譚繼錦有限元法31概述

1、第3章 連續(xù)體問題的有限元法1第三章 連續(xù)體問題的有限元法本次課主要講解平面問題有限元法的概念。單元位移模式、單元應(yīng)變應(yīng)力、單元剛度矩陣、單元節(jié)點載荷、總剛度矩陣、邊界約束條件、解題步驟、計算結(jié)果處理等內(nèi)容。第3章 連續(xù)體問題的有限元法2第一節(jié) 概述 從幾何角度看，結(jié)構(gòu)可以分為以下三類：桿梁結(jié)構(gòu)、板殼結(jié)構(gòu)、實體結(jié)構(gòu)。桿梁結(jié)構(gòu)自身存在自然連接關(guān)系，即在共同連接處，有公共節(jié)點，桿梁結(jié)構(gòu)的離散可以按其結(jié)構(gòu)形式自然離散。 連續(xù)體由于內(nèi)部沒有自然的連接關(guān)系，需要通過人工的方法在連續(xù)體內(nèi)部和邊界上劃分節(jié)點離散，以分片連續(xù)形式來逼近原來復(fù)雜的幾何形狀。途安轎車解剖結(jié)構(gòu)重汽車橋第3章 連續(xù)體問題的有限元法3理

2、論力學(xué)：物體或機械運動的基本規(guī)律。材料、彈性、板殼力學(xué)則研究強度、剛度、穩(wěn)定性問題。 彈性力學(xué)經(jīng)典方法解決實際問題的主要困難在于求解偏微分方程的復(fù)雜性。 有限元法則將原來連續(xù)的彈性體劃分成有限個單元集合體且彼此只在有限個點連接，因此這個集合體只有有限個自由度。 目前廣泛應(yīng)用的有限元法是取節(jié)點位移作為基本未知量，因此實際上是有限元位移法。單元中任一點的位移可通過節(jié)點的位移進行插值計算。第3章 連續(xù)體問題的有限元法4通過節(jié)點位移表示單元中的應(yīng)變、應(yīng)力和節(jié)點力，將各個單元整體組集，問題歸結(jié)為求解以節(jié)點位移為未知量的線性代數(shù)方程組。整個有限元分析的關(guān)鍵步驟是離散化，單元分析和整體組集。 平面問題中最簡

3、單的就是采用三角形單元對彈性體進行分析，單元中任一點的的位移可用3個節(jié)點的位移進行插值運算，整個區(qū)域采用有限個節(jié)點表示，從而避免求解整個區(qū)域位移函數(shù)的困難。第3章 連續(xù)體問題的有限元法5圖3-1 平面問題中的三角形三節(jié)點單元和四邊形四節(jié)點單元圖3-3 任意三角形單元第3章 連續(xù)體問題的有限元法影響有限元解的誤差：1）離散誤差 2）位移函數(shù)誤差收斂準(zhǔn)則：1）位移函數(shù)必須包括常量應(yīng)變（即線性項）；2）位移函數(shù)必須包括單元的剛性位移（即常量項）；3）位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)（連續(xù)性條件）；4）位移函數(shù)應(yīng)使得相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)（協(xié)調(diào)性條件）；注：滿足四個條件的位移函數(shù)構(gòu)成的單元稱為協(xié)調(diào)元；滿足前三

4、個條件的單元稱為非協(xié)調(diào)元；滿足前兩個條件的單元稱為完備元。有限元法的收斂準(zhǔn)則第3章 連續(xù)體問題的有限元法7 一任意三角形單元如圖3-3所示。其各頂點為節(jié)點，每個節(jié)點在平面內(nèi)沿X軸和Y軸的位移為u、v，單元共3個節(jié)點,6個位移分量，單元內(nèi)任一點的位移u(x,y),v(x,y)可假設(shè)為坐標(biāo)x、y的某種系數(shù)，即選用適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)也稱為位移模式。 一種簡單的線性位移函數(shù)為：123456uxyvxy（3-1）126,., 是6個待定常數(shù)，可由單元的節(jié)點位移確定第二節(jié) 平面三角形常應(yīng)變單元位移模式圖3-3三角形單元第3章 連續(xù)體問題的有限元法8節(jié)點的坐標(biāo)為（xi,yi）、（xj,yj）、（xm,ym）其節(jié)

5、點位移為（ui,vi）、（uj,vj）、（um,vm）將之代入式（3-1）得ui=1+2xi+3yiuj=1+2xj+3yjum=1+2xm+3ymvi=a4+a5xi+a6yivj=a4+a5xj+a6yj vm=a4+a5xm+a6ym聯(lián)立求解上述6個方程，可以求出a1,a2a61231 1 1 iiijjjmmmxyuxyuuxy第3章 連續(xù)體問題的有限元法9123 1 2 1 11 21 1 11 21 iiijjjmmmiijjmmiijjmmuxyuxyAuxyuyuyAuyxuxuAxu第3章 連續(xù)體問題的有限元法10上式中A是三角形單元i,j,m的面積，為保證單元面積為正，要求

6、逆時針編號。1231 ()()()21()()21()()2ijmjmjimmimijjimjjmjijiimimjmmjimmiijjiu x yy xux yx yux yx yAy uy uy uu yu yyuAx ux uxux uxux uA第3章 連續(xù)體問題的有限元法11由（3-1）所示的形函數(shù)，單元內(nèi)任一點（x,y）的位移為：123456uxyvxy1 ()2 () () j mj mjmmjii mm jmimijijj ijijimux yyxxyxyyxyx uAxyx yxyxyyxyx uxyx yxyxyyxyx u 第3章 連續(xù)體問題的有限元法12 ( , ,)

7、3-61()()() (3-4)21()()() (3-5)2ijmjmijmimjiiiijjjjmmmmiiiijjjjmmmmax yy xbyyi j mcxxuabxc y uab xc y uab xc y uAvabxc y vab xc y vab xc y vA按順序替換（）則位移表達式為：令注意：（1）觀察系數(shù)是變量還是常數(shù)；（2）觀察一下是否能求出單元內(nèi)任一點的位移。記作Ni第3章 連續(xù)體問題的有限元法131()21 ()21 () 2iiiijjjjmmmmNab xc yANabxcyANabxcyA如 令Ni表示單元內(nèi)部位移的分布形態(tài)，故Ni,Nj,Nm稱為單元的形

8、狀函數(shù)，簡稱形函數(shù)第3章 連續(xù)體問題的有限元法14單元內(nèi)任一點的插值公式為：iijjmmiijjmmuN uN uN uvN vN vN v(i,j,m) (3-8)將上式寫成矩陣形式為： 0 0 0 0 0 0 iiijmjeijmjmmuvNNNuufNvNNNvuv 第3章 連續(xù)體問題的有限元法15第三節(jié)第三節(jié) 單元應(yīng)變和應(yīng)力單元應(yīng)變和應(yīng)力平面問題幾何方程為： /xyxyuxvyuyvx 平面應(yīng)力問題的物理方程21010100(1)/2xxyyxyxyE第3章 連續(xù)體問題的有限元法16由式（34），得：1/()21/()21/()21/()2iijjmmiijjmmiijjmmiijjm

9、muxbub ub uAvycvc vc vAuycuc uc uAvxbvb vb vA 00010002iixijmjyijmjxyiijjmmmmuvbbbucccvAcbcbcbuv第3章 連續(xù)體問題的有限元法17上式簡記為 (3 12)eB ijmBBBB寫成分塊形式子矩陣010( , ,)2iiiiibBci j mAcb將式（3-12）代入應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系物理方程，得： eeDBS矩陣S可以寫成分塊形式 ijmSDBSSS第3章 連續(xù)體問題的有限元法18對應(yīng)平面應(yīng)變問題，只要把上述式子里 221001100121002( , ,)2(1)11()()22iiiiiiiiiiiibES

10、DBcAcbbcEbci j mAcb2,(1)1EE就得相應(yīng)子矩陣第3章 連續(xù)體問題的有限元法19第四節(jié) 單元平衡方程與單元剛度矩陣結(jié)構(gòu)平衡小單元體平衡，結(jié)構(gòu)的平衡可通過節(jié)點的平衡來表示，有限元的任務(wù)就是建立和求解整個彈性體的節(jié)點位移和節(jié)點力之間關(guān)系的平衡方程。采用虛功原理建立單元的平衡方程：圖3-4 單元節(jié)點力及相應(yīng)應(yīng)力分量圖3-5 單元節(jié)點虛位移示意圖第3章 連續(xù)體問題的有限元法20設(shè)想單元節(jié)點發(fā)生了虛位移 其6個分量組成單元節(jié)點虛位移列陣為：*,ufv * 3-17 Tiijjmmu v u v uv在單元內(nèi)部引起的虛應(yīng)變?yōu)椋? Txyz虛功原理：虛功原理：外力虛功等于內(nèi)力虛功。即節(jié)點

11、力在節(jié)點虛位移上所做的虛功等于單元內(nèi)部應(yīng)力在虛應(yīng)變上做的虛功。第3章 連續(xù)體問題的有限元法21 * 3-19 3-22 TeTeTeTTeTeeTeTeeeeFtdxdytBDBFBDBt dxdyBDB t dxdyKBDB t dxdyFK單元厚度記 則 *eB eB第3章 連續(xù)體問題的有限元法22式（ 3-22 ）建立了單元節(jié)點力與單元位移之間的關(guān)系，通常稱為單元剛度方程。單元剛度矩陣： 3-23 3-24 eTTTieTjijmTmiiijimjijjjmmimjmmKBDB tdxdyBDBt AAdxdyBKBDB BBA tBkkkkkkkkk 式中： 為該單元面積第3章 連續(xù)體

12、問題的有限元法23 222 2 01 0 0 11 1 00 0 2211- 0 0 2 0 0 41TiiiiiiiiiiiiiiiiiKBDBt AbbcEct AcbAAcbbbctEcbA 每個子塊是的矩陣，如：22222 11- 2211 22 4111 22iiiiiiiiiiiiiiiiicbccbbcbcbctEAbcbccb第3章 連續(xù)體問題的有限元法24s22 01 0 0 11 1 00 0 2121- 0 0 2 0 = 0 41ressrrssrrrrssrssbbcEKctAcbAAcbbcbctEbcbA211 2211 22 =4 111 22rrrsrsrsr

13、srrssrsrsrccbb bc cb cc bE tAb cb cc cb b第3章 連續(xù)體問題的有限元法25（1）單元剛度矩陣中每個元素物理意義明確。其物理意義為單位節(jié)點位移分量所引起的節(jié)點力。 表示第n個自由度產(chǎn)生單位位移而其他自由度固定時，在第m個自由度產(chǎn)生的節(jié)點力。（2） 是對稱矩陣。（3） 是奇異矩陣。 在無約束的條件下，單元可作剛體運動。 中諸元素的值取決于單元的位移函數(shù)，單元的幾何參數(shù)（單元的形狀、大小、方位）、單元的材料性質(zhì)(E,)。mnK eK eK eK eK 單元剛度矩陣的性質(zhì)：單元剛度矩陣的性質(zhì)：第3章 連續(xù)體問題的有限元法261. 從幾何角度看，結(jié)構(gòu)可以分為哪幾類？2. 三節(jié)點三角形單元形函數(shù)表達式，系數(shù)bi、ci的計算式。3. 三節(jié)點三角形單元內(nèi)任一點位移的插值公式為？4. 三節(jié)點三角