實(shí)際問題與二次函數(shù)

1、實(shí)際問題與二次函數(shù)教學(xué)目標(biāo) ：1 復(fù)習(xí)鞏固用待定系數(shù)法由已知圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求二次函數(shù)的關(guān)系式。2使學(xué)生掌握已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)或?qū)ΨQ軸等條件求出函數(shù)的關(guān)系式。重點(diǎn)難點(diǎn)：根據(jù)不同條件選擇不同的方法求二次函數(shù)的關(guān)系式是教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。教學(xué)過程 ：一、知識(shí)準(zhǔn)備1如何用待定系數(shù)法求已知三點(diǎn)坐標(biāo)的二次函數(shù)關(guān)系式?2已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（0， 2）， B（1， 5）， C（ 1， 1）。（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式，（2）畫出二次函數(shù)的圖象；（3）說出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。答案：（1）y=x2+2x+2,（2）圖略，（3）對(duì)稱軸x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一1, 1）。3.二次函數(shù)y

2、 = ax2+bx + c的對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)各是什么？對(duì)稱軸是直線x=b/2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是（一b/2a, （4ac- b2）/4a ）二、教材導(dǎo)學(xué)探究問題一已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0 ， 1），它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（8， 9），求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式。分析：二次函數(shù)y = ax2+bx + c通過配方可得y = a（x + h） 2+k的形式稱為頂點(diǎn)式， （ h， k） 為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)是（8，9）,因此，可以設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：y=a（x8）2 + 9由于二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0， 1），將 （0， 1）代入所設(shè)函數(shù)關(guān)系式，即可求出a的值。請(qǐng)同學(xué)們完成本例的解答。練

3、習(xí)：已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（2 ， 1） ，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1 ， 0） ，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式。探究問題二.已知拋物線對(duì)稱軸是直線x = 2,且經(jīng)過（3, 1）和（0, 5）兩點(diǎn)，求 二次函數(shù)的關(guān)系式。解法1：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式是 y=ax2+bx+c,因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過 點(diǎn)（0, 5）,可求得c= 5,又由于二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（3,1）,且對(duì)稱軸是 直線x = 2,可以得解這個(gè)方程組，得：所以所求的二次函數(shù)的關(guān)系式為 y=-2x2+8x-5o解法二；設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x2）2+k,由于二次函數(shù)的圖象經(jīng)過 （3 ， 1） 和 （0，5）兩點(diǎn)，可以得到解這個(gè)方程組，得

4、：所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式為 y= 2(x2)2+3,即y= 2x2+8x5。探究問題三.已知拋物線的頂點(diǎn)是(2 , 4),它與y軸的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求函數(shù)的關(guān)系式。解法1:設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系式為y=a(x+h)2+k,依題意，得y=a(x2)24因?yàn)閽佄锞€與y 軸的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，所以拋物線過點(diǎn)(0 ， 4) ，于是a(0 2)24 = 4,解得a= 2。所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式為 y = 2(x2)24, 即 y = 2x2 8x+ 4。解法2:設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=ax2+bx+c?依題意，得解這個(gè)方程 組，得：所以，所求二次函數(shù)關(guān)系式為 y=2x28x+4。探究問題

5、四. 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象與x 軸的交點(diǎn)為(1,0)，( 3,0)且過點(diǎn)( -1,3 )，求函數(shù)的關(guān)系式。解法1:設(shè)所求二次函數(shù)的解析式是 y = ax2+bx+c,因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象 過點(diǎn)(1,0) , (3,0) , (-1, 8)得三個(gè)方程，解出 a=1,b=-4,c=3. 即 y=x2-4x 3解法二；設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為 y = a(x 1)(x-3),由于二次函數(shù)的圖 象經(jīng)過(-1 ,8)可以得到8=a(-1-1)(-1-3)解這個(gè)方程組得a=-1，即y=x2-4x3三、課堂練習(xí)1.已知二次函數(shù)當(dāng)x= 3時(shí)，有最大值一1,且當(dāng)x = 0時(shí)，y= 3,求二次函數(shù)的關(guān)系式。解法1

6、:設(shè)所求二次函數(shù)關(guān)系式為y = ax2+bx+c,因?yàn)閳D象過點(diǎn)(0, 3),所以 c= 3,又由于二次函數(shù)當(dāng)x= 3時(shí)，有最大值一1,可以得到：解這個(gè)方程組，得：所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式為 y=x2 + x + 3。解法2：所求二次函數(shù)關(guān)系式為y=a(x+h)2 + k,依題意，得y = a(x+3)2 1因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象過點(diǎn)(0, 3),所以有3 = a(0+3)2 1 解得a=所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系為 y = 44/9(x + 3)21,即y=x2 + x+3.小結(jié)：讓學(xué)生討論、交流、歸納得到：已知二次函數(shù)的最大值或最小值，就是已知該函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用頂點(diǎn)式求解方便，用一般式求解計(jì)算量

7、較大。2,已知二次函數(shù)y = x2+px+q的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(5, 2),求二次函數(shù)關(guān) 系式。簡解：依題意，得解得：p=10,q= 23所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式是 y=x2-10x+23o四、課堂小結(jié)1，求二次函數(shù)的關(guān)系式，常見的有幾種類型?三種類型：(1)一般式：y= ax2+bx+c(2)頂點(diǎn)式：y=a(x + h)2+k,其頂點(diǎn)是(一h, k)(3)兩點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)其中點(diǎn)(x1,0) ,(x2,0)是圖像與 x軸的交點(diǎn) 2如何確定二次函數(shù)的關(guān)系式?讓學(xué)生回顧、思考、交流，得出：關(guān)鍵是確定上述三個(gè)式子中的待定系數(shù)，通常需要三個(gè)已知條件。在具體解題時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體的已

8、知條件，靈活選用合適的形式，運(yùn)用待定系數(shù)法求解。五、作業(yè)：1 . 已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( 1，3) ，與y 軸交點(diǎn)為 (0 ，5)，求二次函數(shù)的關(guān)系式。2 .函數(shù)y=x2+px + q的最小值是4,且當(dāng)x=2時(shí)，y = 5,求p和q。3 .若拋向線y= x2+bx+c的最高點(diǎn)為(1, 3),求b和c。4 .已知二次函數(shù) y = ax2+bx+c 的圖象經(jīng)過 A(0, 1) , B(-1, 0), C(1, 0), 那么此函數(shù)的關(guān)系式是。 如果 y 隨 x 的增大而減少，那么自變量x 的變化范圍是 。5 .已知二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖象過A(0, 5), B(5, 0)兩點(diǎn)，它的

9、對(duì)稱軸為直線x = 2,求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式。6 .如圖是拋物線拱橋，已知水位在 AB位置時(shí)，水面寬4米，水位上升3 米就達(dá)到警戒線CD這時(shí)水面寬4米，若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí) 0.25米速 度上升，求水過警戒線后幾小時(shí)淹到拱橋頂?六、課后反思：學(xué)生對(duì)一般形應(yīng)用的還好，頂點(diǎn)式應(yīng)用一般，兩點(diǎn)式較差，需 要多練多做。等腰三角形的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)和體會(huì)教學(xué)目標(biāo)：(1)認(rèn)知目標(biāo)：1、掌握等腰三角形的兩底角相等，底邊上的高、中線及頂角平分線三線合一的性質(zhì)，并能運(yùn)用它們進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算。2、理解等腰三角形和等邊三角形性質(zhì)定理之間的聯(lián)系。(2)能力目標(biāo)：1、定理的引入培養(yǎng)學(xué)生對(duì)命題的抽象概括能力，加強(qiáng)發(fā)

10、散思維的訓(xùn)練。2、定理的證明培養(yǎng)大膽創(chuàng)新、敢于求異、勇于探索的精神和能力，形成良好的思維品質(zhì)。3、定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考，提高獨(dú)立解決問題的能力。(3)情感目標(biāo)：在教學(xué)過程中,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行規(guī)律的再發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生的審美情感，與現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的實(shí)際問題使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)對(duì)于外部世界的完善與和諧，使他們有效地獲取真知，發(fā)展理性。教學(xué)重點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)定理及其證明。教學(xué)難點(diǎn)：用文字語言敘述的幾何命題的證明及輔助線的添加。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)提問1、什么樣的三角形叫做等腰三角形？2、指出等腰三角形的腰、底邊、頂角、底角。首先教師提問了解前置知識(shí)掌握情況。動(dòng)腦思考、口答。二、創(chuàng)設(shè)情境1、一般三角形

11、有哪些性質(zhì)？7 、 等腰三角形除具有一般三角形的性質(zhì)外，還有那些特殊性質(zhì)？把問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。本節(jié)課我們一起研究 等腰三角形的性質(zhì)。三、探究新課請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的等腰三角形，把兩個(gè)三角形疊合在一起會(huì)有始么發(fā)現(xiàn)？ 問題通過觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？ 結(jié)論等腰三角形的兩個(gè)底角相等?？捎蓪W(xué)生從多種途徑思考，縱橫聯(lián)想所學(xué)知識(shí)方法，為命題的證明打下基礎(chǔ)。 辨疑由觀察發(fā)現(xiàn)的命題不一定是真命題，需要證明，怎樣證明？ 問題1 、此命題的題設(shè)、結(jié)論分別是什么？2、怎樣寫出已知、求證？3、怎樣證明？ 電腦演示1 投影學(xué)生證明過程，并由其講述從而引出定理等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊

12、對(duì)等角”），通過電腦演示，引導(dǎo)學(xué)生全面觀察，聯(lián)想，突破引輔助線的難關(guān)，并向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。引出學(xué)生探究心理，迅速集中注意力，使其帶著濃厚的興趣開始積極探索思考。繼續(xù)觀察圖形 問題 1 、指出全等三角形中還有哪些對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等？2、等腰三角形的頂角的平分線又有什么性質(zhì)？設(shè)問、質(zhì)疑小組討論，歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生概括數(shù)學(xué)材料的能力。 辨疑 一般三角形是否具有這一性質(zhì)呢？ 電腦演示2“三線合一 ”性質(zhì) 等從而引出推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊，并且垂直于底邊腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。填空根據(jù)等腰三角形性質(zhì)定理的推論，在ABC中(1) AB=AC , AD

13、 ± BC ,/ =/ , =;(2) AB=AC , AD 是中線，./_ =/一 _±_;(3) AB=AC , AD是角平分線，, =O通過電腦演示，引出推論1 ，并引入填空、強(qiáng)調(diào)推論1 的運(yùn)用方法。電腦演示給學(xué)生對(duì)推掄1 留下深刻印象，并通過填空了解推論1 的運(yùn)用方法。五、變式訓(xùn)練，鞏固提高達(dá)標(biāo)練習(xí)一A 組：根據(jù)等腰三角的形性質(zhì)定理(1)等腰直角三角形的每一個(gè)銳角都等于多少度？(2)若等腰三角形的頂角為40°，則它的底角為多少度?(3)若等腰三角形的一個(gè)底角為40°,則它的頂角為多少度?B 組：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理(1)若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角

14、為40°,則它的其余各角為多少度?(2) 若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為120 °,則它的其余各角為多少度?(3)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系?各等于多少度?從而引出推論2 等邊三角形的各角都相等,并且每一個(gè)角都等于60°，題目設(shè)計(jì)遵循由易到難的原則，引導(dǎo)學(xué)生拾階而上。溝通等腰三角形的性質(zhì)定理和三角形內(nèi)角和定理的聯(lián)系，并引出推論2。A 組口答練習(xí)B 組討論后回答。掌握等腰三角形性質(zhì)定理的應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生的類比思維，讓學(xué)生獲得從問題中探索共同的屬性和規(guī)律的思維能力。達(dá)標(biāo)練習(xí)二A 組：等腰三角形斜邊上的高把直角分成兩個(gè)角，求這兩個(gè)角的度數(shù)。B組：已知：如圖，房屋的頂角/BA

15、C=100°。求頂架上/ B、/C、/ BAD、/ CAD 的度數(shù)。理論聯(lián)系實(shí)際,充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的作用,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)。A 組口答B(yǎng) 組獨(dú)立解答.加深理解定理及推論1 ，能初步靈活地運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算和論證。布置作業(yè)：1、看書：2、課本教學(xué)策列與反思本節(jié)課是在學(xué)生掌握了一般三角形基礎(chǔ)知識(shí)和初步推論證明的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，擔(dān)負(fù)著訓(xùn)練學(xué)生會(huì)分析證明思路的任務(wù)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)是今后論證兩角相等的依據(jù)之一，等腰三角形底邊上的三條主要線段重合的性質(zhì)是今后論證兩條線段相等、兩個(gè)角相等及兩條直線垂直的重要依據(jù)。因此設(shè)計(jì)時(shí)，我分別從幾個(gè)方面作了精心策劃：1、創(chuàng)設(shè)豐富的舊知環(huán)境，有利于幫助學(xué)生找準(zhǔn)新舊知識(shí)的連接點(diǎn)，喚起與形成新知相關(guān)的舊知，從而使學(xué)生的原認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新知的學(xué)習(xí)具有某種“召喚力 ”。2、提供可探索性的問題，合理的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)過程，創(chuàng)造出良好的問題情境，不斷地引導(dǎo)