掌握作函數(shù)圖象的基本方法能利用函數(shù)圖象分析解決問題

1、2.7 2.7 函數(shù)圖象函數(shù)圖象1作圖方法：作圖方法：描點(diǎn)描點(diǎn)法和利用基本函數(shù)圖象變換作圖；作函數(shù)圖象的步驟：法和利用基本函數(shù)圖象變換作圖；作函數(shù)圖象的步驟：確定函數(shù)的定義域；確定函數(shù)的定義域；化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(甚至變化趨勢(shì)甚至變化趨勢(shì))；描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象2三種圖象變換：三種圖象變換：平移變平移變換、對(duì)稱變換和伸縮變換換、對(duì)稱變換和伸縮變換3識(shí)圖：識(shí)圖：對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)的圖象要注意其分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性、周期性等方的圖象要注意其分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)

2、稱性、周期性等方面面4用圖：用圖：函數(shù)的圖象形象函數(shù)的圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了“形形”直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具，要重視數(shù)形結(jié)合思直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具，要重視數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用想方法的運(yùn)用1函數(shù)函數(shù)y1 的圖象是的圖象是()答案：答案：B 2 函數(shù)函數(shù)ye|ln x|x1|的圖象大致是的圖象大致是()答案：答案：D3. (2009重慶模擬重慶模擬)已知圖已知圖中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為yf(x)，則圖，則圖的圖象對(duì)應(yīng)的函的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為數(shù)為()Ayf(|x|)

3、By|f(x)| Cyf(|x|) Dyf(|x|)答案：答案：C4 (2009湖南湖南)如圖，當(dāng)如圖，當(dāng)參數(shù)參數(shù)1，2時(shí)，連續(xù)函數(shù)時(shí)，連續(xù)函數(shù)y (x0)的圖象的圖象分別對(duì)應(yīng)曲線分別對(duì)應(yīng)曲線C1和和C2，則，則() A012 B021 C120 D210 解析解析：令：令xx0(x00)，由圖象可知，由圖象可知， ，1x02x0，(12)x00， 12，又因?yàn)楹瘮?shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)y 在在(0，)連續(xù)，因此連續(xù)，因此0，故選，故選B. 答案答案：B5(2009江西江西)如如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)圖所示，一質(zhì)點(diǎn)P(x，y)在在xOy平面上沿曲線平面上沿曲線運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，其在運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，其在x軸

4、上的投影點(diǎn)軸上的投影點(diǎn)Q(x,0)的運(yùn)動(dòng)速的運(yùn)動(dòng)速度度VV(t)的圖象大致為的圖象大致為()解析解析：由于質(zhì)點(diǎn)：由于質(zhì)點(diǎn)P的速度大小不變，所以當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度大小不變，所以當(dāng)質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線越平行于的運(yùn)動(dòng)路線越平行于x軸時(shí)，在軸時(shí)，在x軸上的投影運(yùn)動(dòng)的速度就越快，質(zhì)點(diǎn)軸上的投影運(yùn)動(dòng)的速度就越快，質(zhì)點(diǎn)P(x，y)在在x軸上的投影點(diǎn)軸上的投影點(diǎn)Q(x,0)的運(yùn)動(dòng)過程的運(yùn)動(dòng)過程大致是：大致是：快快快快慢慢向后向后向前向前快快慢慢向后向后向前向前快快慢，結(jié)合所給各選項(xiàng)知，慢，結(jié)合所給各選項(xiàng)知，選選B.作函數(shù)圖象首先要明確函數(shù)圖象的位置和形狀，然后借助描點(diǎn)等手段作出函數(shù)圖作函數(shù)圖象首先要明確函數(shù)圖象的位置和

5、形狀，然后借助描點(diǎn)等手段作出函數(shù)圖象，而明確函數(shù)圖象位置和形狀的主要方法有：象，而明確函數(shù)圖象位置和形狀的主要方法有：(1)圖象的變換，例如圖象的變換，例如y|x| y 1等等(2)等價(jià)變形，如等價(jià)變形，如 y ，等價(jià)于，等價(jià)于(3)研究函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的性質(zhì)【例【例1】 作出下列函數(shù)的圖象作出下列函數(shù)的圖象：解答：解答：(1)解法一解法一：函數(shù)的定義域?yàn)椋汉瘮?shù)的定義域?yàn)?，1)(1,1)(1，)，且函數(shù)為，且函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)的遞增區(qū)間為偶函數(shù)，函數(shù)的遞增區(qū)間為(，1)，(1,0)，遞減區(qū)間為，遞減區(qū)間為(0,1)，(1，)可根據(jù)以上性質(zhì)取值列表：可根據(jù)以上性質(zhì)取值列表：在直角坐標(biāo)在直角坐

6、標(biāo)系中描出上表對(duì)應(yīng)點(diǎn)并用光滑的曲線連結(jié)起來(lái)再根據(jù)系中描出上表對(duì)應(yīng)點(diǎn)并用光滑的曲線連結(jié)起來(lái)再根據(jù)y 是偶是偶函數(shù)，把所作圖象關(guān)于函數(shù)，把所作圖象關(guān)于y軸對(duì)稱到軸對(duì)稱到y(tǒng)軸左側(cè)后，就得到軸左側(cè)后，就得到y(tǒng) 的圖象的圖象(如圖如圖1)當(dāng)當(dāng)x0且且x1時(shí)，時(shí)，y ，它的圖象可由，它的圖象可由y 的圖象向右平移一個(gè)單位后的圖象向右平移一個(gè)單位后得到得到(僅要僅要y軸及其右側(cè)部分軸及其右側(cè)部分)當(dāng)當(dāng)x0且且x1時(shí)，時(shí)，y ，它的圖象可由，它的圖象可由y 的圖象先關(guān)于的圖象先關(guān)于x軸對(duì)稱后，軸對(duì)稱后，再向左平移一個(gè)單位后得到再向左平移一個(gè)單位后得到(僅要僅要y軸左側(cè)部分軸左側(cè)部分)，把上述兩次得到的圖象合在

7、，把上述兩次得到的圖象合在一起就得到函數(shù)一起就得到函數(shù)y 的圖象的圖象(如圖如圖1)解法解法三：三：作函數(shù)圖象還可通過作函數(shù)圖象還可通過求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性和極值情況：求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性和極值情況： 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，y ，求導(dǎo)得，求導(dǎo)得y 0， 單調(diào)遞減區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是0,1)及及(1，)，取，取x0， ， ， ，2， ， 在坐標(biāo)系在坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)并用光滑曲線連結(jié)起來(lái)，再把所得曲線關(guān)于中描出各點(diǎn)并用光滑曲線連結(jié)起來(lái)，再把所得曲線關(guān)于y軸對(duì)稱就得到函數(shù)軸對(duì)稱就得到函數(shù)y 的圖象的圖象(如圖如圖1) (2)當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，f(x)x22x1(x1)22，當(dāng)，當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， f(x)x22x

8、1(x1)22， 即即f(x)根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如圖根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如圖2.(3)若若x2，原式為，原式為y x(x4)，若若xVn，即當(dāng)，即當(dāng)h愈大時(shí)，相等高度增加的水量愈大時(shí)，相等高度增加的水量愈少，愈少，其圖象呈其圖象呈“上凸上凸”形狀，故選形狀，故選A.(2)時(shí)間時(shí)間t愈大，該學(xué)生離學(xué)校的距離愈大，該學(xué)生離學(xué)校的距離d愈小，愈小，d是是t的減函數(shù)，答案應(yīng)為的減函數(shù)，答案應(yīng)為C、D中的一個(gè)，由于前一段時(shí)間速度快，后一段時(shí)間速度慢，即中的一個(gè)，由于前一段時(shí)間速度快，后一段時(shí)間速度慢，即 的值前大后小，故的值前大后小，故選選D.答案：答案：(1)A(2)

9、D變式變式2.如下如下圖所示，向高為圖所示，向高為h的水瓶的水瓶A、B、C、D同時(shí)以等速注水，注滿為止同時(shí)以等速注水，注滿為止 (1)若水量若水量V與水深與水深h函數(shù)圖象是下圖的函數(shù)圖象是下圖的(a)，則水瓶的形狀是，則水瓶的形狀是_；(2)若水深若水深h與注水時(shí)間與注水時(shí)間t的函數(shù)圖象是下圖的的函數(shù)圖象是下圖的(b)，則水瓶的形狀是，則水瓶的形狀是_；(3)若注水時(shí)間若注水時(shí)間t與水深與水深h的函數(shù)圖象是下圖的的函數(shù)圖象是下圖的(c)，則水瓶的形狀是，則水瓶的形狀是_； (4)若水深若水深h與注水時(shí)間與注水時(shí)間t的函數(shù)的圖象是圖中的的函數(shù)的圖象是圖中的(d)，則水瓶的形狀是，則水瓶的形狀是_

10、答案：答案：(1)A(2)D(3)B(4)C數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中非常重要的思想方法，利用函數(shù)的圖象可解決判斷方程解的個(gè)數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中非常重要的思想方法，利用函數(shù)的圖象可解決判斷方程解的個(gè)數(shù)，求方程的近似解數(shù)，求方程的近似解(二分法二分法)等問題，如果能夠求出方程的解，利用函數(shù)圖象進(jìn)等問題，如果能夠求出方程的解，利用函數(shù)圖象進(jìn)而可求對(duì)應(yīng)不等式的解而可求對(duì)應(yīng)不等式的解【例【例3】 已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)yf1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)(1,1)，反比例函數(shù)，反比例函數(shù)yf2(x) 的圖象與直線的圖象與直線yx的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為8，f(x)f1(x)

11、f2(x) (1)求函數(shù)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；的表達(dá)式； (2)證明：證明：當(dāng)當(dāng)a3時(shí)，關(guān)于時(shí)，關(guān)于x的方程的方程f(x)f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解有三個(gè)實(shí)數(shù)解解答：解答：(1)由已知由已知，設(shè)，設(shè)f1(x)ax2(a0)，由，由f1(1)1，得，得a1，f1(x)x2. 設(shè)設(shè)f2(x) (k k0)，它的圖象與直線，它的圖象與直線yx的交點(diǎn)分別為的交點(diǎn)分別為A( ， ) B( ， )，由，由|AB|8，得，得k k8，f2(x) .故故f(x)x2 .(2)證明：證法一：由證明：證法一：由f(x)f(a)，得，得x2a2 ，即，即 x2a2 .在同一在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出坐標(biāo)系內(nèi)作出f2(x) 和和

12、f3(x)x2a2 的大致圖象，其中的大致圖象，其中f2(x)的圖象是的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，以坐標(biāo)軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，f3(x)的圖象是以的圖象是以(0，a2 )為頂點(diǎn)，開口向下的拋物線因此，為頂點(diǎn)，開口向下的拋物線因此，f2(x)與與f3(x)的圖象在第三象限有一的圖象在第三象限有一個(gè)交點(diǎn)，即個(gè)交點(diǎn)，即f(x)f(a)有一個(gè)負(fù)數(shù)解有一個(gè)負(fù)數(shù)解 又又f2(2)4，f3(2)4a2 ，當(dāng)，當(dāng)a3時(shí)，時(shí)， f3(2)f2(2)a2 80，當(dāng)當(dāng)a3時(shí)，在第一象限時(shí)，在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(diǎn)的圖象上存在一點(diǎn)(2，f(2)在在f2(x)圖象

13、的上方圖象的上方f2(x)與與f3(x)的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，即的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，即f(x)f(a)有兩個(gè)正數(shù)解因此，方程有兩個(gè)正數(shù)解因此，方程f(x)f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解有三個(gè)實(shí)數(shù)解證法二：由證法二：由f(x)f(a)，得，得x2 a2 ，即，即(xa)(xa )0，得方程，得方程的一個(gè)解的一個(gè)解x1a.方程方程xa 0化為化為ax2a2x80，由，由a3，a432a0，得，得x2 ，x3 x20，x30，x1x2，且，且x2x3.若若x1x3，即，即a ，則則3a2 ，a44a，得，得a0或或a ，這與，這與a3矛盾，矛盾，x1x3.故原方故原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解程有三個(gè)實(shí)數(shù)解

14、.1列表描點(diǎn)法是作函數(shù)圖象的輔助手段，要作函數(shù)圖象首先要明確函列表描點(diǎn)法是作函數(shù)圖象的輔助手段，要作函數(shù)圖象首先要明確函數(shù)圖象的位置和形狀：數(shù)圖象的位置和形狀：(1)可通過研究函數(shù)的性質(zhì)如定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)可通過研究函數(shù)的性質(zhì)如定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、凸凹性等等；性、凸凹性等等；(2)可通過函數(shù)圖象的變換如平移變換、對(duì)稱變換、伸縮變換等；可通過函數(shù)圖象的變換如平移變換、對(duì)稱變換、伸縮變換等；(3)可通過方程的同解變形，如作函數(shù)可通過方程的同解變形，如作函數(shù)y 的圖象的圖象2利用函數(shù)的圖象可研究函數(shù)的性質(zhì)，可判斷方程解的個(gè)數(shù)，可通過利用函數(shù)的圖象可研究函數(shù)的性質(zhì)，可

15、判斷方程解的個(gè)數(shù)，可通過解方程，解方程， 根據(jù)函數(shù)的圖象觀察對(duì)應(yīng)不等式的解等根據(jù)函數(shù)的圖象觀察對(duì)應(yīng)不等式的解等3數(shù)形結(jié)合的思想方法也是高考中重點(diǎn)考查的內(nèi)容數(shù)形結(jié)合的思想方法也是高考中重點(diǎn)考查的內(nèi)容. 【方法規(guī)律方法規(guī)律】(本題滿分本題滿分4分分)方程方程x2 x10的解可視為的解可視為yx 的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)y 的的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，若圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，若x4ax40的各個(gè)實(shí)根的各個(gè)實(shí)根x1，x2，xk(k k4)所對(duì)應(yīng)的所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)點(diǎn) (i1,2，k)均在直線均在直線yx的同側(cè)，則實(shí)數(shù)的同側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_. 解析：解析：將方程將方程x4ax40變形為變形為x3a

16、 ，“x4ax40的各個(gè)實(shí)根的各個(gè)實(shí)根x1，x1，xk(k k4)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 均在直線均在直線yx的同側(cè)的同側(cè)”，等價(jià)于，等價(jià)于“函數(shù)函數(shù)yx3a的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)y 的圖象的交點(diǎn)均在直線的圖象的交點(diǎn)均在直線yx的同側(cè)的同側(cè)”在同一坐標(biāo)系中作在同一坐標(biāo)系中作出出y 與與yx3a的圖象，由圖的圖象，由圖1，若函數(shù)，若函數(shù)yx3a的圖象過的圖象過(2,2)點(diǎn)，則點(diǎn)，則a6；由圖由圖2，若函數(shù)，若函數(shù)yx3a的圖象過的圖象過(2，2)點(diǎn)，則點(diǎn)，則a6；因此滿足條件的實(shí)數(shù)；因此滿足條件的實(shí)數(shù)a的范圍是的范圍是(，6)(6，)【答題模板答題模板】 答案：答案：(，6)(6，)1. 高考中

17、對(duì)函數(shù)圖象的考查，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，形式多變，靈活多高考中對(duì)函數(shù)圖象的考查，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，形式多變，靈活多樣，具體是作圖、識(shí)圖和用圖樣，具體是作圖、識(shí)圖和用圖2利用函數(shù)圖象我們可以判斷對(duì)應(yīng)方程解的情況，如方程是否有解，有多少個(gè)解，利用函數(shù)圖象我們可以判斷對(duì)應(yīng)方程解的情況，如方程是否有解，有多少個(gè)解，甚至可以求出方程的近似解，當(dāng)然也就可以了解方程解的分布情況甚至可以求出方程的近似解，當(dāng)然也就可以了解方程解的分布情況 ，結(jié)合函數(shù)圖，結(jié)合函數(shù)圖象和方程的解，還可以利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解不等式象和方程的解，還可以利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解不等式【分析點(diǎn)評(píng)分析點(diǎn)評(píng)】3數(shù)形結(jié)合的思想在每年的高考中都有所體現(xiàn)，它常用來(lái)：研究方程根的情況，數(shù)形結(jié)合的思想在每年的高考中都有所體現(xiàn)，它常用來(lái)：研究方程根的情況，討論函數(shù)的值域討論函數(shù)的值域(最值最值)及求變量的取值范圍等內(nèi)容的題目對(duì)這類內(nèi)容的選擇題、及求變量的取值范圍等內(nèi)容的題目對(duì)這類內(nèi)容的選擇題、填空題，數(shù)形結(jié)合特別有效從今年的高考題來(lái)看，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究填空題，數(shù)形結(jié)合特別有效從今年的高考題來(lái)看，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)以