k導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(葉樂琴)

1、本文為自本人珍藏版權(quán)所有僅供參考導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用樂清中學(xué)葉樂琴【知能目標(biāo)】1了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度，加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)數(shù)的概念。2、熟記基本導(dǎo)數(shù)公式：xm（m為有理數(shù)）、sinx、cosx、ex、ax、Inx>logax的導(dǎo)數(shù);掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3、理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點兩側(cè)異號）；會求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值?！揪C合脈絡(luò)】1知識網(wǎng)絡(luò)2.考點綜述有關(guān)導(dǎo)數(shù)

2、的內(nèi)容，在2000年開始的新課程試卷命題時，其考試要求都是很基本的,以后逐漸加深，考查的基本原則是重點考查導(dǎo)數(shù)的概念和計算，力求結(jié)合應(yīng)用問題，不過多地涉及理論探討和嚴(yán)格的邏輯證明。本部分的要求一般有三個層次：第一層次是主要考查導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)的公式和求導(dǎo)法則；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)的增減性等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式和函數(shù)的單調(diào)性等有機地結(jié)合在一起，設(shè)計綜合題，通過將新課程內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容相結(jié)合，加強了能力考察力度，使試題具有更廣泛的實際意義，更體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)作為工具分析和解決一些函數(shù)性質(zhì)問題的方法，這類問題用傳統(tǒng)

3、教材是無法解決的?！纠}探究】32例1(2003年煙臺統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)=x+3ax+3(a+2)x+1既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是。【考查目的】考查導(dǎo)數(shù)的運算及利用導(dǎo)數(shù)知識求函數(shù)的極值等基本知識和分析問題、解決問題的能力。解：f'(x)=3x-6ax+3a+6,令f'(x)=0則x2+2ax+a+2=0又f(x)既有極大值又有極小值f'(x)=必有兩解，即=4a2-4a-8>0解得av-1或a>2。探究：本題通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程來探究，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的解題思想與解題策略。【啟迪遷移】已知f(x)=x

4、3+3ax2+3(a+2)x+1，試討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性提示：按分>0，少0，出0三種情況分別就a的不同取值進行討論。32例2設(shè)函數(shù)f(x)=ax-2bx+cx+4d(a、b、c、dR)的圖象關(guān)于原點對稱，且x=1時,2f(x)取極小值-。3(1) 求a、b、c、d的值；(2) 當(dāng)x-1,1時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論；若X1,X2-1,1時，求證：|f(X1)-f(X2)|2。3【考查目的】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用、絕對值不等式以及綜合推理能力。解函數(shù)f(x)圖象關(guān)于原點對稱，對任意實數(shù)x，都有f(-x)=-f(x)

5、. -ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.32 b=0,d=0,即f(x)=ax+cx.f'(x)=3a+c.2 2x=1時,f(x)取極小值-一.f'(1)=且f(1)=-,3 31即3a+c=0且a+c=-.解得a=,c=-1.2 3(2)證明：當(dāng)x-1,1時，圖象上不存在這樣的兩點使結(jié)論成立，假設(shè)圖象上存在兩點A(X1,y”、B(X2+y2),使得過這兩點的切線互相垂直，222則由f'(x)=x1，知兩點處的切線斜率分別為k1=X1-1,k2=X2-1,且(X12-1)(X22-1)=-1.(*)22XI、X2-

6、1,1,X1-1<0X2-K0(xi2-1)(x22-1)0這與(*)相矛盾，故假設(shè)不成立.證明：.f'(x)=X1,由f'(x)=(得x=±1.當(dāng)x(-%,-1)或(1,+x)時，f'(x>0;當(dāng)x(-1,1)時，f'(x)0.22f(x)在-1,1上是減函數(shù)，且fmax(X)=f(-1)=,fmin(x)=f(1)=-.332在-1,1上，|f(x)|孑24于是X1,X2-1,1時，|f(X1)-f(X2)|喉X1)|+f(X2)|<-+=.2 33故X1,X2-1,1時,|f(X1)-f(X2)|2.3探究：若Xo點是y=f(x

7、)的極值點，貝yf'(xo)=O,反之不一定成立；在討論存在性問題時常用反證法；利用導(dǎo)數(shù)得到y(tǒng)=f(x)在-1,1上遞減是解第(3)問的關(guān)鍵.例3已知平面向量a=(.、3,-1)用=(丄，二).22(1) 證明a丄b；(2) 若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使x=a+(t2-3)b，y=-ka+tb，x丄y，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);據(jù)(2)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)-k=O的解的情況.【考查目的】本題考查向量的性質(zhì)與計算、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的圖象、函數(shù)的圖象與方程根的個數(shù)間的關(guān)系以及綜合應(yīng)用能力。解(1)ab=J3X-1+(-1)K-=Oa_Lb.22(2)Tx丄y，x7=0即a

8、+(t2-3)b(-ka+tb)=O.I整理后得-ka2+t-k(t2-3)ab+(t2-3)=O22Tab=O，a=，b=1，212上式化為-4k+t(t-3)=0,即卩k=t(t-3)討論方程1t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=1t(t2-3)與直線y=k3 4的交點個數(shù)1Q3于是f'(t)=-(t2-1)=3t(t+1)(t-1).3 4令f'(t)=0,解得tl=-1,t2=1.當(dāng)t變化時，f'(t)、f(t)的變化情況如下表:t(-x-1)-1(-1,1)1(1,+X)f'(t)+0-0+F(t)/極大值極小值/1當(dāng)t=-1時，f

9、(t)有極大值，f(t)極大值=.21當(dāng)t=-1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=.2函數(shù)f(t)=1t(t2-3)的圖象如圖13-2-1所示,可觀察出：11(1)當(dāng)k>或k<-時方程f(t)-k=0有且只有一解;11(2)當(dāng)k=-或k=-時力程f(t)-k=0有兩解;2211當(dāng)-<k<-時方程f(t)-k=0有三解.22探究：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為函數(shù)的作圖提供了新途徑。例4(2004全國卷22)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1) 求函數(shù)f(x)的最大值；a+b(2) 設(shè)0<a<b,證明：0<g(a)+g(b)-2g()<

10、;(b-a)ln2.【考查目的】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和平均值不等式知識以及綜合推理論證的能力。解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(-1，+x),f'(口=丄-1.1+x令f'(x)=0，解得x=0.當(dāng)-1<x<0時，f'(x)>0;當(dāng)x>0時，f'(x)<0.又f(0)=0，故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，f(x)取得最大值，最大值為0.a+b證法一：g(a)+g(b)-2g(-b)2a亠b=alna+bInb-(a+b)ln,2a_2b=alnblna+b由(1)結(jié)論知由題設(shè)0<a<b,得2a因此lnln(

11、1baa+b2a2b.alnblna+ba+b2aab乂ab2b,2a,2b.alnblna+ba+babln(1+x)-x<0(x>-1，且x豐0)b.0,_1：土逹:02b、ba,2b)>_,ln2a2aabbaa-b0.22(i4).4,2b2ba.b2b2b:aln一bln(b-a)In(b-a)ln2.2ba+ba+ba+b綜上0：g(a)g(b)2g(a一)：(ba)ln2.2證法二：g(x)二xlnx,g(x)=Inx1.a+x設(shè)F(x)二g(a)g(x)2g()，貝Ua+xa+xF(xHg(x)-2g()f=lnx-ln22當(dāng)0<x<a時，F(xiàn)(x)

12、：0,因此F(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù);當(dāng)x>a時，F(xiàn)(x)0,因此F(x)在(a,=)上為增函數(shù).從而，當(dāng)x=a時，F(xiàn)(x)有極小值F(a).a+b；F(a)=0,ba,F(b)0即0：g(a)g(b)-2g().2a+x設(shè)G(x)=F(x)-(x-a)ln2，則G(x)=lnx-lnax-ln2=lnx-ln(ax)2當(dāng)x>0時，G(x)：0，因此G(x)在(0,+：)上為減函數(shù)。TG(a)=0,ba,G(b)：0,a+b即g(a)g(b)-2g(旦一)：(b-a)ln2，綜上，原不等式得證?！締⒌线w移】3x1.證明：當(dāng)x>0時，有x-sinx：x62. (20041溫

13、州市一模辺1)已知數(shù)列an各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，對于任意的nN*，都有4Sn=(an+1)2求數(shù)列an的通項公式；(1) 若2°>tSn對于任意的nN*成立，求實數(shù)t的最大值。2分析：利用Sn-Sn-i=an（n2）易得an=2n-1,從而Sn=n2則問（2）轉(zhuǎn)化為t少恒成2立，故只需求出數(shù)列bn=3的最小項，有以下求法：2n法一：研究數(shù)列bn的單調(diào)性。法二：數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，欲求的最小項可先研究連續(xù)函數(shù)ny懇（x.0）的單調(diào)性，求導(dǎo)得yx2xx(xln2-2)x易得x奮為函數(shù)yp的極2所以ln2238=3而d2b4，故t_b3=39小值也是最小值點，又IneI

14、n2In辰2n（注：不能直接對y2（nN*）求導(dǎo)，為什么？）n探究：導(dǎo)數(shù)的引進為不等式的證明，甚至為研究數(shù)列的性質(zhì)提供了新途徑，充分地體現(xiàn)了數(shù)列作為一類特殊函數(shù)其本質(zhì)所在。特別提示：例2、例3、例4充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)作為工具分析和解決一些如函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式、數(shù)列等問題的方法，這類問題用傳統(tǒng)教材無法解決；此外，例4還說明了一點：欲用導(dǎo)數(shù)，得先構(gòu)造函數(shù)。例5已知雙曲線C:y=m（mv0）與點M（1，1），如圖所示.x（1）求證：過點M可作兩條直線，分別與雙曲線C兩支相切;（2）設(shè)（1）中的兩切點分別為A、B，其MAB是正三角形,求m的值及切點坐標(biāo)。【考查目的】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義在解析幾何綜合

15、問題中的特殊作用，使代數(shù)與幾何實現(xiàn)了和諧的勾通。（1）證明：設(shè)Q（t,mC,要證命題成立只需要證明關(guān)于t的方程y心二kMQ有兩個符號相反的實根。1y|x.tkMQ2=t2-2mtm=0，且t工0,t1。一t2t1設(shè)方程t2-2mt=0的兩根分別為ti與t2,則由tit2=m<0,知ti,t2是符號相反的實數(shù)，且t1,t2均不等于0與1,命題獲證。(2)設(shè)A(t1,m),B(t2,m)，由(1)知，t1+t2=2m，t1t2=m，從而2t1t21mmm(tjt2)2m2業(yè)2業(yè)-2=m,_(122m=m，即線段AB的中點在直線"x上。2m=m，即線段AB的中點在直線"x上

16、。t1m(l7)=-1t2-t1t2t1(t2_t1)，.AB與直線y=x垂直。221故A與B關(guān)于y=x對稱,設(shè)A(t,F)(t:0)，則B(：,t)有t-2mt+m=0由kMAt21由kMAt21m2,AMB=60及夾角公式知丄2-Ami>.2mt,t2m1+m*即tan60t2mt2t2=23由得m=2t-1由知由知因此,m2t-r(2t-1)mf2t2402t-1t2乜弓一、3-2，代入知mt-,A(-22313-1、3-12)，B(2探究：求切線方程的常見方法有:1、數(shù)刑結(jié)合。2、將直線方程代入曲線方程利用判別式。3、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義。小結(jié)：深刻理解導(dǎo)數(shù)作為一類特殊函數(shù)，其幾何

17、意義所在，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基本方法；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為研究函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象開辟了新的途徑，成為勾通函數(shù)與數(shù)列、圓錐曲線等問題的一座橋梁；此外，導(dǎo)數(shù)還具有方法程序化，易掌握的顯著特點。實戰(zhàn)演練、選擇題1.函數(shù)y=2x3+VX+cosx，則y等于2x2+Jc-sinx33x26x2宀一1sinx33x26x21sinx33x22.設(shè)f(x)=x|x|,則(0)為(B)A0B1C-1D不存在已知曲線yi=x2,y2=x3,y3=2sinx，這三條曲線與x=1的交點分別為A、B、C,又設(shè)ki、k2、k3分別為經(jīng)過A、B、C且分別與這三條曲線相切的直線的斜率，則

18、(D)Aki<k2<k3Bk3<k2<kiCki<k3<k2Dk3<ki<k24已知a>0,函數(shù)f(x)=x3-ax在1,=)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是(D)A0B1C2D35已知f(x)=2x3-6x2m(m為常數(shù)),在-2,2上有最大值3,那么此函數(shù)在-2,2上的最小值為(A)A-37B-29C-5D-11(2004年浙江高考)設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=f(x)的圖象如圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是(C)二、填空題6. 曲線y二丄與曲線y二x在交點處的切線的夾角為90°x7. 已知f(x)二sinx2

19、x,xR,且f(1-a)f(2a)：0,則a的取值范圍是(心,-1)三、解答題已知曲線G：y=x2與C2：y=-(x-2)2，求與C1、C2均相切的直線I的方程。解答：由y=x2得y=2x，由y=-(x-2)2，得y=-2(x-2);設(shè)直線l與y=x2的切點為P(x1,y1),與y=-(x_2)2的切點為Q(X2,y?)yX：y2=-(x2-紂根據(jù)已知條件2x-2(x2-2)7=2X1.為-X2+整理得y1y2=(x1x2-2)區(qū)-x2*2)由得x1x2-2=0.y1y0即y2二-，代入與聯(lián)立可解得xi=0或xi=2當(dāng)xi=0時，X2=2;當(dāng)xi=2時，X2=0直線I過(0,0)、(2,0)點

20、，或直線過(2,4)、(0,-4)點因此所求直線方程為y=0或y=4x-4。8. 函數(shù)f(x)=x3ax2bxc,過曲線y=f(x)上的點P(1,f(x)的切線方程為y=3x+1(1) 若y=f(x)在x-2時有極值，求f(x)的表達(dá)式；(2) 在(1)的條件下，求y二f(x)在-3,1上的最大值；(3) 若函數(shù)y二f(x)在區(qū)間-2,1上單調(diào)遞增，求b的取值范圍。解：(1)由f(x)=x3ax2bxc求導(dǎo)數(shù)得f(x)=3x22axb過y二f(x)上點P(1,f(1)的切線方程為：y一f(1)=f(1)(X一1),即y(abc1(32ab)(x-1),而過y=f(x)上,P(1,f(1)的切線

21、方程為y=3xT故32a5abc一2=1即2a0abc=3,y=f(x)在x=-2時有極值，故f(-2)=0.-4a，b=-12由式聯(lián)立解得a=2,b-4,c=5,.f(xx32x4x5(2)f(x)=3x22axb=3x24x-4二(3x-2)(x2)x-3-2)-2(述)23即f(x)+00+f(x)/極大極小/f(x)極大二f(-2)=(-2)32(-2)2-4(-2)5=13,f(1)=1321-415=4,f(x)在-3,1上最大值為13(3)八f(x)在區(qū)間-2,1上單調(diào)遞增，又f(x)二3x22axb,由(1)知2ab=0,f(x)=3x2-bxb依題意f(x)在-2,1上恒有f(x)_0,即3x2-bxb_0在-2,1上恒成立。 當(dāng)X=時，f(x)小二f(1)=3bb0,b_66 當(dāng)X=b豈一2時，f(x)小二f(一2)=122bb_0，.b一6當(dāng)<b<1時,6f(x)小212b-b12-0，0<b<6綜合上述討論可知，所求參數(shù)b取值范圍是：b>0。11. 某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線。(1) 寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(t);(2) 據(jù)進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療疾病有