洛倫茲變換的詳細(xì)推導(dǎo)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第三節(jié) 洛倫茲變換式教學(xué)內(nèi)容：1. 洛倫茲變換式的推導(dǎo)；2. 狹義相對(duì)論的時(shí)空觀：同時(shí)性的相對(duì)性、長(zhǎng)度的收縮和時(shí)間的延緩；重點(diǎn)難點(diǎn)：狹義相對(duì)論時(shí)空觀的主要結(jié)論?；疽螅?. 了解洛倫茲坐標(biāo)變換和速度變換的推導(dǎo)；2. 了解狹義相對(duì)論中同時(shí)性的相對(duì)性以及長(zhǎng)度收縮和時(shí)間延緩概念；3. 理解牛頓力學(xué)中的時(shí)空觀和狹義相對(duì)論中的時(shí)空觀以及兩者的差異。三、洛倫茲坐標(biāo)變換的推導(dǎo) 或 據(jù)狹義相對(duì)論的兩個(gè)基本假設(shè)來(lái)推導(dǎo)洛侖茲變換式。1. 時(shí)空坐標(biāo)間的變換關(guān)系作為一條公設(shè)，我們認(rèn)為時(shí)間和空間都是均勻的，因此時(shí)空坐標(biāo)間的變換必須是線性的。對(duì)于任意事件P在S系和S'系中的時(shí)空坐標(biāo)(x

2、，y，z，t)、(x'，y'，z'，t')，因S' 相對(duì)于S以平行于 x軸的速度v作勻速運(yùn)動(dòng)，顯然有y'=y, z'=z。在S系中觀察S系的原點(diǎn)，x=0；在S'系中觀察該點(diǎn)，x'=-vt'，即x'+vt'=0。因此x=x '+vt'。在任意的一個(gè)空間點(diǎn)上，可以設(shè)：x=k（x '+vt'），k是比例常數(shù)。同樣地可得到：x'=k'（x-vt）= k'（x+(-v)t）根據(jù)相對(duì)性原理，慣性系S系和S'系等價(jià)，上面兩個(gè)等式的形式就應(yīng)該相同（除正

3、、負(fù)號(hào)），所以k=k'。2. 由光速不變?cè)砜汕蟪龀?shù)k    設(shè)光信號(hào)在S系和S'系的原點(diǎn)重合的瞬時(shí)從重合點(diǎn)沿x軸前進(jìn)，那么在任一瞬時(shí)t（或t'），光信號(hào)到達(dá)點(diǎn)在S系和S'系中的坐標(biāo)分別是：x=ct, x'=ct'，則：由此得到。這樣，就得到，。由上面二式，消去x'得到；若消去x得到，綜合以上結(jié)果，就得到 洛侖茲變換， 或 洛侖茲反變換 可見(jiàn)洛侖茲變換是兩條基本原理的直接結(jié)果。 3. 討論（1）可以證明，在洛侖茲變換下，麥克斯韋方程組是不變的，而牛頓力學(xué)定律則要改變。故麥克斯韋方程組能夠用來(lái)描述高

4、速運(yùn)動(dòng)的電磁現(xiàn)象，而牛頓力學(xué)不適用描述高速現(xiàn)象，故它有一定的適用范圍。（2）當(dāng)|v/c|<<1時(shí)，洛侖茲變換就成為伽利略變換，亦即后者是前者在低速下的極限情形。故牛頓力學(xué)僅是相對(duì)論力學(xué)的特殊情形低速極限。四、相對(duì)論速度變換公式洛侖茲變換是事件的時(shí)空坐標(biāo)在不同慣性系之間的關(guān)系，根據(jù)洛侖茲變換可以得到狹義相對(duì)論的速度變換公式。設(shè)物體在S、S'系中的的速度分別為，根據(jù)洛侖茲變換式可得：因此：，即：因y'=y, z'=z，有dy'=dy, d z'=dz則，即。同理：因此得相對(duì)論的速度變換公式：、其逆變換為：、。討論（1）當(dāng)速度u、v遠(yuǎn)小于光速c時(shí)，

5、即在非相對(duì)論極限下，相對(duì)論的速度變換公式即轉(zhuǎn)化為伽利略速度變換式。（2）利用速度變換公式，可證明光速在任何慣性系中都是c 。證明：設(shè)S'系中觀察者測(cè)得沿x' 方向傳播的一光信號(hào)的光速為c，在S系中的觀察者測(cè)得該光信號(hào)的速度為：，即光信號(hào)在S系和S'系中都相同。第四節(jié) 狹義相對(duì)論的時(shí)空觀一、 一、           同時(shí)的相對(duì)性1. 概念狹義相對(duì)論的時(shí)空觀認(rèn)為：同時(shí)是相對(duì)的。即在一個(gè)慣性系中不同地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，在另一個(gè)慣性系中不一定是同時(shí)的。例如：在地球上不同地方

6、同時(shí)出生的兩個(gè)嬰兒，在一個(gè)相對(duì)地球高速飛行的飛船上來(lái)看，他們不一定是同時(shí)出生的。如圖設(shè)系為一列長(zhǎng)高速列車，速度向右，在車廂正中放置一燈P 。當(dāng)燈發(fā)出閃光時(shí)：系的觀察者認(rèn)為，閃光相對(duì)他以相同速率傳播，因此同時(shí)到達(dá)A、B兩端；S系（地面上）的觀察者認(rèn)為，A與光相向運(yùn)動(dòng)（v、c反向），B與光同向運(yùn)動(dòng)，所以光先到達(dá)A再到達(dá)B，不同時(shí)到達(dá)。結(jié)論：同時(shí)性與參考系有關(guān)這就是同時(shí)的相對(duì)性。假設(shè)兩個(gè)事件P1和P2，在S系和系中測(cè)得其時(shí)空坐標(biāo)為：由洛倫茲變換得：在S系和系中測(cè)得的時(shí)間間隔為和（t2-t1），它們之間的關(guān)系為：可見(jiàn)，兩個(gè)彼此間作勻速運(yùn)動(dòng)的慣性系中測(cè)得的時(shí)間間隔，一般來(lái)說(shuō)是不相等的。2. 討論（1）在

7、S系中同時(shí)發(fā)生：t2=t1，但在不同地點(diǎn)發(fā)生，則有：這就是同時(shí)的相對(duì)性。（2）在S系中同時(shí)發(fā)生：t2=t1，而且在相同地點(diǎn)發(fā)生，則有： 即在S系中同時(shí)同地點(diǎn)發(fā)生的兩個(gè)事件，在S系中也同時(shí)同地點(diǎn)發(fā)生。（3）事件的因果關(guān)系不會(huì)顛倒，如人出生的先后假設(shè)在S系中，t時(shí)刻在x處的質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)時(shí)間后到達(dá)處，則由：得到因?yàn)関c，uc，所以與t同號(hào)。即事件的因果關(guān)系，相互順序不會(huì)顛倒。（4）上述情況是相對(duì)的。同理在S系中不同地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，在S系看來(lái)同樣也是不同時(shí)的。（5）當(dāng)時(shí)，回到牛頓力學(xué)。二、長(zhǎng)度收縮（洛倫茲收縮） 假設(shè)一剛性棒AB靜止于S系中，在S系中同時(shí)測(cè)量得。由洛倫茲坐標(biāo)變換式：得：即 1. 固

8、有長(zhǎng)度觀察者與被測(cè)物體相對(duì)靜止時(shí)，長(zhǎng)度的測(cè)量值最大，稱為該物體的固有長(zhǎng)度（或原長(zhǎng)），用l0表示。即2. 洛倫茲收縮（長(zhǎng)度縮短）觀察者與被測(cè)物體有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)度的測(cè)量值等于其原長(zhǎng)的倍，即物體沿運(yùn)動(dòng)方向縮短了，這就是洛倫茲收縮（長(zhǎng)度縮短）。討論：（1）長(zhǎng)度縮短效應(yīng)具有相對(duì)性。若在S系中有一靜止物體，那么在系中觀察者將同時(shí)測(cè)量得該物體的長(zhǎng)度沿運(yùn)動(dòng)方向縮短，同理有即看人家運(yùn)動(dòng)著的尺子變短了。（2）當(dāng)v<<c時(shí)，有三、時(shí)間膨脹（時(shí)間延緩）由洛倫茲變換得，事件P1、P2在S系中的時(shí)間間隔為，事件P1、P2在S系中的時(shí)間間隔為。如果在S系中兩事件同地點(diǎn)發(fā)生，即，則有：1. 固有時(shí)間（原時(shí)）的概

9、念在某一慣性系中同一地點(diǎn)先后發(fā)生的兩事件之間的時(shí)間間隔，叫固有時(shí)間（原時(shí)）。用表示，且：。2. 時(shí)間膨脹在S系看來(lái)：，稱為時(shí)間膨脹。3. 討論（1）時(shí)間膨脹效應(yīng)具有相對(duì)性。若在S系中同一地點(diǎn)先后發(fā)生兩事件的時(shí)間間隔為t（稱為原時(shí)），則同理有就好象時(shí)鐘變慢了，即看人家運(yùn)動(dòng)著的鐘變慢了。（2）當(dāng)vc時(shí)，有（3）實(shí)驗(yàn)已證實(shí)子，介子等基本粒子的衰變，當(dāng)它們相對(duì)實(shí)驗(yàn)室靜止和高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其壽命完全不同。例1: 在慣性系S中，有兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，在軸上相距處，從另一慣性系S中觀察到這兩個(gè)事件相距。問(wèn)由S系測(cè)得此兩事件的時(shí)間間隔為多少？ 解：由題意知，在S系中，即，。而在S系看來(lái)，時(shí)間間隔為，空間間隔為。由洛倫茲坐標(biāo)變換式得：由（1）式得代入（2）式得 例2: 半人馬星座星是離太陽(yáng)系最近的恒星，它距地球