考研導數(shù)定義1)

1、導數(shù)與微分導數(shù)與微分微分學導數(shù)導數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運動的工具 (從微觀上研究函數(shù))大綱要求大綱要求 1、理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)與微分的關系，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系 2、掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分大綱要求大綱要求 3、了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù) 4、會求分段函數(shù)的導數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導數(shù). 一一

2、 、導數(shù)的定義、導數(shù)的定義定義定義1 . 設函數(shù))(xfy 在點0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并稱此極限為)(xfy 記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義 , 在點0 x處可導可導, 在點0 x的導數(shù)導數(shù). 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 運動質(zhì)點的位置函數(shù))(tfs so0t)(0tf)(tft在 時刻的瞬時速度0t lim0ttv)()(0tft

3、f0tt 曲線)(:xfyC在 M 點處的切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 說明說明: 在經(jīng)濟學中, 邊際成本率,邊際勞動生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學角度看就是導數(shù).機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述極限不存在 ,在點 不可導. 0 x若,lim0 xyx也稱)(xf在0 x若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點都可導,此時導數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導函數(shù).記作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfx

4、xfd)(d0就說函數(shù)就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導. 的導數(shù)為無窮大 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:例例. 證明函數(shù)xxf)(在 x = 0 不可導. 證證:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在 , .0不可導在即xx例例. 設)(0 xf 存在, 求極限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )( 2 )(0hhxf)(

5、0 xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義xyo)(xfy CT0 xM曲線)(xfy 在點),(00yx的切線斜率為)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲線過上升;若,0)(0 xf曲線過下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切線與 x 軸平行,稱為駐點駐點;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切線與 x 軸垂直 .曲線在點處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0時 xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 處可導在點xxf

6、)(三、三、 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系定理定理1.處連續(xù)在點xxf)(證證: 設)(xfy 在點 x 處可導,)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函數(shù))(xfy 在點 x 連續(xù) .注意注意: 函數(shù)在點 x 連續(xù)未必可導連續(xù)未必可導.反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導.即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點0 x的某個右右 鄰域內(nèi)四、四、 單側(cè)導數(shù)單側(cè)導數(shù))(xfy 若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為)(xf在 處的右右 導數(shù)導數(shù),0

7、x記作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 處有,1)0(f1)0(fxyoxy 定義定義2 . 設函數(shù)有定義,存在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2. 函數(shù)在點0 x)(xfy ,)()(00存在與xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf簡寫為在點處右右 導數(shù)存在0 x定理定理3. 函數(shù))(xf)(xf在點0 x必 右右 連續(xù).(左左)(左左)若函數(shù))(xf)(af)(bf與都存在 , 則稱)(xf顯然:)(xf在閉區(qū)間 a , b

8、 上可導,)(baCxf在開區(qū)間 內(nèi)可導,),(ba在閉區(qū)間 上可導.,ba可導的充分必要條件是且機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 因為1. 設)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xf在 0 x處連續(xù), 且xxfx)(lim0存在， 證明:)(xf在0 x處可導.證證：因為xxfx)(lim0存在， 則有0)(lim0 xfx又)(xf

9、在0 x處連續(xù),0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x處可導.2. 設xfxfx)0()(lim0)0(f 故機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.3.設)(xf在2x處連續(xù),且, 32)(lim2xxfx求. )2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.4.設1lim)() 1() 1(2xnxnnebaxexxf試確定常數(shù) a , b 使 f (x) 處處可導,并求. )(xf 解解: :)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1時x;)(axf時，1x.2)(xxf) 1 ()1 ()1 (fff) 1 () 1 (ff得處可導，在利用1)(xxf即ba1) 1(21ba2a機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , 1,2ba2) 1 (