中北大學(xué)信號(hào)與系統(tǒng)第2章

1、第第2章章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) 的時(shí)域分析的時(shí)域分析中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院主講：陳友興第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析2/57信號(hào)與系統(tǒng)2.0 引言 時(shí)域分析方法時(shí)域分析方法: :不涉及任何變換，直接求解不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，系統(tǒng)的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。礎(chǔ)。u輸入輸出描述法輸入輸出描述法：一元：一元N階微分方程階微分方程u狀態(tài)變量描述法：狀態(tài)變量描述法： N元一階微分方程元一階微分方程系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時(shí)域表示系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時(shí)域

2、表示第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析3/57信號(hào)與系統(tǒng)系統(tǒng)分析過程系統(tǒng)分析過程 變變換換域域法法利利用用卷卷積積積積分分法法求求解解零零狀狀態(tài)態(tài)可可利利用用經(jīng)經(jīng)典典法法求求零零輸輸入入雙雙零零法法經(jīng)經(jīng)典典法法解解方方程程網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)拓拓?fù)鋼浼s約束束根根據(jù)據(jù)元元件件約約束束列列寫寫方方程程:,:經(jīng)典法經(jīng)典法: :前面電路分析課里已經(jīng)討論過，但與前面電路分析課里已經(jīng)討論過，但與 (t)有關(guān)的問題有待進(jìn)一步解決有關(guān)的問題有待進(jìn)一步解決 h(t)；卷積積分法卷積積分法: : 任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)可通過任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)可通過沖激響應(yīng)來求。沖激響應(yīng)來求。第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析4/57

3、信號(hào)與系統(tǒng)本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容線性系統(tǒng)完全響應(yīng)的求解；線性系統(tǒng)完全響應(yīng)的求解；沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)的求解；的求解；卷積的圖解說明；卷積的圖解說明；卷積的性質(zhì)；卷積的性質(zhì)；零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)： 。 thtfty zs第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析5/57信號(hào)與系統(tǒng)第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析n2.0 2.0 引言引言（2 2）n2.1 2.1 經(jīng)典時(shí)域解法經(jīng)典時(shí)域解法（6 6）n2.2 2.2 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)（2020）n2.3 2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（2929）n2.4 2.4 卷積積分卷積積分（3838）第2章 連

4、續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析6/57信號(hào)與系統(tǒng)2.1 2.1 經(jīng)典時(shí)域解法經(jīng)典時(shí)域解法許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而改變，則該系統(tǒng)可以用若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程來描述。來描述。2.1.1 2.1.1 微分方程的建立與求解微分方程的建立與求解1、物理系統(tǒng)的模型第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析7/57信號(hào)與系統(tǒng)2、微分方程的建立根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對(duì)于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)對(duì)于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束元件特性約束和

5、和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束約束列寫系統(tǒng)的微分方程。列寫系統(tǒng)的微分方程。元件特性約束：元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析8/57信號(hào)與系統(tǒng)電感電感電阻電阻 1Ritu tR 1dtLituL電容電容 ddCu titCt根據(jù)根據(jù)KCL S

6、RLCitititit代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡 2S2ddd11dddu tu titCu ttRtLt這是一個(gè)這是一個(gè)代表代表RCL并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。 例例2.1.1求并聯(lián)電路的端電壓求并聯(lián)電路的端電壓 與激勵(lì)與激勵(lì) 間的關(guān)系間的關(guān)系 u t sit第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析9/57信號(hào)與系統(tǒng)這是一個(gè)這是一個(gè)代表機(jī)械位移系統(tǒng)的二階微分方程代表機(jī)械位移系統(tǒng)的二階微分方程。 兩個(gè)不同性質(zhì)的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型，都是兩個(gè)不同性質(zhì)的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型，都是線性常系數(shù)微分方程，只是系數(shù)不同。對(duì)于復(fù)雜系線性常系數(shù)微分方

7、程，只是系數(shù)不同。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，則可以用高階微分方程表示。統(tǒng)，則可以用高階微分方程表示。 tv機(jī)械位移系統(tǒng)，質(zhì)量為機(jī)械位移系統(tǒng)，質(zhì)量為m的剛體一端由彈簧牽引，的剛體一端由彈簧牽引，彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩擦力彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩擦力為為 ，外加牽引力為，外加牽引力為 ，其外加牽引力，其外加牽引力 與剛與剛體運(yùn)動(dòng)速度體運(yùn)動(dòng)速度 間的關(guān)系可以推導(dǎo)出為間的關(guān)系可以推導(dǎo)出為 tFSf tFS ttFtkvttvfttvmddddddS22 mFsfk第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析10/57信號(hào)與系統(tǒng)3、n 階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述 一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào)一個(gè)線

8、性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào) 與響應(yīng)信號(hào)與響應(yīng)信號(hào) 之間之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來描述的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來描述( )x t( )y t1110111101d( )d( )d ( )( )dddd( )d( )d ( )( )dddnnnnnnmmmmmmy ty ty taaaa y ttttx tx tx tbbbb x tttt若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則a，b均為常數(shù)，此方程為均為常數(shù)，此方程為n階線性常系數(shù)微分方程。階線性常系數(shù)微分方程。階次階次：方程的階次由獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)決定。方程的階次由獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)決定。第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域

9、分析11/57信號(hào)與系統(tǒng) 我們一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為我們一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為t=0 ，響應(yīng)，響應(yīng)為為 時(shí)的方程的解，初始條件時(shí)的方程的解，初始條件 0t1(0 ),(0 ),(0 )nyyy4、經(jīng)典法求解系統(tǒng)微分方程齊次解：齊次解：由特征方程由特征方程 求出特征根求出特征根 寫出齊次解形式寫出齊次解形式1eintiic只與系統(tǒng)本身特性有關(guān)只與系統(tǒng)本身特性有關(guān)特特 解：解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系 數(shù)的特解函數(shù)式數(shù)的特解函數(shù)式 代入原方程，比較系數(shù)代入原方程，比較系數(shù) 定出特解。定出特解。由激勵(lì)決定由激勵(lì)決定ic全全 解：解：

10、齊次解齊次解+特解，由初始條件定出齊次解系數(shù)特解，由初始條件定出齊次解系數(shù)無重根：無重根：k階重根：階重根：111eeiknttk iiiii kctc 第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析12/57信號(hào)與系統(tǒng)幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解注：若表中的特解與其次解重復(fù)，則應(yīng)在特解中增加一項(xiàng)：t倍乘表中的特解第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析13/57信號(hào)與系統(tǒng) 3232ddd71612dddy ty ty ty tx tttt求微分方程的齊次解。系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 32716120 2230122 , 3 重根 23123eetthytctcc特征根特征根因而對(duì)應(yīng)的齊次解為因而對(duì)應(yīng)

11、的齊次解為第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析14/57信號(hào)與系統(tǒng)分別求下列兩種情況下此方程的特解。分別求下列兩種情況下此方程的特解。 22ddd23dddr tr te tr te tttt 2; e ,te tte t 給定微分方程式給定微分方程式 3221pBtBtBtr 為使等式兩端為使等式兩端 ,2 , 122tttte 得得到到代代入入方方程程右右端端將將平衡，試選特解函數(shù)式平衡，試選特解函數(shù)式 將此式代入方程得到將此式代入方程得到為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。這里這里321, , BBB ttBBBtBBtB2322 34323212121 所以，特解為所以，特解為 271092312

12、p tttr第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析15/57信號(hào)與系統(tǒng) B是待定系數(shù)。是待定系數(shù)。 代入方程后有：代入方程后有： e, , ette tr tB(2) 當(dāng)時(shí) 很明顯 可選。tttttBBBeee3e2e 31 B。于于是是，特特解解為為te31 例例2.1.2 已知給定的線性時(shí)不變系統(tǒng)微分方程為已知給定的線性時(shí)不變系統(tǒng)微分方程為 其中激勵(lì)其中激勵(lì) 并且并且 ， 求系統(tǒng)方程的完全響應(yīng)。求系統(tǒng)方程的完全響應(yīng)。)()(6)(5)( txtytyty)()(tuetxt5 . 3)0(y5 . 8)0(y231( )e+2e+e ,02ttty tt第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析1

13、6/57信號(hào)與系統(tǒng) 0t1(0 ),(0 ),(0 ),(0 ),(0 )nyyyyy0狀態(tài)、起始狀態(tài)0狀態(tài)、初始條件2.1.2 2.1.2 起始點(diǎn)的跳變起始點(diǎn)的跳變1、起始狀態(tài)與初始狀態(tài)1(0 ),(0 ),(0 ),(0 ),(0 )nyyyyy過去信息，能夠反映系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能狀況求系統(tǒng)響應(yīng)的待定系數(shù) 第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析17/57信號(hào)與系統(tǒng)配平的原理：配平的原理：t =0 時(shí)刻微分方程左右兩端的時(shí)刻微分方程左右兩端的(t)及各階及各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡( (其他項(xiàng)也應(yīng)該平衡，我們討論初始條其他項(xiàng)也應(yīng)該平衡，我們討論初始條件，可以不管其他項(xiàng)）件，可以不管其他項(xiàng)）

14、2、沖激函數(shù)匹配法跳變的判斷：跳變的判斷：當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，在當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，在0 0點(diǎn)處的點(diǎn)處的狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端是否包含狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端是否包含(t)及各及各階導(dǎo)數(shù)，有說明有跳變，沒有說明沒有跳變階導(dǎo)數(shù)，有說明有跳變，沒有說明沒有跳變第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析18/57信號(hào)與系統(tǒng)例例2.1.4 2.1.4 微分方程為并且已知 、 和 的狀態(tài)，當(dāng) 時(shí)，激勵(lì)發(fā)生跳變從0變到2，求 狀態(tài))(4)(6)()(10)(7)(22txdttdxdttxdtydttdydttyd)0(ydtdy)0(22)0(dtyd0t0例2.1.3 設(shè)線性時(shí)不變

15、系統(tǒng)微分方程為 已知 ， 求)(4)(3)(4)(2)( txtxtytyty)()(tutx, 0)0(, 2)0(yy)0( )0(yy和第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析19/57信號(hào)與系統(tǒng)2.1.3 2.1.3 系統(tǒng)響應(yīng)的分解模式系統(tǒng)響應(yīng)的分解模式u自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)：自由響應(yīng)：也稱固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外也稱固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵(lì)形式無關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。加激勵(lì)形式無關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。強(qiáng)迫響應(yīng)：強(qiáng)迫響應(yīng)：形式取決于外加激勵(lì)。對(duì)應(yīng)于特解。形式取決于外加激勵(lì)。對(duì)應(yīng)于特解。u暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)：暫態(tài)響應(yīng)：是指激

16、勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi)，完全響應(yīng)中是指激勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi)，完全響應(yīng)中暫時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時(shí)間暫時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時(shí)間t t 增加，它將消失。增加，它將消失。 u零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)：零輸入響應(yīng)：沒有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只由起始狀態(tài)沒有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只由起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。 零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。 返回第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)

17、域分析20/57信號(hào)與系統(tǒng)由于沒有外界激勵(lì)作用，因而系統(tǒng)的狀態(tài)不會(huì)發(fā)生跳變 零輸入響應(yīng)是激勵(lì)為零時(shí)僅由系統(tǒng)的起始狀態(tài)所引起的響應(yīng)，用 表示.( )ziyt滿足齊次方程及起始條件11 (0 )(0 ) .(0 )nnddyyydtdt、2.2.1 2.2.1 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 2.2 2.2 零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)0)()()()(0)1(1)1(1)( tyatyatyatyannnn1( )kntzizikkytc e解的形式第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析21/57信號(hào)與系統(tǒng)例例2.2.1 2.2.1 系統(tǒng)微分方程為系統(tǒng)微分方程為 已知起始狀態(tài)已知起始狀態(tài) 和

18、和 , ,求系統(tǒng)的零輸入響求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。應(yīng)。 )()(8)(6)(txtytyty1)0(y2)0(y特征方程0)(8)(6)(tytyty08624122tzitziececty2241)(tteety2432)(0t其次方程特征根解形式零輸入響應(yīng)代入起始條件1)0(y2)0(y第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析22/57信號(hào)與系統(tǒng) 所謂零狀態(tài)，是指系統(tǒng)沒有初始儲(chǔ)能，系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，即用 表示； 零狀態(tài)響應(yīng)由起始狀態(tài)為零時(shí)的方程所確定 ( )zsyt111011110( )( )( )( )( )( )( )( )( )(0 )00,1,1nnnnnnmmmmkd y tdy t

19、dy taaaa y tdtdtdtd x tdx tbbb x tb x tdtdtykn系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) )()()(tytytyzspzshzs2.2.2 2.2.2 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析23/57信號(hào)與系統(tǒng)例例2.2.22.2.2系統(tǒng)微分方程為系統(tǒng)微分方程為已知起始狀態(tài)已知起始狀態(tài) , , ,求激勵(lì)為求激勵(lì)為 時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 )(6)(2)(2)(3)(txtxtytyty2)0(y0)0 (y)()(tutx其次解tzstzsececty221)(0 )(0 )0zszsyy(0 )(0 )22zszsyy初始條件3)(t

20、yp特解2( )43ttzsytee零狀態(tài)響應(yīng)0t第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析24/57信號(hào)與系統(tǒng)n零狀態(tài)線性：當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于外加激勵(lì)信號(hào)呈現(xiàn)線性。 同時(shí)也滿足微分和積分特性n零輸入線性：當(dāng)外加激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于各起始狀態(tài)呈現(xiàn)線性。 2.2.3 2.2.3 零輸入線性和零狀態(tài)線性零輸入線性和零狀態(tài)線性 ( )( )zsx tyt1212( )( )( )( )zszsax tbx taytbyt( ) ( )zsx tyt00( )( )ttzsx t dtyt dt第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析25/57信號(hào)與系統(tǒng) 例例2.2.32.2.3

21、 已知一線性時(shí)不變系統(tǒng)，在相同起始條件下，已知一線性時(shí)不變系統(tǒng)，在相同起始條件下，當(dāng)激勵(lì)為當(dāng)激勵(lì)為 時(shí)，其全響應(yīng)為時(shí)，其全響應(yīng)為 ; ;當(dāng)激勵(lì)為當(dāng)激勵(lì)為 時(shí)，其全響應(yīng)為時(shí)，其全響應(yīng)為 求：求：(1)(1)起始條件不變，當(dāng)激勵(lì)為起始條件不變，當(dāng)激勵(lì)為 時(shí)的全響時(shí)的全響 應(yīng)應(yīng) ( )( )。 (2) (2)起始條件起始條件增大增大2 2倍，當(dāng)激勵(lì)為倍，當(dāng)激勵(lì)為 時(shí)的全響時(shí)的全響 應(yīng)應(yīng) 。 )(tx 31( )2ecos(4 ) ty ttu t)(2tx32( )e2cos(4 ) ( )ty ttu t)(0ttx)(3ty)(5 . 0tx)(5 . 0tx)(4ty00t 第2章 連續(xù)時(shí)間信

22、號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析26/57信號(hào)與系統(tǒng)31zizs( )( )( )2ecos(4 ) ( )tytytyttu t)()4cos(2e )(2)()(3zszi2tuttytytyt)()4cos(e)(3zstuttyt)(e3)(3zitutyt03()33zizs000( )( )()3e( ) ecos(44 ) ()t tty tytyttu tttu tt 334zizs3( )3( )0.5( )3 3e0.5ecos 48.5e0.5cos 4ttty tytytu ttu ttu t已知解得代入條件，得第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析27/57信號(hào)與系統(tǒng) 如果由常系數(shù)微

23、分方程描述的系統(tǒng)滿足以下三如果由常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)滿足以下三個(gè)條件：個(gè)條件： (1(1）全響應(yīng)可分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)）全響應(yīng)可分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和的形式；之和的形式； （2 2）零狀態(tài)線性；）零狀態(tài)線性； （3 3）零輸入線性）零輸入線性; ; 那么，這個(gè)常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)就是線那么，這個(gè)常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)性系統(tǒng). . 第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析28/57信號(hào)與系統(tǒng)u自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)：齊次解自由響應(yīng)：齊次解強(qiáng)迫響應(yīng)：特解強(qiáng)迫響應(yīng)：特解u暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)：暫態(tài)響應(yīng)： 為零的部分，隨

24、為零的部分，隨t t的增大幅值減小的增大幅值減小 其次解其次解+ +部分特解部分特解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 留下來的部分留下來的部分 部分特解部分特解u零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)：部分其次解零輸入響應(yīng)：部分其次解零狀態(tài)響應(yīng)：部分其次解零狀態(tài)響應(yīng)：部分其次解+ +特解特解t t 返回第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析29/57信號(hào)與系統(tǒng)系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)系統(tǒng)在單位沖激信號(hào) 作用下產(chǎn)生的作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，一般用稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，一般用h(t)表示表示1定義 )(t H t th2.3.12.3.1沖激響應(yīng)沖激

25、響應(yīng)第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析30/57信號(hào)與系統(tǒng)2.2.方程輸入端只含有方程輸入端只含有 ，不含，不含 的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)則其沖激響應(yīng)必滿足方程組則其沖激響應(yīng)必滿足方程組 以當(dāng)特征根各不相同的情況為例，系統(tǒng)的沖激響以當(dāng)特征根各不相同的情況為例，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)可寫成應(yīng)可寫成 式中式中各常數(shù)由各各常數(shù)由各 狀態(tài)的初始值確定。狀態(tài)的初始值確定。 ( )(1)110( )( )( )( )( )nnnna ytayta y ta y tx t( )(1)110( )( )( )( )( )nnnna htahta h ta h tt(1)(2)(0 )1(0 )0(0 )0nnhhh

26、( )x t( )x t1( )intiih tce0( )(0 )00,1,2,.,1jhjn第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析31/57信號(hào)與系統(tǒng)3.3.方程輸入端只含有方程輸入端只含有 的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)( )x t（1）選新變量 ,使它滿足微分方程 求解這種系統(tǒng)的沖激響應(yīng)時(shí)，可分兩步進(jìn)行求解這種系統(tǒng)的沖激響應(yīng)時(shí)，可分兩步進(jìn)行: :用前述方法求得沖激響應(yīng) . （2）根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)，可得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 ( )(1)110()(1)110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnmmmma ytayta y ta y tb xtbxt

27、b x tb x t )(1ty)()()()()(011)1(11)(1txtyatyatyatyannnn 1( )h t()(1)11 101( )( )( ).( )mmmmh tb htbhtb h t第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析32/57信號(hào)與系統(tǒng) 例例2.3.1 2.3.1 已知描述系統(tǒng)的微分方程為已知描述系統(tǒng)的微分方程為求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為 ( )3 ( )2 ( )( )y ty ty tx t)()()(2tueethtt)()(2)(3)(tththth0)0()0( )0( hhh)()()(221tuececthtt1)0(

28、h0)0(h方程：方程： 起始條件：起始條件： 初始條件：初始條件： 解的形式：解的形式： 第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析33/57信號(hào)與系統(tǒng) 例例2.3.2 2.3.2 已知描述系統(tǒng)的微分方程為已知描述系統(tǒng)的微分方程為求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為 ( )3 ( )2 ( )( )2 ( )( )y ty ty txtx tx t21( )() ( )tth teeu t 1112( )( )2 ( )( )( )( )th th th th tteu t第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析34/57信號(hào)與系統(tǒng)4 4、h(t)解答的形式解答的形式設(shè)特征根為簡單

29、根（無重根的單根）設(shè)特征根為簡單根（無重根的單根）)(e)(1tuAthnitii 由于由于 及其導(dǎo)數(shù)在及其導(dǎo)數(shù)在 時(shí)都為零，因而方程式右時(shí)都為零，因而方程式右端的自由項(xiàng)恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次端的自由項(xiàng)恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解的形式相同解的形式相同 t 0t 及其各階導(dǎo)數(shù)。及其各階導(dǎo)數(shù)。應(yīng)包含應(yīng)包含時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)；中應(yīng)包含中應(yīng)包含時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)及其各階導(dǎo)數(shù)；及其各階導(dǎo)數(shù)；不含不含時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)tthmntthmntthmn 與特征根有關(guān)與特征根有關(guān)與與n, m相對(duì)大小有關(guān)相對(duì)大小有關(guān)第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析35/57信號(hào)與系統(tǒng)2.3.2 2.3.2 階

30、躍響應(yīng)階躍響應(yīng) 系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的輸入 ，其響應(yīng)為，其響應(yīng)為 。系統(tǒng)。系統(tǒng)方程的右端將包含階躍函數(shù)方程的右端將包含階躍函數(shù) ，所以除了齊次解外，所以除了齊次解外，還有特解項(xiàng)。還有特解項(xiàng)。 tute tgtr tu我們也可以根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)特性，利用沖激響應(yīng)與我們也可以根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)特性，利用沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系求階躍響應(yīng)。階躍響應(yīng)的關(guān)系求階躍響應(yīng)。 系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)。位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)。1定義 H te trH tu tg第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析36/57信號(hào)與系統(tǒng)2階躍響

31、應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系 tt0,對(duì)對(duì)因因果果系系統(tǒng)統(tǒng)：積積分分，注注意意積積分分限限：階階躍躍響響應(yīng)應(yīng)是是沖沖激激響響應(yīng)應(yīng)的的線性時(shí)不變系統(tǒng)滿足微、積分特性線性時(shí)不變系統(tǒng)滿足微、積分特性 ttttud)()( ttthtgd)()(第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析37/57信號(hào)與系統(tǒng)總結(jié)總結(jié)沖激響應(yīng)的求解至關(guān)重要。沖激響應(yīng)的求解至關(guān)重要。沖激響應(yīng)的定義沖激響應(yīng)的定義零狀態(tài)；零狀態(tài)；單位沖激信號(hào)作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)為沖激響應(yīng)。單位沖激信號(hào)作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)為沖激響應(yīng)。沖激響應(yīng)說明：沖激響應(yīng)說明：在時(shí)域，對(duì)于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況在時(shí)域，對(duì)于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況下加同樣的激勵(lì)下加同樣的激勵(lì) ，看響應(yīng)，

32、看響應(yīng) ， 不同，說明其不同，說明其系統(tǒng)特性不同，沖激響應(yīng)可以衡量系統(tǒng)的特性。系統(tǒng)特性不同，沖激響應(yīng)可以衡量系統(tǒng)的特性。 t )(th)(th用變換域用變換域( (拉氏變換拉氏變換) )方法求方法求沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)簡捷沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)簡捷方便，但時(shí)域求解方法直觀、物理概念明確。方便，但時(shí)域求解方法直觀、物理概念明確。返回第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析38/57信號(hào)與系統(tǒng)2.4.1 2.4.1 卷積積分的概念卷積積分的概念積分積分和和設(shè)有兩個(gè)函數(shù)設(shè)有兩個(gè)函數(shù)),()(21tftf d21 tfftf tftftftftftf2121)( 或或，記為，記為的卷積積分，簡稱卷積的卷積積分，

33、簡稱卷積和和稱為稱為)()(21tftf利用卷積可以求解系統(tǒng)的利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)。第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析39/57信號(hào)與系統(tǒng)2.4.2 2.4.2 利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) dx txt 任意信號(hào)任意信號(hào)x(t)可表示為沖激序列之和可表示為沖激序列之和 ( )dddy tH x tHxtxHtxh t 這就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。這就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 zsytx th tx th t若把它作用于沖激響應(yīng)為若把它作用于沖激響應(yīng)為h(t)的的LTIS（Linear time invariant system），則響應(yīng)為），則響應(yīng)為第

34、2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析40/57信號(hào)與系統(tǒng)2.4.3 2.4.3 卷積的計(jì)算卷積的計(jì)算由于系統(tǒng)的因果性或激勵(lì)信號(hào)存在時(shí)間的局限性，卷由于系統(tǒng)的因果性或激勵(lì)信號(hào)存在時(shí)間的局限性，卷積的積分限會(huì)有所變化。卷積積分中積分限的確定是積的積分限會(huì)有所變化。卷積積分中積分限的確定是非常關(guān)鍵的。非常關(guān)鍵的。u借助于階躍函數(shù)借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分限確定積分限u利用圖解說明確定積分限利用圖解說明確定積分限第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析41/57信號(hào)與系統(tǒng)例例2.4.1 2.4.1 已知信號(hào)已知信號(hào) 和和 求求 10( )sinf tCt2( )e( )tf tAu t12( )( )f

35、 tf t1212()00000220( )( )( )( )()dsine()desined( sincos)eetttttf tf tf tff tCAu tACttAC 借助于階躍函數(shù)借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分限確定積分限第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析42/57信號(hào)與系統(tǒng) 用圖解法直觀，尤其是函數(shù)式復(fù)雜時(shí)，用圖形用圖解法直觀，尤其是函數(shù)式復(fù)雜時(shí)，用圖形分段求出定積分限尤為方便準(zhǔn)確，用解析式作容易分段求出定積分限尤為方便準(zhǔn)確，用解析式作容易出錯(cuò)，最好將兩種方法結(jié)合起來。出錯(cuò)，最好將兩種方法結(jié)合起來。 )()()()(. 12211ftfftf)()()(. 2222tfff時(shí)延反

36、褶123.( )()ff t相乘：124.( )()dff t乘積的積分：利用圖解說明確定積分限利用圖解說明確定積分限t tt)(t時(shí)時(shí)延延對(duì)對(duì) 的的函函數(shù)數(shù)積積分分結(jié)結(jié)果果為為t 再移動(dòng)反褶為的圖形不動(dòng)，2221, ffff第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析43/57信號(hào)與系統(tǒng)Ot tf1111 Ot tf2323 tO 2f3 23111( )01tf tt已知已知 ，求求2( )(03)2tf tt 12( )( )( )g tf tf t3 tt第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析44/57信號(hào)與系統(tǒng)浮動(dòng)坐標(biāo)浮動(dòng)坐標(biāo)浮動(dòng)坐標(biāo)：浮動(dòng)坐標(biāo)：下限下限 上限上限t- -3t- -0 1f t

37、f2t ：移動(dòng)的距離：移動(dòng)的距離t =0 f2(t- ) 未移動(dòng)未移動(dòng)t 0 f2(t- ) 右移右移t 0 f2(t- ) 左左移移 從從左左向向右右移移動(dòng)動(dòng)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)到到從從 tft2, 1f-113 tt tf23 tt tf2第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析45/57信號(hào)與系統(tǒng) 1ft -13 tt tf2兩波形沒有公共處，二者乘積為兩波形沒有公共處，二者乘積為0 0，即積分為，即積分為0 0 021 tff 021 tftftg第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析46/57信號(hào)與系統(tǒng) 1f-1 t 13 tt tf2 兩波形有公共部分，積分開始不為兩波形有公共部分，積分開始不為0，

38、積分下限積分下限- -1，上限，上限t ，t 為移動(dòng)時(shí)間為移動(dòng)時(shí)間;1211221( )( )()dd21124424ttg tff tttttt第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析47/57信號(hào)與系統(tǒng) 1f1 t 23 tt tf2 113tt即即1 t 2 21111( )d2241tg ttt 第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析48/57信號(hào)與系統(tǒng) 1f2 t 43 tt tf2即即2 t 4 1313tt221311( )()d2224342ttttg ttt 第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析49/57信號(hào)與系統(tǒng) 1ft 43 tt tf2即即t 4t- -3 1 0 tg第2章

39、 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析50/57信號(hào)與系統(tǒng)卷積結(jié)果卷積結(jié)果 ttttttttttg其他其他04222421114124)(22第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析51/57信號(hào)與系統(tǒng)積分上下限和卷積結(jié)果區(qū)間的確定積分上下限和卷積結(jié)果區(qū)間的確定 tf1 tf2A,BA,BC,DC,DA+C,B+DA+C,B+D tg一般規(guī)律：一般規(guī)律：上限上限下限下限當(dāng)當(dāng) 或或 為非連續(xù)函數(shù)時(shí)，卷積需分段，積分為非連續(xù)函數(shù)時(shí)，卷積需分段，積分限分段定限分段定 tf1 tf2 021的范圍（區(qū)間）確定。的范圍（區(qū)間）確定。由由 tff上限取小，下限取大上限取小，下限取大(1)(1)積分上下限積分上下限(2)(2)卷積結(jié)果區(qū)間卷積結(jié)果區(qū)間- -1 tf2 tg1 tf1034+1第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析52/57信號(hào)與系統(tǒng)(1)(1)交換律交換律(2)(2)分配律分配律(3)(3)結(jié)合律結(jié)合律)()()()(1221tftftftf )()()()()()()(3121321tftftftftftftf 123123( )( )( )(