微分方程基本概念

1、高等數(shù)學(xué)作業(yè)本和二課堂等注意事項(xiàng)高等數(shù)學(xué)作業(yè)本和二課堂等注意事項(xiàng)1、請(qǐng)班長(zhǎng)到任課老師領(lǐng)取、請(qǐng)班長(zhǎng)到任課老師領(lǐng)取二二張報(bào)名表，并做好本班的張報(bào)名表，并做好本班的二課堂的統(tǒng)計(jì)報(bào)名工作，本周五交二課堂的統(tǒng)計(jì)報(bào)名工作，本周五交一一份給老師。份給老師。2、作業(yè)本（、作業(yè)本（11學(xué)分）每套學(xué)分）每套17元，二課堂元，二課堂72元元/人。人。4、請(qǐng)班長(zhǎng)在本周一、請(qǐng)班長(zhǎng)在本周一11:30-13:30到理學(xué)院到理學(xué)院129室領(lǐng)作業(yè)本。室領(lǐng)作業(yè)本。3、作業(yè)本和二課堂等的錢(qián)第二周周五、作業(yè)本和二課堂等的錢(qián)第二周周五9:30-13:30，理學(xué)院，理學(xué)院129。5、本學(xué)期將另外開(kāi)設(shè)、本學(xué)期將另外開(kāi)設(shè)高等數(shù)學(xué)第二課堂提高

2、班高等數(shù)學(xué)第二課堂提高班，主要內(nèi)容主要內(nèi)容 是一元函數(shù)微積分到多元函數(shù)微分學(xué)。為數(shù)學(xué)競(jìng)賽和考研是一元函數(shù)微積分到多元函數(shù)微分學(xué)。為數(shù)學(xué)競(jìng)賽和考研服務(wù)，上課時(shí)間周日服務(wù)，上課時(shí)間周日17:30-20:00，收費(fèi)，收費(fèi)60+20。報(bào)名另行。報(bào)名另行通知，請(qǐng)有興趣的同學(xué)安排好時(shí)間歡迎報(bào)名參加。通知，請(qǐng)有興趣的同學(xué)安排好時(shí)間歡迎報(bào)名參加。6、高等數(shù)學(xué)老師答疑從下周開(kāi)始：每周一、二、五三次。、高等數(shù)學(xué)老師答疑從下周開(kāi)始：每周一、二、五三次。地點(diǎn)：地點(diǎn)：A樓二樓休息室，時(shí)間樓二樓休息室，時(shí)間12:10-13:20.8、我班的課件存放地址：、我班的課件存放地址： 第九章yxfy求已知, )( 積分問(wèn)題積分問(wèn)

3、題 yy求及其若干階導(dǎo)數(shù)的方程已知含, 微分方程問(wèn)題微分方程問(wèn)題 推廣推廣 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第一節(jié)微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 幾何問(wèn)題幾何問(wèn)題物理問(wèn)題物理問(wèn)題 第九章第九章 例例 1 1 一一曲曲線線通通過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)(1,2),且且在在該該曲曲線線上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)),(yxM處處的的切切線線的的斜斜率率為為x2,求求這這曲曲線線的的方方程程.解解)(xyy 設(shè)所求曲線為設(shè)所求曲線為xdxdy2 xdxy22)1(2,1 yyx或或?qū)憣?xiě)成成時(shí)時(shí)其其中中,2Cxy 即即, 1 C求求得得.12 xy所求曲線方程為所求曲線方程為米米，的的距距離離為為離離點(diǎn)點(diǎn)秒秒，

4、開(kāi)開(kāi)始始時(shí)時(shí)一一物物體體作作變變速速直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)例例5)0(2Ot 速度為速度為sm/2的加速度遠(yuǎn)離點(diǎn)的加速度遠(yuǎn)離點(diǎn)現(xiàn)以現(xiàn)以O(shè)smt2/2O求物體離點(diǎn)求物體離點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系與時(shí)間與時(shí)間的距離的距離)(tssts 解解已已知知，5)0( s，2)0( stts2dd22 以及以及)1(式兩邊積分一次得：式兩邊積分一次得：)1( tttsd2dd12Ct 積分，得積分，得兩邊再對(duì)兩邊再對(duì) t tCtsd)(1231213tC tC為為獨(dú)獨(dú)立立的的任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中21,CC，由由2)0( s；得得21 C，由由5)0( s；得得52 C故故所所求求函函數(shù)數(shù)為為52313 tts基

5、本概念基本概念1.微微分分方方程程的的等等式式或或微微分分包包含含未未知知函函數(shù)數(shù)及及其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(常常微微分分方方程程：微分方程微分方程未知函數(shù)是一元函數(shù)的未知函數(shù)是一元函數(shù)的偏微分方程：偏微分方程：微分方程微分方程未知函數(shù)是多元函數(shù)的未知函數(shù)是多元函數(shù)的2.微微分分方方程程的的階階階階數(shù)數(shù)的的未未知知函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的最最高高在在一一個(gè)個(gè)微微分分方方程程中中出出現(xiàn)現(xiàn)3.或積分）微微分分方方程程的的解解( (滿滿足足微微分分方方程程的的函函數(shù)數(shù)我們僅僅探討一些與常微分方程相關(guān)的問(wèn)題。我們僅僅探討一些與常微分方程相關(guān)的問(wèn)題。例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy 5.微

6、微分分方方程程的的特特解解不不含含任任意意常常數(shù)數(shù)的的解解通解與特解的幾何意義通解與特解的幾何意義6.初初始始條條件件反反映映初初始始狀狀態(tài)態(tài)下下的的條條件件定解條件定解條件初始問(wèn)題：常微分方程初始問(wèn)題：常微分方程邊界問(wèn)題：偏微分方程邊界問(wèn)題：偏微分方程4.通積分）微微分分方方程程的的通通解解( (程的階數(shù)相同程的階數(shù)相同的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方解中含有解中含有獨(dú)立獨(dú)立312123stC tC例例如如：例例中中方方程程的的解解3121()3stCCt并并非非通通解解解的圖象解的圖象: : 微分方程的積分曲線微分方程的積分曲線. .通解的圖象通解的圖象: : 積分曲線族積分曲線族

7、. .定義定義0),()( nyyyxF求微分方程求微分方程滿足初始條件滿足初始條件iiyxy )(0)()1, 2, 1, 0( ni的的特特解解，階微分方程的階微分方程的這樣一個(gè)問(wèn)題稱為這樣一個(gè)問(wèn)題稱為n，問(wèn)題問(wèn)題 y y初值問(wèn)題Cauch初值問(wèn)題Cauch記記作作0),()( nyyyxFiiyxy )(0)()1, 2, 1, 0( ni21 (1 )2d yxd xy 例例中中22d2d2 (0)5(0)2sttss 例例 中中的通解，的通解，是方程是方程驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)例例xxxeyyeCey22333 的特解的特解并求滿足初始條件并求滿足初始條件00| xy解解xxeCey232

8、3 yy3 則則)23(23xxeCe )(323xxeCe xe2 含有一個(gè)任意常數(shù)，含有一個(gè)任意常數(shù)，又因又因 y且且方方程程是是一一階階的的，的通解的通解是方程是方程函數(shù)函數(shù)xxxeyyeCey2233 1)0( Cy而而，0 ，得到得到1 C故特解為故特解為xxeey23 所滿足的微分方程所滿足的微分方程為任意常數(shù)為任意常數(shù)求曲線族求曲線族例例)(1422CyCx 解解求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得兩邊對(duì)兩邊對(duì) xyCx122 022 yyxC)2(得得由由122 yCx221xyC 式式代入代入)2(021222 yyxyx所求微分方程為所求微分方程為xyyy12 例例5 5 一船從一船從O O點(diǎn)

9、以恒定速度點(diǎn)以恒定速度 v0 垂直向?qū)Π缎旭偞怪毕驅(qū)Π缎旭?, , 假假定水流速度與船離兩岸距離的乘積成正比定水流速度與船離兩岸距離的乘積成正比 , , 設(shè)河寬設(shè)河寬為為 a , ,求船的運(yùn)動(dòng)狀況求船的運(yùn)動(dòng)狀況 0 0yxaM(x,y)xvyvv解解建立坐標(biāo)系如圖所示建立坐標(biāo)系如圖所示 設(shè)船的運(yùn)動(dòng)曲線為設(shè)船的運(yùn)動(dòng)曲線為 y=y(x) , ,由題意知由題意知: :0ydyvvdt ()xdxvky aydt 0()dyvdydtdxdxky aydt 于是有于是有由于船從原點(diǎn)由于船從原點(diǎn)O O出發(fā)出發(fā) , , 故船的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線故船的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線y=y(x) 滿足初值問(wèn)題滿足初值問(wèn)題: :0()

10、vdydxky ay (0)0y 例例6 6一水箱盛有鹽水一水箱盛有鹽水 100 公升公升 , , 其中含鹽其中含鹽 20 公斤公斤 . .現(xiàn)將每公升含鹽現(xiàn)將每公升含鹽 0.1 公斤的低濃度鹽水以每分鐘公斤的低濃度鹽水以每分鐘 5 公升的速度注入水箱公升的速度注入水箱 , , 同時(shí)開(kāi)啟箱底閥門(mén)同時(shí)開(kāi)啟箱底閥門(mén) , , 以同樣以同樣的速度將此混合鹽水從箱中排出的速度將此混合鹽水從箱中排出 , , 求水箱中鹽水的求水箱中鹽水的含鹽量含鹽量 y 與時(shí)間與時(shí)間 t 的關(guān)系的關(guān)系 解解設(shè)在時(shí)刻設(shè)在時(shí)刻 t , , 水箱中鹽水含鹽量為水箱中鹽水含鹽量為 y = y(t) 則在則在 t , t+dt 時(shí)間段內(nèi)時(shí)間段內(nèi) 流進(jìn)鹽量流進(jìn)