無窮級數(shù)知識點

1、無窮級數(shù)1.級數(shù)收斂充要條件：部分和存在且極值唯一，即:Sn lim 4存在，稱級數(shù)收斂。n k 12.若任意項級數(shù)Un收斂,n 1Un|發(fā)散，則稱 Un條件收斂，若n 1un n 1收斂，則稱級數(shù) Unn 1絕對收斂，絕對收斂的級數(shù)一定條件收斂。2.任何級數(shù)收斂的必要條件是lim un 0 n3.若有兩個級數(shù)Un 和 Vnn 1un1s,Vnn 1則 (Unn 1Vn)Un1vns 。n 1D Un收斂,n 1Vn發(fā)散，則（Un Vn）發(fā)散。若二者都發(fā)散，則（Un Vn）不確定，如 1,n 1k 11發(fā)散，而1 10收斂。k 14.三個必須記住的常用于比較判斂的參考級數(shù):a)n ar六，收斂

2、，r 1n 0發(fā)放，r 1等比級數(shù):b)P級數(shù):1收斂，p 1n 1 np發(fā)放，p 1c)1收斂，p 1n 2 nlnp n發(fā)放，p 1對數(shù)級數(shù):5.三個重要結(jié)論反之不成立,6.常用收斂快慢(an an 1 n 1）收斂 lim an存在正項（不變號）級數(shù) n na2和bn都收斂anbnl 收,bn收 nan收 a2收,正整數(shù)ln n n (0) an(a 1) n! nn由慢到快連續(xù)型ln x x (0) ax(a 1)xx由慢到快7.正項（不變號）級數(shù)斂散性的判據(jù)與常用技巧1.達朗貝爾比值法lim%Unl 1,收l l 1,發(fā)（實際上導(dǎo)致了 lim n 0） nl 1,單獨討論（當(dāng)n為連乘

3、時）l2.卜可西根值法| lim癌l l n *1,收1,發(fā)（當(dāng)n為某n次方時）1,單獨討論un收斂，un發(fā)散vn發(fā)散n 1n 1n 13.此階法|代數(shù)式unvnvn收斂n 1極限式lim un A,其中:nUn和 Vn都是正項級數(shù)n 1n 1?A 0 un是vn的高階無窮小?A 0 un是vn的同階無窮小?Avn是un的高階無窮小un vnvn收斂un收斂，un發(fā)散n 1n 1n 1un kvnun和 vn斂散性相同。n 1 n 1vn發(fā)散。n 1Vn / Un收斂n 1vn收斂，vn發(fā)散un發(fā)散。n 1n 1n 151n222=On 1. n n 1 萬n21 n 1n2、n1 , n 1

4、un =ln ；,nn 10 1 x2dx0 Un>x n0 1 x2dx1.-13 ,也可選用基準(zhǔn)級數(shù)3n21一一-13就可知原級n 12n28、任意項級數(shù)的斂散性的判據(jù)與常用技巧布尼茨判交錯級數(shù)（任意項級數(shù)的特例）這是一個必要條件，如果不滿足，則 （1）nun n 0是發(fā)散，要使用絕對收斂判別其斂散性。 lim un 0 Un Un 1（ 1）nun 收斂n 0必發(fā)散，若只有不滿足，則不一定收斂還任意項級數(shù)判斂使用絕對值，使之轉(zhuǎn)換為正項級數(shù)，即絕對收斂、條件收斂或發(fā)散任意項級數(shù)判斂的兩個重要技巧：a微分積分法。換成連續(xù)變量，再利用微積分相關(guān)定理與性質(zhì)。b k階無窮小試探法。在不能估計

5、出通項的無窮小階次時，使用該試探法,9.帚級數(shù)an(x Xo)nn 01 .阿貝爾（Abel）定理如果級數(shù)anxn當(dāng)x x0 x0 0,因為x0=0anx2 0顯然收斂 點收斂，則級數(shù)在圓n 0n 1域x x°|內(nèi)絕對收斂；如果級數(shù)anxn當(dāng)x xi點發(fā)散，則級數(shù)在圓域x |力外發(fā)散。由阿n 0貝爾（Abel）定理可見收斂點集或發(fā)散點集是分別連接成對稱連續(xù)區(qū)域，這一定理是引入幕級 數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域概念的理論依據(jù)。注意，除 x x0 x0 0外，該定理并沒有完全保證圓上每一點的斂散性，正確理解阿貝爾定理是學(xué)好事級數(shù)的關(guān)鍵。如推論：如果 anxn不是僅在x 0一點收斂，也不

6、是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個確 n 0定的正數(shù)R存在，使得：當(dāng)|x R時，幕級數(shù)絕對收斂；當(dāng)x R時，幕級數(shù)發(fā)散；當(dāng)x R與x R時，幕級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，我們稱 R為 anxn的收斂半徑 n 110.幕級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域已知 an(x x0)n ,若 n 0Jm an 1或 Jm n an ；則根據(jù)比值判斂法有:x x0 1收斂R= limn風(fēng)收斂an+1收斂半徑R： Rlimn全平面收斂,0=00只有一個收斂點x0,收斂區(qū)間刈R,刈R :級數(shù)在x x0R x x0 R, x0 R收斂；幕級數(shù)的收斂區(qū)間是非空點集，對an（x x°）n至少在x x0處收斂，對

7、anxn至少在x 0處收斂。由阿貝爾定理可以推出：幕級數(shù)的條件收斂點只能位于收斂區(qū)間端點R上）收斂性待定，故收斂域是收斂域：由于級數(shù)在收斂區(qū)間的端點上（收斂半徑R或X0R,X0R四種情況之一。x0R,x0R、X0R,X0R、X0R, X0 3.在收斂區(qū)域內(nèi)的性質(zhì)anxn的和函數(shù) 0f x連續(xù)并有任意階導(dǎo)數(shù);可逐項微分f '(x) (anXn)n 0nanxn 1an Yn 1X0 n 1XX可逐項積分0 f (x)dx ( 0 anXndX)n 0anxn絕對收斂011.利用泰勒公式可將常用初等函數(shù)展開成幕級數(shù)泰勒級數(shù)展開的充要條件是泰勒公式中余項（包括拉氏余項,佩亞若余項）為零。以下

8、是幾個常用的麥克勞林展開結(jié)論。(1,1)1)n1,1)n u0 n! sin u1)n2n 1u(2n 1)! cosu1)2n 1 n u(2n)! ln(1u)n1)n1 nln21)n 1 n(1,1(1 u)(1)(Cnn uu (1,1) tan un2n1,u13u - uo2n13 arctanun 2n 1(1) un 0 2n 1u 1,1ln(1 x)nnx 一n 11non!5.幕級數(shù)求和方法函數(shù)項級數(shù)求和方法一般先求收斂域，然后逐次積分或微分，利用上述10各泰勒級數(shù)結(jié)論進行零部件組裝 數(shù)項級數(shù)求和方法構(gòu)造輔助幕級數(shù)法。付立葉級數(shù)1 .周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)? f(x)

9、為在l, l上周期為21的周期函數(shù)，則f(x)a02(an cosn 1x bn sin x),其中bn1 l1 lln1 f(x)cos- xdxln1 f (x)sin - xdx?特別地，當(dāng)1f(x)ao(an cosnx bn sin nx) n 1其中anf (x)cos nxdxbnf (x)sin nxdx?當(dāng)f(x)是偶函數(shù)r 1f(x) 3 a。an cosanf(x)f(x)n 112a0n x .cosdxlan cosnxn 1an0 f (x)cos nxdx?當(dāng)f(x)是奇函數(shù).n x2 l . n xf(x) Hsinbn 70f(x)sin dxnillll f (x)bn sin nxbn f(x)sin nxdxn 102 .非周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)方法如果非周期函數(shù)f x只是定義在區(qū)間0, l或 0,，兩種區(qū)間可以令t x相互轉(zhuǎn)換, l為了利用付里葉級數(shù)展開，必須將f x拓展，其方式有兩種，即：(1)偶拓展 令F(x) f(x) 0 x l ,使F(x)成為l, l上的周期偶函數(shù)，展開后取 f( x) l x 00 x l上的函數(shù)值即為f x的付里葉展開。(2)奇拓展 令F(x) f(x)0 x l 使F(x)成為l, l上的周期奇函數(shù)，