以密度為基礎的隨機變量概率分布

1、第五講第五講 以密度為基礎的隨機變量概率分布以密度為基礎的隨機變量概率分布 本次課講授第二章第五節(jié)、第六節(jié)、第本次課講授第二章第五節(jié)、第六節(jié)、第七節(jié)、第八節(jié)七節(jié)、第八節(jié) 下次課講授第二章第八節(jié)、第九節(jié)、第下次課講授第二章第八節(jié)、第九節(jié)、第十節(jié)、第十一節(jié)十節(jié)、第十一節(jié) 下次上課時交作業(yè)下次上課時交作業(yè)P17P20 重點：連續(xù)隨機變量的密度、分布及其重點：連續(xù)隨機變量的密度、分布及其關(guān)系關(guān)系 難點：同上難點：同上第五講第五講 以密度為基礎的隨機變量概率分布以密度為基礎的隨機變量概率分布相相減減概概率率了了。概概率率累累加加得得函函數(shù)數(shù)，反反向向各各點點左左閉閉區(qū)區(qū)間間了了；，若若求求離離散散分分布

2、布函函了了；右右左左外外隨隨機機變變量量有有區(qū)區(qū)間間，間間，非非負負規(guī)規(guī)范范單單調(diào)調(diào)了了；回回顧顧：連連續(xù)續(xù)分分布布函函數(shù)數(shù)好好10例例1)0 ,)(2(),(1112 ）充充滿滿空空間間（的的可可能能值值的的分分布布函函數(shù)數(shù)，如如果果可可否否是是連連續(xù)續(xù)隨隨機機變變量量函函數(shù)數(shù)XXx布布）函函數(shù)數(shù)不不單單調(diào)調(diào)，不不是是概概率率（分分解解：)()1(2)(),(,11)()1(222xFxxxFxxxF 單單調(diào)調(diào)增增加加，時時，）（, 0)(0)1(2)(222 xFxxxxF, 1)0(, 011lim)(2 FxFx 01011)(2xxxxF重重新新定定義義的的分分布布函函數(shù)數(shù)是是隨隨機

3、機變變量量則則XxF)(第五講第五講 以密度為基礎的隨機變量概率分布以密度為基礎的隨機變量概率分布解解 xXPxFX1 x, 021 x, 2 . 032 x, 5 . 02 . 0 3 x, 3 . 05 . 02 . 0 2 . 07 . 01-11230 xxiixpxXPxF)()()(已知已知求求X 的分布函數(shù)的分布函數(shù)FX(x)。P-1230.20.50.3X例例2第五講第五講 以密度為基礎的隨機變量概率分布以密度為基礎的隨機變量概率分布例例3的概率分布列。的概率分布列。試求試求的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：設隨機變量設隨機變量XxxxxxFX 31318 . 0114 . 010)

4、(來來求求的的離離散散分分布布，應應用用斷斷點點為為解解：這這是是一一個個有有斷斷點點（)()()()()()()()3 , 1 , 111 iiiiiiiaFaFaXPaXPaXPaXPaXP2 . 08 . 01)1()3()3(4 . 04 . 08 . 0)1()1()1(4 . 0)()1()1( FFXPFFXPFFXPxp2 . 04 . 04 . 0311第五講第五講 以密度為基礎的隨機變量概率分布以密度為基礎的隨機變量概率分布種種情情況況的的概概型型。遇遇到到紅紅燈燈）是是否否發(fā)發(fā)生生兩兩試試驗驗每每次次事事件件是是三三次次獨獨立立相相互互獨獨立立，因因此此，本本題題分分析析

5、：三三個個崗崗遇遇到到紅紅燈燈(A即：即：其概率函數(shù)為：其概率函數(shù)為：則則個崗遇到紅燈的次數(shù)，個崗遇到紅燈的次數(shù)，為為解：設解：設. 3 , 2 , 1 , 0,)53()52().52, 3(333 kCkXPBXXkkk例例4 4（19971997年數(shù)學一，年數(shù)學一，7 7分）分） 從學校乘汽車到火車站的途中有從學校乘汽車到火車站的途中有3 3個交通崗，假設在各個交個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是0.4.0.4.設設X X為為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機變量途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機變量X X的分布律和分布函數(shù)。的

6、分布律和分布函數(shù)。第五講第五講 以密度為基礎的隨機變量概率分布以密度為基礎的隨機變量概率分布.1258)3(,12536)2(,12554)53()52()1(,12527)53()52()0(21133003 XPXPCXPCXP xxiixPxXPxF)()()(), 3),3 , 2),2 , 1 ),1 , 0),0 ,(分別求函數(shù)值分別求函數(shù)值中中分布函數(shù)則要求在分布函數(shù)則要求在 . 3, 1, 32,125117, 21,12581, 10,12527, 0, 0)(xxxxxxF第五講第五講 以密度為基礎的隨機變量概率分布以密度為基礎的隨機變量概率分布第五講第五講 以密度為基礎的

7、隨機變量概率分布以密度為基礎的隨機變量概率分布xxxXxPxfx )(lim)(0處的概率密度在為隨機變量則稱xXxf)(一、概率密度函數(shù)的概念一、概率密度函數(shù)的概念1.概率密度函數(shù)定義：概率密度函數(shù)定義：則比值則比值xxxXxP)(0) x設隨機變量設隨機變量X 落在區(qū)間落在區(qū)間 ),(xxx 上的上的概率為概率為: )(xxXxP即，記作平均概率密度極限存在時且，若上的平均概率密度。而在稱為),(0,xfxxxxX 密度實際上是單位區(qū)密度實際上是單位區(qū)間上的概率間上的概率第五講第五講 以密度為基礎的隨機變量概率分布以密度為基礎的隨機變量概率分布 )()(limlim)(00 xfxxxXx

8、PxxFxxFxFxx，即即密密度度為為分分布布導導數(shù)數(shù))()(xfxF 由由定定義義知知：求求）由由（)()(1xfxF)(),(2xFxf求求）若若已已知知（dttftdFdxxfxdFxfxF)()(,)()(),()( xxxxdttfxFFdttfFxFdttftdF），）即：即：）兩邊積分：兩邊積分：()(, 0)()()(,()( ydttfyF）：同同理理()( xXPxF xdxxf 由分布定義：由分布定義：第五講第五講 以密度為基礎的隨機變量概率分布以密度為基礎的隨機變量概率分布 的的密密度度求求法法：）區(qū)區(qū)間間概概率率（213xXxP 122121xFxFdxxfxXxP

9、xx 12)()()()()(1221xxdttfdttfxFxFxXxP 211211)()()()(xxxxxxdttfdttfdttfdttf 122121xFxFdxxfxXxPxx xdxxfxFFXxPxXP)()()()()(特殊地，特殊地，021xXPxXP xfy x xfO2x1x 21xXxP 2.概率密度的性質(zhì)：概率密度的性質(zhì)： 曲曲線線通通常常稱稱為為分分布布曲曲線線）非非負負性性：（)(;01xfxf 1)(0)(0)()( babbaadxxfdxdxxfdxdxxfF十十分分重重要要。何何時時為為時時，注注意意求求因因此此，用用0)()()(xfxFxf。其其它

10、它密密度度可可重重新新定定義義為為時時，同同理理，時時，因因此此，無無窮窮區(qū)區(qū)間間上上的的，但但是是，密密度度是是定定義義在在 , 0),()(:, 0)(, 0)(0)(1)()(1bxaxfxfxfbxxfaxxXxPaxdxxfbXaPba）積分規(guī)范性：）積分規(guī)范性：（21)()()( FFdxxf）定義無窮性：）定義無窮性：（3則則：定定義義在在區(qū)區(qū)間間上上若若隨隨機機變變量量,baX第五講第五講 分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù)與概率密度第五講第五講 以密度為基礎的隨機變量概率分布以密度為基礎的隨機變量概率分布例例5-1-1 (柯西分布柯西分布)設連續(xù)隨機變量設連續(xù)隨機變量X 的分布函數(shù)為

11、的分布函數(shù)為.,arctan)( xxBAxF 求求: (1)系數(shù)系數(shù) A 及及 B ; (2) 隨機變量隨機變量X 落在區(qū)間落在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的概率內(nèi)的概率; (3)隨機變量隨機變量X的概率密度的概率密度. 解解 (1) xBAxFxxarctanlim)(lim , 02 BA ( )limlim+ arctan xxF xABx, 12 BA 解得解得 .1,21 BA. ,arctan121)( xxxF (2) 11 XP 11 FF4121 4121 .21 xFxf (3) . ,112 xx 解解(1)20, 1sinxdx(2), 12sin0 xdx不是不是. (3)當

12、當 時時, 23,x, 0sin x與與 矛盾矛盾, 0 xf不是不是. 函數(shù)函數(shù) 可否是隨機變量可否是隨機變量X 的概率密度的概率密度, 如果如果X 的可能值的可能值 xsin充滿區(qū)間充滿區(qū)間: .23, 03 ;, 02 ;2, 01 例例5-1-2第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布只要按照區(qū)間無窮定義：只要按照區(qū)間無窮定義： ., 0;20,sin其其它它xxxf即可即可. 0)(2, 0 xfxx時時注意：注意： 例例5-1-3 (拉普拉斯分布拉普拉斯分布) 連續(xù)隨機變量連續(xù)隨機變量X 的概率密度為的概率密度為 . , xAexfx求求: (

13、1)系數(shù)系數(shù) A ; (2) 隨機變量隨機變量X 落在區(qū)間落在區(qū)間(0,1)內(nèi)的概率內(nèi)的概率; (3)隨機變量隨機變量X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). .21 A . ,21 xexfx.21ee xtdte21.21xe 當當 時時, 0 x xdttfxF 021dtet xtdte021.211xe 第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布解解 (1) dxAedxxfx 00dxedxeAxxA2 . 1 由規(guī)范性求系數(shù)由規(guī)范性求系數(shù)(2)由密度求區(qū)間概率由密度求區(qū)間概率 10 XP 1021dxex(3)由密度積分求分布由密度積分求分布 xdttfxF

14、x時時，0講授下例前，介紹常用的伽瑪函數(shù)的定義：講授下例前，介紹常用的伽瑪函數(shù)的定義： 01dxexx 0 伽瑪函數(shù)的性質(zhì)：伽瑪函數(shù)的性質(zhì)： ;1 .21)!1()( nn . 0,211; 0,21xexexFxx21! 021)1(21)121()23( 例如：例如：第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布冪指積函數(shù)冪指積函數(shù)1222kAk 即：即：2212kAk012212dtetAtkk解解 dxxf0212dxexAxk1令令,2tx 得得 ,2dtdx 012)2(dtetktk令例例5-1-45-1-4 設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量X 的

15、概率密度為的概率密度為 . 0 , 0;0,212xxeAxxfxk當當當當其中其中 k 為正整數(shù)，求系數(shù)為正整數(shù)，求系數(shù) A 的值。的值。 0)(, 0 xfx注意注意第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布 注意伽馬函數(shù)形注意伽馬函數(shù)形式一致性。式一致性。二、均勻分布與指數(shù)分布二、均勻分布與指數(shù)分布1.均勻分布：均勻分布：定義定義設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量 X 的一切可能值充滿某一個有限區(qū)的一切可能值充滿某一個有限區(qū)并且在該區(qū)間內(nèi)任一點有相同的概率密度，即：并且在該區(qū)間內(nèi)任一點有相同的概率密度，即： ,baxCxf 則這種分布叫做則這種分布叫做均

16、勻分布均勻分布（或（或等概率分布等概率分布）。）。, ,ba間間abC1 100)()( abCdxdxCdxdxxfFbbaaOabab1 xfx第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布 . , 0;,1bxaxbxaabxf或或當當當當 xXPxFxaadxabdx10abax 當當 axb時，時，當當 xa時，時， ; 0 xXPxF當當 xb時，時， 1)()()( xbbaadxxfdxxfdxxfxXPxF第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布均勻分布的分布函數(shù)的圖形分別如下：均勻分布的分布函數(shù)的圖形分別

17、如下：Oab1 xFx 0 ;0 ; ;1 .1 .xax -aF xaxbb -axb第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布 dxxf 0 dxex10 xe 顯然顯然指數(shù)分布指數(shù)分布 e的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 2.指數(shù)分布指數(shù)分布定義定義2 2 . 0 , 0 ; 0, xxexfx當當當當 其中其中 0 為常數(shù)。為常數(shù)。設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量X 的概率密度的概率密度此類分布為此類分布為指數(shù)分布指數(shù)分布， . eX若若隨機變量隨機變量X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布的指數(shù)分布 , e記作記作0)(0 xfx時時注意：注意：10)()(0

18、00 xxtxtxeedtedtdttfxF 第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布O xfxO1 xFx ,;,. 1000 xexF xx 即：即：第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布因隨機變量因隨機變量 X 在在2,5上服從均勻分布上服從均勻分布,則則 X 的概率密度的概率密度:解解: ,.1230,xfx 其其它它獨立觀測獨立觀測,試求至少有試求至少有2次觀測值大于次觀測值大于3的概率的概率.設隨機變量設隨機變量 X 在在2,5上服從均勻分布上服從均勻分布,現(xiàn)對現(xiàn)對 X 進行進行3次次例例5-3-1(19

19、89)觀測值大于觀測值大于3的概率的概率:+3(3) =( )p = P Xf x dx .5312=33dx22333321220(2) =( )( ).33327p mCC3次觀測中有次觀測中有2次觀測值大于次觀測值大于3的概率為的概率為:第五講第五講 分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù)與概率密度次次的的概概率率至至少少發(fā)發(fā)生生次次獨獨立立試試驗驗中中，觀觀測測值值分分析析：233 X解解 1000 XP.368. 01e1000100010001dxex已知某電子管的壽命已知某電子管的壽命X （小時）服從指數(shù)分布：（小時）服從指數(shù)分布： . 0 0;0100011000 xxexfx求這種電子管

20、使用求這種電子管使用1000小時以上的概率。小時以上的概率。例例5-2-2 某儀器裝有某儀器裝有3只獨立工作的同型號電子元件只獨立工作的同型號電子元件,其壽命其壽命(單位單位:h)都服從同一指數(shù)分布都服從同一指數(shù)分布,概率密度為概率密度為:例例5-3-3(1989)：第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布 ;.6001060000 x-exf xx 試求試求:在儀器使用的最初在儀器使用的最初200小時內(nèi)至少有一只元件損壞的概率小時內(nèi)至少有一只元件損壞的概率 . 解解設隨機變量設隨機變量X表示電子元件的壽命表示電子元件的壽命(單位單位:h),P(A)=P(

21、 0 X 200 )20060001600 xedx .1-31- e次次的的概概率率。至至少少發(fā)發(fā)生生：次次重重復復獨獨立立試試驗驗的的概概率率，也也就就是是求求壽壽命命：個個的的個個元元件件中中至至少少概概率率，即即求求個個元元件件至至少少一一個個損損壞壞的的分分析析：求求1200032000133 XAX)0(1)1(33PmP 1331031031)()1(1 eeeC第五講第五講 分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù)與概率密度第五講第五講 分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù)與概率密度積分伽馬了。積分伽馬了。系數(shù)要正指數(shù)負，冪指系數(shù)要正指數(shù)負，冪指正好兩半了；正好兩半了；指數(shù)分布正參數(shù)，區(qū)間指數(shù)分布正參

22、數(shù)，區(qū)間分母密度了；分母密度了；均勻分布度量好，放到均勻分布度量好，放到關(guān)系搞清了。關(guān)系搞清了。概率分布和密度，三者概率分布和密度，三者密度變零了，密度變零了，隨機變量有區(qū)間，間外隨機變量有區(qū)間，間外，非負積分規(guī)范了，非負積分規(guī)范了，概括：密度單位區(qū)間概概括：密度單位區(qū)間概三、隨機變量的函數(shù)的分布三、隨機變量的函數(shù)的分布設設 g(x) 是定義在隨機變量是定義在隨機變量X 的一切可能值的一切可能值 x 的集合上的函數(shù)的集合上的函數(shù),若存在隨機變量若存在隨機變量Y，當變量當變量X 取值取值 x 時，時， Y 有唯一值有唯一值 y = g (x)與與之對應，則稱之對應，則稱Y Y是隨機變量是隨機變量

23、 X 的函數(shù)的函數(shù))(XgY ( (一）離散型隨機變量的函數(shù)的概率分布一）離散型隨機變量的函數(shù)的概率分布1.1.定義定義：設隨機變量設隨機變量X 的概率分布為：的概率分布為：X1x)(1xp2xnx)(ixXP )(nxp)(2xp則隨機變量函數(shù)則隨機變量函數(shù) XgY 的概率分布是：的概率分布是： Y)(11xgy )(1yp)(iyYP )(nyp)(2yp)(22xgy )(nnxgy 第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布2.定義說明：定義說明：最最關(guān)關(guān)鍵鍵式式的的分分布布，所所以以定定義義中中等等）函函數(shù)數(shù)分分布布就就是是自自變變量量（., 2

24、, 1),()()(1 ixPxgYPyYPxiiii)(, 2 , 1),()(, 2 , 1),(.21ijkjijiiijiijiixPkjxgyPyPkjxgyxyxyY 則則如果如果可能對應多個可能對應多個即一個即一個值不一定唯一，值不一定唯一，對應的對應的）由定義，每一個）由定義，每一個（率率之之和和概概率率等等于于對對應應變變量量的的概概記記住?。弘S隨機機變變量量函函數(shù)數(shù)的的第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布例例5-3-1 設隨機變量設隨機變量X 的概率分布為：的概率分布為：- -2 - -1 01230.100.20 0.250.20

25、0.150.10求：求：(1)隨機變量隨機變量Y1= - 2X的概率分布；的概率分布；(2)隨機變量隨機變量Y2=X 2的概率分布。的概率分布。XP(X=xi )解解 （1） 由已知有由已知有)(1iyYP 420- -2 - -4 - -6 0.100.20 0.250.200.150.10XY21 把隨機變量的可能值由小到大排列把隨機變量的可能值由小到大排列的概率分布為的概率分布為XY21 第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布)(1iyYP - -6 - -4 - -2 0 240.100.150.200.250.200.101Y（2） 顯然有：顯

26、然有： iyYP 24101490.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.1022XY iyYP 201490.250.400.250.102Y整理得整理得的概率分布的概率分布2Y第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布求隨機變量求隨機變量 的概率分布。的概率分布。 XY2sinX ixXP 12n21221n21例例5-3-2 設隨機變量設隨機變量的概率分布為：的概率分布為：X解解由于由于2sin n,43nk, 1, 2nk, 0, 4 -1nk, 1, , 1 2 3k所以，隨機變量函數(shù)所以，隨機變量函數(shù) 只有三個取值只有三個取值-1，0

27、，1。 XY2sin）, 14 , 7 , 3( 1)2sin(1kxPxPYP第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布1YPk37411112224321121,152) 14()7()3(, 14 , 7 , 3( 1)2sin(1kxPxPxPkxPxPYP） 0 YP 1 YP同理可解：同理可解：第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布 0 YPk2422121212221121,31 1 YP54 -3111222k421121,158整理得整理得 的概率分布的概率分布 Y iyYP Y- -10115231

28、158第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布（二）連續(xù)隨機變量函數(shù)的分布（二）連續(xù)隨機變量函數(shù)的分布)()(yYPyFY)(yXgP設設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為 ,又又x的函數(shù)的函數(shù) 存在反函數(shù)存在反函數(shù) ，則函數(shù)，則函數(shù) 也是一個連續(xù)型隨機變量，也是一個連續(xù)型隨機變量，且：且：)(1xg)(xgY )(xgY )(xf1.定義：定義：)()( yYPyFY )(yXgP 2.定義說明定義說明(1) 設函數(shù)設函數(shù) g(x) 單調(diào)增加單調(diào)增加, 則它的反函數(shù)則它的反函數(shù) x = g -1-1( y ) 也單調(diào)增加也單調(diào)

29、增加. )()(11ygxXPygXP xgy xyO yg1 y第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布)(1ygxFX ）的的復復合合函函數(shù)數(shù)的的中中間間變變量量是是關(guān)關(guān)于于yxygxFdydygFdydyfY()()()(11 )()( )()( )()()()(1111 ygygfygxfygxxFyfxgyY單單調(diào)調(diào)增增加加時時：即即(2) 設函數(shù)設函數(shù))(xg是單調(diào)減函數(shù)，是單調(diào)減函數(shù)，則它的反函數(shù)函數(shù)則它的反函數(shù)函數(shù) )(1ygx 也是單調(diào)減函數(shù)。也是單調(diào)減函數(shù)。的區(qū)間概率求出的。的區(qū)間概率求出的。轉(zhuǎn)換成已知的轉(zhuǎn)換成已知的的區(qū)間概率的區(qū)間概率

30、的分布是通過的分布是通過變量函數(shù)變量函數(shù)請注意基本思路：隨機請注意基本思路：隨機XYY第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布 )( )()()()(1111 ygxFygygFygxFdydyfXY）（)()(yYPyFY )(yXgP )(1ygXP dxxfygX)()(1 ) )()() )()()()(111 ygxfygygxFyFyfYY xgy xyO yg1 y)(1)()(11ygxFygxFF 第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布例例5-3-3 .0)(都都是是常常數(shù)數(shù)及及的的概概率率密密度度

31、，其其中中，求求隨隨機機變變量量函函數(shù)數(shù)的的概概率率密密度度為為設設連連續(xù)續(xù)隨隨機機變變量量 babXaYxfXX第五講第五講 概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機變量函數(shù)的概率分布解解)()()( ybXaPyYPyFYyY 的的分分布布函函數(shù)數(shù)，隨隨機機變變量量對對于于任任意意的的實實數(shù)數(shù)bxay 為單調(diào)函數(shù)，為單調(diào)函數(shù)，,bayx .1bx 單調(diào)遞減單調(diào)遞增，0, 0bb，則有，則有設設0 )1( b)()( bayXPyFY bayXdxxf)()(11)()()()( bayfbbbayfdxxfdydyFyfXXbayXYY，則有，則有設設0 )2( b)()( bayXPyFY bayXdxxf)()(11)()( bayfbbbayfyfXXY 都在全無窮區(qū)間上）都在全無窮區(qū)間上）與與的開區(qū)間（注意的開區(qū)間（注意區(qū)間確定區(qū)間確定區(qū)間，由區(qū)間，由定區(qū)間：即求定區(qū)間：即求YXYXY)1(的的分分布布。的的密密度度積積分分再再轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化成成定定點點轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化成成區(qū)區(qū)間間視視為為將將的的分分布布。通通過過區(qū)區(qū)間間概概率率的的分分布布轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化成成變變分分布布：將將XXyXY)2(對對應應的的區(qū)區(qū)間間?；蚧蚺?/p>