大學(xué)物理第八章靜電場(chǎng)

1、(C)2q20S2(D)2qs20*第八章靜電場(chǎng)8.1真空中有兩個(gè)點(diǎn)電荷M、N,相互間作用力為F，當(dāng)另一點(diǎn)電荷Q移近這兩個(gè)點(diǎn)電荷時(shí)，M、N兩點(diǎn)電荷之間的作用力(A) 大小不變，方向改變.(B)大小改變，方向不變.(C)大小和方向都不變.(D)大小和方向都改.C:8.2關(guān)于高斯定理的理解有下面幾種說(shuō)法，其中正確的是：(A) 如果高斯面上E處處為零，則該面內(nèi)必?zé)o電荷.(B) 如果高斯面內(nèi)無(wú)電荷，則高斯面上E處處為零.(C) 如果高斯面上E處處不為零，則高斯面內(nèi)必有電荷.(D) 如果高斯面內(nèi)有凈電荷，則通過(guò)高斯面的電通量必不為零.D:8.3有一邊長(zhǎng)為a的正方形平面，在其中垂線(xiàn)上距中心0點(diǎn)a/2處，有

2、一電荷為q的正點(diǎn)電荷，如圖所示，則通過(guò)該平面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為(A) 乞.(B)3040(C)則兩極板間則兩極板間8.4面積為S的空氣平行板電容器，極板上分別帶電量土q,若不考慮邊緣效應(yīng)，的相互作用力為2(A)(A)°s(B) 丄2°S8.5一個(gè)帶正電荷的質(zhì)點(diǎn)，在電場(chǎng)力作用下從A點(diǎn)經(jīng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示.已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速率是遞增的，下面關(guān)于C點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向的四個(gè)圖示中正確的是：D:8.6如圖所示，直線(xiàn)MN長(zhǎng)為2l，弧OCD是以N點(diǎn)為中心，I為半徑的半圓弧，N點(diǎn)有正電荷+q,M點(diǎn)有負(fù)電荷-q.今將一試驗(yàn)電荷+q°從O點(diǎn)出發(fā)沿路徑OCDP移到無(wú)窮遠(yuǎn)處，設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)

3、處電勢(shì)為零，則電場(chǎng)力作功(A) Av0,且為有限常量.(B)A>0,且為有限常量.(C)A=s.(D)A=0.8.7靜電場(chǎng)中某點(diǎn)電勢(shì)的數(shù)值等于(A) 試驗(yàn)電荷q0置于該點(diǎn)時(shí)具有的電勢(shì)能.(B) 單位試驗(yàn)電荷置于該點(diǎn)時(shí)具有的電勢(shì)能.(C) 單位正電荷置于該點(diǎn)時(shí)具有的電勢(shì)能.(D) 把單位正電荷從該點(diǎn)移到電勢(shì)零點(diǎn)外力所作的功.M點(diǎn)移到N點(diǎn).有人根據(jù)8.8已知某電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)分布情況如圖所示.現(xiàn)觀察到一負(fù)電荷從這個(gè)圖作出下列幾點(diǎn)結(jié)論，其中哪點(diǎn)是正確的？(A)電場(chǎng)強(qiáng)度EmvEn.(B)電勢(shì)UmvUn.(C) 電勢(shì)能WmVWn.(D)電場(chǎng)力的功A>0.8.9電荷為+q和一2q的兩個(gè)點(diǎn)電荷分別置

4、于x=1m和x=1m處.一試驗(yàn)電荷置于x軸上何處，它受到的合力等于零？解：設(shè)試驗(yàn)電荷置于x處所受合力為零，即該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零.2qx26x+1=0,x32、2m因x32點(diǎn)處于q、2q兩點(diǎn)電荷之間，該處場(chǎng)強(qiáng)不可能為零故舍去得x32、2m3分8.10如圖所示，真空中一長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻帶電細(xì)直桿，總電荷為q,試求在直桿延長(zhǎng)線(xiàn)上距桿的一端距離為d的P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.爲(wèi)(L+d-X)pdE*.解：設(shè)桿的左端為坐標(biāo)原點(diǎn)向.帶電直桿的電荷線(xiàn)密度為強(qiáng)：O,x軸沿直桿方=q/L,在x處取一電荷元dq=dx=qdx/L,它在P點(diǎn)的場(chǎng)dqdx2dE40LLE亠24°L°(Ldx)2方向沿x軸，即桿的延長(zhǎng)線(xiàn)

5、方向.8.11一個(gè)細(xì)玻璃棒被彎成半徑為R的半圓形，半部分均勻分布有電荷-Q,如圖所示.試求圓心解：把所有電荷都當(dāng)作正電荷處理.在處取微小電荷強(qiáng)按角變化，將dE分解成二個(gè)分量：對(duì)各分量分別積分，積分時(shí)考慮到一半是負(fù)電荷/2sin0總場(chǎng)強(qiáng)為dxqdx0LLdx2q40dLd沿其上半部分均勻分布有電荷O處的電場(chǎng)強(qiáng)度.dl=2Qd/。它在O處產(chǎn)生場(chǎng)+Q,沿其下dq=ExQ20R2sin/2Ey2Q20R2/2cosd0cosd/2Q0R2所以：EExiEyjQ20R2R的半圓形，電荷線(xiàn)密度為=0sinO處的電場(chǎng)強(qiáng)度.8.12帶電細(xì)線(xiàn)彎成半徑為R與x軸所成的夾角，如圖所示.試求環(huán)心解：把所有電荷都當(dāng)作正

6、電荷處理強(qiáng)，式中0為一常數(shù)，為半徑.在處取微小電荷dq=dl=2Qd/,它在O處產(chǎn)生場(chǎng)dq4n0R2按角變化，將dE分解成二個(gè)分量：dEdEydEcos對(duì)各分量分別積分，積分時(shí)考慮到一半是負(fù)電荷所以ExEy12/2sindsin/20R2coscos/220R2ExiEyj8.13真空中兩條平行的“無(wú)限長(zhǎng)”均勻帶電直線(xiàn)相距為a，其電荷線(xiàn)密度分別為一求：2分2分1分和+.試(1) 在兩直線(xiàn)構(gòu)成的平面上，兩線(xiàn)間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度(選Ox軸如圖所示，兩線(xiàn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)).(2) 兩帶電直線(xiàn)上單位長(zhǎng)度之間的相互吸引力.解：(1)一根無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)在線(xiàn)外離直線(xiàn)距離r處的場(chǎng)強(qiáng)為：E=/(2or)2分根據(jù)上

7、式及場(chǎng)強(qiáng)疊加原理得兩直線(xiàn)間的場(chǎng)強(qiáng)為2a2，0a4x2a2，0a4x方向沿x軸的負(fù)方向(2)兩直線(xiàn)間單位長(zhǎng)度的相互吸引力F=E=2/(20a)2分8.14如圖所示，一電荷面密度為的“無(wú)限大”平面，在距離平面a處的一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小的一半是由平面上的一個(gè)半徑為R的圓面積范圍內(nèi)的電荷所產(chǎn)生的.試求該圓半徑的大小.解：電荷面密度為的無(wú)限大均勻帶電平面在任意點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E=/(20)2分以圖中O點(diǎn)為圓心，取半徑為rtr+dr的環(huán)形面積，其電量為dq=2rdr它在距離平面為a的一點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)則半徑為R的圓面積內(nèi)的電荷在該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為aRrdr2；0a2r23/2由題意,令E=/(40)，得到r=,3a8.1

8、5真空中一立方體形的高斯面，邊長(zhǎng)a=0.1m,位于圖中所示位置.已知空間的場(chǎng)強(qiáng)分布為：Ex=bx,Ey=0,Ez=0.常量b=1000N/(Cm).試求通過(guò)該高斯面的電通量.解：通過(guò)x=a處平面1的電場(chǎng)強(qiáng)度通量：1=-E1S1=-ba3通過(guò)x=2a處平面2的電場(chǎng)強(qiáng)度通量：2=E2S2=2ba31+2=2b其它平面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量都為零.因而通過(guò)該高斯面的總電場(chǎng)強(qiáng)度通量為a3-ba3=ba3=1Nm2/CEx=bx,Ey=0,Ez=0.8.16圖中虛線(xiàn)所示為一立方形的高斯面，已知空間的場(chǎng)強(qiáng)分布為:高斯面邊長(zhǎng)a=0.1m，常量b=1000N/(Cm).試求該閉合面中包含的凈電荷.(真空介電常數(shù)0=8

9、.85x10-12C2N-1m-2)解：設(shè)閉合面內(nèi)包含凈電荷為Q.因場(chǎng)強(qiáng)只有x分量不為零，故只是二個(gè)垂直于x軸的平面上電場(chǎng)強(qiáng)度通量不為零.由高斯定理得：-E1S什E2S2=Q/0(S1=S2=S)則Q=0S(E2-E1)=0Sb(x2-X1)23-12=oba2（2aa）=oba3=8.85x1012C8.17實(shí)驗(yàn)表明，在靠近地面處有相當(dāng)強(qiáng)的電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E垂直于地面向下，大小約為100N/C;在離地面1.5km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小約為25N/C.（1）假設(shè)地面上各處E都是垂直于地面向下，試計(jì)算從地面到此高度大氣中電荷的平均體密度；（2）假設(shè)地表面內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為零，且地球表面處

10、的電場(chǎng)強(qiáng)度完全是由均勻分布在地表面的電荷產(chǎn)生，求地面上的電荷面密度.（已知：真空介電常量0=8.85X10-12C2N-1m-2）解：（1）設(shè)電荷的平均體密度為，取圓柱形高斯面如圖（1）（側(cè)面垂直底面，底面S平行地面）上下底面處的場(chǎng)強(qiáng)分別為E1和E2，則通過(guò)高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為："EdS=E2S-E1S=(E2-E1)S2分高斯面S包圍的電荷刀qi=hS1分由高斯定理(E2E1)S=hS/01分10E2E1=4.43x1013C/m32分h（2）設(shè)地面面電荷密度為由于電荷只分布在地表面，所以電力線(xiàn)終止于地面，取高1斯面如圖（2）。由咼斯定理一edS=qi01-ESS0=0E=8.9

11、X10-10C/m38.18圖示一厚度為d的"無(wú)限大”均勻帶電平板，電荷體密度為.試求板內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布，并畫(huà)出場(chǎng)強(qiáng)隨坐標(biāo)x變化的圖線(xiàn)，即Ex圖線(xiàn)（設(shè)原點(diǎn)在帶電平板的中央平面上，Ox軸垂直于平板）.xE2E1E1S22x心平面兩側(cè)離中心平解：由電荷分布的對(duì)稱(chēng)性可知在中面相同距離處場(chǎng)強(qiáng)均沿x軸，大小相等而方向相反.在板內(nèi)作底面為S的高斯柱面S1（右圖中厚度放大了）兩底面距離中心平面均為x則得E1x/0即E1x/0丄dx-d4分22在板外作底面為S的咼斯柱面S2兩底面距中心平面均為x,由咼斯定理得E22SSd/0則得E2d/20xd2由咼斯定理得11即E2d/20xd,E2d/20xd22

12、Ex圖線(xiàn)如圖所示.2分8.19如圖所示，一厚為b的"無(wú)限大”帶電平板，其電荷體密度分布為=kx(Owxwb),式中k為一正的常量.求：(1) 平板外兩側(cè)任一點(diǎn)P1和P2處的電場(chǎng)強(qiáng)度大?。?2) 平板內(nèi)任一點(diǎn)P處的電場(chǎng)強(qiáng)度；(3) 場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)在何處？解：(1)由對(duì)稱(chēng)分析知，平板外兩側(cè)場(chǎng)強(qiáng)大小處處相等、方向垂直于平面且背離平面.設(shè)場(chǎng)強(qiáng)大小為E.作一柱形高斯面垂直于平面.其底面大小為S,如圖所示.按高斯定理EdSq/0，即S得到E=kb2/(40)(板外兩側(cè)(2)過(guò)P點(diǎn)垂直平板作一柱形高斯面，底面為得到E=kb2/(40)(板外兩側(cè)(2)過(guò)P點(diǎn)垂直平板作一柱形高斯面，底面為)，如圖所示.

13、按高斯定理有得到kSxkSbEESxdx0020k2b2Ex(0wxwb)202S.設(shè)該處場(chǎng)強(qiáng)為20,E=0，必須是x8.20一球體內(nèi)均勻分布著電荷體密度為可得xb/i2的正電荷，若保持電荷分布不變，在該球體挖去半徑以形成球腔時(shí)的求電場(chǎng)問(wèn)題，可在不挖時(shí)求出電場(chǎng)E1,的同樣大小的球體，求出電場(chǎng)E2，并令任意點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為在圖中，以0點(diǎn)為球心,小.SE1dSE14d2E10=E1P=E1d30為r的一個(gè)小球體，球心為0，兩球心間距離00d,如圖所示.求:(1)在球形空腔內(nèi)，球心O處的電場(chǎng)強(qiáng)度E。.(2)在球體內(nèi)P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度E.設(shè)0、0、P三點(diǎn)在同一直徑上，且OPd.解：挖去電荷體密度為的小球，而另

14、在挖去處放上電荷體密度為-此二者的疊加，即可得E。E1E22分d為半徑作球面為高斯面S,則可求出0與P處場(chǎng)強(qiáng)的大P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)E2P(1)求0點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)求P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)3r120d2E。.由圖(a)、(b)可得dE0=E10=30Ep.由圖(a)、(b)可得E2P方向如圖(c)所示.EPE1PE2P303r2方向如(d)圖所示.4d方向分別如圖所示.在圖(b)中，以0點(diǎn)為小球體的球心，可知在0點(diǎn)E2=0.又以0為心，2d為半徑作球面為高斯面S可求得8.21如圖所示，兩個(gè)點(diǎn)3q,相距為d.試求:(1) 在它們的連線(xiàn)E0的點(diǎn)與電荷為+多遠(yuǎn)？(2) 若選無(wú)窮遠(yuǎn)處電荷之間電勢(shì)U=0的的點(diǎn)電荷相距多遠(yuǎn)？解：設(shè)點(diǎn)電荷

15、q所在處x軸沿兩點(diǎn)電荷的連(1)設(shè)E0的點(diǎn)則圖電荷+q和一上電場(chǎng)強(qiáng)度q的點(diǎn)電荷相距電勢(shì)為零，兩點(diǎn)點(diǎn)與電荷為+q為坐標(biāo)原點(diǎn)O,線(xiàn).的坐標(biāo)為x,圖(c)圖(d)q:3qi04°x2I40xd2可得2x22dxd20解出x112.3d另有解x21-.31d不符合題意,2舍去.設(shè)坐標(biāo)x處U=0，則得d-4x=0,x=d/48.22圖中所示為一沿x軸放置的長(zhǎng)度為I的不均勻帶電細(xì)棒，其電荷線(xiàn)密度為=0(x-a),0為一常量.取無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢(shì).解：在任意位置x處取長(zhǎng)度元dx,其上帶有電荷dq=0(x-a)dxO點(diǎn)總電勢(shì)它在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)dUaQa8.23電荷q均勻分布在長(zhǎng)

16、為2l的細(xì)桿上，求在桿外延長(zhǎng)線(xiàn)上與桿端距離為a的P點(diǎn)的電勢(shì)(設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)).解：設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于桿中心O點(diǎn)，x軸沿桿的方向，如圖所示.細(xì)桿的電荷線(xiàn)密度=q/(2l),在x處取電荷元dq=dx=qdx/(2l)，它在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為dUpdq40laxqdx80llax整個(gè)桿上電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)Upqldx80lllaxq80lln2la8.24電荷q均勻分布在長(zhǎng)為2l的細(xì)桿上，求桿的中垂線(xiàn)上與桿中心距離為a的P點(diǎn)的電勢(shì)(設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)).解：設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于桿中心O點(diǎn)，x軸沿桿的方向，如圖所示.桿的電荷線(xiàn)密度=q/(2l).在x處取電荷元dq.dq=ldx=qdx/(2l)它在P點(diǎn)

17、產(chǎn)生的電勢(shì)dUPdUPdqqdx/228°lax整個(gè)桿上電荷產(chǎn)生的電勢(shì)22.2q.IIn-aI80la22.2q.IIn-aI80la亠in1124ola8.18兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷的均勻帶電同心球面，半徑分別為8.18兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷的均勻帶電同心球面，半徑分別為Ri=0.03m和R2=0.10m.已知兩者的電勢(shì)差為450V，求內(nèi)球面上所帶的電荷.解：設(shè)內(nèi)球上所帶電荷為知兩者的電勢(shì)差為450V，求內(nèi)球面上所帶的電荷.解：設(shè)內(nèi)球上所帶電荷為Q,則兩球間的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為Q20r(RivrvR2)兩球的電勢(shì)差U12R2EdrRiR2drR1r2_Q1140R1R20R1R2U12R2R

18、1=2.14X10-9c8.25電荷以相同的面密度限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，球心處的電勢(shì)為(1)(2)解:(1)分布在半徑為Uo=300V.r1=10cm和r2=20cm的兩個(gè)同心球面上.求電荷面密度.若要使球心處的電勢(shì)也為零，外球面上應(yīng)放掉多少電荷？0=8.85X10-12C2/(Nm2)球心處的電勢(shì)為兩個(gè)同心帶電球面各自在球心處產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加，即r1r20U00-92=8.85X109C/m2r1r2設(shè)外球面上放電后電荷面密度為U0丄0，則應(yīng)有1設(shè)無(wú)外球面上應(yīng)變成帶負(fù)電，共應(yīng)放掉電荷4r2r1r20U0r2=6.67X10-9C8.26一空氣平板電容器，極板A、B的面積都是S,極板間距離為d.接上

19、電源后，A板電勢(shì)Ua=V,B板電勢(shì)Ub=0.現(xiàn)將一帶有電荷q、面積也是S而厚度可忽略的導(dǎo)體片C平行插在兩極板的中間位置，如圖所示,試求導(dǎo)體片C的電勢(shì).解：未插導(dǎo)體片時(shí)，極板A、B間場(chǎng)強(qiáng)為：E1=V/d插入帶電荷q的導(dǎo)體片后，電荷q在C、B間產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為:E2=q/(20S)2分則C、B間合場(chǎng)強(qiáng)為：E=E1+E2=(V/d)+q/(20S)2分因而C板電勢(shì)為：U=Ed/2=V+qd/(2oS)/22分8.27如圖所示，半徑為R的均勻帶電球面，帶有電荷q.沿某一半徑方向上有一均勻帶電細(xì)線(xiàn)，電荷線(xiàn)密度為，長(zhǎng)度為I，細(xì)線(xiàn)左端離球心距離為設(shè)球和線(xiàn)上的電荷分布不受相互作用影響，試求細(xì)線(xiàn)所受球面電荷的電場(chǎng)力

20、和細(xì)線(xiàn)在該電場(chǎng)中的電勢(shì)能(設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零).Fqr01dx40r0x2qI40心r°I方向沿x正方向.電荷元在球面電荷電場(chǎng)中具有電勢(shì)能:整個(gè)線(xiàn)電荷在電場(chǎng)中具有電勢(shì)能：dW=(qdx)/(40x)解：設(shè)x軸沿細(xì)線(xiàn)方向，原點(diǎn)在球心處，在元在帶電球面的電場(chǎng)中所受電場(chǎng)力為：整個(gè)細(xì)線(xiàn)所受電場(chǎng)力為：x處取線(xiàn)元dx,其上電荷為dqdx，該線(xiàn)dF=qdx/(4ox2)3分ro1dxr°x-In08.28一真空二極管，其主要構(gòu)件是一個(gè)半徑Ri=5X10-4m的圓柱形陰極A和一個(gè)套在陰極外的半徑R2=4.5X10-3m的同軸圓筒形陽(yáng)極B,如圖所示陽(yáng)極電勢(shì)比陰極高300V，忽略邊緣效應(yīng).求

21、電子剛從陰極射出時(shí)所受的電場(chǎng)力.(基本電荷e=1.6X10-19C)解：與陰極同軸作半徑為r(RkrvR2)的單位長(zhǎng)度的圓柱形高斯面，設(shè)陰極上電荷線(xiàn)密度為.按高斯定理有2rE=/0得到E=/(20r)(R1VrvR2)2分方向沿半徑指向軸線(xiàn).兩極之間電勢(shì)差=4.37X10-14N2分BUaUbaEdrR2dr,R2In0R12分20R1r2得到UbUa所以EUbUa12分20InR2/InR2/R1r在陰極表面處電子受電場(chǎng)力的大小為UbUa1FeER1e2分cR2/R1R1方向沿半徑指向陽(yáng)極.5.29在強(qiáng)度的大小為E,方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，有一半徑為R的半球形光滑絕緣槽放在光滑水平面上(如

22、圖所示).槽的質(zhì)量為M，質(zhì)量為m帶有電荷+q的小球從槽的頂點(diǎn)A處由靜止釋放.如果忽略空氣阻力且質(zhì)點(diǎn)受到的重力大于其所受電場(chǎng)力，求：(1) 小球由頂點(diǎn)A滑至半球最低點(diǎn)E時(shí)相對(duì)地面的速度；(2) 小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)，槽相對(duì)地面的速度；(3)小球通過(guò)B點(diǎn)后，能不能再上升到右端最高點(diǎn)C?解：設(shè)小球滑到B點(diǎn)時(shí)相對(duì)地的速度為v，槽相對(duì)地的速度為V.小球從AtB過(guò)程中球、槽組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，mv+MV=02分對(duì)該系統(tǒng)，由動(dòng)能定理11mgREqR=mv2+MV2223分、兩式聯(lián)立解出vY'2MRmgqE2分mMm方向水平向右.V:'2mRmgqE1分MMm方向水平向左.1分小球通過(guò)B點(diǎn)后

23、，可以到達(dá)C點(diǎn).1分8.30如圖所示，在電矩為p的電偶極子的電場(chǎng)中，將一電荷為q的點(diǎn)電荷從A點(diǎn)沿半徑為R的圓弧(圓心與電偶極子中心重合，R>>電偶極子正負(fù)電荷之間距離)移到B點(diǎn)，求此過(guò)程中電場(chǎng)力所作的功.解：用電勢(shì)疊加原理可導(dǎo)出電偶極子在空間任意點(diǎn)的電勢(shì)3Upr/4or式中r為從電偶極子中心到場(chǎng)點(diǎn)的矢徑.于是知A、B兩點(diǎn)電勢(shì)分別為q從A移到B電場(chǎng)力作功(與路徑無(wú)關(guān))為AqUaUbqp/2°R2.x2y2Inx(SI).求點(diǎn)(4,3,0)處的電場(chǎng)強(qiáng)度各8.31已知某靜電場(chǎng)的電勢(shì)函數(shù)U分量值.解：由場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)梯度的關(guān)系式得ExU=-1000V/m3分xEyU01分yEzU01

24、分z8.32如圖所示，一半徑為R的圓環(huán)，其上無(wú)規(guī)則地分布著電荷，已知總電荷為q試求圓環(huán)軸線(xiàn)上距離圓心0為x的P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度的x分量.解：在圓環(huán)上的電荷不論如何分布，所有電荷與P點(diǎn)距離均相同，故P點(diǎn)電勢(shì)q40R2則P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的x分量為則P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的x分量為ExdUdxqx40R223/2x8.33“無(wú)限長(zhǎng)”均勻帶電的半圓柱面,為，試求軸線(xiàn)上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.8.33“無(wú)限長(zhǎng)”均勻帶電的半圓柱面,為，試求軸線(xiàn)上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.半徑為R,設(shè)半圓柱面沿軸線(xiàn)OO'單位長(zhǎng)度上的電荷解:設(shè)坐標(biāo)系如圖所示將半圓柱面劃分成許多窄條.解:設(shè)坐標(biāo)系如圖所示將半圓柱面劃分成許多窄條.dl寬的窄條的電荷線(xiàn)密度為

25、取位置處的一條，它在軸線(xiàn)上一點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為如圖所示.它在x、y軸上的二個(gè)分量為：dEx=dEsin,dEy=dEcos對(duì)各分量分別積分Ex0R0sin0R場(chǎng)強(qiáng)Ey220R0cosEExiEyj0R8.34一“無(wú)限長(zhǎng)”圓柱面，其電荷面密度為：=0cos，式中為半徑R與x軸所夾的角，試求圓柱軸線(xiàn)上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).解：將柱面分成許多與軸線(xiàn)平行的細(xì)長(zhǎng)條，每條可視為“無(wú)限長(zhǎng)”均勻帶電直線(xiàn)，其電荷線(xiàn)密度為=ocosRd,它在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：dE20R0cos0它沿x、y軸上的二個(gè)分量為:它沿x、y軸上的二個(gè)分量為:dEx=dEcos02cos00sincosd202cos2d00202020sind(sin

26、)0020Exi0i20dEy=dEsin=積分：ExEyE8.35一半徑為R的帶電球體,其電荷體密度分布為1分1分2分2分1分-qr4(rwR)(q為一正的常量)nR4=0(r>R)試求：(1)帶電球體的總電荷；(2)球內(nèi)、外各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度；(3)球內(nèi)、外各點(diǎn)的電勢(shì).解：(1)在球內(nèi)取半徑為r、厚為dr的薄球殼，該殼內(nèi)所包含的電荷為dq=dV=qr4r2dr/(R4)=4qr3dr/R4r則球體所帶的總電荷為QdV4q/R4r3drq3分V0(2)在球內(nèi)作一半徑為r1的高斯球面，按高斯定理有2得E1qr14(rKR),E1方向沿半徑向外.2分40R2在球體外作半徑為r2的高斯球面，按高

27、斯定理有4r2E2q/o得E2(3)球內(nèi)電勢(shì)q30R球外電勢(shì)RU2E2drr2得E2(3)球內(nèi)電勢(shì)q30R球外電勢(shì)RU2E2drr24022qr；120R4qr240r2(r2>R),E2方向沿半徑向外.3q4丄120RR3r1Rq40r2r2R8.36圖示一球形電容器，在外球殼的半徑b及內(nèi)外導(dǎo)體間的電勢(shì)差U維持恒定的條件下,內(nèi)球半徑a為多大時(shí)才能使內(nèi)球表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度最小？求這個(gè)最小電場(chǎng)強(qiáng)度的大小.4abCba當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體間電勢(shì)差為U時(shí)，電容器內(nèi)外球殼上帶電荷qa2解：球形電容器的電容電容器內(nèi)球表面處場(chǎng)強(qiáng)大小為欲求內(nèi)球表面的最小場(chǎng)強(qiáng)，令dE/da=0,則得到b*七a并有d2Eda2b/

28、2bUaba0可知這時(shí)有最小電場(chǎng)強(qiáng)度EminbUaba4UT8.37求：半徑為R的“無(wú)限長(zhǎng)”圓柱形帶電體，其電荷體密度為=Ar(rwR),式中A為常量.試(1) 圓柱體內(nèi)、外各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小分布；選與圓柱軸線(xiàn)的距離為1(1>R)處為電勢(shì)零點(diǎn)，計(jì)算圓柱體內(nèi)、外各點(diǎn)的電勢(shì)分布.解：(1)取半徑為r、高為h的高斯圓柱面(如圖所示).面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為E并垂直于柱面則穿過(guò)該柱面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為：為求高斯面內(nèi)的電荷，rvR時(shí)，取一半徑為r，厚dr、高h(yuǎn)的圓筒，其電荷為dV2Ahr2dr則包圍在高斯面內(nèi)的總電荷為由高斯定理得2rhE2Ahr3/30(2)計(jì)算電勢(shì)分布解出2EAr/30(rwR)5分r&g

29、t;R時(shí)，包圍在咼斯面內(nèi)總電何為：由咼斯定理2rhE2AhR3/30解出EAR3/30r(r>R)2分lRA21lAR3drrwR時(shí)UEdrrdrrr30R30rA33AR3,lR3r'ln3分9030RllAR3drAR3,lr>R時(shí)UEdrln2分rr30r30r8.38一電偶極子由電荷q=1.0X10-6C的兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷組成，兩電荷相距1=2.0cm把這電偶極子放在場(chǎng)強(qiáng)大小為E=1.0X105N/C的均勻電場(chǎng)中.試求：(1) 電場(chǎng)作用于電偶極子的最大力矩.(2) 電偶極子從受最大力矩的位置轉(zhuǎn)到平衡位置過(guò)程中，電場(chǎng)力作的功.解：(1)電偶極子在均勻電場(chǎng)中所受力矩為Mp

30、E其大小M=pEsin=qlEsin當(dāng)=/2時(shí)，所受力矩最大，4分(=0)過(guò)程中，電場(chǎng)力所Mmax=qlE=2X103Nm(2)電偶極子在力矩作用下，從受最大力矩的位置轉(zhuǎn)到平衡位置作的功為00A/2MdqlE凱dqlE=2X10-3Nm4分第九章靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體9.1選無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，半徑為R的導(dǎo)體球帶電后，其電勢(shì)為U0,則球外離球心距離為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為r2u。心、u。(A)3.(B)0.rRRU0心U0(C)2.C:rr板面距離均為h的兩點(diǎn)a、b之間的電勢(shì)差為:(B) 2；(D)(D)h(C)o9.3 一個(gè)未帶電的空腔導(dǎo)體球殼，內(nèi)半徑為R.在腔內(nèi)離球心的距離為d處(d<R),

31、固定(B)(B)q4od一點(diǎn)電荷+q,如圖所示.用導(dǎo)線(xiàn)把球殼接地后，再把地線(xiàn)撤去選無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，則球心0處的電勢(shì)為(A) 0.(C)q4oR9.4在一不帶電荷的導(dǎo)體球殼的球心處放一點(diǎn)電荷，并測(cè)量球殼內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布.如果將此點(diǎn)電荷從球心移到球殼內(nèi)其它位置，重新測(cè)量球殼內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布，則將發(fā)現(xiàn)：(A) 球殼內(nèi)、外場(chǎng)強(qiáng)分布均無(wú)變化.(B) 球殼內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)分布改變，球殼外不變.(C) 球殼外場(chǎng)強(qiáng)分布改變，球殼內(nèi)不變.(D) 球殼內(nèi)、外場(chǎng)強(qiáng)分布均改變.B:9.5在一個(gè)孤立的導(dǎo)體球殼內(nèi)，若在偏離球中心處放一個(gè)點(diǎn)電荷，則在球殼內(nèi)、外表面上將出現(xiàn)感應(yīng)電荷，其分布將是：(A) 內(nèi)表面均勻，外表面也均勻.(B)

32、 內(nèi)表面不均勻，外表面均勻.(C) 內(nèi)表面均勻，外表面不均勻.(D) 內(nèi)表面不均勻，外表面也不均勻.9.6當(dāng)一個(gè)帶電導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時(shí)：(A) 表面上電荷密度較大處電勢(shì)較高.(B) 表面曲率較大處電勢(shì)較高.(C) 導(dǎo)體內(nèi)部的電勢(shì)比導(dǎo)體表面的電勢(shì)高.(D) 導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)與其表面上任一點(diǎn)的電勢(shì)差等于零.9.7如圖所示，一內(nèi)半徑為a、外半徑為b的金屬球殼，帶有電荷Q,在球殼空腔內(nèi)距離球心r處有一點(diǎn)電荷q.設(shè)無(wú)限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，試求：(1) 球殼內(nèi)外表面上的電荷.(2) 球心O點(diǎn)處，由球殼內(nèi)表面上電荷產(chǎn)生的電勢(shì).(3) 球心O點(diǎn)處的總電勢(shì).解：(1)由靜電感應(yīng)，金屬球殼的內(nèi)表面上有感生電荷-q，外表面

33、上帶電荷q+Q.(2)不論球殼內(nèi)表面上的感生電荷是如何分布的，因?yàn)槿我浑姾稍xO點(diǎn)的距離都是a,所以由這些電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為(3)球心O點(diǎn)處的總電勢(shì)為分布在球殼內(nèi)外表面上的電荷和點(diǎn)電荷q在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和9.8有一"無(wú)限大”的接地導(dǎo)體板，在距離板面b處有一電荷為q的點(diǎn)電荷.如圖所示，試求:(1) 導(dǎo)體板面上各點(diǎn)的感生電荷面密度分布.(2) 面上感生電荷的總電荷.解：(1)選點(diǎn)電荷所在點(diǎn)到平面的垂足O為原點(diǎn)，取平面上任意點(diǎn)P,P點(diǎn)距離原點(diǎn)為r,設(shè)P點(diǎn)的感生電荷面密度為在P點(diǎn)左邊鄰近處(導(dǎo)體內(nèi))場(chǎng)強(qiáng)為零，其法向分量也是零，按場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，EpEpqcos4nor2b2223/2

34、qb/2冗r2b21分(2)以O(shè)點(diǎn)為圓心，r為半徑，dr為寬度取一小圓環(huán)面，其上電荷為rdr總電荷為QdSqbo2尹右q2分srb9.9如圖所示，中性金屬球A，半徑為R,它離地球很遠(yuǎn)在與球心0相距分別為a與b的B、C兩點(diǎn)，分別放上電荷為qA和qB的點(diǎn)電荷，達(dá)到靜電平衡后，問(wèn)：(1) 金屬球A內(nèi)及其表面有電荷分布嗎？(2) 金屬球A中的P點(diǎn)處電勢(shì)為多大？(選無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn))解：(1)靜電平衡后，金屬球A內(nèi)無(wú)電荷，其表面有正、負(fù)電荷分布，凈帶電荷為零.(2)金屬球?yàn)榈葎?shì)體，設(shè)金屬球表面電荷面密度為dS0SAUpqA/aqB/a/409.10 三個(gè)電容器如圖聯(lián)接，其中C1=10X10-6F,C2

35、=5X10-6F,C3=4X10-6F，當(dāng)A、B間電壓U=100V時(shí)，試求：(1)(2)A、B之間的電容；當(dāng)C3被擊穿時(shí)，在電容C1上的電荷和電壓各變?yōu)槎嗌伲拷?(1)(C1C2)C3-6C12-3.16X106FC1C2C3(2)C1上電壓升到U=100V，電荷增加到Q1C1U1X103C第十章靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)10.1關(guān)于D的高斯定理，下列說(shuō)法中哪一個(gè)是正確的？(A) 高斯面內(nèi)不包圍自由電荷，則面上各點(diǎn)電位移矢量D為零.(B) 高斯面上處處D為零，則面內(nèi)必不存在自由電荷.(C) 高斯面的D通量?jī)H與面內(nèi)自由電荷有關(guān).(D) 以上說(shuō)法都不正確.C:10.2 一導(dǎo)體球外充滿(mǎn)相對(duì)介電常量為r的均勻電

36、介質(zhì)，若測(cè)得導(dǎo)體表面附近場(chǎng)強(qiáng)為E,則導(dǎo)體球面上的自由電荷面密度為(A) 0E.(B)0rE.(C)rE.(D)(0r-0)E.:B:10.3 一平行板電容器中充滿(mǎn)相對(duì)介電常量為r的各向同性均勻電介質(zhì).已知介質(zhì)表面極化電荷面密度為土，則極化電荷在電容器中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為：(A)一.(B).00r(C).(D).A:20r一平行板電容器始終與端電壓一定的電源相聯(lián).當(dāng)電容器兩極板間為真空時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E0,電位移為Do,而當(dāng)兩極板間充滿(mǎn)相對(duì)介電常量為r的各向同性均勻電介質(zhì)時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，電位移為D，貝y(A)EEo/r,DD°.(B)EE°,DrDo.(C)EEo/r,D

37、Do/r.(D)EE°,DDo.B10.5如圖所示,一球形導(dǎo)體，帶有電荷q,置于一任意形狀的空腔導(dǎo)體中當(dāng)用導(dǎo)線(xiàn)將兩者連接后，則與未連接前相比系統(tǒng)靜電場(chǎng)能量將(A)增大.(C)不變.(B)減小.(D)如何變化無(wú)法確定.B:10.6將一空氣平行板電容器接到電源上充電到一定電壓后，斷開(kāi)電源.再將一塊與極板面積相同的各向同性均勻電介質(zhì)板平行地插入兩極板之間，如圖所示.則由于介質(zhì)板的插入及其所放位置的不同，對(duì)電容器儲(chǔ)能的影響為：(A) 儲(chǔ)能減少，但與介質(zhì)板相對(duì)極板的位置無(wú)關(guān).(B) 儲(chǔ)能減少，且與介質(zhì)板相對(duì)極板的位置有關(guān).(C) 儲(chǔ)能增加，但與介質(zhì)板相對(duì)極板的位置無(wú)關(guān).(D) 儲(chǔ)能增加，且與介

38、質(zhì)板相對(duì)極板的位置有關(guān).1O.7靜電場(chǎng)中，關(guān)系式DoEP(A) 只適用于各向同性線(xiàn)性電介質(zhì).(B) 只適用于均勻電介質(zhì).(C) 適用于線(xiàn)性電介質(zhì).D:r，電荷體密度分布=k/r。(k為已知(D) 適用于任何電介質(zhì).io.8一半徑為R的帶電介質(zhì)球體，相對(duì)介電常量為常量)，試求球體內(nèi)、外的電位移和場(chǎng)強(qiáng)分布.解：取半徑為rtr+dr的薄殼層，其中包含電荷應(yīng)用D的高斯定理，取半徑為r的球形高斯面.2r2球內(nèi)：4冗r4冗k°rdr2冗krD1=k/2,D1D1?E1=D1/(0r)=k/(20r),E12R球外：4冗r2D24冗kr20dr2冗kR2D2kR2/2r2,D1=k/2,D1D1?

39、E1=D1/(0r)=k/(20r),E12R球外：4冗r2D24冗kr20dr2冗kR2D2kR2/2r2,E2D2/0kR2/20r2(?為徑向單位矢量)E1?D2d2?,E2E2?10.9半徑為R的介質(zhì)球，相對(duì)介電常量為r、其體電荷密度=0(1r/R)，式中0為常量,r是球心到球內(nèi)某點(diǎn)的距離.試求：(1) 介質(zhì)球內(nèi)的電位移和場(chǎng)強(qiáng)分布.(2) 在半徑r多大處場(chǎng)強(qiáng)最大？解：(1)取半徑為rtr+dr的薄殼層，其中包含電荷應(yīng)用D的高斯定理，取半徑為r的球形高斯面.則：rr234RDo,DD?rr2r=2R/3處E最大.0r34RdE01r(2)對(duì)E(r)求極值0dr0r32R得r=2R/3且因

40、d2E/dr2<0,r=2R/3處E最大.ED/0r，EE?，?為徑向單位矢量10.10 一平行板電容器，極板間距離為10cm,其間有一半充以相對(duì)介電常量r=10的各向同性均勻電介質(zhì)，其余部分為空氣，如圖所示當(dāng)兩極間電勢(shì)差為100V時(shí)，試分別求空氣中和介質(zhì)中的電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度矢量.(真空介電常量0=8.85X10-12C2N-1m-2)解：設(shè)空氣中和介質(zhì)中的電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度矢量分別為D1、D2和Ej、E2，則U=E1d=E2d(1)D1=0E1(2)D2=0rE2(3)聯(lián)立解得E1E2U1000V/md方向均相同，由正極板垂直指向負(fù)極板.10.11 一平行板空氣電容器充電后，極板

41、上的自由電荷面密度=1.77X106C/m2.將極板與電源斷開(kāi)，并平行于極板插入一塊相對(duì)介電常量為r=8的各向同性均勻電介質(zhì)板.計(jì)算電介質(zhì)中的電位移D場(chǎng)強(qiáng)E和電極化強(qiáng)度P的大小.(真空介電常量0=8.85X10-12C2/Nm2)解：由D的高斯定理求得電位移的大小為D=1.77X106C/m2由D=0rE的關(guān)系式得到場(chǎng)強(qiáng)E的大小為E=2.5X104V/m0r介質(zhì)中的電極化強(qiáng)度的大小為P=0eE=0(r1)E=1.55X10-6C/m210.12 一導(dǎo)體球帶電荷Q=1.0C,放在相對(duì)介電常量為r=5的無(wú)限大各向同性均勻電介質(zhì)中求介質(zhì)與導(dǎo)體球的分界面上的束縛電荷Q'.解：導(dǎo)體球處于靜電平衡

42、時(shí)，其電荷均勻分布在球面上在球表面外附近，以球半徑R作一同心高斯球面按D的高斯定理有4R2D=Q。E=D/(0r)=Q/(40一同心高斯球面按D的高斯定理有4R2D=Q。E=D/(0r)=Q/(40該處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為電極化強(qiáng)度的大小為P=0(r1)E得到電位移的大小為rR2)r1Q4rR2D=Q/(4R2)極化電荷面密度為=Pcos180°rQrR2分界面上的束縛電荷為Q=4R2LQ=-0.8Cr10.13半徑為R,厚度為h(<<R)的薄電介質(zhì)圓盤(pán)被均勻極化，極化強(qiáng)度P與盤(pán)面平行，如圖所示求極化電荷在盤(pán)中心產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E.解：建坐標(biāo)如圖.圓盤(pán)均勻極化，只有極化面電荷，

43、盤(pán)邊緣處極化電荷面密度為=Pcosdq=Rdh=RhPcosddE=(dq)/(4oR2)dEx=dEcos(+),dEy=dEsin(+)由極化電荷分布的對(duì)稱(chēng)性可知EydEy=0EExdExEExdExdq40R2cosRhP22,hP2cosd40R204oR10.14一各向同性均勻電介質(zhì)球，半徑為R，荷，其體密度為0.求球內(nèi)的束縛電荷體密度解：介質(zhì)是球?qū)ΨQ(chēng)的，且o均勻分布，10.14一各向同性均勻電介質(zhì)球，半徑為R，荷，其體密度為0.求球內(nèi)的束縛電荷體密度解：介質(zhì)是球?qū)ΨQ(chēng)的，且o均勻分布，其相對(duì)介電常量為r,球內(nèi)均勻分布有自由電和球表面上的束縛電荷面密度'.','也必為球?qū)ΨQ(chēng)分布.因而電場(chǎng)必為球?qū)ΨQ(chēng)分布用D的高斯定理可求得略去dr的高次項(xiàng)，則(與0異號(hào))Pr?Pre0Rr10R,3r3re0rr0r與0同號(hào).10.15如圖所示，一平行板電容器，極板面積為S,兩極板之間距離為d,中間充滿(mǎn)介電常量、x按=0(1+)規(guī)律變化的電介質(zhì).在忽略邊緣效應(yīng)的情況下，試計(jì)算該電容器的電容.d解：設(shè)兩極板上分別帶自由電荷面密度土，則介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度分布為Ed1分0d1x兩極板