2018屆高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)高頻考點大突破學(xué)案：專題50雙曲線

1、專題50雙曲線1 雙曲線的定義平面內(nèi)動點與兩個定點Fi,F2(|FIF2|=2C0)的距離差的絕對值等于常數(shù)(小于|FIF2|大于零)，則點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫焦距.集合P = M|MF1|- |MF2| = 2a , |F1F2|=2C,其中 a,C為常數(shù)且 a0,C0:(1) 若 ac 時，則集合 P 為空集.2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程2-2-亠 y-彳2 2= 1a b(a0, b0)2-2-*-餌1(a0, b0)圖形y1ft性質(zhì)范圍x 為或 xWa,yRx R, y a 或 y%對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點Ai(a,0),A

2、2(a,0)A1(0, a), A2(0, a)漸近線,b y= x ay=a0, cb0)高頻考點一雙曲線的定義及應(yīng)用2 2【例 1】設(shè)雙曲線x2-y2= i(a0, b0)的左、右焦點分別為 Fl, F2，離心率為 e,過 F2的直線與雙曲a b線的右支交于 A, B 兩點，若FIAB是以 B 為直角頂點的等腰直角三角形，貝 Ue2=()A.1 + 2 2B.4 2 2C.5 2 2D.3 + 2 22已知 F 是雙曲線 C: x2y= 1 的右焦點，P 是 C 左支上一點，A(0, 6 6)，當(dāng) APF 周長最小時，該三8角形的面積為_解析(1)如團所示，因為出咼一品凡=2ar站-遲尺二

3、M= AF: +恥,所以蟲忌=加，AFi =4a所以貯:=2邁 6 所次戌丘=2邁戊一2乩因為F形：=月丹2+1腫心所以3=(2伍尸+(22a一2疔,和2=5 皿設(shè)左焦點為 F1, |PF|PF1|= 2a = 2, |PF| = 2+ |PFi|, APF 的周長為 AF|+ |AP|+ |PF|= |AF|+ |AP|+ 2+ |PFi|, APF 周長最小即為 |AP|+ |PFi|最小，當(dāng) A, P, F1在一條直線時最小，過 AF1的直線方程為兀 =1.2與 x2y= 1 聯(lián)立，解得 P 點坐標(biāo)為(2, 2,6),8此時 S=AF1F SAF1PF = 12 6.答案 (1)C12

4、6【變式探究】（1）已知雙曲線過點（4， 3），且漸近線方程為1y = x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為5設(shè)橢圓 C1的離心率為 13,焦點在 X 軸上且長軸長為 26,若曲線13C2上的點到橢圓 Cl的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線 C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2 2答案（1）- y2= 1（2） y= 1416 9解析（1）由雙曲線漸近線方程為y= x,可設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2鄉(xiāng)-yj存0）已知該雙曲線過點（4,_42_適），所以（羽）2=入即=1,2故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-y2=1.由題意知橢圓 C1的焦點坐標(biāo)為 F1（ 5,0）, F2（5,0），設(shè)曲線 C2上的一點由雙曲線的定義知

5、：a = 4, b = 3.2故曲線 C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 XP,則 l|PFi|PF2|= 8.【變式探究】（1）設(shè) P 是雙曲線2 2X6缶=1 上一點，F(xiàn)1, F2分別是雙曲線左、右焦點，若|PF1|= 9，則 |PF2|=()C. 1 或 17 D .以上答案均不對2 2已知 F 是雙曲線-y；= 1 的左焦點，A（1 , 4）, P 是雙曲線右支上的動點,412則|PF|+ |PA|的最小值為（）A . 5 B . 5+ 4 .3 C . 7 D . 9解析（1）由雙曲線定義|PFi| |PF2|= 8,又|PFi|= 9,.|PF2|= 1 或 17,但應(yīng)注意雙曲線的右頂點到右焦點 距

6、離最小為 c a= 6 4= 21,. |PF2|= 17.如圖所示， 設(shè)雙曲線的右焦點為 E,則 E （4, 0） .由雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程得 |PF| |PE|= 4,則|PF|+ |PA|= 4+ |PE|+|PA|.由圖可得，當(dāng) A, P, E 三點共線時，（|PE|+ |PA|）min= |AE|= 5,從而 |PF|+ |PA|的最小值高頻考點二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2 2【例 2】（1）（20162 全國n卷）已知 Fi, F2是雙曲線 E :寺-*= 1 的左、右焦點，點 M 在 E 上，MF1與 x1軸垂直，sin/ MF2F1= 1,貝 U E 的離心率為（）3A. ,2B.|

7、 C. 3D.22 2（2）（2016 2 天津卷）已知雙曲線占=1（a0, b 0）的焦距為 2 5，且雙曲線的一條漸近線與直線2x + y=0 垂直，則雙曲線的方程為（）2 2A y2= 1B.x2y= 1442222一 3x 3y3x3yAC -F= 1D. = r-= 1205520解析U）設(shè)FILS0）,將代入雙曲線方程, 得親-豈=1，所琳所以v=.因為sinZ-F=p所以tan厶吋尸制令寺-知碁爭，所以爭十,所以尸迫，故選扎由題意得尸逅f-p則a=2,匸I,所以雙曲線的方程為芋-戶1.l 上，則雙曲線的方程為（）2 2B 僉y= 12053x23y2.D. = 1100252 2

8、設(shè)雙曲線與橢圓 27+ 36=1 有共同的焦點，且與橢圓相交，一個交點的坐標(biāo)為（，15,4）,則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_ .2 2解析（1）由題意知，雙曲線x2y2= 1（a0, b0）的一條漸近線為 y= 2x,所以b= 2,即 b2= 4a2.又雙曲線a b a的一個焦點是直線 l 與 x 軸的交點，所以該焦點的坐標(biāo)為（一 5, 0），所以 c= 5,即 a2+ b2= 25,聯(lián)立得b2= 4a2,a2+ b2= 25,2 2解得 a2= 5, b2= 20,故雙曲線的方程為土 = 1.5202 2設(shè)雙曲線的方程為+ = 1（27tan 30,即?21,C占，所以同樣的，當(dāng) tan 60,a

9、a 3 a 33a22小2hc a即-zw3 時，2w3,即 a，a，所以雙曲線的離心率的范圍是 由題可知 A1( 1, 0), F2(2, 0).設(shè) P(x, y)(x 1),則PA1=(1x,y),PF2=(2x,y),PAPF2=(1x)(2x)+y2=x2x2+y2=x2x2+3(x21)=4x2x5.因為 x 1,函數(shù) f(x) = 4x2 x 5 的圖象的對稱軸為 x=1，所以當(dāng) x= 1 時，PA12P!2取得最小值一 2.8答案(1)A(2) 2【方法規(guī)律】與雙曲線有關(guān)的范圍問題的解題思路(1) 若條件中存在不等關(guān)系，則借助此關(guān)系直接變換轉(zhuǎn)化求解(2) 若條件中沒有不等關(guān)系，要

10、善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系或借助曲線中不等關(guān)系來解決【變式探究】根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：5(1)虛軸長為 12,離心率為 4； (2)焦距為 26,且經(jīng)過點 M(0, 12);由于雙曲線過點(15, 4)，故嚴 +2 7 入1636 入=1,等于 60,否則不滿足題意4a?c?,.e?w4，:，e 1,所以 1vew2.C葺-pm(3)經(jīng)過兩點 P(-3, 2,7)和 Q( 6 2, - 7). 解(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2 2 2x y 亠 y x2-2= 1 或與2= 1(a0, b 0).a ba b由題意知，2b = 12, e=c=5,又 c2= a2+ b2,a 4b=

11、 6, c= 10, a = 8.雙曲線經(jīng)過點 M(0, 12) , M(0, 12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y 軸上，且 a= 12.又 2c= 26,. c= 13, b2= c2 a2= 25.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2yX = 1.14425(3)設(shè)雙曲線方程為 mx2 ny2= 1(m n 0).r =19m28n=1,.m=75，解得彳72m 49 n= 1,|1ln=-25.2 2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 和車=1.2575高頻考點三雙曲線的幾何性質(zhì)由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD 為矩形，其相鄰兩邊長為j82, f4b2,故 f3 4b= 2b，得 b2=寸 4+ b2乂 4+

12、 b24+ b12.2 2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程26436 =12 2或 64-36=1.例 3、(20162 天津卷2)已知雙曲線鄉(xiāng)2苗1(b0),以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于2 2x 3y .A = 14422x y 彳C- = 1解析由2x_4 bA,B, C, D 四點，四邊形2 2B.x-4y-=14322x v D = 14122=1(b0)知其漸近線方程為ABCD 的面積為 2b,則雙曲線的方程為(by= ?x.又圓的方程為 x2+ y2= 4,不妨設(shè)漸近線與圓在第一象限的交點為B，將 y=；x 代入方程式,2b故雙曲線的方程為 x七=1.412

13、答案 D【感悟提升】(1)雙曲線的幾何性質(zhì)中重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線2 2拿一治1(a0, b0)中，離心率 e 與雙曲線的漸近線的斜率k= b滿足關(guān)系式 e2 3= 1 + k2a(2)求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a, b, c 的方程或不等式,利用 b2= c2 a2和 e=c轉(zhuǎn)化為關(guān)于 e 的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍.a2 2【變式探究】 設(shè)雙曲線拿古=1(a0, b0)的右焦點是 F，左，右頂點分別是 Ai, A2,過 F 作人識2的垂線與雙曲線交于 B, C 兩點，若 AiB 丄 A2C,則該雙曲線的漸近

14、線的斜率為()A. 2 B 驢C. 1 D. 2(2)(2015 湖北)將離心率為 ei的雙曲線 Ci的實半軸長 a 和虛半軸長 b(a 和)同時增加 m(m0)個單位長度， 得 到離心率為e2的雙曲線 C2,則()A .對任意的 a, b, eib 時，eie2；當(dāng) ae2C.對任意的 a, b, eie2D .當(dāng) ab 時，eie2；當(dāng) ab 時，ei0)的離心率等于2,直線 y= kx 1 與雙曲線 E 的右支交于 A, B 兩點.2b b+ m2.不妨令 eie2,化簡得0),得 bmam,得 baa a + m(2)ei=i + % e2=、i+b：maa + m時，有 a 黑，即e

15、ie2；當(dāng)ba時,有，即 eie2.故選 B.a a+ ma1求 k 的取值范圍；2若|AB|= 6 3，點 C 是雙曲線上一點，且OC= m(OA+ OB)，求 k, m 的值.故雙曲線 E 的方程為 X2 y2= 1.設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2).y= kx i,X2 y2= i,得(1 k2)x2+ 2kx 2= 0.(*)直線與雙曲線右支交于 A, B 兩點,故 k 的取值范圍是k|1k 2.由(*)得x1+x2= ?2k 彳,x1X2= 2 2 ,k 1k 1|AB|=. 1+k2 /=2/整理得 28k4 55k2+ 25= 0,二 k2=5或 k2=5,74又 1

16、k0,k1,即述k農(nóng),所以 1kGF2|+ 2，當(dāng)且僅當(dāng) G, D, F2三點共線時取等號.因為 |GF2|= .1- 22+ 22= .5,所以 |DF2|+ |DG|+ 2 GF21+ 2 = 5+ 2,故 |DF1|+ |DG | 的最小值為 5+2.則 n 的取值范圍是(1.【2016 咼考新課標(biāo)x21 卷】已知方程22m +n 3m n2y=1 表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為 4,(A)-1,3(B)T, 3(C)0,3(D)0八3【答案】A【解析】由題意知：雙曲線的焦點2 2 2x軸上，所以m n 3m -n=4,解得m =1，因為方程1軸垂直，sin. MF2R =，則E

17、的離心率為（3(B)32【答案】分別為 Ci，C2的離心率，則（【答案】A【解析】由題意知m2-1 = n2亠1，即m2= n2亠2，由于 m 1, n 0，可得 m n,2 24.【2016 高考天津理數(shù)】已知雙曲線-2=1（ b0）,以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑4 b長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、為（ ）2 2 2 2/ 八、x3yAx 4y丿（A ）=1（ B）=1（ C）又（g）2m2-1n21=(1=(1n22)(1An42n21n42n2=1表示雙曲線，所以+n01 n 3 n3 -n 0n1，解得 J一，所以n的取值范圍是（1,3），故選 A.n：2.【2016

18、 高考新課標(biāo) 2 理數(shù)】已知Fl, F2是雙曲線2E :x-2a2-y2=1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x(D) 2【解因為b2MR垂直于x軸，所以MFj = ,|MF2b2因為sin. MF2F二1，即3b2MF1MF22a a1=,化簡得b = a,3故雙曲線離心率3.【2016 高考浙江理數(shù)】已知橢圓Ci：2X2m2+y=1(m1)與雙曲線 C2：2x2-y2=1(n0)的焦點重合，e1,e2nA . mn 且 eie21mn 且 eie21C. m1D. mn 且 e1e20, b0),若矩形ABCD 的四個頂點在 E 上,AB, CD 的中點為 E 的兩個焦點，且 2|AB|=

19、3|BC|,則 E 的離心率是【答案】2【解析】假設(shè)點 A 在第一象限，點 B 在第二象限，則A(c,b),B(c, -b)，所以|AB |= a a2b2，|BC|=2c,a2 2 21由2 AB =3BC,c=a +b得離心率 e =2或 e = (舍去)，所以 E 的離心率為 2.22 26.【2016 年高考北京理數(shù)】雙曲線 篤-爲(wèi)=1 錯誤！未找到引用源。 的漸近線為正方形 OABC 的邊 OA ,a bOC 所在的直線，點 B 為該雙曲線的焦點，若正方形OABC 的邊長為 2，則 a =【答案】2【解析】/OABC是正方形， . AOB = 45,即直線OA方程為y=x，此為雙曲線

20、的漸近線，因此a = b,又由題意OB|=2,2 , a2a2=(2、2)2,a =2故填：2.2 27.【2016 高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，雙曲線 =1的焦距是73【答案】2.10【解析】a2=7,b2=3,. c2二a2b2=7 3=10,.c=.10,.2c二2.10焦距為2c故答案應(yīng)填：2O8.【2016 高考上海理數(shù)】2雙曲線x2-y2=1(b 0)的左、右焦點分別為F1、F2，直線丨過F2且與雙曲線交于AB兩點。bJI若丨的傾斜角為2，F(xiàn)1AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程;(2)設(shè)b =，若丨的斜率存在，且(FjA - F1B) A0，求丨的斜率【答案】（1）

21、y=：2x.（2）_5.5【解析】（1設(shè)貝（EJI）由題意$ 巧u = Jl +肝?y4=b2 c2-1） = 4,因為巧冊是等邊三角形，所以2*少卜丄BP4（l+ia）=3fr解得,=2 故雙曲線的漸途訪程為y =土屈（2）由已知，F(xiàn)i-2,0,F22,0.設(shè)Ax,yi , BX2,y2，直線I : y二k x -2顯然k = 0.2X2_y12222由3，得k -3 X -4k X 4k 0y二k x -2因為I與雙曲線交于兩點，所以k2-3 = 0，且厶=36 1 k20 設(shè) AB 的中點為MXM, yM由（RA+RB），AB=0即F1M -AB0，知RM丄AB故kFMk = 12由為+

22、x22kc6k而XM= ，YM=k（XM-22-2 k 3K 3PF1 =3，則PF2等于（）A 11B 9C 5D 3【答案】B【解析】由雙曲線定義得|PF-|PF2| =2a =6，即|3-|PF2|=6，解得|PF2=9，故選 B ，kF1M3k2，2k -33k3所以2F2T，得k5,故1的斜率為.15-51.【2015 咼考福建，理 3】若雙曲線2 2E：丄916=1的左、右焦點分別為 吒丁2，點P在雙曲線E上，且222；二1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于 A , B 兩點，貝y AB =（【答案】2才=0得：y? =12,y = 2/3,二| AB |= 4/

23、3.選 D.線C的方程為（【答案】2 2所以所求雙曲線方程為 1，故選 B.169(宀3(B)2、3(C)6(D)4、3【解析】雙曲線的右焦點為F （2,0），過 F 與 x 軸垂直的直線為x = 2,漸近線方程為x22”,將 “23.【2015 高考廣東，理7】已知雙曲線C:2爲(wèi)二1的離心率b2，且其右焦點F25,0，則雙曲2xA.4B.2 2169C.2 2916D.214【解析】因為所求雙曲線的右焦點為F25,0且離心率為-,所以c=5,a=4,b2=c2_a2=944.【2015 高考新課標(biāo) 1，理 5】已知 M （Xo,y）是雙曲線C:個焦占I八 、八、5若MFj*MF2: 0,則y

24、的取值范圍是（）(A)(3一3、)33（B）（，A）6 6【答案】【解析】2、3、-)3由題知R(-、3,0), F2(3,0),2y。=1,所以MR *MF2=（-飛-心-丫。）（3-心-）2.【2015 高考四川，理 5】過雙曲線代入x2=x0 -y0一3 =3y；-仁0，解得一上3：y。：-1，故選 A.335.【2015 高考湖北，理 8】將離心率為 e 的雙曲線 G 的實半軸長 a 和虛半軸長 b(ab)同時增加 m(m0) 個單位長度，得到離心率為$的雙曲線 C2，則()B .當(dāng) a . b 時，e . e2;當(dāng)a b 時，e : e2【答案】D【答案】A【解析】由題青0).e(G

25、 -巴)，由雙曲線的對稱性知D在X軸上，設(shè)D(兀0),由BD - AC擴 門 擴L-F屮、得 1 工二解得所以所以A .對任意的 a,C.對任意的 a,D.當(dāng) aqb 時，e3 ；當(dāng) ae2【解析】 依題意,pa2+b2e1二a2 2a m)2(b m)21 (b m)2,a mb b +m因為一-a a mab bm - ab - am m(b - a)，由于m0,a0,b0,a(a m)a(a m)所以當(dāng)a b時，當(dāng)a :b時，babb m彳b-1,0 - 1 ,-aa m ab m ,由b b m-二：1,而一羯-b m-,a m所以(b)2a/b、2少m():.(- )，所以 e：.

26、e ;a ambm(- )，所以ee2.所以當(dāng) a b 時,:e2；當(dāng) a : b 時，ee，.6.【2015 高考重慶,2 2理 10】設(shè)雙曲線 爲(wèi)#r=1 (a0,b0)的右焦點為 1,過 F 作 AF 的垂線與雙曲線a b交于 B,C 兩點，過 B,C 分別作 AC, AB 的垂線交于點 D.若 D 到直線 BC 的距離小于a. a2b2,貝 U 該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是(-1,0)(0,1)(一T) (1/:)C、(-2,0) (0,、2)D、(od -V2)u(屁外22/二酹Jd,因此漸近線的斜率取值范圍S(-L0)U(0;l);選A【解析】根據(jù)對稱性，不妨設(shè)F（c,0），短

27、軸端點為（,b），從而可知點（G2b）在雙曲線上,7.【2015高考安徽，理 4】下列雙曲線中，焦點在y軸上且漸近線方程為y = 2x的是（）2【解析】由題意，選項 代B的焦點在x軸，故排除A,B，C項的漸近線方程為y_x2=0，即y = _2x，4故選 C.8.【2015 高考新課標(biāo) 2,理 11】已知 A，B 為雙曲線 E 的左，右頂點，點 M在 E 上，?ABM 為等腰三角形， 且頂角為 120貝 U E 的離心率為（ ）A.5B.2C. 、-3D. 、2【答案】D2 2【解析】設(shè)雙曲線方程為 爲(wèi)當(dāng)=1（a A0,b0），如圖所示，AB=|BM,Z ABM =120，過點Ma b作MN丄

28、x軸，垂足為N，在RUBMN中，BN =a,MN =J3a，故點M的坐標(biāo)為M （2a, J3a）,代入雙曲線方程得a2=b2=a2-c2，即c2=2a2，所以 2，故選 D.29._【2015 高考北京，理 10】已知雙曲線 篤-y2=1a0 的一條漸近線為 3x y = 0 ,則 a =_【答案】y = J x , V3x + y = 0二a中點恰為其虛軸的一個端點，則C的離心率為 _0,則一1a-3, a2x10【2015 高考湖南，理 13】設(shè)F是雙曲線C:2ab2=1 的一個焦點，若C上存在點P，使線段PF的(A) x -2y=12x2(B)一y2=12y2(C)x -1444【答案】

29、C22X(D)y ：14【解析】 雙曲線【解析】根據(jù)對稱性，不妨設(shè)F（c,0），短軸端點為（,b），從而可知點（G2b）在雙曲線上,【答案】.5.211._ 【2015 高考浙江，理 9】雙曲線 一 y2“的焦距是_，漸近線方程是 _2【答案】2 3,y -x.2【解析】由題意得：a 2,b=1,c=Ja2 b2=/2 1 =$3,焦距為2c = 2、3,I 漸近線方程為y=bx2x.a 212.【2015 高考上海，理 9】已知點 m 和Q的橫坐標(biāo)相同，m 的縱坐標(biāo)是Q的縱坐標(biāo)的2倍，m 和Q的軌跡分別為雙曲線G和C2若C1的漸近線方程為y二,3x，則C2的漸近線方程為 _【答案】y = f

30、 X【解析】由題意得：C1:3x2-y2二,( =0)，設(shè)Q(x, y)，則P(x,2y)，所以3x2_4y2= ,即C?的漸近線方程為y二x- -13. 2015 江蘇高考，12】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x-y =1右支上的一個動點。若點P到直線x - y 0的距離大于 c 恒成立，則是實數(shù) c 的最大值為 _ .答案】-解析】設(shè) P(x,y),(x_1)，因為直線 x-y1=0 平行于漸近線 x-y=0，所以點P到直線 x-y，1 =0的距離恒大于直線 x -y V =0 與漸近線 x -y =0 之間距離，因此 xy =0之間距離，為1.( 2014 湖北卷)已知 F1, F

31、2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P 是它們的一個公共點，且/卩1卩卩2=才， 則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()A.4 B.23C. 3 D. 2【答案】A4b2b2c 的最大值為直線 x - y 7=0 與漸近線2c【解折】i殳P円二m肥If, 2d橢圓的長半軸長為小 雙曲線的實半軸長為也 橢風(fēng) 雙曲線的離 心率分別為的）立貝由橢圓、雙曲線的定義，得匚+比=沏）冇-住=丄如平方得斗尿=丹+處+24ai=丹一力化+用一又由余弦定理得4衣=丹+疋一燈門3消去得圧十3於=42，砒+討刪、由柯西不等式得訃+2=計+命半）+談1+詐學(xué) 所以古+*故選A-22. （2014 北京卷）設(shè)雙曲線 C

32、 經(jīng)過點（2, 2），且與七x2= 1 具有相同漸近線，則 C 的方程為 _漸近線方程為_2 2【答案】X3 初 i 尸址2令 4x2=0得漸近線方程為炸如3. （ 2014 全國卷）已知雙曲線 C 的離心率為 2,焦點為FI,F2,點 A 在 C 上.若|FIA|=2|F2A|,貝 U cos/ AF2F1=（ ）112 2A4B.3CTD.亍【答案】A【解析】根據(jù)題意，IF1AI |F2A|= 2a,因為|F1A|= 2|F2A|,所以|F2A|= 2a, |F1A|= 4a.又因為雙c曲線的離心率 e=-= 2,所以 c= 2a,|F1F2|=2c= 4a，所以在厶 AF1F2中，根據(jù)余

33、弦定理可得cos/AF2F1a=|F1F2|2+ IF2AI2 IF1AI2= 16a2+ 4a2 16a2= 1=2IF1F2I IF2AI=2 MaX2a=4.2 24. （2014 福建卷）已知雙曲線 E： 器=1（a0, b0）的兩條漸近線分別為 11： y= 2x, I2： y= 2x.（1）求雙曲線 E 的離心率.如圖 1-6, O 為坐標(biāo)原點，動直線 I 分別交直線 11, 12于 A, B 兩點（A, B 分別在第一、四象限），且厶 OAB的面積恒為 8試探究：是否存在總與直線l 有且只有一個公共點的雙曲線E?若存在，求出雙曲線 E 的方程；若不存在，說明理由.【解析】 設(shè)雙曲

34、線2C 的方程為 4-宀入將（2,2）代入得2 22 3 =42 2雙曲線 C 的方程為氣1.【解析】解：方法一：(1)因為雙曲線 E 的漸近線分別為 y = 2x, y=- 2x,所以b= 2,a所以丄蘭=2,a故 c= 5a,從而雙曲線 E 的離心率e=C= 5.a2 2由知，雙曲線 E 的方程為字一 42= 1.設(shè)直線 I 與 x 軸相交于點 C.當(dāng) I 丄 x 軸時，若直線 I 與雙曲線 E 有且只有一個公共點，則|OC|= a, AB|= 4a.又因為 OAB 的面積為 8,1因此？a4a= 8,解得a = 2,以下證明：當(dāng)直線也滿足條件.設(shè)直線 I 的方程為y= kx+ m,依題意

35、，得 k2 或 k-2，則A(xi, yi),B(X2,y2).C- m,y=kx+m，得y= 2xy1=贄，同理得 y2=穢.1由SOAB= 2|OC| |yiy2|,得2m _ 2m2-k 2+ k即 m4= 4|4-k2|= 4(k2 4).y= kx+ m,由 *x2y2得(4 kjx? 2kmx m?16= 0.彳16 =1因為 4 k50,所以= 4k2m2+ 4(4 k2)(m2+ 16)= 16(4k2 m2 16).又因為 m2= 4(k2 4),所以= 0,即 I 與雙曲線 E 有且只有一個公共點.2 2因此，存在總與 I 有且只有一個公共點的雙曲線E,且 E 的方程為*

36、= 1.方法二：(1)同方法一.2 2由知，雙曲線E的方程為 a24= 1.設(shè)直線 I 的方程為 x= my+1, Ag, y”,B(X2,曲.依題意得-2m1.4 2此時雙曲線E的方程為:-f6=1 2 * 4.2 2若存在滿足條件的雙曲線E,則 E 的方程只能為專6=1.2 2l 不與 x 軸垂直時，雙曲線 E:xy= 1rx= my+ t,由彳y= 2x得y1=匚養(yǎng)同理得2t1 + 2m.設(shè)直線 I 與 x 軸相交于點 C,則 C(t, 0).由SMAB=1|OC| |y1y2|= 8，得如m+=8.所以 t2= 4|1 4m2|= 4(1 4m2).因為 4m2 12 或 k 2.=

37、64m2t2 16(4m2 1)(t2 a2) = 0，即4m2a2x= my+ t,得(4m2 1)y2+ 8mty + 4(t2 a2)= 0.y= kx+ m,2 2222得(4 k )x 2kmx m = 0,4x y = 02 m2因為 4 k20,所以 xix2= 4k2，又因為 OAB 的面積為 8,14所以 2 |OA|OB| sin/ AOB = 8，又易知 sin / AOB = 5，即(k2 4)(a2 4) = 0,所以 a2= 4,2 2所以雙曲線 E 的方程為X-帝1.公共點.焦距相等B .實半軸長相等【答案】A【解析】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意利用基本量的關(guān)系

38、進行求解.TOcg,25-A0.對于雙曲線其焦距為珂25+9-匚4;對干雙曲線昌-耳=1,1JJ19Ih所以 42=4,即 m2= 4(k2 4).由(1)得雙曲線2 2E的方程為 a2-菇 1,qy= kx+ m,由22由 x y-2匕=1a4a由得(4 k2)x2 2kmx m2 4a2=0.直線 I 與雙曲線 E 有且只有一個公共點當(dāng)且僅當(dāng)A=4k2m2+ 4(4 k2)(m2+ 4a2) = 0,當(dāng) I丄 x軸時，2 2又易知l:x=2與雙曲線E:x-詁1有且只有一個綜上所述，存在總與 I 有且只有一個公共點的雙曲線5.2x(2014 廣東卷)若實數(shù) k 滿足 0kb0)的左、右焦點分

39、別為 F1, F?,2 2a2- *= 1 的左、右焦點分別為 F3, F4,離心率為 良已知 eie2=2,且|F2F4|= 3圖 i-7【解析】解： 因為 eie2=3,所以亠=，即 a4-b4=3a4，因此 a2= 2b2,從而 F2(b,2aaz4220), F4(.3b, 0)，于是.3b b= |F2F4|= .3 i,所以 b= i, a2= 2故 Ci, C2的方程分別為號+ y2= i,專一2y =i.ixix = my i,因 AB 不垂直于 y 軸，且過點 Fi( i, 0)，故可設(shè)直線 AB 的方程為 x= my i，由 Sx22得(m2+ 丘 +y2=i22)y 2m

40、y i = 0.易知此方程的判別式大于0 設(shè) A(xi,yi),B(x2, y2),則 yi,y2是上述方程的兩個實根，所以 yi+ y2=后十？,iyiy2=齊離心率為 ei；雙曲線 C2：-1.(1)求 Ci, C2的方程;(2)過 Fi作 Ci的不垂直于y 軸的弦 AB, M 為 AB 的中點.當(dāng)直線 OM 與 C?交于 P, Q 兩點時，求四邊形4因此 xi+ X2= m(yi+ y2) 2 =后十2，/2x是AB的中點為M齊，斗，故直線PQ 的斜率為一, PQAPBQ 面積的最小值.的方程為 y= 歲，即卩 mx+ 2y= 0.y=?x,2/ 2+ 4由2得(2 m2)x2= 4,所

41、以2 m20,且 x2=*2,y2=2,從而 |PQ|= 2x2+ y2=22.y = 12 ym2+ 4B 在直線 mx + 2y= 0 的異側(cè)，所以(mxi+ 2yi)(mx2+2y2)0，于是 |mxi+ 2yi|+ |mx2+ 2y2|= |mxi+ 2yi mx22(m + 2) |yi y2|2y2|,從而 2d=- .寸 m + 422 2 1 + m2 . 2 - 1 + m又因為 |yi y2|=冷(yi+ y2) 4yiy2= -12丄2，所以 2d= - 2m 十2vm + 4故四邊形 APBQ 的面積 S= |PQ | 2-d= 2 2巴寸1 1=2J2I 1 +-2.

42、2I Y 2 m而 02 m20)的右焦點為 F，點 A, B 分別在 C 的兩條 a漸近線上，AF 丄 x 軸，AB 丄 OB, BF / OA(O 為坐標(biāo)原點).圖 1-7(1)求雙曲線 C 的方程；xnx3過 C 上一點 P(X0, y)(y0M0 的直線 I:孑y0y= 1 與直線 AF 相交于點 M ,與直線 x = ?相交于點 N.證明: 當(dāng)點 P 在C 上移動時，恒為定值，并求此定值.|NF|【解析】解：(1)設(shè) F(c, 0)，因為 b= 1，所以 c= a2+ 1.由題意，直線 OB 的方程為 y=寸乂，直線 BF 的方程為 y= f(x c)，所以 B；當(dāng). 又直線 OA

43、的方程為 y =，x,ac則 Ac,C，所以 kAB=a.ac-2a又因為 AB_LOB,所以 2 = 1,解得 a2= 3，故雙曲線 C 的方程為；y2= 1.設(shè)點 A 到直線 PQ 的距離為 d,則點 B 到直線 PQ 的距離也為 d,所以 2d=|mxi+2y1|mx2+2y2因為點A,因為直線AF的方程為 X =7,所以直線1與 AF 的交點為M 2,需，直線1與直線X=訓(xùn)交點為N|,*083yo7 210. （ 2014 天津卷）已知雙曲線X2y2= 1（a0, b0）的一條漸近線平行于直線 I: y= 2x+ 10,雙曲線的一a b(2)由(1)知 a = 3,則直線 I 的方程為

44、X0X3 yy=1(yH0)即 y=X0X(yH0)3y0(2X03)2(3yo)2(2XQ 3)(2XQ3)苑-34 十(3yo)2J2(X02)3 3yo+ 3 (XQ 2)2.2又 P(x, yo)是 C 上 點，貝 V 3yo1,8 （2014 新課標(biāo)全國卷I已知 F 為雙曲線 C: x2 my2= 3m（m0）的一個焦點，則點 F 到 C 的一條漸近線的距離為（）A. ,3 B. 3C. , 3m D . 3m【答案】A【解析】雙曲線的一條漸近線的方程為x+ my= 0.根據(jù)雙曲線方程得 a2= 3m, b2= 3, 所以 c= .3m+ 3,雙曲線的右焦點坐標(biāo)為（p3m+ 3, 0

45、）.故雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為M：m+31=頁.1 + m2 2 2 29.（2014 山東卷）已知 a b 0,橢圓 Ci的方程為 乍+ *= 1,雙曲線 C2的方程為 令一十=1, Ci與 C2的a ba b離心率之積為于，則 C2的漸近線方程為（）A. x. 2y= 0 B. 2x = 0C. X2y= 0 D.2X/=0【答案】A【解析】橢圓o的為心率的二氣主，戲曲線 U 的環(huán)済探二爛由 1-2x、/i+也=烏 解得=1-所以舟=羋，所以雙曲線a的漸近線方程是尸土萼故選代入上式得：(2xo3)2I2= 3X2 3 + 3 (Xo 2)2=4(2xo3)23 4-xo12XQ

46、+ 944，所以幣 H=普，為定值個焦點在直線 I 上，則雙曲線的方程為（）2 2XV.A = 1520【答案】A【解析】由題意知，雙曲線的漸近線為y=x , b= 2雙曲線的左焦點（一 c, 0）在直線 I 上， 0 = 2c2 2+ 10,. c= 5.又Ta2+ b2= c2,. a2= 5, b2= 20,.雙曲線的方程為 X 缶=1.2 2x y11.（2014 浙江卷）設(shè)直線 x 3y+ m= 0（m 0 與雙曲線 孑= 1（a0, b0）的兩條漸近線分別交于點 A,B.若點 P（m, 0）滿足|FA|=|PB|，則該雙曲線的離心率是【答案】中2 2,F2分別為雙曲線 字一* =

47、1（a0, b0）的左、右焦點，雙曲線上存在一點P 使得9|PF11+ |PF2|= 3b, |PF1|PF2| = ab,則該雙曲線的離心率為（）459A3B.5 C.4D.3【答案】B2B.202 23x 3y 彳C -= 151002 2D 鉉3V_= i10025a2= 4b2，故該雙曲線的離心率是警.由|PA|= |PB 知 AB 與 DP 垂直，則12. （2014 重慶卷）設(shè) F1【解析】不妨設(shè)P為戲曲線右支上一點，根據(jù)戲曲線的走義有陽-P丹二購麻立陽+庶=3筠平方相減得PF】-陽J斗也*則由題設(shè)條件得 卞=討，整理得J1 +冷=C.y= + 2xD.y= 2x 解析 因為 2b

48、 = 2，所以 b= 1,因為 2c= 2 3,所以 c= 3, 所以 a=CUF =2,所以雙曲線的漸近線方程為 y= x = x,故選 B.答案B2x2.已知雙曲線 C:a2皆 1的離心率5e= 4，且其右焦點為 F2（5, 0），則雙曲線 C 的方程為（2222xATy-=1B.行亠=1A. 439162222xC-y-=1D.x-y-=116934解析因為所求雙曲線的右焦點為F2（5, 0）且離心率為 e=C=弓，所以 c= 5, a = 4, b2= c2 a2= 9,所以a 42 2所求雙曲線方程為 x6 9= 1，故選 C.答案 C2 23.已知雙曲線 C:乍一善=1（a0, b

49、 0），右焦點 F 到漸近線的距離為2,點 F 到原點的距離為3,則雙曲a b線 C 的離心率 e 為（）：；53 * 5,6,6A. 3 B. 5 C. 3 D. 2解析T右焦點 F 到漸近線的距離為2 , F（c, 0）到 y = x 的距離為 2,即/2= 2，又 b 0, c 0,apa + ba2+ b2= c2, bc= b = 2,又點 F 到原點的距離為 3, c= 3, a =寸 c2 b2= 5,離心率 e=； =2X1.設(shè)雙曲線a2a2*=1(a0, b2，焦距為 2 .3,則雙曲線的漸近線方程為3 5亍.答案4已知Fi, F2為雙曲線 C: X2 y2= 2 的左、右焦

50、點，點 P 在 C 上，|PFi| = 2|PF2|，貝 V cos /FIPF2=(B5C4D5由 x2 y2= 2,知 a= b= ,2, c= 2.由雙曲線定義，|PF1 |PF2|= 2a= 2 2,又 |PF1|= 2|PF2|,- |PF1|= 4 ,2, |PF2|= 2 2,在厶 PF1F2中，IF1F2U2c= 4,由余弦定理，得2 2 2|PF1| + |PF2|IF1F2Ic0S/F1PF2=2|PF12 |PF2|解析34.答案 C25過雙曲線 x2卷=1 的右焦點且與x 軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于 A ,B 兩點，則|AB|=（A.43B2WC.6D.43

51、2解析由題意知，雙曲線 X2 y3 = 1的漸近線方程為 y= , 3x，將 x= c= 2 代入得 y= 2 3，即 A, B 兩點的坐標(biāo)分別為（2, 2,3）, （2, - 2.3），所以 |AB|= 4.3.答案 D2 26過雙曲線 C:器=1（a0, b0）的右頂點作 x 軸的垂線，與 C 的一條漸近線相交于點A.若以 C 的右焦點為圓心、半徑為 4 的圓經(jīng)過 A，O 兩點（O 為坐標(biāo)原點），則雙曲線 C 的方程為（）2222L 1B.MJ1412792222x_y-=1xD.-y-=188124C.A.解析 由雙曲方程知右頂點為咲 不妨設(shè)其中一條漸近線方程為y=f因此可得點衛(wèi)的坐標(biāo)為（如巧設(shè)右焦點対尸（60）,由已知可知 尸斗，且打=程即 2-疔+蘇=1爲(wèi)所以有-疔+臚=心 又 4臚+