二靜電場的保守性環(huán)路定理

1、二靜電場的保守性環(huán)路定理第一頁，共24頁。barrqq11400qrarbrbEadlF0qrdrrdr 在在 q 的電場中將檢驗電荷的電場中將檢驗電荷 q0 從從 a 點移動到點移動到 b 點，電場力作點，電場力作功為：功為： badrrqqdAArrba 4200電場力的功只與始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。電場力的功只與始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。2. .任意帶電體系的場任意帶電體系的場 對于由多個靜止點電荷組成的系統(tǒng)或靜止的連續(xù)帶對于由多個靜止點電荷組成的系統(tǒng)或靜止的連續(xù)帶電體，可看成是由無數(shù)電荷元組成，由場強疊加原理電體，可看成是由無數(shù)電荷元組成，由場強疊加原理可得到電場強度的線積分（移

2、動單位電荷的功）為：可得到電場強度的線積分（移動單位電荷的功）為：drrqqdA2004第二頁，共24頁。bal dEbanbabal dEl dEl dE21任何靜電場，電場強度的線積分只取決于起始和終了任何靜電場，電場強度的線積分只取決于起始和終了的位置的位置,而與路徑無關(guān)。這一特性而與路徑無關(guān)。這一特性叫做靜電場的保守性叫做靜電場的保守性。結(jié)論：結(jié)論：電場力為保守力，靜電場為保守場。電場力為保守力，靜電場為保守場。2.2.靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理靜電場的保守性還可表述為：靜電場的保守性還可表述為：在靜電場中，場強沿任意在靜電場中，場強沿任意閉合路徑的線積分等于零。閉合路徑的線積分

3、等于零。這稱為靜電場的環(huán)路定理這稱為靜電場的環(huán)路定理或環(huán)流定理?；颦h(huán)流定理。Ll dE0運動電荷的場不是保守場，運動電荷的場不是保守場，而是而是非保守場，將在磁場部分討論。非保守場，將在磁場部分討論。banl dEEE)(21baA第三頁，共24頁。1.1.電勢能電勢能電場力是保守力，可引入勢能的概念。電場力是保守力，可引入勢能的概念。靜電勢能的改變可以用電場力所作的功來量度。靜電勢能的改變可以用電場力所作的功來量度。 設(shè)在靜電場中，將檢驗電荷設(shè)在靜電場中，將檢驗電荷 q0 從從 a 點沿任意路徑移點沿任意路徑移動到動到 b 點，電場力作功為點，電場力作功為A Aabab。因為保守力所作的功等

4、于勢能增量的負值。因為保守力所作的功等于勢能增量的負值。 電荷電荷 q0 在靜電場中從在靜電場中從 a 點沿任意路徑移動到點沿任意路徑移動到 b 點點時，電場力所作的作功時，電場力所作的作功A Aabab與這兩點電勢能與這兩點電勢能E Ea a、E Eb b的關(guān)的關(guān)系為系為: :pabEA)(papbEEpbpaEEbabaabl dEql dFA00qEab第四頁，共24頁。 電勢能也是一個相對的量，必須選擇一個電勢能也是一個相對的量，必須選擇一個零勢能點作為參考。零勢能點作為參考。bapbpal dEqEE0式中：式中：E Epapa、E Epbpb是電荷是電荷q q0 0分別在分別在a

5、a點和點和b b點時點時,q,q0 0與電場所組與電場所組成的系統(tǒng)的靜電勢能。成的系統(tǒng)的靜電勢能。令令, 0pbE即選定即選定b b點為電勢能零點。點為電勢能零點。電荷電荷q q0 0在此系統(tǒng)的電場中在此系統(tǒng)的電場中a a點的的電勢能為：點的的電勢能為：勢能零點apal dEqE0意義：電荷在靜電場中某點的電勢能等于意義：電荷在靜電場中某點的電勢能等于將此電荷由該點沿將此電荷由該點沿任意路徑移到電勢能零點的過程中電場力所作的功任意路徑移到電勢能零點的過程中電場力所作的功。babaabl dEql dFA0pbpaabEEA0qEab第五頁，共24頁。, 0pE電荷電荷q q0 0在此系統(tǒng)的電場

6、中在此系統(tǒng)的電場中a a點的的電勢能為：點的的電勢能為：apal dEqE0意義：電荷意義：電荷q q0 0在靜電場中某點的電勢能等于將該電荷由該點在靜電場中某點的電勢能等于將該電荷由該點沿任意路徑移到無窮遠的過程中電場力所作的功。沿任意路徑移到無窮遠的過程中電場力所作的功。強調(diào)：強調(diào)：對于無限帶電體，不能取無窮遠處為電勢能零點。對于無限帶電體，不能取無窮遠處為電勢能零點。即：即：2.2.電勢與電勢差電勢與電勢差勢能零點apal dEqE0兩邊同除以兩邊同除以q q0 0，得：，得：將將勢能零點apal dEqE0這一比值與這一比值與q0的值無關(guān)，僅取決于的值無關(guān)，僅取決于電場的性質(zhì)及場點的位

7、置。電場的性質(zhì)及場點的位置。對有限帶電體，通常規(guī)定無窮遠對有限帶電體，通常規(guī)定無窮遠處為電勢能零點。處為電勢能零點。勢能零點apal dEqE0第六頁，共24頁。定義電勢：定義電勢：零點apaal dEqEU0意義：意義：把單位正電荷從場點把單位正電荷從場點a a經(jīng)過任意路徑移到零電勢參考點經(jīng)過任意路徑移到零電勢參考點時電場力所作的功。也等于單位正電荷在時電場力所作的功。也等于單位正電荷在a a點所具有的電勢能。點所具有的電勢能。電勢差：靜電場中兩點電勢值的差。電勢差：靜電場中兩點電勢值的差。0qEEUUUpbpabaabbal dE意義：意義：把單位正電荷從把單位正電荷從a a點沿任意路徑移

8、到點沿任意路徑移到b b點時電場點時電場力所作的功。力所作的功。 電勢差和電勢的單位相同，在國際單位制中，電勢的電勢差和電勢的單位相同，在國際單位制中，電勢的單位為：焦耳單位為：焦耳/庫侖（記作庫侖（記作J/C），也稱為伏特（），也稱為伏特（V），即），即1V1J/C。0qAab第七頁，共24頁。1. .電勢是標量，只有正負之分。電勢是標量，只有正負之分。2. . 電勢和電勢能一樣都是相對的量，為了讓它有確定電勢和電勢能一樣都是相對的量，為了讓它有確定的值，必須選擇一個零點作為參考點。但電勢差的值的值，必須選擇一個零點作為參考點。但電勢差的值具有絕對的意義，與零點的選擇無關(guān)。具有絕對的意義，與

9、零點的選擇無關(guān)。對有限帶電體一般選無窮遠為電勢零點。對有限帶電體一般選無窮遠為電勢零點。注意幾點：注意幾點：3. . 電勢零點的選擇：電勢零點的選擇：在實際問題中，也常常選地球的電勢為零電勢。在實際問題中，也常常選地球的電勢為零電勢。對對無限帶電體無限帶電體不宜選無窮遠為電勢零點。此時只有電勢不宜選無窮遠為電勢零點。此時只有電勢的相對值（即電勢差）有意義。的相對值（即電勢差）有意義。4. .電勢能與電勢的區(qū)別：電勢能與電勢的區(qū)別：EP 可正可負，取決于可正可負，取決于 q 和和 q0 ； U只取決于場源電荷只取決于場源電荷 q 。第八頁，共24頁。 當已知電勢分布時，可用電勢差求出點電荷在電場

10、中移當已知電勢分布時，可用電勢差求出點電荷在電場中移動時電場力所做的功：動時電場力所做的功：baabl dEqA0例、例、用場強分布和電勢的定義直接積分求點電荷產(chǎn)生的用場強分布和電勢的定義直接積分求點電荷產(chǎn)生的電場中的電勢分布。電場中的電勢分布。 rrqE420pppl dEUUUpEqr負點電荷周圍的場電勢為離負電荷越遠，電勢越高。負點電荷周圍的場電勢為離負電荷越遠，電勢越高。正點電荷周圍的場電勢為離正電荷越遠，電勢越低。正點電荷周圍的場電勢為離正電荷越遠，電勢越低。解：解： )(0baUUqpprqdrrq02044強調(diào)：強調(diào)：第九頁，共24頁。3.3.電勢迭加原理電勢迭加原理表述：表述：

11、一個電荷系的電場中一個電荷系的電場中,任一點的電勢等于每一個任一點的電勢等于每一個帶電體單獨存在時在該點所產(chǎn)生電勢的代數(shù)和。帶電體單獨存在時在該點所產(chǎn)生電勢的代數(shù)和。由場強疊加原理和電勢的定義，可得電勢疊加原理。由場強疊加原理和電勢的定義，可得電勢疊加原理。l dEpUp)(1r2r3rir1q2q3qiqppipiiirql dEpU04)(iiirqpU04)(表達式：表達式：（1 1）電勢是標量，迭加的結(jié)果是求代數(shù)和；）電勢是標量，迭加的結(jié)果是求代數(shù)和；（2 2）要求各個點電荷的零電勢點必須相同；）要求各個點電荷的零電勢點必須相同；強調(diào)：強調(diào)：pl dEE)(21iipU)(第十頁，共2

12、4頁。4.4.電勢的計算電勢的計算電勢的求解有兩種方法：電勢的求解有兩種方法：1. .由電勢的定義出發(fā)，用場強的線積分求電勢，即由由電勢的定義出發(fā)，用場強的線積分求電勢，即由電勢定義式電勢定義式 計算計算P點電勢。點電勢。零點ppl dEU2. .根據(jù)點電荷的電勢公式和電勢迭加原理求電勢分布。根據(jù)點電荷的電勢公式和電勢迭加原理求電勢分布。（1）點電荷系：先分別求出每個點電荷單獨存在時的電點電荷系：先分別求出每個點電荷單獨存在時的電場的電勢，再求代數(shù)和得到電勢。場的電勢，再求代數(shù)和得到電勢。iiiirqUU04公式：公式：（2）連續(xù)帶電體：將帶電體分割成無限多個電荷元，連續(xù)帶電體：將帶電體分割成

13、無限多個電荷元，將每個電荷元看成點電荷，根據(jù)點電荷電勢公式求電荷將每個電荷元看成點電荷，根據(jù)點電荷電勢公式求電荷元的電勢，迭加歸結(jié)于積分元的電勢，迭加歸結(jié)于積分。rdqdUU04注意電荷元的選??！注意電荷元的選??！第十一頁，共24頁。例例1：均勻帶電圓環(huán)，半徑為均勻帶電圓環(huán)，半徑為 R，帶電為，帶電為 q，求圓，求圓環(huán)軸線上一點的電勢環(huán)軸線上一點的電勢 U。oxRqxdqdU解：解：將圓環(huán)分割成無限多個電荷元：將圓環(huán)分割成無限多個電荷元：rdqdU04rdUUdqrq0041環(huán)上各點到軸線等距。環(huán)上各點到軸線等距。2/1220)(4Rxq第十二頁，共24頁。例例2：均勻帶電球殼半徑為均勻帶電球

14、殼半徑為 R，電量為，電量為 q，求：球殼內(nèi)、外，求：球殼內(nèi)、外的電勢分布。的電勢分布。oRqr高斯面高斯面E解：解：球殼內(nèi)、外的場強球殼內(nèi)、外的場強作高斯球面作高斯球面r0qSdES0qdSESrIII2041rqE,Rr 0qI區(qū)：球面內(nèi)區(qū)：球面內(nèi)01E,RrII區(qū)：球面外區(qū)：球面外qq20241rqE第十三頁，共24頁。l dEl dEURRr 211drER20drrqR2041Rq04I區(qū)：球殼內(nèi)電勢區(qū)：球殼內(nèi)電勢選無窮遠為電勢選無窮遠為電勢0點，點，RroRqrE ErIIIldEUr 22drEr2drrqr2041rq04II區(qū)：球殼外電勢區(qū)：球殼外電勢Rr第十四頁，共24頁。

15、oRqIIIRoEr204RqoRqIIIRoVrRq04,RrI區(qū)：球面內(nèi)區(qū)：球面內(nèi)01E,RrII區(qū)：球面外區(qū)：球面外20241rqERqU014rqU024第十五頁，共24頁。例例3 3：無限長帶電直線線電荷密度為無限長帶電直線線電荷密度為 ，求電勢分布。，求電勢分布。orP解：解：無限長帶電直線的場強：無限長帶電直線的場強：rE02PPl dEU若選無窮遠為電勢若選無窮遠為電勢 0 點，則點，則PEdrdrrr02r)ln(ln20r無意義無意義QR選取距帶電直導(dǎo)線為選取距帶電直導(dǎo)線為R的的Q點為電勢零點，點為電勢零點，QPPEdrUrRln20Rrdrr02當電荷分當電荷分布擴展到布

16、擴展到無窮遠時，無窮遠時，電勢零點電勢零點不能再選不能再選在無窮遠在無窮遠處。處。 第十六頁，共24頁。例例4：在正方形四個頂點上各放置在正方形四個頂點上各放置 帶電量為帶電量為+ +q的四個電荷，的四個電荷，各頂點到正方形中心各頂點到正方形中心O O的距離為的距離為r r。求：。求： （1 1）O O點的點的電勢；（電勢；（2 2）把試探電荷）把試探電荷q q0 0從無窮遠處移到從無窮遠處移到O O點時電場力所作點時電場力所作的功；（的功；（3 3）電勢能的改變。）電勢能的改變。解：解：4104iiiOrqUrqrq0044qqqqor（1 1）根據(jù)電勢迭加原理）根據(jù)電勢迭加原理（2 2）根

17、據(jù)電勢差的定義）根據(jù)電勢差的定義0qAUUOO)(0OOUUqAOUq0rqq00（2 2）根據(jù)）根據(jù)abpbpaAEEOOOAEEErqq00第十七頁，共24頁。1.1.等勢面等勢面aal dEU引：引：.場強電勢的積分關(guān)系場強電勢的積分關(guān)系等勢面：將電場中電勢相等的點連接起來組成的面叫等勢面：將電場中電勢相等的點連接起來組成的面叫做等勢面做等勢面.即即 的空間曲面稱為等勢面。等的空間曲面稱為等勢面。等勢面上的任一曲線叫做等勢線或等位線。勢面上的任一曲線叫做等勢線或等位線。CzyxU),(規(guī)定：規(guī)定：畫等勢面時，相鄰兩個等勢面的電勢差為常數(shù)。畫等勢面時，相鄰兩個等勢面的電勢差為常數(shù)。第十八頁

18、，共24頁。等勢面的性質(zhì)：等勢面的性質(zhì)：證明：證明： 1.在靜電場中，沿等勢面移動電荷時，靜電場力對此在靜電場中，沿等勢面移動電荷時，靜電場力對此電荷不作功。電荷不作功。l dMNE)(0baUUqbaabUql dEqA00ab等勢面等勢面02.除電場強度為零處外，電力線與等勢面正交。除電場強度為零處外，電力線與等勢面正交。證明：證明：0cosEdlldEdAMNl dE3.由于由于規(guī)定了兩個相鄰等勢面的電勢差相等，所以等勢面較規(guī)定了兩個相鄰等勢面的電勢差相等，所以等勢面較密集的地方，場強較大。等勢面較稀疏的地方，場強較小。密集的地方，場強較大。等勢面較稀疏的地方，場強較小。 因為將單位正電

19、荷從等勢面上因為將單位正電荷從等勢面上M點移到點移到N點，電場力做功為零，而路徑不為零。點，電場力做功為零，而路徑不為零。第十九頁，共24頁。因沿電力線方向移動正電荷場力做正功，電因沿電力線方向移動正電荷場力做正功，電勢能減少。勢能減少。4.電力線電力線的方向的方向指向電勢降低的方向。指向電勢降低的方向。證明：證明：假設(shè)電荷假設(shè)電荷q q0 0由2移到1，12UU 012UUE2等勢面等勢面l d1122121)(ppppEEEEA0)(120UUq的方向為電勢降低的方向。的方向為電勢降低的方向。E2.2.電勢梯度電勢梯度Ul ddndUU 3P1P2PEn 12 取兩個相鄰近的等勢面取兩個相

20、鄰近的等勢面1和和2，電勢分別為，電勢分別為U和和U+dU,且且dU0,.規(guī)定：規(guī)定：等勢面的法線正方向為指等勢面的法線正方向為指向電勢升高的法線方向。向電勢升高的法線方向。第二十頁，共24頁。ndndUgradU定義電勢梯度矢量：定義電勢梯度矢量：大小：大?。悍较颍悍较颍篸ndU寫成矢量式：寫成矢量式：U算符算符gradkzjyix電勢梯度電勢梯度 是一個矢量，是一個矢量，U它的方向是沿電力線的切向并指向電勢升高的方向。它的方向是沿電力線的切向并指向電勢升高的方向。如果過如果過P1沿沿 方向的電勢增加率為方向的電勢增加率為 ， 與與 的夾角的夾角為為 。l ddldUl dn cosdndU

21、dldU沿著等勢面的正法線方向沿著等勢面的正法線方向有：有：Ul ddndUU 3P1P2PEn 12)cos(dldn 第二十一頁，共24頁。3.3.場強與電勢的微分關(guān)系場強與電勢的微分關(guān)系根據(jù)場強與電勢的積分關(guān)系，有：根據(jù)場強與電勢的積分關(guān)系，有：21UUl dE)(dUUUdU即：即：dUdlEcoscosdldUEdndU 電場強度的方向與電勢梯度矢量電場強度的方向與電勢梯度矢量的方向相反，即的方向相反，即 與與 反向。反向。En 寫成矢量式：寫成矢量式：ndndUE 電場中某一點的電場強度等于該點電勢梯度矢量的負電場中某一點的電場強度等于該點電勢梯度矢量的負值。值。場強與電勢的微分關(guān)系gradUUUl ddndUU 3P1P2PEn 12第二十二頁，共24頁。在直角坐標系中：在直角坐標系中：kzUjyUixUE在任意方向上，場強的分量為：在任意方向上，場強的分量為：cosdndU注意幾點：注意幾點：1.“ .“