大學(xué)物理課件3動量與角動量

1、我們往往只關(guān)心我們往往只關(guān)心力的效果力的效果力對時間和空間的積累效應(yīng)。力對時間和空間的積累效應(yīng)。力在時間上的積累力在時間上的積累效應(yīng)：效應(yīng)：平動平動動量的改變動量的改變轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動角動量的改變角動量的改變力在空間上的積累力在空間上的積累效應(yīng)效應(yīng)能量的改變能量的改變 牛頓定律是牛頓定律是瞬時瞬時的規(guī)律。的規(guī)律。但在有些問題中，但在有些問題中， 如：碰撞（宏觀）、如：碰撞（宏觀）、（微觀）（微觀）散射散射美國發(fā)現(xiàn)號航天飛機最后一次發(fā)射升空美國發(fā)現(xiàn)號航天飛機最后一次發(fā)射升空 于北京時間于北京時間2011年年2月月25日日5點點53分分 我國艦艇上發(fā)射遠程導(dǎo)彈實驗我國艦艇上發(fā)射遠程導(dǎo)彈實驗 3.1 沖量沖

2、量 質(zhì)點動量定理質(zhì)點動量定理一、力的沖量一、力的沖量 定義：定義：在在 時間間隔內(nèi)的沖量。時間間隔內(nèi)的沖量。td則則 稱為力稱為力力力 作用時間為作用時間為 ，ftdftfd 沖量是沖量是過程量過程量，描述力對時間的累積作用。，描述力對時間的累積作用。 沖量是沖量是矢量矢量，其方向，其方向要由積分要由積分 21tttfd決定。決定。為為時時，f)(12ttftfI 即恒力即恒力的沖量的方向與恒力的沖量的方向與恒力 的方向相同。的方向相同。f僅僅當力當力 21tttfId為力為力 在在 時間內(nèi)的時間內(nèi)的沖量沖量f1t2t稱稱dd()PmvFtt dd12PPPI 由牛頓第二定律由牛頓第二定律d(

3、)F tPmv dd質(zhì)點運動的質(zhì)點運動的動量定理動量定理221121tPtPF tPPPdd動量定理動量定理的的微分形微分形式式積分形式積分形式在一段時間內(nèi)在一段時間內(nèi)二、質(zhì)點的動量定理二、質(zhì)點的動量定理質(zhì)點所受合外力的沖量等于質(zhì)點動量的增量。質(zhì)點所受合外力的沖量等于質(zhì)點動量的增量。質(zhì)點所受合外力的沖量等于質(zhì)點動量的增量。質(zhì)點所受合外力的沖量等于質(zhì)點動量的增量。2p1ppppI 121)1)定理表明定理表明: 過程量過程量 僅與僅與狀態(tài)量狀態(tài)量 的增量的增量相關(guān)。相關(guān)。 ( (過程量過程量)=()=(狀態(tài)量的增量狀態(tài)量的增量) )2)2)變質(zhì)量變質(zhì)量物體的運動過程，物體的運動過程，用動量定理較

4、方便用動量定理較方便3 3) )碰撞碰撞或或沖擊沖擊過程，牛頓第二定律無法直接使過程，牛頓第二定律無法直接使 用，用，可用動量定理可用動量定理求解。求解。Ip質(zhì)點運動的質(zhì)點運動的動量定理動量定理討論討論I分量式：分量式：iittiippdtFI1221 zyxi, 如：估算平均作用力如：估算平均作用力1221ttdtFFtt 的方向相同的方向相同方向方向與與pff tttf0dtf 定義定義平均作用（沖）力平均作用（沖）力:1212ttpp tFtFItt 0d將沖量定義式將沖量定義式中的積分用平中的積分用平均沖力代替均沖力代替:tp PtF 則，動量定理寫為則，動量定理寫為通常通常 Fmg例

5、如例如, m=60g的小球以的小球以=40ms-1的速率垂直地撞的速率垂直地撞擊墻壁后被反彈回來，碰撞時間為擊墻壁后被反彈回來，碰撞時間為t =0.1s，則小球受到的平均撞擊力為：則小球受到的平均撞擊力為：N48N1 . 04006. 022)( tmtmmFvvv約為小球重力約為小球重力mg的的80倍！倍！ 例例 質(zhì)點的質(zhì)量為質(zhì)點的質(zhì)量為1.0kg，運動函數(shù)為，運動函數(shù)為x=2t+t3 (SI)，則在，則在02s內(nèi)，作用在質(zhì)內(nèi)，作用在質(zhì)點上的合力的沖量大小為點上的合力的沖量大小為解解1：動量定理動量定理v=d=dx/dt=2+3t/dt=2+3t2 202 tstmVmVIsN 12sNtd

6、tmadtFdtI.126202020解解2：沖量定義式：沖量定義式。例例 如圖所示，質(zhì)量為如圖所示，質(zhì)量為m 的滑塊沿光滑水的滑塊沿光滑水平面向右滑動。一質(zhì)量為平面向右滑動。一質(zhì)量為 m 的小球水平向右的小球水平向右飛行，以對地的速度飛行，以對地的速度 與滑塊斜面相碰，碰與滑塊斜面相碰，碰后豎直向上彈起，速率為后豎直向上彈起，速率為 v2（對地），若碰撞（對地），若碰撞時間為時間為t，試求此過程中滑塊對地的平均作用，試求此過程中滑塊對地的平均作用力和力和m1v滑塊速度增量的大小?；瑝K速度增量的大小。v1mv2v = mv2t解解m( F mg )t = m（v2 0） Ft = m ( 0

7、v1 ) mgmgNFFFFN(mg +F)t = 0 N = mg + F= mg + mg + Ft = mvv1m m對對m ： 對對m：解得：解得：根據(jù)動量定理根據(jù)動量定理xyv2一、質(zhì)點系一、質(zhì)點系: N個質(zhì)點組成的系統(tǒng)個質(zhì)點組成的系統(tǒng)- 研究對象研究對象內(nèi)力內(nèi)力 系統(tǒng)系統(tǒng)內(nèi)部內(nèi)部各質(zhì)點間的相互作用力各質(zhì)點間的相互作用力質(zhì)點系質(zhì)點系 特點：特點： 成對出現(xiàn)；大小相等成對出現(xiàn)；大小相等, 方向相反方向相反結(jié)論：結(jié)論：質(zhì)點系的質(zhì)點系的內(nèi)力之和為零內(nèi)力之和為零0iif 質(zhì)點系中的重要結(jié)論之一質(zhì)點系中的重要結(jié)論之一 3.2 質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理 動量守恒定律動量守恒定律 外力外力

8、 系統(tǒng)系統(tǒng)外部外部對質(zhì)點系對質(zhì)點系內(nèi)部內(nèi)部質(zhì)點的作用力質(zhì)點的作用力F約定約定：系統(tǒng)內(nèi)系統(tǒng)內(nèi)任一質(zhì)點任一質(zhì)點受力之和受力之和寫成寫成iifF 外力之和外力之和內(nèi)力之和內(nèi)力之和質(zhì)點系質(zhì)點系二、二、 質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理 動量守恒定律動量守恒定律方法方法: 對每個質(zhì)點分別使用牛頓定律，然后對每個質(zhì)點分別使用牛頓定律，然后利利用用質(zhì)點系質(zhì)點系內(nèi)力內(nèi)力的特點加以化簡的特點加以化簡 到到 最簡形式。最簡形式。iFimif第第1步，對步，對 mi 使用動量定理：使用動量定理：02121iittittiPPtftF dd00iiiiiimPmP )()(02121iiittittiiPPtftF

9、dd外力沖量之和外力沖量之和 內(nèi)力沖量之和內(nèi)力沖量之和第第2步，步，對對所有所有質(zhì)質(zhì)點點求和求和：22110()ttiiiiiiittFtftPPdd 2121)(ttiiittitFtFdd由于每個質(zhì)點的受力時間由于每個質(zhì)點的受力時間dt 相同相同得：得：d21ttFt 外外第第3步，化簡上式：先看步，化簡上式：先看外力外力沖量之和沖量之和 2121)(ttiiittitftfdd質(zhì)點系質(zhì)點系的內(nèi)力沖量之和為零的內(nèi)力沖量之和為零再看再看內(nèi)力內(nèi)力沖量之和沖量之和 因因dt 相同相同又因內(nèi)力之和為零，又因內(nèi)力之和為零，得：得： 021 ittitf d質(zhì)點系的重要結(jié)論之二質(zhì)點系的重要結(jié)論之二00

10、00iiiiiiiiiimPPmPP 0()iiiPP d210ttIFtPP 外外令：令： 則：則：（積分形式）（積分形式） 質(zhì)點系的動量定理：質(zhì)點系的動量定理：質(zhì)點系所受合外力的質(zhì)點系所受合外力的沖量等于質(zhì)點系總動量的增量。沖量等于質(zhì)點系總動量的增量。d21ttFt 外外質(zhì)點系的總動量質(zhì)點系的總動量0 外外F當當CPPii 則則：動量守恒定律動量守恒定律討論討論 1. .動量守恒定律是牛頓第三定律的必然推論。動量守恒定律是牛頓第三定律的必然推論。 2. 動量定理及動量守恒定律只適用于慣性系。動量定理及動量守恒定律只適用于慣性系。 微分形式？微分形式？PtFdd 外外021PPtFItt d

11、外外（積分形式）（積分形式）如果系統(tǒng)所受的如果系統(tǒng)所受的該系統(tǒng)的該系統(tǒng)的在運動過程中在運動過程中4. 若若某個方向某個方向上合外力為上合外力為零零，則，則該方向該方向上上 動量動量守恒守恒，盡管總動量可能并不守恒，盡管總動量可能并不守恒 5. 當當外力外力內(nèi)力內(nèi)力且作用時間且作用時間極短極短時（如碰撞）時（如碰撞）6. 動量守恒定律比牛頓定律動量守恒定律比牛頓定律更普遍、更基本更普遍、更基本， 在宏觀和微觀領(lǐng)域均適用。在宏觀和微觀領(lǐng)域均適用?？烧J為動量可認為動量近似守恒近似守恒。7. 用守恒定律解題，應(yīng)注意用守恒定律解題，應(yīng)注意過程、選系統(tǒng)、過程、選系統(tǒng)、 分析內(nèi)外力、確定始末態(tài)。分析內(nèi)外力、

12、確定始末態(tài)。3. 動量若在某一動量若在某一慣性系慣性系中中守恒守恒，則在其它，則在其它 一切慣性系一切慣性系中中均守恒均守恒。 “神州神州”號飛船升空號飛船升空三、火箭飛行原理三、火箭飛行原理變質(zhì)量問題變質(zhì)量問題 粘附粘附 主體的質(zhì)量增加（如滾雪球）主體的質(zhì)量增加（如滾雪球） 拋射拋射 主體的質(zhì)量減少（如火箭發(fā)射）主體的質(zhì)量減少（如火箭發(fā)射） 還有另一類變質(zhì)量問題是在還有另一類變質(zhì)量問題是在高速高速 (v c)情況下，這時即使沒有粘附和拋射，質(zhì)量也情況下，這時即使沒有粘附和拋射，質(zhì)量也可以改變可以改變 隨速度變化隨速度變化 m = m(v)，這是，這是相對相對論論情形。情形。不在本節(jié)討論之列。

13、不在本節(jié)討論之列。變質(zhì)量問題（低速，變質(zhì)量問題（低速，v c）有）有兩兩類：類：下面僅以火箭飛行原理為例，討論變質(zhì)量問題。下面僅以火箭飛行原理為例，討論變質(zhì)量問題。火箭飛行原理：火箭飛行原理：特征特征: 火箭在飛行過程中火箭在飛行過程中, 由于不斷向外噴氣由于不斷向外噴氣,所以火箭體的質(zhì)量不斷地變化。飛行速度？所以火箭體的質(zhì)量不斷地變化。飛行速度？ 取取微小微小過程，即過程，即微小微小的時間間隔的時間間隔d tt火箭體質(zhì)量火箭體質(zhì)量 MM速度速度VVttd MMd VVd md)(VVud 噴出的氣體噴出的氣體系統(tǒng)：火箭箭體系統(tǒng)：火箭箭體 和和dt 時間內(nèi)噴出的氣體時間內(nèi)噴出的氣體-噴氣速度噴

14、氣速度（相對火箭體）相對火箭體）uut火箭體質(zhì)量火箭體質(zhì)量MM速度速度VVttdMMdVVdmd)(VVud噴出的氣體噴出的氣體系統(tǒng)：火箭箭體系統(tǒng)：火箭箭體 和和dt 間隔內(nèi)噴出的氣體間隔內(nèi)噴出的氣體utFVMVVumVVMMd)d(d)d)(d( 根據(jù)動量定理列出原理式：根據(jù)動量定理列出原理式：假設(shè)在自由空間發(fā)射，假設(shè)在自由空間發(fā)射，注意到：注意到：dm =dM，按圖示，可寫出分量式，稍加整理為：按圖示，可寫出分量式，稍加整理為：0 MuVMdd MMVVMMuV00ddMMuVV00ln 提高火箭速度的途徑有二：提高火箭速度的途徑有二：第一條是提高火箭噴氣速度第一條是提高火箭噴氣速度u第二

15、條是加大火箭質(zhì)量比第二條是加大火箭質(zhì)量比M0/M對應(yīng)的措施是：對應(yīng)的措施是：選優(yōu)質(zhì)燃料選優(yōu)質(zhì)燃料 采取多級火箭采取多級火箭解解：(法一法一) 取整個取整個繩子為研究對象繩子為研究對象txox00000 xlmPttd 00 )(xxlmPd ()()00000mmFNm gtxxxll ddF求求繩被拉上任一段后，繩端的拉力繩被拉上任一段后，繩端的拉力F。例例3.1 軟繩盤在桌面上，總質(zhì)量為軟繩盤在桌面上，總質(zhì)量為m0，總長度，總長度l，質(zhì)量均勻分布，均勻地以速度質(zhì)量均勻分布，均勻地以速度v0提繩。提繩。Fgm0NgxllmN)(0 xglmlmF0200 gxllm 0N#()()00000

16、mmFNm gtxxxll ddxox0F對對還在桌面上還在桌面上的繩，分析受力，的繩，分析受力，得：得：代回，代回，dd000mxFNm glt 得：得： 已提升的質(zhì)量已提升的質(zhì)量(主體主體) m 和將要提升的質(zhì)量和將要提升的質(zhì)量dmt00m ttd 00mm d0)( mtmgFdd 0 tmmgFdd 00mmmxtltl ddddxlmm0 0 xglmlmF0200 (法二法二) 類似類似火箭飛行的方法火箭飛行的方法求解求解Fxox0gm此例中方法此例中方法2似乎更簡便些似乎更簡便些系統(tǒng)是：系統(tǒng)是：#m的動量的動量 dm的動量的動量動量定理動量定理求解求解11)cos(tvS解：車固

17、定：0)cos(MVVvmMEmMmEvvv車動：222)coscos(tMmmvvtvSmEmMMMmmSStt11221vVvvmEcos水平方向：VMmmvVcos例例3.2 一個人站在平板車上擲鉛球兩次，相對于車的一個人站在平板車上擲鉛球兩次，相對于車的出手速度均為出手速度均為v，仰角均為，仰角均為 ，第一次平板車固定，第第一次平板車固定，第二次平板車可在水平面無摩擦運動，己知人和車的總二次平板車可在水平面無摩擦運動，己知人和車的總質(zhì)量為質(zhì)量為M，球的質(zhì)量為，球的質(zhì)量為m，問兩次射程之比，問兩次射程之比?水平方向動量守恒：水平方向動量守恒：質(zhì)心質(zhì)心是指質(zhì)量分布中心。是指質(zhì)量分布中心。質(zhì)

18、點系的質(zhì)心，是一質(zhì)點系的質(zhì)心，是一個以質(zhì)量為權(quán)重取平均的特殊點。個以質(zhì)量為權(quán)重取平均的特殊點。mrmmrmrNiiiNiiNiiic 111質(zhì)心的位置：質(zhì)心的位置：im c質(zhì)心質(zhì)心質(zhì)點系質(zhì)點系上式的分量形式上式的分量形式ircro重心是指各質(zhì)點所受重力的合力作用點。重心是指各質(zhì)點所受重力的合力作用點。 3.3 質(zhì)質(zhì)(center of mass)1Niiicm xxm mmrrc d mmd物體的質(zhì)量物體的質(zhì)量質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布的物體，的物體， 分成分成N 個小質(zhì)元計算個小質(zhì)元計算：yoxzmdrcrc. m1xyz. . o m2m32 1 3 例如如圖，則例如如圖，則32122mmm

19、myc32111mmmmxc32133mmmmzcmrmrNiiic1分量式？分量式？1）質(zhì)量均勻分布的物體質(zhì)量均勻分布的物體 質(zhì)心在幾何中心質(zhì)心在幾何中心2）質(zhì)心是位置的加權(quán)平均值質(zhì)心是位置的加權(quán)平均值 質(zhì)心處不一定有質(zhì)量質(zhì)心處不一定有質(zhì)量 二、質(zhì)心運動定理二、質(zhì)心運動定理 1. 1. 質(zhì)心的速度和動量質(zhì)心的速度和動量Ccm iiimP mmmii Pmiii cmP 而而由由 iiiiimrmcr iiiiimmc trccdd 在任何參考系中，在任何參考系中，質(zhì)心的動量等于質(zhì)點系的總動量。質(zhì)心的動量等于質(zhì)點系的總動量。2.2.質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理tPFdd tmFcdd camF 而

20、質(zhì)點系的總動量而質(zhì)點系的總動量由由 無論質(zhì)量如何分布，無論外力作用在什么無論質(zhì)量如何分布，無論外力作用在什么位置，位置，質(zhì)心的運動質(zhì)心的運動如同如同質(zhì)點系的全部質(zhì)量集于質(zhì)點系的全部質(zhì)量集于質(zhì)心，所有外力質(zhì)心，所有外力也都也都作用于質(zhì)心的一個質(zhì)點的作用于質(zhì)心的一個質(zhì)點的運動運動，且與質(zhì)點系的內(nèi)力無關(guān)。，且與質(zhì)點系的內(nèi)力無關(guān)。cmP 0F 若若 ，c 不變不變速度不變就是動量守恒！速度不變就是動量守恒?。ㄈ纾ㄈ鐠仈S的物體拋擲的物體、跳水的運動員、爆跳水的運動員、爆炸的焰火等，其質(zhì)炸的焰火等，其質(zhì)心的運動軌跡都是心的運動軌跡都是拋物線）拋物線）質(zhì)心運動定理描述質(zhì)心運動定理描述了物體質(zhì)心的運動。了物體

21、質(zhì)心的運動。系統(tǒng)系統(tǒng)內(nèi)力內(nèi)力不會影不會影響質(zhì)心的運動。響質(zhì)心的運動。質(zhì)心處的質(zhì)點（質(zhì)點系總質(zhì)量）代替質(zhì)點系整體的平動質(zhì)心處的質(zhì)點（質(zhì)點系總質(zhì)量）代替質(zhì)點系整體的平動OMmx-S -S體系質(zhì)心體系質(zhì)心 mMmSSxMX 2t2時刻時刻OMm-RxmMmRMxX 1體系質(zhì)心體系質(zhì)心t1時刻時刻例例3.3 已知已知1/4圓圓M, m由靜止下滑由靜止下滑,求求 t1t2 過程中過程中M移動的距離移動的距離 S。解：解：選（選（M+m）為體系）為體系水平方向水平方向: 合外力合外力=0，質(zhì)心靜止質(zhì)心靜止21XX 質(zhì)心靜止質(zhì)心靜止RmMmS M 移動的距離移動的距離 思路思路:與處理動量定理與處理動量定理

22、 動量守恒問題相同動量守恒問題相同一、質(zhì)點對定點的角動量一、質(zhì)點對定點的角動量 t 時刻，如圖，時刻，如圖，mPorPrL 定義定義為質(zhì)點為質(zhì)點對對固定固定點點o 的的角動量角動量LsinsinLrPrmv 方向：垂直于方向：垂直于 組成的平面組成的平面Pr，SI/skgm2大?。捍笮。?3.4 角動量定理角動量定理 角動量守恒定律角動量守恒定律說角動量時，說角動量時，必須指明是對必須指明是對哪個固定點的哪個固定點的FrM mForM t 時刻時刻, 如圖如圖,定義定義 sinFrM dF 為力為力對定點對定點o 的的力矩力矩二、力對定點的力矩二、力對定點的力矩大小：大?。?中學(xué)就熟知的：中學(xué)

23、就熟知的：力矩等于力乘力臂力矩等于力乘力臂方向：垂直方向：垂直 組成的平面組成的平面Fr,Nm:SId說力矩時，也說力矩時，也必須指明是對必須指明是對哪個固定點的哪個固定點的1）物理量）物理量 角動量和力矩角動量和力矩均與均與定點定點有關(guān)，有關(guān)， 角動量也稱角動量也稱動量矩動量矩，力矩也叫，力矩也叫角力角力；2）對軸的對軸的角動量和角動量和對軸的對軸的力矩力矩 在具體的坐標系中，角動量（或力矩）在各坐在具體的坐標系中，角動量（或力矩）在各坐標軸的分量，就叫對軸的角動量（或力矩）。標軸的分量，就叫對軸的角動量（或力矩）。討論討論kLjLiLPrLzyx kMjMiMFrMzyx xL質(zhì)點對質(zhì)點對

24、x軸的角動量軸的角動量xM質(zhì)點對質(zhì)點對x軸的力矩軸的力矩)()(kPjPiPkzj yixLzyx 某一方向的分量怎么求呢？某一方向的分量怎么求呢？由定義出發(fā)：由定義出發(fā)：)()(kFjFiFkzj yi xMzyx zyxPPPzyxkji LxyzyPxPL 例如：角動量例如：角動量tPFdd 由牛二定律由牛二定律tPrFrdd tLMdd 三、質(zhì)點的角動量定理三、質(zhì)點的角動量定理 角動量守恒定律角動量守恒定律用用 叉乘叉乘得得或或LtMdd LtMdd 21tt LtMttd 21r0LL M 和和L 是是對對慣性系中慣性系中的的同一固定點的。同一固定點的。沖量矩沖量矩力矩的時間積累力矩

25、的時間積累角動量定理：角動量定理：質(zhì)點所受合外力矩的沖量矩質(zhì)點所受合外力矩的沖量矩 等于質(zhì)點角動量的增量。等于質(zhì)點角動量的增量。角動量守恒定律角動量守恒定律LtMdd LtMttd 2100ML若若 則則角動量定理角動量定理1）動量守恒與角動量守恒動量守恒與角動量守恒 是相互是相互獨立獨立的定律。的定律。 2）有心力有心力力始終指向一點力始終指向一點 質(zhì)點在質(zhì)點在有心力作用下運動時角動量守恒有心力作用下運動時角動量守恒0MrF 角動量守恒角動量守恒如行星運動如行星運動動量不守恒動量不守恒角動量守恒角動量守恒 oF直升飛機直升飛機討論討論四、質(zhì)點系的角動量定理四、質(zhì)點系的角動量定理 1. 質(zhì)點系對定點的角動量質(zhì)點系對定點的角動量iiiiiPrLL 2. 角動量定理和守恒定律角動量定理和守恒定律iiiiiiiifrFrMM o1P1r2P2rtLMiidd ii0 iiifr內(nèi)力對定點的力矩之和為零內(nèi)力對定點的力矩之和為零質(zhì)點系內(nèi)的重要結(jié)論之三質(zhì)點系內(nèi)的重要結(jié)論之三 (自證自證)3r3P()iiiiMrFf M 外外tLMdd 外外形式上與質(zhì)