-z1)提示:上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例3 求證以M1(4, 3, 1)、M2 (7,

11、1, 2)、M3 (5, 2, 3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形. 所以|M2M3|=|M1M3|, 即DM1M2M3為等腰三角形. |M1M3|2 =6, =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6, =(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2 |M2M3|2 =14, =(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2 |M1M2|2 解 因為 解之得914=z. 于是, 所求的點為 例4 在z軸上求與點A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距離的點. 即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2設所求的點為M(0, 0, z), 解 依題意有|MA|2=|MB|2, =(

12、3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 914=z. 于是, 所求的點為)914 , 0 , 0(M. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁14) 2(13|222=-+=AB, 例5 已知兩點A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3), 求與 方向相同的單位向量e. AB 解 因為) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7(-=-=AB 解 ) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7(-=-=AB) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7 (-=-=AB, 所以 ) 2 , 1 , 3 (141|-=ABABe.

13、 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁2.方向角與方向余弦 兩個向量的夾角 當把兩個非零向量a與b的起點放到同一點時, 兩個向量之間的不超過的夾角稱為向量a與b的夾角, 記作(a,b)或(b,a). 如果向量a與b中有一個是零向量, 規(guī)定它們的夾角可以在0與之間任意取值.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 向量的方向角和方向余弦 非零向量r與三條坐標軸的夾角、稱為向量r的方向角. 設r=(x, y, z), cos、cos、cos 稱為向量r的方向余弦. xyz則|cosrx=, |cosry=, |cosrz=. rerr=|1)cos ,cos ,(cos. 于是 因此cos2+cos2+cos2=1. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁32=, 3=, 43 =