新鄉(xiāng)師專(zhuān)力學(xué)精品課程

1、新鄉(xiāng)師專(zhuān)力學(xué)精品課程制作人：程素君第五章第五章 角動(dòng)量角動(dòng)量關(guān)于對(duì)稱(chēng)性關(guān)于對(duì)稱(chēng)性（Chapter 5 Angular momentum & Symmetry）前言質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理和守恒定律對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)性與守恒律經(jīng)典動(dòng)力學(xué)的適用范圍1 前前 言言一、本章的基本內(nèi)容及研究思路一、本章的基本內(nèi)容及研究思路 角動(dòng)量概念的建立和轉(zhuǎn)動(dòng)有密切聯(lián)系，在研究物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，人們經(jīng)常可以遇到質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系繞某一確定點(diǎn)或軸線運(yùn)動(dòng)的情況，并且在這類(lèi)運(yùn)動(dòng)中也存在著某些共同的重要規(guī)律。例如，天文觀測(cè)表明，行星繞日運(yùn)動(dòng)遵從開(kāi)普勒第二定律，在近日點(diǎn)附近繞行速度較快，遠(yuǎn)

2、日點(diǎn)速度較慢，這個(gè)特點(diǎn)如果用角動(dòng)量及其規(guī)律很容易說(shuō)明。特別是在有些過(guò)程中動(dòng)量和機(jī)械能特別是在有些過(guò)程中動(dòng)量和機(jī)械能都不守恒，卻遵從角動(dòng)量守恒定律，這就為求解這類(lèi)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題都不守恒，卻遵從角動(dòng)量守恒定律，這就為求解這類(lèi)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題開(kāi)辟了新途徑。開(kāi)辟了新途徑。 角動(dòng)量不但能描述經(jīng)典力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在近代物理理論中仍然是表征微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的重要物理量，例如原子核的角動(dòng)量，通常稱(chēng)為原子核的自旋，就是描寫(xiě)原子核特性的。 角動(dòng)量守恒定律和動(dòng)量守恒定律一樣，是自然界最基本最普遍的定律之一。由于角動(dòng)量這個(gè)物理量，從概念到數(shù)學(xué)表達(dá)，都比動(dòng)量要難理解，我們循序漸進(jìn)逐步深入地來(lái)理解。 本章還要觸及對(duì)稱(chēng)性的概念，盡管經(jīng)典力

3、學(xué)中的對(duì)稱(chēng)性沒(méi)有在微觀領(lǐng)域中那么重要，但是介紹一下與本課水平相當(dāng)?shù)膶?duì)稱(chēng)性問(wèn)題是十分有益的。二、本章的基本要求二、本章的基本要求1. 理解質(zhì)點(diǎn)及質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的物理意義；2. 掌握質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理；3. 掌握角動(dòng)量守恒定律；4. 理解對(duì)稱(chēng)性的概念，了解守恒律與對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系。三、本章的思考題及練習(xí)題三、本章的思考題及練習(xí)題1.思考題：教材P164-1652.練習(xí)題：5.1.2 5.1.7 5.1.8 5.1.9 5.2.2 2 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 角動(dòng)量的概念是怎么引出來(lái)的？三個(gè)重要的例子（教材第149頁(yè)） 行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)時(shí)，掠面速度守恒常量vrvrrr

4、212121dtdtdtddtds因在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，故恒矢量2vr 橡皮筋實(shí)驗(yàn)，掠面速度亦為一恒量 質(zhì)點(diǎn)勻速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)線外任一點(diǎn)掠面速度守恒 上述不同的運(yùn)動(dòng)有共同特征，即 ，（運(yùn)動(dòng)學(xué)量），能否對(duì)它們提供統(tǒng)一的描述？ 前兩種運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量、動(dòng)能均發(fā)生變化， 后一種動(dòng)量、動(dòng)能均守恒。因此，動(dòng)量和動(dòng)能都不是對(duì)上面現(xiàn)象作出統(tǒng)一描述的物理量。研究上述問(wèn)題總需要選擇參考點(diǎn)，對(duì)于一矢量，?？蓪?duì)于一矢量，?？裳芯克鼘?duì)某參考點(diǎn)的研究它對(duì)某參考點(diǎn)的“矩矩”。定義定義：恒矢量2vrprvrLm。此時(shí)它包含了質(zhì)量，是一個(gè)動(dòng)力學(xué)量！L 含有動(dòng)量 mv 因子，因此與參考系有關(guān)；L 還含有 r 因子，r 又依賴(lài)于參考點(diǎn)的位置，

5、故又與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)。例如，圖（b）中對(duì) 點(diǎn)的角動(dòng)量與對(duì) 點(diǎn)角動(dòng)量是不相同的。oo應(yīng)當(dāng)指出的是，雖然質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于任一直線（例如 z 軸）上的不同參考點(diǎn)的角動(dòng)量是不相等的，但是這些角動(dòng)量在該直線上的投影卻是相等的。如圖（b）所示，取 S 平面與 z 軸垂直，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)于 點(diǎn)及 點(diǎn)的角動(dòng)量分別為 Loo（b）oosLrzLvmzLzLrOxyzLrmv（a）與 ， 和 分別等于以 及 為鄰邊及以 及 為鄰邊的平行四邊形的面積， 與 在 z 軸上的投影分別是 和 ，由圖（b）可見(jiàn)， 和 分別是相應(yīng)的兩個(gè)平行四邊形在 S 面上的投影面積，兩者是相同的，故 上述三個(gè)典型例子意味著對(duì)選定的參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒

6、角動(dòng)量守恒。 我們把質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì) z 軸上任一點(diǎn)的角動(dòng)量軸上任一點(diǎn)的角動(dòng)量 在在 z 軸上的投影，叫軸上的投影，叫做質(zhì)點(diǎn)對(duì)于做質(zhì)點(diǎn)對(duì)于 z 軸的角動(dòng)量，用軸的角動(dòng)量，用 表示表示，上面已證明， 的數(shù)值是與參考點(diǎn)無(wú)關(guān)的。 LLLrvmrvmLLcosLLz)(cos軸間的夾角和與分別是與zLLzLLzLzLzzLLLzLzL 例題例題 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)在 xy 平面內(nèi)以速度 v 作勻速直線運(yùn)動(dòng)，如圖所示，求此質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)O 的角動(dòng)量。 解解 根據(jù)角動(dòng)量的定義式OOdrvxym, vrLm設(shè) k 為沿 z 軸的單位矢量，則質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量為k vrLsinrmvm即 L 指向 z 軸負(fù)方向。由上圖

7、可以看出， 正好等于 O 點(diǎn)與軌道的垂直距離 d ，因此代入上式得sinrk Lmvd 由上例可以看出，并非質(zhì)點(diǎn)僅在圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)才具有角動(dòng)量，質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)于不在此直線上的參考點(diǎn)也具有角動(dòng)量。另外，還可以看出，如果把參考點(diǎn)選在該直線上，則 ，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量永遠(yuǎn)等于零。因此，當(dāng)談到角動(dòng)量時(shí)，必須指明是對(duì)哪個(gè)參考點(diǎn)而言的，否則沒(méi)有意義。二、力對(duì)一參考點(diǎn)的力矩二、力對(duì)一參考點(diǎn)的力矩 動(dòng)量定理說(shuō)明，引起動(dòng)量改變的原因是力；下面將看到，引起角動(dòng)量改變的原因是力矩。 對(duì)于力矩的概念，雖然在中學(xué)物理課中已作過(guò)初步介紹，0sin例如，推門(mén)時(shí)作用力對(duì)門(mén)軸有力矩，用扳手?jǐn)Q螺帽時(shí)作用力對(duì)螺桿的軸有力矩等，但

8、那里討論的只是物體繞一定軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，所遇到的力矩總是對(duì)軸的力矩，是力矩的一種特殊形式，力矩的普遍定義是對(duì)一定參考點(diǎn)的，對(duì)軸的力矩只是對(duì)點(diǎn)的力矩沿軸線的一個(gè)分量，下面將給出力矩的一般定義。如右圖所示，O 是空間一點(diǎn)，F(xiàn) 是作用力，A 表示受力點(diǎn)，受力點(diǎn)相對(duì)于受力點(diǎn)相對(duì)于參考點(diǎn)參考點(diǎn)O 的位置矢量的位置矢量 r 與力與力 F 矢量的矢量的矢量積矢量積 叫做力叫做力 F 對(duì)參考點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)O的力矩，的力矩，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為其數(shù)學(xué)表達(dá)式為= r F 由定義可知，同一個(gè)力對(duì)于不同的參考點(diǎn)有不同的力矩，因此講到力矩時(shí)必須指明是相對(duì)哪一點(diǎn)而言的。當(dāng)力 F不為零時(shí)，力矩仍可能為零，這有兩種情況：一是力的作用點(diǎn)就在參

9、考點(diǎn) O ，此時(shí)位置矢量 r =0；另一種是沿力的方向的延長(zhǎng)線通過(guò)參考點(diǎn) O ，此時(shí)sin=0 。如果質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中受到的力始終如果質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中受到的力始終指向某個(gè)固定的中心，這種力叫做有心力指向某個(gè)固定的中心，這種力叫做有心力，該固定點(diǎn)稱(chēng)為力OxyzrFA心，上述第二種情況，有心力相對(duì)于力心的力矩恒為零。 力對(duì) O 點(diǎn)的力矩 在通過(guò) O 點(diǎn)的任一軸線如 z 軸上的分量，叫做力對(duì)軸線 z 的力矩，用 z 表示，這就是中學(xué)物理課中給出的力矩的定義。正如上面對(duì)于角動(dòng)量的討論一樣，力 F對(duì)于軸線 z 上任一點(diǎn)的力矩 在該軸線上的分量的數(shù)值 z 是與所選參考點(diǎn)無(wú)關(guān)的。三、質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量定理和守恒定

10、律三、質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量定理和守恒定律 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理?)()()()(為什么dtmddtmdmdtdmdtddtdvrvrvrvrLdtddtdLFrL 于是上式表明，。 把質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理在直角坐標(biāo)系中表達(dá)，可得到三個(gè)分量方程：dtdLdtdLdtdLzzyyxx ,即。 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理 ，如果 ，則dtdL0常量L 即。 角動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)中最基本的定律之一，和動(dòng)量守恒定律一樣，它不僅適用于宏觀物體的運(yùn)動(dòng)，而且對(duì)于牛頓第二定律不能適用的微觀粒子的運(yùn)動(dòng)，它也適用。四、質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量定理和守恒定律（自閱）四、質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量定理和守恒定律（自閱） 3 質(zhì)點(diǎn)系的

11、角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理一、質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由 N 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，對(duì)選定的某固定參考點(diǎn)，第 i 個(gè) 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理的表達(dá)式為dtdiiL dtddtdiiiiiiLL 外內(nèi)外內(nèi)于是iLL 令L 表示質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)于參考點(diǎn)表示質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)于參考點(diǎn) O 的角動(dòng)量的矢量和，叫的角動(dòng)量的矢量和，叫做質(zhì)點(diǎn)系對(duì)做質(zhì)點(diǎn)系對(duì) O 點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量，根據(jù)牛頓第三定律，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，每一對(duì)內(nèi)力的大小相等，方向相反，作用在同一直線上，因此它們對(duì)同一參考點(diǎn)的力矩的矢量和為零，只有外力矩有貢獻(xiàn)。這樣，求和方程變?yōu)閐tdiL外 即。

12、這個(gè)定理告訴我們質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率只決定（1）于質(zhì)點(diǎn)系所受外力矩的矢量和，而與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)。內(nèi)力矩只能使系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量改變，但不能改變質(zhì)點(diǎn)系總的角動(dòng)量。在直角坐標(biāo)系中，上式沿三個(gè)坐標(biāo)軸的投影式為dtdLdtdLdtdLzizyiyxix , zz zz。二、質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒定律二、質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒定律 由上（1）式可以看出，在過(guò)程中如果外力對(duì)參考點(diǎn)的力矩在過(guò)程中如果外力對(duì)參考點(diǎn)的力矩的矢量和始終為零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變，稱(chēng)為的矢量和始終為零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律，即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律，即（2）.,0常量時(shí)當(dāng)L i

13、由（2）式可以看出，有時(shí)外力矩對(duì)參考點(diǎn)雖不為零，但是，外力矩沿某固定的外力矩沿某固定的 z 軸分量為零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸分量為零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì) z 軸的角動(dòng)軸的角動(dòng)量保持不變，叫做質(zhì)點(diǎn)系對(duì)量保持不變，叫做質(zhì)點(diǎn)系對(duì) z 軸的角動(dòng)量守恒定律。即軸的角動(dòng)量守恒定律。即.,0常量時(shí)當(dāng)zizL 4 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理和質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理和 守守 恒恒 定定 律律 前面給出的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律都相對(duì)于慣性系而言，現(xiàn)在研究質(zhì)心參考系中質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的變化規(guī)律。如圖（a）， 即質(zhì)心參考系。C 為質(zhì)心， 和 坐標(biāo)軸zyxCzyx,與慣性參考系 的 和 軸總保持平行，而質(zhì)心具有加速度 。xyzOzca

14、OxyzxCcazynmim1m(a) 圖（b）即表示質(zhì)心參考系中的情況，諸質(zhì)點(diǎn)相對(duì) C 系的角動(dòng)量用 表示，又用 表示作用于各質(zhì)點(diǎn)諸力對(duì) C 點(diǎn)外力矩的矢量和。此外，所有質(zhì)點(diǎn)各受慣性力 ，根據(jù)yx,L外icimadtdL ，再考慮諸質(zhì)點(diǎn)所受慣性力的力矩，即得xCzyamim1mcm a1cimacnm a(b)dtdmciiiLar )(外式中慣性力矩又可寫(xiě)作dtdmmmmiciiciiLarar外)()(此即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理，與慣性系中角動(dòng)量定理具有完全相同的形式。是表明質(zhì)心系特殊和重要性的又一個(gè)例子。5 對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)性與守恒律對(duì)稱(chēng)性與守恒律一、關(guān)于對(duì)稱(chēng)性一、關(guān)于對(duì)稱(chēng)性 在遠(yuǎn)

15、古不同的文化里都有對(duì)稱(chēng)的觀念，以后又滲透到各種不同的人類(lèi)活動(dòng)之中，包括繪畫(huà)、雕塑、音樂(lè)、文學(xué)、建筑等等。 對(duì)稱(chēng)的觀念是如何進(jìn)入到科學(xué)里面來(lái)的呢？可以講得很清楚的希臘，希臘人覺(jué)得對(duì)稱(chēng)是最高的原則，而什么東西是最對(duì)稱(chēng)的呢？是圓。所以他們就認(rèn)為，世界上主宰一切的最高的原則，是以圓和球來(lái)做最后決定的。雖然結(jié)果并不成功，可是他們的精神里面有很重要的正確方向。在物理學(xué)中對(duì)稱(chēng)的觀念是1905-1907年由愛(ài)因斯坦引進(jìn)的，可是最初它對(duì)于物理學(xué)的重要性并沒(méi)有被大家所認(rèn)識(shí)，從1925-1970年，對(duì)稱(chēng)的觀念漸漸成為一個(gè)主旋律（20世紀(jì)有三個(gè)主要旋律：量子化、對(duì)稱(chēng)、相位因子）。1925年量子力學(xué)發(fā)展起來(lái)以后，有一些

16、數(shù)學(xué)修養(yǎng)比較高的物理學(xué)家就把數(shù)學(xué)里面非常美妙的一個(gè)觀念叫做群論引入到物理學(xué)里，這對(duì)20年代、30年代、40年代分子物理學(xué)、原子物理學(xué)乃至以后的原子核物理學(xué)都起了決定性的作用。 為了解對(duì)稱(chēng)性的含義，先引進(jìn)一些概念。首先是“系統(tǒng)”，它是我們討論的對(duì)象；其次是“狀態(tài)”，同一系統(tǒng)可以處在不同的狀態(tài)。不同的狀態(tài)可以是“等價(jià)的”，也可以是“不等價(jià)的”。設(shè)想我們有一個(gè)圓，這是幾何學(xué)中理想的圓（如圖a），在它的圓周上打個(gè)點(diǎn)作為記號(hào)，點(diǎn)在不同的方位代表系統(tǒng)（圓）處在不同的狀態(tài)。如果把這個(gè)記號(hào)包括在我們所選的系統(tǒng)之內(nèi)，則不同狀態(tài)將不等價(jià)。(a)(b) 我們把系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)狀態(tài)的過(guò)程叫做“變換”，或者說(shuō)，

17、我們給它一個(gè)“操作”。如果一個(gè)操作使系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)與之等價(jià)的狀態(tài)，或者說(shuō)，狀態(tài)在此操作下不變，我們就說(shuō)這系統(tǒng)對(duì)于這一操作是“對(duì)稱(chēng)的”，而這個(gè)操作叫做這系統(tǒng)的一個(gè)“對(duì)稱(chēng)操作”。例如圖(a)中那個(gè)圓（不考慮上面的記號(hào)）對(duì)于圍繞中心旋轉(zhuǎn)任意角度的操作來(lái)說(shuō)都是對(duì)稱(chēng)的；或者說(shuō)，旋轉(zhuǎn)任意角度的操作都是這圓的對(duì)稱(chēng)操作。如果我們?cè)趫A內(nèi)加一對(duì)相互垂的直徑（如圖b），這個(gè)系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)操作就少多了。轉(zhuǎn)角必須是90的整數(shù)倍，操作才是對(duì)稱(chēng)的。由此可見(jiàn)，圖（b）中的圖形要比單純一個(gè)圓的對(duì)稱(chēng)性少多了。 以上關(guān)于“對(duì)稱(chēng)性”的普遍定義，是德國(guó)大數(shù)學(xué)家魏爾（H.Weyl）首先提出來(lái)的。最常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)操作是時(shí)空操作。 在物理學(xué)中討論對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題時(shí)，要注意區(qū)分兩類(lèi)不同性質(zhì)的對(duì)稱(chēng)性，一類(lèi)是某個(gè)系統(tǒng)或某件具體事物的對(duì)稱(chēng)性，另一類(lèi)是物理規(guī)律的對(duì)稱(chēng)性。由兩質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)具有軸對(duì)稱(chēng)性，屬于前者；牛頓定律具有伽利略變換不變性，則屬于后者。二、守恒律與對(duì)稱(chēng)性二、守恒律與對(duì)稱(chēng)性 1918年德國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家尼約特（A.E.Noether，1882-1935）創(chuàng)建了一條定理，該定理指出：每一條守恒定律都與某一種對(duì)稱(chēng)性相聯(lián)系，每一種對(duì)稱(chēng)性也都對(duì)應(yīng)著一條守恒定律。在經(jīng)典力學(xué)中有： 時(shí)間平移不變性時(shí)間平移不變性能量守恒定律能量