Excel回歸分析結(jié)果的詳細(xì)闡釋

1、Excel回歸分析結(jié)果的詳細(xì)闡釋利用Excel的數(shù)據(jù)分析進(jìn)行回歸，可以得到一系列的統(tǒng)計(jì)參量。下面以連續(xù)10年積雪深度和灌溉面積序列（圖1）為例給予詳細(xì)的說明。ABC1年份最大積雪深度咒冰）灌溉面積式千畝）2r197115.228.63r197210.419.34r197321.240.55r197418.635.66r197526.448.97r197623.4458197713.529.29197316.73111019792446.711198019.13。4圖1連續(xù)10年的最大積雪深度與灌溉面積（19711980）回歸結(jié)果摘要（SummaryOutput）如下（圖2）：ABcDEFrgL

2、hLiSUMMARYOUTPUT回歸統(tǒng)計(jì)Multiple6.9S9416RSquareQ.978944Adjusted0.976312標(biāo)準(zhǔn)誤差1.418924觀測值10方差分析dfssMSFmificanceF回歸分析1748.8542748.8542371.94535,42E-08夠316.106762.013345總計(jì)g764.961Cofficien'標(biāo)準(zhǔn)誤差tStatP-valueLower9&%Uor)er限95,。止限第.0¥Intercep12.3564331.E278761.2891670.233363-1.858656.57153-1.858656.

3、57153最大積雪中,1,8129210.09400219.285885.42E-081.5961512.0296911.5961512.029691RESIDUALOUTPUTPROBABILITYOUTPUT觀測值瞿溉面積y殘差標(biāo)準(zhǔn)殘差百分比排懾面積排十田）129.91284-L31284-0.9S136519.3221,21OS2-1.91082-1.428361523,6340.79036-0.29036-0.217052529.2436,07677-0.47677-0.356393534,1550.21755-1.31755984394535.6圖2利用數(shù)據(jù)分析工具得到的回歸結(jié)果第一

4、部分：回歸統(tǒng)計(jì)表這一部分給出了相關(guān)系數(shù)、測定系數(shù)、校正測定系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)誤差和樣本數(shù)目如下(表1):表1回歸統(tǒng)計(jì)表回歸統(tǒng)計(jì)Multiple0.989416RSquare0.978944Adjusted0.976312標(biāo)準(zhǔn)誤差1.418924觀測值10逐行說明如下：Multiple對應(yīng)的數(shù)據(jù)是相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient),即R=0.989416。RSquare對應(yīng)的數(shù)值為測定系數(shù)(determinationcoefficient),或稱擬合優(yōu)度(goodnessoffit),它是相關(guān)系數(shù)的平方，即有R2=0.9894162=0.978944。Adjusted對應(yīng)的是校正測

5、定系數(shù)(adjusteddeterminationcoefficient),計(jì)算公式為(n-1)(1-R2)Ra=n-m-1式中n為樣本數(shù)，m為變量數(shù)，R2為測定系數(shù)。對于本例，n=10,m=1,R2=0.978944,代(10-1)(1-0.978944)Ra=1-二0.976312入上式得10-1-1標(biāo)準(zhǔn)誤差(standarderror)對應(yīng)的即所謂標(biāo)準(zhǔn)誤差，計(jì)算公式為1SSen-m-1這里SSe為剩余平方和，可以從下面的方差分析表中讀出，即有SSe=16.10676,代入上式可得J1*16.10676=1.418924.10-1-1最后一行的觀測值對應(yīng)的是樣本數(shù)目，即有n=10o第二部分

6、，方差分析表方差分析部分包括自由度、誤差平方和、均方差、F值、P值等(表2)。表2方差分析表(ANOVA方差分析dfSSHSF;nificancE回歸分析1748.8542748.8542371.94535.42E-08殘差S16.106762.013345總計(jì)9764.961逐列、分行說明如下：第一列df對應(yīng)的是自由度(degreeoffreedom),第一行是回歸自由度dfr,等于變量數(shù)目，即dfr=m;第二行為殘差自由度dfe,等于樣本數(shù)目減去變量數(shù)目再減1,即有dfe=n-m-1;第三行為總自由度dft,等于樣本數(shù)目減1,即有dft=n-1o對于本例，m=1,n=10,因此，dfr=1

7、,dfe=n-m-1=8,dft=n-1=9。第二列SS對應(yīng)的是誤差平方和，或稱變差。第一行為回歸平方和或稱回歸變差SSr,即有n2SSr='、0-yi)2=748.8542i4它表征的是因變量的預(yù)測值對其平均值的總偏差。第二行為剩余平方和(也稱殘差平方和)或稱剩余變差SSe,即有n2SSe="(yi-y?i)2=16.10676i4它表征的是因變量對其預(yù)測值的總偏差，這個(gè)數(shù)值越大，意味著擬合的效果越差。上述的y的標(biāo)準(zhǔn)誤差即由SSe給出。第三行為總平方和或稱總變差SSt,即有n2SSr-(yi-yi)2=764.961i4它表示的是因變量對其平均值的總偏差。容易驗(yàn)證748.8

8、542+16.10676=764.961,即有SSrSSe=SSt而測定系數(shù)就是回歸平方和在總平方和中所占的比重，即有SSt顯然這個(gè)數(shù)值越大，擬合的效果也就越好2SSr748.8542R=0.978944764.961第四列MS對應(yīng)的是均方差，它是誤差平方和除以相應(yīng)的自由度得到的商。歸均方差MSr,即有第一行為回SSrMSr=dfr第二行為剩余均方差MSe,即有748.8542=748.8542SSe16.10676MSe=2.013345dfe顯然這個(gè)數(shù)值越小，擬合的效果也就越好。第四列對應(yīng)的是F值，用于線性關(guān)系的判定。對于一元線性回歸,F值的計(jì)算公式為R21.(1-R2)n-mTdfeR2

9、1-R2式中R2=0.978944,dfe=10-1-1=8,因此8*09789441-0.978944=371.9453第五列SignificanceF對應(yīng)的是在顯著性水平下的F°臨界值，其實(shí)等于P值，即棄真概率。所謂“棄真概率”即模型為假的概率，顯然1-P便是模型為真的概率?？梢姡琍值越小越好。對于本例，P=0.0000000542<0.0001,故置信度達(dá)到99.99%以上。第三部分，回歸參數(shù)表回歸參數(shù)表包括回歸模型的截距、斜率及其有關(guān)的檢驗(yàn)參數(shù)（表3）。表3回歸參數(shù)表C'oefficients標(biāo)準(zhǔn)誤差tStatIntereept2.3564379291.8278

10、761.289167最大積雪深度米）1.8129210650.09400219,28588P-alueLower95Upper95%下限95.ON上限95.0%0.233363-L858656,5715301-1.8586546.57153015.42E-081.5961512.02969131.59615082.0296913第一列Coefficients對應(yīng)的模型的回歸系數(shù)，包括截距a=2.356437929和斜率b=1.812921065,由此可以建立回歸模型?i=2.35641.8129k或V、=2.35641.8129為；i第二列為回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差（用sa或sb表示），誤差值越小，

11、表明參數(shù)的精確度越高。這個(gè)參數(shù)較少使用，只是在一些特別的場合出現(xiàn)。例如L.Benguigui等人在Whenandwhereisacityfractal?一文中將斜率對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差值作為分形演化的標(biāo)準(zhǔn)，建議采用0.04作為分維判定的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)（參見EPB2000）。不常使用標(biāo)準(zhǔn)誤差的原因在于：其統(tǒng)計(jì)信息已經(jīng)包含在后述的t檢驗(yàn)中。第三列tStat對應(yīng)的是統(tǒng)計(jì)量t值，用于對模型參數(shù)的檢驗(yàn)，需要查表才能決定。t值是回歸系數(shù)與其標(biāo)準(zhǔn)誤差的比值，即有satbb?b根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)容易算出:2.3564381.827876=1.289167,tb1.8129210.094002=19.28588對于一元線性回

12、歸，t值可用相關(guān)系數(shù)或測定系數(shù)計(jì)算，公式如下R1-R2,n-m-1將R=0.989416、n=10、m=1代入上式得到=19.28588x0.989416t:21-0.989416210-1-1對于一元線性回歸，F(xiàn)值與t值都與相關(guān)系數(shù)R等價(jià)，因此，相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)就已包含了這部分信息。但是，對于多元線性回歸，t檢驗(yàn)就不可缺省了。第四列Pvalue對應(yīng)的是參數(shù)的P值（雙側(cè)）。當(dāng)P<0.05時(shí)，可以認(rèn)為模型在爐0.05的水平上顯著，或者置信度達(dá)到95%;當(dāng)P<0.01時(shí)，可以認(rèn)為模型在妹0.01的水平上顯著，或者置信度達(dá)到99%;當(dāng)P<0.001時(shí)，可以認(rèn)為模型在妹0.001的水平上

13、顯著，或者置信度達(dá)到99.9%。對于本例，P=0.0000000542<0.0001,故可認(rèn)為在a=0.0001的水平上顯著，或者置信度達(dá)到99.99%oP值檢3與t值檢驗(yàn)是等彳的，但P值不用查表，顯然要方便得多。最后幾列給出的回歸系數(shù)以95%為置信區(qū)間的上限和下限?？梢钥闯?，在行0.05的顯著水平上，截距的變化上限和下限為-1.85865和6.57153,即有-1.85865<a<6.57153斜率的變化極限則為1.59615和2.02969,即有1.59615<b<2.02969第四部分，殘差輸出結(jié)果這一部分為選擇輸出內(nèi)容，如果在“回歸”分析選項(xiàng)框中沒有選中有

14、關(guān)內(nèi)容，則輸出結(jié)果不會給出這部分結(jié)果。殘差輸出中包括觀測值序號（第一列，用i表示），因變量的預(yù)測值（第二列，用夕表示），殘差（residuals,第三列，用ei表示）以及標(biāo)準(zhǔn)殘差（表4）。表4殘差輸出結(jié)果觀測值預(yù)測灌溉面積八千田）現(xiàn)左標(biāo)準(zhǔn)殘差129,91283811-1.31284-0.98136221.210817-1.91082-L42836340.7903645-0.29036-0.21705436.07676973-0,47677-0,35639550.21755404-L31755-0.98489644.778790840.2212090.165356726.83087232.369

15、1281.770947832.632219711,46778L097181945.866543480.8334570.6230171036.98323027416770.31154.預(yù)測值是用回歸模型夕=2.35641.8129為計(jì)算的結(jié)果，式中X即原始數(shù)據(jù)的中的自變量。從圖1可見，Xi=15.2,代入上式，得%=2.35641.8129x1=2.35641.8129*15.2=29.91284其余依此類推。殘差e的計(jì)算公式為3=yi-區(qū)從圖1可見，y=28.6,代入上式，得到e=y1-%=28.6-29.91284=-1.31284其余依此類推。標(biāo)準(zhǔn)殘差即殘差的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果，借助均值命令a

16、verage和標(biāo)準(zhǔn)差命令stdev容易驗(yàn)證，殘差的算術(shù)平均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1.337774。利用求平均值命令standardize（殘差的單元格范圍，均值，標(biāo)準(zhǔn)差）立即算出表4中的結(jié)果。當(dāng)然，也可以利用數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化公式*Zi_Zi二Z_=乙一Z.var(Zi)二i逐一計(jì)算。將殘差平方再求和，便得到殘差平方和即剩余平方和，即有nnSSe八s2八(yi-刃2i4i4=16.10676利用Excel的求平方和命令sumsq容易驗(yàn)證上述結(jié)果。以最大積雪深度xi為自變量，以殘差身為因變量,差點(diǎn)列的分布越是沒有趨勢（沒有規(guī)則，即越是隨機(jī)）作散點(diǎn)圖，可得殘差圖（圖3）。殘,回歸的結(jié)果就越是可靠。用最大積雪深度

17、Xi為自變量，用灌溉面積yi及其預(yù)測值？為因變量，作散點(diǎn)圖，可得線性擬合圖（圖4）。最大積雪深度x（米）ResidualPlot-1-2-31015202530最大積雪深度x（米）圖3殘差圖最大積雪深度x（米）LineFitPlotoooooooo654321畝廠積面溉灌灌溉面積y（千畝）預(yù)測灌溉面積y（千畝）102030最大積雪深度x（米）圖4線性擬合圖第五部分，概率輸出結(jié)果在選項(xiàng)輸出中，還有一個(gè)概率輸出（ProbabilityOutput）表（表5）。第一列是按等差數(shù)列設(shè)計(jì)的百分比排位，第二列則是原始數(shù)據(jù)因變量的自下而上排序（即從小到大）一一選中圖1中的第三列（C歹U）數(shù)據(jù)，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊自下而上排序按鈕,立即得到表5中的第二列數(shù)值。當(dāng)然，也可以沿著主菜單的“數(shù)據(jù)（D）一叁排序（§）”路徑，打開數(shù)據(jù)排序選項(xiàng)框，進(jìn)行數(shù)據(jù)排序。用表5中的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，可以得到Excel所謂的正態(tài)概率圖（圖5）。表5概率輸出表百分比排位灌溉面積y（千田）519.3ri528.6r2529.23534.1r4535.6二5537.46540.57545_