人教版高中數(shù)學(xué)【選修4-5】[知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理]_不得關(guān)系與不等式_提高

1、人教版高中數(shù)學(xué)選修4-5知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型?？贾R(shí)點(diǎn)穩(wěn)固練習(xí)【穩(wěn)固練習(xí)】不得關(guān)系與不等式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】i.在復(fù)習(xí)不等式性質(zhì)的根底上,介紹了含有絕對(duì)值的不等式及其解法,平均值不等式及簡單應(yīng)用、 證實(shí)不等式的一些根本方法,以及不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用2.特別強(qiáng)調(diào)了不等式及證實(shí)的幾何意義和背景,以加深學(xué)生對(duì)不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解、提升學(xué)生的邏輯思維水平和分析解決問題的水平.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：不等式的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性：abubb,bcnac;性質(zhì)3加法法那么同向不等式可加性：abua+cb+ccwR;推論：ab,cd=acbd.,c-0=acbc,性質(zhì)4乘法法那么：假設(shè)ab,那么c=0=ac=bc,c

2、:0=ac:bc.推論1:ab0,od0=aobd；推論2：ab0(nNN N*Ha2b20；推理3：ab0nN N*二anbn0；推理4：ab0(nNN近n1knJaVb要點(diǎn)二：含有絕對(duì)值的不等式絕對(duì)值的幾何意義設(shè)a是一個(gè)實(shí)數(shù),在數(shù)軸上|a|表示實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離;|x-a|表示實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.關(guān)于絕對(duì)值的幾個(gè)結(jié)論定理對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b,有,可以把a(bǔ)、b、a+b看作是三角形三邊,很象三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,這樣理解便于記憶,此定理在后面學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)時(shí),可以推廣到比擬復(fù)數(shù)的模長,并有其幾何意義,有時(shí)也稱其為式.(2)絕對(duì)值不等式|a+b|ai+

3、|b|或|a-b|ac|+|cb|,從左到右是一個(gè)不等式放大過程,證實(shí)不等式可以直接使用,也可通過適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)證實(shí)不等式,還可利用它消去變量求最值.絕對(duì)值不等式的解法含絕對(duì)值白不等式|x|a的解集f(xjc(c0)和f(xJ0)型不等式的解法1 .先去絕對(duì)值符號(hào),化為不等式組：f(xjc(c0)?f(x戶c或f(x產(chǎn)c；f(x)Mc(c0)?-cf(x)Ec.2.解關(guān)于x的不等式.不等式f(x)Wg(x)的解法1.將不等式兩邊平方,去絕對(duì)值：1f(x才之g(x注；推論i.a-ba+b2.a-b0a=0a0|x|a的解集-axa的解集xa或x-akwR|x0Ra+b+c|a+b+|c.要點(diǎn)詮釋

4、：(i)關(guān)于定理a-bab2ab(當(dāng)且僅a=b時(shí),取“力)定理2對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)a,b,有a-bVab(當(dāng)且僅a=b時(shí),取“=#)對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a,b,c,有a3+b3+c323abc(當(dāng)且僅a=b=c時(shí),取力)對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a,b,c,有a a+ +b b+ +c c之癡c(當(dāng)且僅a=b=c時(shí),取號(hào))3推廣對(duì)于n個(gè)正數(shù)a,比,|ann之2,有-n儂22川an當(dāng)且僅當(dāng)a1二a2=111=an時(shí)取=n述為n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值要點(diǎn)四：不等式的證實(shí)不等式的性質(zhì)和根本不等式是證實(shí)不等式的理論依據(jù).但是由于不等式的形式多樣,因此不等式的證實(shí)方法也很多比擬法有兩種：1.求差比擬法：任意

5、兩個(gè)代數(shù)式 a、b,可以作差a-b后比擬a-b與0的關(guān)系,進(jìn)一步比擬 a 與b的大小.1 ab0=ab；2 a-b：0=a:b；3 a-b=0=a=b.2.求商比擬法：任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式 a、b,可以作商a+b后比擬旦與1的關(guān)系,進(jìn)一步比擬 a 與b的大小.ba1一1uab；b.a2一：1：-a:二b；b3a=1=a=b.b要點(diǎn)詮釋：1比擬法通常是進(jìn)行因式分解或進(jìn)行配方,利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行判斷.2假設(shè)代數(shù)式 a、b均為負(fù)數(shù),也可以用求商比擬法.綜合法和分析法綜合法和分析法是直接證實(shí)的兩種常用的思維方法1.綜合法其中,ai.a2HI.anna1a2川an叫作這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值和幾何平

6、均值,因此這個(gè)結(jié)論也可以闡一般地,從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運(yùn)算法那么,經(jīng)過演繹推理,一步步地接近要證實(shí)的結(jié)論,直到完成命題的證實(shí),我們把這種思維方法叫做綜合法.2.分析法一般地,從需要證實(shí)的命題出發(fā),分析使這個(gè)命題成立的充分條件,逐步尋找使命題成立的充分條件,直至所尋求的充分條件顯然成立條件、定理、定義、公理等,或由證實(shí)成立,從而確定所證的命題成立的一種證實(shí)方法,叫做分析法.要點(diǎn)詮釋：綜合法的根本思路：執(zhí)因索果；分析法的根本思路：執(zhí)果索因.它們是思維方向互逆的兩種推理方法放縮法通過縮小或放大分式的分母或分子,或通過放大或縮小被減式或減式來證實(shí)不等式,這種證明不等式的方法稱為放縮

7、法.要點(diǎn)詮釋：放縮法的要求較高,要想用好它,必須有目標(biāo),目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中去尋找.幾何法通過構(gòu)造幾何圖形,利用幾何圖形的性質(zhì)來證實(shí)不等式的方法稱為幾何法反證法反證法是間接證實(shí)的一種根本方法.一般地,首先假設(shè)要證實(shí)的命題結(jié)論不正確,即結(jié)論的反面成立,然后利用公理,的定義、定理,命題的條件逐步分析,得到和命題的條件或公理、定理、定義及明顯成立的事實(shí)等矛盾的結(jié)論,以此說明假設(shè)的結(jié)論不成立,從而證實(shí)了原命題成立,這樣的證實(shí)方法叫做反證法.反證法的根本思路：假設(shè)一一矛盾一一肯定要點(diǎn)五：不等式的應(yīng)用不等式的應(yīng)用十分廣泛,不僅可以解決一些數(shù)學(xué)問題,而且也可以解決其他學(xué)科中以及生產(chǎn)生活中的一些問題.在應(yīng)用

8、時(shí)一般按以下步驟進(jìn)行：先理解題意,設(shè)變量,設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大或最小值；寫出正確答案.【典型例題】類型一：絕對(duì)值不等式例1.解以下關(guān)于 x 的不等式：(1)|2x+3|1;(2)|3x4|x1;(3)|x-4|-|2x+5|1.【思路點(diǎn)撥】去絕對(duì)值,轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式(組)的形式【解析】(1)由原不等式可得2x+31,x-1,原不等式的解集為x|x1.(2)當(dāng)x-10,即x1時(shí),有：x-10一一,53.原不等式的解集為x|5；x.,42(3)原不等式可化為:綜上所述,原不等

9、式的解集為x|x2.3【總結(jié)升華】解含有絕對(duì)值的不等式的關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值符號(hào),處理的方法通常是利用絕對(duì)值的定義與幾何意義或平方等方法.對(duì)含多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式一般利用零點(diǎn)分段法,分類討論.如此題(3)中,分別令x-4=0,5.55一,一2x+5=0,得兩個(gè)手點(diǎn)x1=4,x2=-.故分x4二種情況.222舉一反三：【變式1】U=R,A=&兇,B=x|x2|1,.A=x|x由|x2|1得1x21,即1x3,.B=x|1x3.借助數(shù)軸得：(0A)Tl(CUB)=x|-1xx+1.【答案】原不等式可化為下面不等式組來解53解得一二x一,42-(x-1):3x-4:二x-1rx當(dāng)2一(x4)

10、+解不等式組得:解不等式組得:解不等式組得:2x5二1x-8.245_x4,或.、一一(x4)2x5：11,CUA=x|-1x0八2x1x12不等式組的解為x0；不等式組的解集為x-232原不等式白斛集為x|x0.3【變式3】解不等式|x|下.1x1xx【答案】由題意得0,即x(x+1)0,解得1x0,1x原不等式的解集為xI1x3 的解集；(2)假設(shè) f(x)x4|的解集包含1,2,求a的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】此題第(1)問較簡單,一般用零點(diǎn)劃分法就可以轉(zhuǎn)化,第(2)問容易犯直接求解 f(x)x4|的解集的錯(cuò)誤,應(yīng)該是利用1,2是其解集而將絕對(duì)值先去掉再轉(zhuǎn)化為1,2J-2-a,2-a這一問題

11、,注意不要弄反._|_-2x5,x12,I【解析】(1)當(dāng) a=3 時(shí),f(x1,2x3.當(dāng)x猖一2x+53,解得xl;當(dāng) 2Vx3 無解；當(dāng)x3時(shí),由 f(x)3得 2x53,解得x4所以 f(x)4 的解集為x|x4.(5 分)(2)f(x)x+a|u4-x-(2-x)x+a|u-2-ax2-a.由條件得一 2a2,即一 3a0.故滿足條件的a的取值范圍為3,0.(10 分)【總結(jié)升華】等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中是一重要的數(shù)學(xué)思想方法之一,應(yīng)用其思想的關(guān)鍵是強(qiáng)調(diào)等價(jià)兩字,轉(zhuǎn)化的目的是使問題簡單化.舉一反三：【變式1】假設(shè)存在實(shí)數(shù)x使|xa|+|x1|W 成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】由絕對(duì)值

12、不等式的幾何意義可知,數(shù)軸上點(diǎn)x到a點(diǎn)與1點(diǎn)的距離的和小于等于3.由圖可得一 2m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】|x2|+|x+3|表示數(shù)軸上任意一點(diǎn)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到2與-3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和,易知|x2|+|x+3 戶 5,所以,m5.【變式3】(2021中山市模擬)函數(shù)f(x)=|x-a|.(1)假設(shè)f(x)wm的解集為x|-1x5,求實(shí)數(shù)a,m的值；(2)當(dāng)a=2且0Wtf(x+2)【解析】(1)由于f(x)m,所以|x-a|m,即a-mxwa+m,l2x10或-(2x1)x1由于f(x)m的解集為x|-1xf(x+2)等價(jià)于|x-2|+t引x|,當(dāng)x2時(shí),x-2+tx,即

13、t2與條件0Wt2矛盾,t2當(dāng)0Wxx,即0 x成立2當(dāng)xx,即t-2恒成立.綜上不等式白解集為i-g,r2l.2例 1 13.3.0,|x-a|5,|yb|匕求證：|2x3y-2a-3b|二5.【思路點(diǎn)撥】利用絕對(duì)值的兩個(gè)性質(zhì)給予證實(shí)【證實(shí)】由于|x-at,y-b&?所以2x+3y-2a-3b二(2x-2a3y-3b=2x-a3y-b|2(x-aJ+3(y-b)?=2x-a+3y-b23=5.所以|2x3y-2a-3b|二5.【總結(jié)升華】 絕對(duì)值不等式|a+b|a|+|b|從左到右是一個(gè)不等式放大過程,從右到左是縮小過程,證實(shí)不等式可以直接使用,也可通過適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)證實(shí)不等式,還可

14、利用它消去變量求最值.舉一反三：【變式】函數(shù) f(x)=Ji+x2,設(shè) a,bR,且 a#b,求證：|f(a)-f(b,|a-b|.【證實(shí)】由于|fafb|=|.1a2-.1b2|2J(1=a2)(1=b2)|.1a211b2|a2-b21：|a|b|(ab)(a-b)|一|ab|=|a-b|,所以原不等式成立.類型二：平均值不等式42例4.右0 x,求f(x)=x(4-3x)的最大值3【思路點(diǎn)撥】適當(dāng)拼湊,利用平均值不等式的定理求函數(shù)的最值【解析】f(x)=x2(4-3x)=3x|_3-xL(4-3x)4,一43一由于0 x,所以x和43x都是正數(shù),所以32當(dāng)且僅當(dāng)3x=4-3x,即x=8時(shí)

15、取等號(hào).29所以,f(x)的最大值為256.243【總結(jié)升華】(1)當(dāng)假設(shè)干正數(shù)的積為定植時(shí),可以求它們的和的最小值,當(dāng)假設(shè)干正數(shù)的和為定植時(shí),可以求它們的積的最小值,正所謂積定和最小,和定積最大(2)求最值的條件-正,二定,三取等.舉一反三：5【變式1x0,4y=4x-2-=一5-4x-3-23=1.4x-55-4x一,1當(dāng)且僅當(dāng)54x=,即x=1時(shí),上式等號(hào)成立,故當(dāng)x=1時(shí),ymax=1.5-4x19【變式2x0,y0,且一+=1,求x+y的最小值.xy【答案】16.19,；x0,y0,-+-=1,xy,19)y9x,x+y=(x+y)+=2+10之6+10=16_xyJxyc、4-3x

16、)一9?x+：x+(4-3x)34256-=9243因4x50,b0,c0,且abc=1.(I)證實(shí)：(1+a)(1+b)(1+c)8;(口)證實(shí)：v;+Vb+v2Val+b2 五,l+c2 灰,相乘即可證實(shí)結(jié)論.(n)禾1J用二1ab+bc+ajab+bc2dab2c 二 ab+ae2 爪 2b 燈二2向,人+水2丁二 2 代,3PC相加證實(shí)即可.【證實(shí)】(I)l+a2心,l+b2 五,l+c2F,相乘得：(1+a)(1+b)(1+c)8abc=8當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立實(shí)數(shù)a,b,c滿足a0,b0,c0,且abc=1.(1+a)(1+b)(1+c)8(n)工 W+ab+bc+ac,

17、abcab+bc2Vab2c=2Vb,ab+ac2v1.a2bbc+ac2VabC2=2A/C,相加得：-.I_3bc【總結(jié)升華】運(yùn)用根本不等式時(shí),要保證：正、二定、三相等,此題是根底題舉一反三：【變式1】(2021贛州一模)設(shè)a、b為正實(shí)數(shù),且-+-=2/2.ab(1)求a2+b2的最小值;(2)假設(shè)(a-b)24(ab)3,求ab的值.【解析】(1);a、b為正實(shí)數(shù),且-+-=2/2.b為正實(shí)數(shù),且工+2=2&3abVab即ab?a=b時(shí)等號(hào)成立a2+b22ab=X=1(a=b時(shí)等號(hào)成立)2,a2+b2的最小值為1,一.、23(2)(a-b)4(ab),(a-b)2o(a=b時(shí)等號(hào)

18、成立).即4(ab)3Qab0,b0,2ca+b,用分析法證實(shí)：c-&2abac+7cab.【證實(shí)】要證c-.cab:a：ccab,只要證一Jc2-aba-cJc2-ab,即證|a-c|0,也就是證ab：2c,由條件可知,顯然成立故c-cab二a：c.cab.【總結(jié)升華】分析法是由果索因,在用分析法證實(shí)問題時(shí),一定要恰當(dāng)運(yùn)用要證、只要證“、即證“、也即證等用語.舉一反三：一a、a=b時(shí)等號(hào)成立【變式2】設(shè)a、b、c三數(shù)成等比數(shù)列,而x、y分別為a、b和b、c的等差中項(xiàng).【證實(shí)】依題意,a、b、c三數(shù)成等比數(shù)列,即由比例性質(zhì)有又由題設(shè),y二所以ac2a2c十=十2b上2c2(b+d=J=

19、bcbcbc=2.【變式】函數(shù)f(x)=tanx,xw(0,一).升二一 i 一.1_一,x1x9x假設(shè)x1,x2W(0,),且xi*乂2,用分析法證實(shí)：一f(x1)+f(x2XAf(二一-).【證實(shí)】要證f(x1)+f(x2XAf(x xi；x2x2) )即證實(shí)1(tanx1tanx2)tanx-x2221 ,sinx1sinx2、x1x2只需證實(shí)一(1-).tan-22 c0sxicosx22只需證實(shí)sin(Xi+X2)sin(xi+X2),2cosx1cosx21cos(xx2)由于X,x2u(0,),故xi+x2u(0,n),所以c0sxicosx20,sinxx2i0,1cos(x1

20、x2)0.故只需證實(shí)1cosx1x2j大2c0sxicosx2,即證1cosx1cosxsinx1sinx22cosx1cosx2.即證cos(x1x2)：1,由于X,x2u(0,-),且x1豐x2,所以上式成立.所以1f(X)+f(x2工f(x x1).22例7.用比擬法證實(shí)：(1)a5+b5a2b3+a3b2,(ab且 b)(2)a2ab2bA(ab廣(ab0).【思路點(diǎn)撥】(1)用求差比擬法,(1)用求商比擬法.【證實(shí)】5,52,33,2、(1)(ab)-(abab)c11c10:二一：二一,0:二一：a2111十一0,-a+b0,a+ab+b0,一,、2一又a#b,(a-b)0,.(a

21、b)(a-b)2(a2abb2)0,.52ba332b3+a3b2,得證.(2)2al2baba：;babab0,1,a-b0,ba 也又ab0,ab0,a2ab2b(abf+.【總結(jié)升華】比擬法是證實(shí)不等式的一種最根本、最重要的一種方法,用比擬法證實(shí)不等式的步驟是：作差商一變形一判斷符號(hào)比擬與1的大小一下結(jié)論.舉一反三：【變式1】用比擬法證實(shí)：a4-b4a2b-ab2.【證實(shí)】11丁一5-g%一油：二a 一,by一三/J.24【變式2】用求商比擬法證實(shí)：假設(shè)a2,b2,那么a+bab.ab11【證實(shí)】,ababa2,b2,二次方程ax2+bx+c=0(a#0)有兩個(gè)以上的實(shí)數(shù)根,且各不相等.

22、令x1、x2、x3為方程的三個(gè)相異實(shí)根,那么:ab:ab.區(qū) J8J8.用放縮法證實(shí):111Tl17F2屐1Tz【思路點(diǎn)撥】將1,11一“,放大為,_,注意從第三項(xiàng)開始放縮nn-1n=n(n-1)n-11111111,1122HI-：12(,卜-122232n22223n-1n二54【總結(jié)升華】放縮拆項(xiàng)時(shí),不一定從第一項(xiàng)開始,須根據(jù)具體題型分別對(duì)待,真正做到恰到好處.舉一反三：即不能放的太寬,也不能縮的太窄,4xe、r【變式】函數(shù)fx=x,用放縮法證實(shí):14f1f2.11,一*、fnnN).4x14x=1-14n得f(1)+f(2)+f-22712-1+1-I22nJ111,1二n(-HI)n

23、2242n例9.在ABC中,A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,假設(shè)【思路點(diǎn)撥】用反證法證實(shí).a、b、c三邊的倒數(shù)成等差數(shù)列,求證：B90.【解析】假設(shè)B90,從而B是4ABC的最大角,所以b是/ABC的最大邊,即ba,bc.1111所以一 A 一,abcb一,11211所以,這與_+一所以B90不成立,故B90.【總結(jié)升華】結(jié)論中假設(shè)有都是“、都不是“、至多“、至少等字眼,或直接從正面證實(shí)較為困難的問題,一般可以考慮使用反證法.舉一反三：【變式1試證二次方程至多有兩個(gè)不同的實(shí)根【證實(shí)】假設(shè)精品文檔用心整理axbX+c=Oax；+bx；+c=O:+c=0(D由-得：(xL-xJ=0二 x；壬工；.a(x+x；)+b-0由-得工 a(-J+b(K：rJ=0：*豐x：a(xL+xJ+b=0由-得&-注)=00.x