求生必備知識

1、第第1章章 插值方法插值方法 插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法。早在插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法。早在10001000多年前，我國歷法上已經(jīng)記載了應(yīng)用一多年前，我國歷法上已經(jīng)記載了應(yīng)用一次插值和二次插值的實例。次插值和二次插值的實例。拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）、牛頓）、牛頓（NewtonNewton）、埃特金（）、埃特金（AitkenAitken）分別給出了）分別給出了不同的解決方法。不同的解決方法。 1.1 拉格朗日插值公式 1.2 牛頓插值公式 1.3 埃特金插值公式1.4 存在惟一性定理1.5 插值余項1.6 分段三次埃爾米特插值 1.7 三次樣條插值1.8 應(yīng)用實例

2、1.1 拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式 拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）插值公式）插值公式(以下統(tǒng)稱為以下統(tǒng)稱為Lagrange插值公式插值公式)的基本思想是，把的基本思想是，把pn(x)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為化為n+1個插值基函數(shù)個插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,n)的構(gòu)造。的構(gòu)造。 圖圖11 插值多項式插值多項式 1.1.n n=1=1的情況的情況 已知函數(shù)已知函數(shù)y y= =f f( (x x) )在點在點x x0 0, ,x x1 1上的值為上的值為y y0 0, ,y y1 1， 要 求 多 項 式， 要 求 多 項 式y(tǒng) y= =p p1 1( (x x) ) ，

3、使， 使p p1 1( (x x0 0)=)=y y0 0, ,p p1 1( (x x1 1)=)=y y1 1。其幾何意義，就是。其幾何意義，就是通過兩點通過兩點A A( (x x0 0, ,y y0 0),),B B( (x x1 1, ,y y1 1) )的一條直線，的一條直線，如圖如圖1 12 2所示。所示。 圖圖12 一次插值多項式一次插值多項式 由直線兩點式可知，通過由直線兩點式可知，通過A，B的直線方程為的直線方程為 它也可變形為它也可變形為p1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1 顯然有：顯然有：l0(x0)=l1(x1)=1，l0(x1)=l1(x0)=0，p1(x0)=

4、y0，p1(x1)=y1 )(1001010 xpxxxxyyyy(1.1)010110100)(,)(xxxxxlxxxxxl其中其中 我們稱我們稱l0(x)為點為點x0的一次插值基函數(shù)，的一次插值基函數(shù)，l1(x)為為點點x1的一次插值基函數(shù)。它們在對應(yīng)的插值點上取的一次插值基函數(shù)。它們在對應(yīng)的插值點上取值為值為1，而在另外的插值點上取值為，而在另外的插值點上取值為0。插值函數(shù)。插值函數(shù)p1(x)是這兩個插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)是這兩個插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)就是對應(yīng)點上的函數(shù)值。這種形式的插值稱作為拉就是對應(yīng)點上的函數(shù)值。這種形式的插值稱作為拉格朗日（格朗日（Lagran

5、ge）插值。）插值。 2.n=2的情況的情況 線性插值只利用兩對值線性插值只利用兩對值(x0,y0)及及(x1,y1)求得求得y=f(x)的近似值，誤差較大。的近似值，誤差較大。 p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2 p2(x)是是x的二次函數(shù)，稱為二次插值多項式。的二次函數(shù)，稱為二次插值多項式。通過三點的插值問題稱為二次插值或拋物插值。通過三點的插值問題稱為二次插值或拋物插值。3.一般情況一般情況我們看到，兩個插值點可求出一次插值多項我們看到，兩個插值點可求出一次插值多項式式p1(x)，而三個插值點可求出二次插值多項式，而三個插值點可求出二次插值多項式p2(x)。當(dāng)插值

6、點增加到當(dāng)插值點增加到n+1個時，我們可以利用個時，我們可以利用Lagrange插值方法寫出插值方法寫出n次插值多項次插值多項式式pn(x)，如下所示：，如下所示：knknknkjjjkjkknyxxxxxlyxp)()()(000 1.2 牛頓插值公式牛頓插值公式 xf(x)一階差商一階差商二階差商二階差商三階差商三階差商x0f(x0)x1f(x1)f(x0,x1)x2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)差商表差商表Newton插值算法如下：插值算法如下：inputx,(xi,yi),i=0,1,n。

7、y=y0,t=1。forj=1,n dot=t*(x-xj-1) for i=0,n-j doend y=y+y0*t endoutput (x,y),(xi,yi),i=0,1,n。 iijiixxyyyi1 Newton插值算法中的插值算法中的j循環(huán)由循環(huán)由三部分組成：計算三部分組成：計算(x-xj)的累積，存的累積，存入入t單元；內(nèi)套一個單元；內(nèi)套一個i循環(huán)用來依次計循環(huán)用來依次計算差商表中的各階差商，存入算差商表中的各階差商，存入yi單元；單元；y單元用于存放單元用于存放Newton公式中各項累公式中各項累加之和。加之和。 例例3 已知已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1，求

8、，求f(x)的的Newton插值多項式。插值多項式。解：解： 設(shè)設(shè)x0=-1,x1=1,x2=2, 則則 21) 1(121),(010110 xxyyxxf01211),(121221xxyyxxf61) 122/ 1(0),(),(),(021021210（）xxxxfxxfxxxf1.3 埃特金插值公式埃特金插值公式 埃特金埃特金( (Aitken) )插值公式插值公式( (以下統(tǒng)稱以下統(tǒng)稱為為Aitken插值公式插值公式) )的構(gòu)造是基于這樣的的構(gòu)造是基于這樣的直觀想象：平面上的兩個點可以連成一直觀想象：平面上的兩個點可以連成一條直線條直線, , 對應(yīng)一個線性函數(shù)；把線性函對應(yīng)一個線性

9、函數(shù)；把線性函數(shù)看作形式點數(shù)看作形式點, , 經(jīng)線性組合經(jīng)線性組合, , 可構(gòu)成二可構(gòu)成二次函數(shù)；把二次函數(shù)再看作形式點次函數(shù)；把二次函數(shù)再看作形式點, 經(jīng)線經(jīng)線性組合性組合, 可構(gòu)成三次函數(shù)?？蓸?gòu)成三次函數(shù)。 xf(x)x0f(x0)x1f(x1)P0,1(x)x2f(x2)P0,2(x)P0,1,2(x)x3f(x3)P0,3(x)P0,1,3(x)P0,1,2,3(x)Aitken 插值表插值表從從Aitken插值公式向算法轉(zhuǎn)化要插值公式向算法轉(zhuǎn)化要考慮的問題是：考慮的問題是：(1) 插值公式右端插值公式右端n-1次多項式應(yīng)次多項式應(yīng)如何處理；如何處理；(2) 插值表中的元素應(yīng)設(shè)置多少插

10、值表中的元素應(yīng)設(shè)置多少個存儲單元；個存儲單元；(3) 插值表中第插值表中第k列第列第i行元素的行元素的計算公式。計算公式。 Aitken插值算法如下：插值算法如下：input x,(xi,yi),i=0,1,n 1 kL：for i=k,k+1,n doendifknthen k+1 k, go to Lifk=n,output yn n 1ikkikikyxxxxyyy)(1111Aitken插值算法為二重循環(huán)。外循插值算法為二重循環(huán)。外循環(huán)為環(huán)為k循環(huán)，用于計算循環(huán)，用于計算Aitken插值表中插值表中的第的第k列；內(nèi)循環(huán)列；內(nèi)循環(huán)為為i循環(huán)，用于計算循環(huán)，用于計算Aitken插值表中的第

11、插值表中的第k列中的第列中的第i個元素。個元素。 例例4已知已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1,求求f(x)的的Aitken插值多項式。插值多項式。 解：設(shè)解：設(shè)x0=-1,x1=1,x2=2 23211111112)(1 , 0 xxxxp3512112122)(2,0 xxxxp) 83(61)(121)(212)(22 , 01 , 02 , 1 , 0 xxxpxxpxxpxf(x)-121121232x)832(61 xx35x例例4的的Aitken插值表插值表1.4 存在惟一性定理存在惟一性定理 Lagrange插值公式、插值公式、Newton和和Aitken插值插值多

12、項式是同一個函數(shù)。事實上多項式是同一個函數(shù)。事實上, 我們有以下一個我們有以下一個定理。定理。 定理定理1 有惟一的有惟一的n次多項式次多項式pn(x)，滿足條件：，滿足條件： pn(xi)=yi(i=0,1,n)（1.3） 1.5 插值余項插值余項 定理定理2 若若f(x)在包含著插值節(jié)點在包含著插值節(jié)點x0,x1,xn的的區(qū)間區(qū)間a,b上上n+1次可微分次可微分, 則對任意則對任意x,xa,b,有與有與x有關(guān)的有關(guān)的(ab)存在存在, 使得使得 其中其中(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)。 )()!1()()()();()1(nnfnxxpxfxfE 例例 設(shè)設(shè)f(x)=lnx,

13、 并假定已給出值表試近并假定已給出值表試近似計算似計算ln(0.6)的值，并指出精度。的值，并指出精度。 解：利用解：利用3次次Lagrange 插值公式插值公式, 簡單計算過簡單計算過程如下：程如下： 值表值表x0.40.50.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.356675-0.22314400391. 0)4 .234)(0004. 0(241)6 . 0 ;E4 .234)4 . 0/(6)(max,/6509975. 0)8 . 0(l61)7 . 0ln(32)5 . 0ln(32)4 . 0ln(61)6 . 0ln(61)6 . 0(),7 . 0)(5 .

14、 0)(4 . 0(012. 01)(32)6 . 0(),8 . 0)(5 . 0)(4 . 0(006. 01)(32)6 . 0(),8 . 0)(7 . 0)(4 . 0(006. 01)(61)6 . 0(),8 . 0)(7 . 0)(5 . 0(012. 01)(4)4(8 . 0, 4 . 04)4(33221100fxfxfnlxxxxllxxxxllxxxxllxxxxl（從而可得。所以又因為 綜合上述綜合上述, 我們有我們有真值：真值：ln(0.6)=-0.510826，近似值：近似值：p3(0.6)=-0.509975， 真誤差：真誤差：ln(0.6)-p3(0.6)=

15、-0.000851，估計的上界：估計的上界：|ln(0.6)-p3(0.6)| 0.00391 例例 給定給定 (x-5,5)。取等距節(jié)點取等距節(jié)點xi=-5+i(i=0,1,10), 試建立插值多項式試建立插值多項式L10(x), 并作圖形并作圖形, 觀察觀察L10(x)對對f(x)的逼近效果。的逼近效果。 211)(xxf所示。畫出的圖形如圖解：31)()()()()()()()()()(101101011010010 xxxxxxxxxxxxxxxxxlxlxfxLiiiiiiiiiiii圖圖1-3 例例6的圖形的圖形1.6 分段三次埃爾米特插值分段三次埃爾米特插值 為了避免為了避免Ru

16、nge現(xiàn)象的發(fā)生現(xiàn)象的發(fā)生, 我們很自我們很自然地會想到把區(qū)間然地會想到把區(qū)間-5, 5等分為等分為10個小區(qū)個小區(qū)間間, 在每一個小區(qū)間內(nèi)應(yīng)用低次插值。但由在每一個小區(qū)間內(nèi)應(yīng)用低次插值。但由于每個小區(qū)間只有兩個端點（插值節(jié)點）于每個小區(qū)間只有兩個端點（插值節(jié)點）, 按照我們按照我們已知的方法已知的方法, 得到的將是一個分段得到的將是一個分段線性插值函數(shù)。線性插值函數(shù)。 已知已知xi,f(xi),f(xi)(i=0,1,n),求分段三次插值求分段三次插值函數(shù)函數(shù)H(x)滿足滿足H(xi)=f(xi),H(xi)=f(xi)(i=0,1,n) 為 了 得 到 插 值 函 數(shù)為 了 得 到 插 值

17、 函 數(shù) , 考 慮 任 意 子 區(qū) 間考 慮 任 意 子 區(qū) 間xi,xi+1,i(0,1,n-1), 采用采用Lagrange插值函數(shù)插值函數(shù)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu), 在第在第i個子區(qū)間上個子區(qū)間上H(x)=f(xi)h1(x)+f(xi+1)h2(x)+f(xi)h3(x)+f(xi+1)h4(x) 這樣，就把這樣，就把H(x)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為四個插值的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為四個插值基函數(shù)基函數(shù)hk(x)(k=1,2,3,4)的構(gòu)造問題。的構(gòu)造問題。 1.7 三次樣條插值三次樣條插值 “樣條樣條”這個詞本來是指在飛機或輪船設(shè)計這個詞本來是指在飛機或輪船設(shè)計過程中為了描繪出光滑的外形曲線所用的一過程中為了描繪出

18、光滑的外形曲線所用的一種工種工具，即一個具有彈性的細(xì)長木條。具，即一個具有彈性的細(xì)長木條。事實上，在作事實上，在作了某些近似簡化后，樣條的數(shù)學(xué)模型并不復(fù)雜，了某些近似簡化后，樣條的數(shù)學(xué)模型并不復(fù)雜，它只是分段的三次多項式曲線：在相鄰兩塊壓鐵它只是分段的三次多項式曲線：在相鄰兩塊壓鐵之間是三次多項式曲線；在壓鐵處，之間是三次多項式曲線；在壓鐵處，左右兩段曲左右兩段曲線的切線和曲率是連續(xù)的。線的切線和曲率是連續(xù)的。 定義定義 給定給定a,b的分劃：的分劃：a=x0 0 x1 1xn n=b, 如果函數(shù)如果函數(shù)s(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上滿足以下條件：上滿足以下條件： （1）在每一個子區(qū)間（）在每一

19、個子區(qū)間（xi i,xi+1i+1）(i=0,1,n-1) 上上s(x)是三次多項式；是三次多項式； （2） s(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)； （3）s(xi i)=yi i(i=0,1,n),s(x0 0)=y0,s(xn n)=yn n。我我們就稱們就稱s(x)為三次樣條函數(shù)。為三次樣條函數(shù)。 1.8 應(yīng)用實例應(yīng)用實例 例例9 要在程控銑床上加工直升飛機的旋要在程控銑床上加工直升飛機的旋轉(zhuǎn)機翼，外形的截面形狀見圖轉(zhuǎn)機翼，外形的截面形狀見圖1-4。外形頭部有。外形頭部有一 段 圓 弧一 段 圓 弧 B1B2， 圓 的 半 徑， 圓 的 半 徑 R=6.92mm，tan=0.305,B1,B2的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為B1(0.52,5.288)，B2(2.6,-3.615)，截面上輪廓線，截面上輪廓線18個點的坐標(biāo)如個點的坐標(biāo)如表表1-8所示。旋轉(zhuǎn)機翼外形截面圖如圖所示。旋轉(zhuǎn)機翼外形截面圖如圖