大學高等數(shù)學_13多元函數(shù)微分法及其應用_偏導數(shù)_全微分

1、推廣推廣第八章第八章 一元函數(shù)微分學一元函數(shù)微分學 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應用及其應用 第八章 第一節(jié)第一節(jié)一、區(qū)域一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 )(0oPPU00 PP一、一、 區(qū)域區(qū)域1. 鄰域鄰域點集, ) ,(0PPU稱為點 P0 的 鄰域鄰域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圓鄰域)在空間中, ),(),(0zy

2、xPU(球鄰域)說明：說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成. )(0PU點 P0 的去心鄰域去心鄰域記為0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為 ),() ,U(0yxP。0P因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.,0 xx0 yy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 區(qū)域區(qū)域(1) 內(nèi)點、外點、邊界點設有點集 E 及一點 P : 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點 P 的任一任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點也含 EE

3、則稱 P 為 E 的內(nèi)點內(nèi)點；則稱 P 為 E 的外點外點 ;則稱 P 為 E 的邊界點邊界點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 的外點 ,顯然, E 的內(nèi)點必屬于 E , E 的外點必不屬于 E , E 的邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E . (2) 聚點聚點若對任意給定的 , ,點P 的去心機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ) ,(PUE鄰域內(nèi)總有E 中的點 , 則稱 P 是 E 的聚點聚點.聚點可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因為聚點可以為 所有聚點所成的點集成為 E 的導集導集 .E 的邊界點 )D(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域 若點集 E 的點都是內(nèi)點，則稱 E 為開集；

4、若點集 E E , 則稱 E 為閉集； 若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 。 。 E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開區(qū)域閉區(qū)域機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyo21xyoxyoxyo21 整個平面 點集 1),(xyx是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域；但非區(qū)域 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 11oxy

5、對區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點 PD 與某定點 A 的距離 AP K , 則稱 D 為有界域有界域 , 界域界域 .否則稱為無無3. n 維空間維空間n 元有序數(shù)組),(21nxxx),(21nxxx的全體稱為 n 維空間維空間,Rnn 維空間中的每一個元素稱為空間中的kx數(shù)稱為該點的第 k 個坐標坐標 .記作即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 RRRRnnkxxxxkn,2, 1,R),(21一個點點, 當所有坐標時，0kx稱該元素為 nR中的零元,記作 O .的距離距離記作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中點 a 的 鄰域鄰域為),(21nyyyy與點)

6、,(,R),(axxxaUn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(R21nnxxxx中的點,),(yxyx或規(guī)定為 ),(R21nnxxxx中的點與零元 O 的距離為22221nxxxx.,3, 2, 1xxn通常記作時當0Raxaxn滿足與定元中的變元. ax 記作nR二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強 三角形面積的海倫公式,2hrV,(為常數(shù)）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappS機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 hr定義定義

7、1. 設非空點集,RnD DPPfu, )(或點集 D 稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集DP,Pfuu)(稱為函數(shù)的值域值域 .特別地 , 當 n = 2 時, 有二元函數(shù)2R),(),(Dyxyxfz當 n = 3 時, 有三元函數(shù)3R),(),(Dzyxzyxfu映射R:Df稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作),(21nxxxfu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xzy例如, 二元函數(shù)221yxz定義域為1),(22 yxyx圓域說明說明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點的上半球面., )sin(,yxz 又如機動 目錄 上頁 下頁

8、返回 結束 的圖形一般為空間曲面 .12R),(yx三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域為1),(222zyxzyx圖形為4R空間中的超曲面.單位閉球xyzo三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限定義定義2. 設 n 元函數(shù),R),(nDPPf點 , ) ,(0PUDP,-)(APf則稱 A 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當 n =2 時, 記20200)()(yyxxPP二元函數(shù)的極限可寫作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常數(shù) A ,對一記作，時的極限當0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對任意正數(shù)

9、 , 總存在正數(shù) ,切例例1. 設)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求證：.0),(lim00yxfyx證證:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,0 0),( yxf,022時當yx22yx 222yx , 總有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 要證 例例2. 設0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求證：.0),(lim00yxfyx證：證：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 時，當022yxxyyx11sinsin總有 2 要證機動 目錄 上頁 下頁 返回

10、結束 若當點),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設 P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點 (0, 0) 的極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則有21kkk 值不同極限不同值不同極限不同 !在 (0,0) 點極限不存在 .以不同方式趨于,),(000時yxP不存在 .例例3. 討論函數(shù)函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而

11、620)cos1 (4limrrr此函數(shù)定義域不包括 x , y 軸,222yxr令則62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r22r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 僅知其中一個存在,推不出其它二者存在. 二重極限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它們都存在, 則三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)點二重極限不存在 .例

12、3 目錄 上頁 下頁 返回 結束 四四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3 . 設 n 元函數(shù))(Pf定義在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在點如果函數(shù)在 D 上各點處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上,0DP 聚點如果存在否則稱為不連續(xù),0P此時稱為間斷點 .則稱 n 元函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 連續(xù).連續(xù), 例如例如, 函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(0 , 0) 極限不存在, 又如又如, 函數(shù)11),(22yxyxf上間斷.122 yx 故 ( 0, 0 )為其間斷點.在圓周機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 結論結論

13、: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).定理定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm* (4) f (P) 必在D 上一致連續(xù) .;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致連續(xù)性定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略) .11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx

14、4222yx例例6. 求函數(shù)的連續(xù)域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2oyx2內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 區(qū)域 鄰域 :, ) ,(0PU) ,(0PU 區(qū)域連通的開集 空間nR2. 多元函數(shù)概念n 元函數(shù)),(21nxxxf常用二元函數(shù) (圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)DP)(Pfu nR機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 APfPP)(lim0,0 ,0 時，當00 PP有)( APf3. 多元函數(shù)的極限4. 多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理 ;最值定理 ; 介

15、值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P11 題 2; 4; 5 (3), (5) ( 畫圖 ) ; 8P72 題 3; 4機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習解答提示解答提示: :P11 題 2. ),(),(2yxftytxtf稱為二次齊次函數(shù) .P11 題 4.xyxyxyxyxyxyxf2)()(),(P11 題 5(3).定義域 0:yyxDP11 題 5(5).定義域22222:RzyxrD2xy DyxoRxyoDr機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P12 題 8.間斷點集02),(2 xyyxP72 題 3.定義域104:222yxxyD240422

16、001limlimxkxkyxyxxyx)0,21(),(lim021fyxfyx43ln2P72 題 4. 令 y= k x ，0若令xy 42200limyxyxyx212202limxxxDxy42yx1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 , 則 可見極限不存在 作業(yè)作業(yè)P11 5 (2), (4), (6) 6 (2), (3), (5), (6) 7，9 , 10第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題1. 設,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv )

17、,(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1 .設,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 yxyxxx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,12.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解解：xxy取所以極限不存在.333,0,)1ln(yxyx利用yxxyxyx)1ln(lim00機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 證明),(yxf

18、)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù) , 故連續(xù).又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準則得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第二節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一、 偏導數(shù)概念及其計算偏導數(shù)概念及其計算二二 、高階偏導數(shù)、高階偏導數(shù) 偏 導 數(shù) 第八章 一、一、 偏導數(shù)定義及其計算法偏導數(shù)定義及其計算法引例引例:研究弦在點 x0 處的振動速度與加速度 , 就是),(txu0 xox

19、u中的 x 固定于求一階導數(shù)與二階導數(shù).),(txux0 處,),(0txu),(0txu關于 t 的機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 將振幅定義定義1.),(yxfz 在點), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz對在點),(),(00的偏導數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi);),(00yxxfxx00 x則稱此極限為函數(shù)極限設函數(shù))(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0

20、xxyxfx),(00yxfx注意注意:0),(dd0yyyxfy同樣可定義對 y 的偏導數(shù) lim0y),(00yxfy若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點 ( x , y ) 處對 x,xzxfxz則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù), 也簡稱為偏導數(shù)偏導數(shù) ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 或 y 偏導數(shù)存在 ,yzyfyz),(zyxfx例如例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點 (x , y , z) 處對 x 的偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上

21、的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 偏導數(shù)定義為(請自己寫出)二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線0),(xxyxfzyTM0在點 M0 處的切線對 x 軸的斜率.在點M0 處的切線斜率.是曲線yxz0 xyToxT0y0M機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對 y 軸的函數(shù)在某點各偏導數(shù)都存在,顯然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)

22、0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：但在該點不一定連續(xù)不一定連續(xù).上節(jié)例 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在上節(jié)已證 f (x , y) 在點(0 , 0)并不連續(xù)!例例1 . 求223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在點(1 , 2) 處的偏導數(shù).) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 設，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:

23、xzyzxxzyxln1 例例3. 求222zyxr的偏導數(shù) . (P14 例4)解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 偏導數(shù)記號是一個例例4. 已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:1pTTVVpTRVp證證:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp說明說明:(R 為常數(shù)) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子與分母的商 !此例表明,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 整體記號,二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)設 z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導數(shù)),(, ),(yxfy

24、zyxfxzyx若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導數(shù) . 按求導順序不同, 有下列四個二階偏導22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 數(shù):類似可以定義更高階的偏導數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關于 x 的三階偏導數(shù)為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關于 x 的 n 1 階偏導數(shù) , 再關于 y 的一階) (yyxznn1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 偏導數(shù)為11nnxzyx

25、e22例例5. 求函數(shù)yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處,22xyzyxz但這一結論并不總成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 的二階偏導數(shù)及 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224y

26、xyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,),()()(00連續(xù)都在點和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則證明 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理.例如例如,

27、對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明說明:本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導數(shù)可以選擇方便的求導順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù) ,當三階混合偏導數(shù)在點 (x , y , z) 連續(xù)連續(xù)時, 有而初等(證明略) 證證: :令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx則),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yxy

28、yxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00連續(xù)都在點和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則)()(00 xxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理.令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同樣)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在點)(00y

29、x ，連續(xù),得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0y內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 偏導數(shù)的概念及有關結論 定義; 記號; 幾何意義 函數(shù)在一點偏導數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù) 混合偏導數(shù)連續(xù)與求導順序無關2. 偏導數(shù)的計算方法 求一點處偏導數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導數(shù)的方法逐次求導法(與求導順序無關時, 應選擇方便的求導順序)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習解答提示: P73 題 5，時當022 yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy,022 yx當0)0 ,(dd)0 , 0(xxfxfx0), 0(dd)0 , 0(yyfyfy00P7

30、3 題 5 , 62223)(2yxyx222222)()(yxyxx即 xy0 時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P73 題6(1),12yxxz22yxyyz,)(12222yxxz,)(2222yxyyxz22222)()(2yxyxyz(2),1yxyxzxxyzyln,) 1(2 .22yxyyxzxxyxyxzyyln1 .12xxyzy222ln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè)作業(yè)P18 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2）第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,)(xuuf備用題備用題 設, )(ufz 方程)(uuxytdtp

31、 )(確定 u 是 x , y 的函數(shù) ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp連續(xù), 且, 1)( u求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第八章 *二、全微分在數(shù)值計算中的應用二、全微分在數(shù)值計算中的應用 應用 第三節(jié)一元函數(shù) y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似計算估計誤差機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義、全微分的定義 全微分一、

32、全微分的定義、全微分的定義 定義定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關，yBxA稱為函數(shù)),(yxf在點 (x, y) 的全微分全微分, 記作yBxAfz dd若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微,22)()(yx則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點( x, y) 可微可微，機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 處全增量則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.(2) 偏導數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個定理給

33、出了可微與偏導數(shù)的關系:(1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx由微分定義 :得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 偏導數(shù)存在 函數(shù)可微 即定理定理1 1(必要條件)若函數(shù) z = f (x, y) 在點(x, y) 可微可微 ,則該函數(shù)在該點偏導數(shù)yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同樣可證,Byzyyzxxzzd證證: 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到對 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA機動 目錄 上頁 下頁 返回

34、結束 反例反例: 函數(shù)),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函數(shù)在點 (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏導數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(yyxxf定理定理2 (充分條件)yzxz,證證：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(若函數(shù))

35、,(yxfz 的偏導數(shù),),(連續(xù)在點yx則函數(shù)在該點可微分.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0lim00yx,0lim00yxzyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函數(shù)),(yxfz ),(yxyx在點可微.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0lim00yx,0lim00yx注意到, 故有)(oxxu推廣推廣: 類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如, 三元函數(shù)),(zyxfu ud習慣上把自變量的增量用微分表示,ud記作uxd故有下述疊加原理uuuuzyxdddd稱為偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分為yyuzzu

36、于是機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 uuuzyxd,d,d例例1. 計算函數(shù)在點 (2,1) 處的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例2. 計算函數(shù)的全微分. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 可知當*二、全微分在數(shù)值計算中的應用二、全微分在數(shù)值計算中的應用1. 近似計算近似計算由全微分定義xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(

37、較小時,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (可用于近似計算; 誤差分析) (可用于近似計算) 半徑由 20cm 增大解解: 已知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受壓后圓柱體體積減少了 .cm2003例例3. 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到 20.05cm , 則 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由100cm 減少到 99cm ,體積的近似改變量. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求此圓柱體例例4.4.計算的近似值. 02. 204. 1解解: 設yxyxf),(,

38、則),(yxfx取, 2, 1yx則)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 分別表示 x , y , z 的絕對誤差界,2. 誤差估計誤差估計利用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令z 的絕對誤差界約為yyxxzyxfyxf),(),(z 的相對誤差界約為yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則特別注意特別注意時，yxz ) 1 (yx

39、zyxz,)2(時xyz yxyx類似可以推廣到三元及三元以上的情形.xzz )(2xyyxy x1yx乘除后的結果相對誤差變大很小的數(shù)不能做除數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求計算面積時的絕對誤差與相對誤差.解：解：aSaSaCbsin211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba13. 0S故絕對誤差約為又CbaSsin21所以 S 的相對誤差約為SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513. 0%5 . 0計算

40、三角形面積.現(xiàn)測得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 bbSccS例例6 6.在直流電路中, 測得電壓 U = 24 伏 ,解解: 由歐姆定律可知4624IUR( 歐)所以 R 的相對誤差約為IURIUR0.3 + 0.5 R 的絕對誤差約為 RR0.8 0.3;定律計算電阻 R 時產(chǎn)生的相對誤差和絕對誤差 .相對誤差為 測得電流 I = 6安, 相對誤差為 0.5 ,= 0.032 ( 歐 )= 0.8 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求用歐姆內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 微分定義:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關系:)( o函數(shù)可導函數(shù)可導函數(shù)可微函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 微分應用 近似計算 估計誤差zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(絕對誤差相對誤差),(yxfyyxxzyxfyxf),(),(yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. P72 題 1 (