拉氏變換及反拉氏變換

1、1第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一一、數(shù)學(xué)模型的基本概念1、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。 動態(tài)數(shù)學(xué)模型動態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。 22、 建立數(shù)學(xué)模型的方法建立數(shù)學(xué)模型的方法 解析法依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征

2、，同時數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時應(yīng)對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。應(yīng)對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。 實驗法 33、數(shù)學(xué)模型的形式、數(shù)學(xué)模型的形式 時間域：微分方程（一階微分方程組）、差 分方程、狀態(tài)方程 復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖 頻率域：頻率特性 二二、系統(tǒng)的微分方程1、定義、定義：時域中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。2、 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟 分析系統(tǒng)工作原理和信號傳遞變換的過程， 確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量； 4 從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、部件的動態(tài)微分方程； 消去中間變量，得到描述元

3、件或系統(tǒng)輸入、 輸出變量之間關(guān)系的微分方程； 標準化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排列3、 控制系統(tǒng)微分方程的列寫控制系統(tǒng)微分方程的列寫 機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個要素：5 質(zhì)量mfm(t)參考點x (t)v (t)()()(22txdtdmtvdtdmtfm 彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)6ttKdttvKdttvtvKtKxtxtxKtf)()()()()()()(2121 阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)dttdxCdttdxdttdxCtCvtvtvCtfC)()()(

4、)()()()(21217q 機械平移系統(tǒng)mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機械平移系統(tǒng)及其力學(xué)模型fC(t)靜止（平衡）工作點作為零點，以消除重力的影響)()()()()()()()(22txdtdCtftKxtftxdtdmtftftfoCoKoKCi8)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo式中，m、C、K通常均為常數(shù)，故機械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨立儲能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。 9q 彈簧阻尼系統(tǒng)xo(t)0fi(t)KC彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運動方程

5、為一階常系數(shù)微分方程。 )()()(tftKxtxdtdCioo)()()(tftftfKCi10q 機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液體齒輪JJ 旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動慣量；K 扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；C 粘性阻尼系數(shù)柔性軸11)()()()()()()()(22tTtTtdtdJtdtdCtTttKtTCKooCoiK)()()()(22tKtKtdtdCtdtdJiooo12 電氣系統(tǒng) 電阻電氣系統(tǒng)三個基本元件：電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)()(tRitu 電容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t)13 電感dttdiLtu)()(Li(t)u(t)q R-L-C無源電

6、路網(wǎng)絡(luò)LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)回路電壓定律即基爾霍夫定律14dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()(一般R、L、C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo若L=0，則系統(tǒng)簡化為：)()()(tututudtdRCioo15)()(0)(21titituaq 有源電網(wǎng)絡(luò)+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)adttduCRtuoi)()()()(tudttduRCio即：a點是運算放大器點是運算放大器的反相輸入端。由的反相輸入端。由于其開環(huán)放大系數(shù)于其開環(huán)放

7、大系數(shù)值很大，輸入阻抗值很大，輸入阻抗一般都很高。一般都很高。有：有：i-= i+ =0 (虛斷）虛斷） u- = u+ （虛短）（虛短）16例：列寫下圖所示機械系統(tǒng)的微分方程解：1)明確系統(tǒng)的輸入與輸出輸入為f(t),輸出為x(t) 2)列寫微分方程，受力分析xmxckxf 3)整理可得：fkxxcxm17例：列寫下圖所示電網(wǎng)絡(luò)的微分方程解：1)系統(tǒng)的輸入與輸出輸入為u1,輸出為u22)列寫原始微分方程3)消除中間變量，并整理：18 小結(jié) 物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進行具有普遍意義的分析研究（信息方法） 。 從動態(tài)性能看，在相同形式的輸入

8、作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進行實驗?zāi)M的基礎(chǔ)； 通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨立儲能元（慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等）的個數(shù)；因為系統(tǒng)每增加一個獨立儲能元，其內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。19 系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時間t的函數(shù)，則為線性時變系統(tǒng)； q 線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：)()()(2121xfxfxxf 可加性：)()(xfxf

9、齊次性：)()()(2121xfxfxxf或：各個輸入產(chǎn)各個輸入產(chǎn)生的輸出互生的輸出互不影響。不影響。20疊加 液體系統(tǒng)節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)設(shè)液體不可壓縮，通過節(jié)流閥的液流是湍流。 )()()()()(tHtqtqtqdttdHAooiA：箱體截面積；根據(jù)托里拆利定理，出水量與根據(jù)托里拆利定理，出水量與水位高度平方根成正比。水位高度平方根成正比。21)()()(tqtHtHdtdAi上式為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。 ：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時，為常數(shù)。q 線性系統(tǒng)微分方程的一般形式 )()()()()()()(

10、)(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn22式中，a1，a2，an和b0，b1，bm為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實常數(shù)，mn。 三、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化1、 線性化問題的提出線性化問題的提出 線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系 統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性 微分方程進行處理。 非線性現(xiàn)象：機械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻 尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由 于間隙的存在導(dǎo)致的非線性傳輸特性；具有 鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。 23 線性化的提出q 線性系統(tǒng)是有條件存在的，只

11、在一定的工作 范圍內(nèi)具有線性特性； q 非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復(fù)雜的； q 對于實際系統(tǒng)而言，在一定條件下，采用線 性化模型近似代替非線性模型進行處理，能 夠滿足實際需要。 2、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 泰勒級數(shù)展開法 函數(shù)y=f(x)在其平衡點（x0, y0）附近的泰勒級數(shù)展開式為： 243003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy)()()(000 xxxxdxxdfxfy略去含有高于一次的增量x=x-x0的項，則：0)(xxdxxdfK或：y - y0 = y = K

12、x， 其中：上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y0 = f (x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；25增量方程的數(shù)學(xué)含義就是將參考坐標的原點移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點上，對于實際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運動的起始點，這時，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。 對多變量系統(tǒng)，如：y = f (x1, x2)，同樣可采用泰勒級數(shù)展開獲得線性化的增量方程。 )()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKyyy增量方程：),(20100 xxfy 靜態(tài)方程：2021012021012211,xxxxxxxxxfKxfK其中：2

13、6 滑動線性化切線法 0 xy=f(x)y0 x0 xyy非線性關(guān)系線性化A線性化增量方程為：y y =xtg切線法是泰勒級數(shù)法的特例。適用前提適用前提假設(shè)在控制系統(tǒng)的整個假設(shè)在控制系統(tǒng)的整個調(diào)節(jié)過程中，各個元件的調(diào)節(jié)過程中，各個元件的輸入和輸出量只是在平衡輸入和輸出量只是在平衡點附近作微小變化。點附近作微小變化。3、系統(tǒng)線性化微分方程的建立、系統(tǒng)線性化微分方程的建立 步驟 27q 確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點； q 列出各組成元件在工作點附近的增量方程； q 消除中間變量，得到以增量表示的線性化微 分方程； 實例：液位系統(tǒng)的線性化 )()()(tqtHtHdtdAi節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t

14、)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)0000,ioiqHqq解解：穩(wěn)態(tài)時：)(tH非線性項的泰勒展開為：2820022000)(! 21)(HHHdHHdHHHdHHdHHHHHHHHdHHdHH0000021)(則：iiqqHHHHHdtdA000021)(由于：注意到：HdtdHHdtd)(0)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi所以：29)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi實際使用中，常略去增量符號而寫成：此時，上式中H(t)和qi(t)均為平衡工作點的增量。4、線性化處理的注意事項、線性化處理的注意事項 線性化方程的系數(shù)與平衡工作點的選擇有關(guān)； 線性化是有條件的，必須注意線性

15、化方程適 用的工作范圍； 30 某些典型的本質(zhì)非線性本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間 隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點，不 能通過泰勒展開進行線性化，只有當(dāng)它們對 系統(tǒng)影響很小時才能忽略不計，否則只能作 為非線性問題處理。 inout0近似特性曲線真實特性飽和非線性inout0死區(qū)非線性31inout0繼電器非線性inout0間隙非線性例：液壓伺服機構(gòu)解：1）明確系統(tǒng)輸入與輸出：輸入為x,輸出為y2)列寫原始微分方程：32),(21pxqqyAqApycymppp，設(shè)3)非線性函數(shù)線性化：4)代入方程，整理可得：xKAKyKAcymcqc)(2),(:) 1 (000qpx設(shè)為確定系統(tǒng)預(yù)定工作點

16、ppqxxqpxqpxqTaylorppxxppxx0000),(),(,)2(00級數(shù)形式展開成)(1:)3(qxKKpqc表示成增量化形式33四、拉氏變換和拉氏反變換1、拉氏變換、拉氏變換 設(shè)函數(shù)f(t) (t0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實常數(shù)，使得：0)(limtfett則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=+j（，均為實數(shù)）；0)()()(dtetftfLsFst340dtest稱為拉普拉氏積分；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù)，它是一個復(fù)變函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號。2、拉氏反變換、拉氏反變換 0,)(21)()(

17、1tdsesFjsFLtfjjstL1為拉氏反變換的符號。式中是實常數(shù)，而且大于F(s)所有極點的實部。35直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到原函數(shù)的形式。若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。363、幾種典型函數(shù)的拉氏變換、幾種典型函數(shù)的拉氏變換 q 單位階躍函數(shù)1(t) 10tf(t)單位階躍函數(shù)0100)( 1ttt)0)(Re(101 )(1)(10ssesdtettLstst37q 指數(shù)函數(shù)atetf)(（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)0tf(t)1)0)(

18、Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat38q 正弦函數(shù)與余弦函數(shù) 正弦及余弦函數(shù)10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-10sinsindtettLst0coscosdtettLst由歐拉公式，有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin390)Re(112121sin2200ssjsjsjdteedteejtLsttjsttj從而：22cossstL同理：40q 單位脈沖函數(shù)(t) 0tf(t)單位脈沖函數(shù)1)0(1lim)0(0)(0tttt且00000001( )lim11limlim1lim(1)stststsLtedtedteses)

19、()1 (lim)1 (1lim00seesss由洛必達法則：1lim)(0setL所以：41q 單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)） 10tf(t)單位速度函數(shù)1000)(ttttf0)Re(1)(2000ssdtsesetdttetfLststst42q 單位加速度函數(shù)02100)(2ttttf0)Re(121)(302ssdtettfLst單位加速度函數(shù)0tf(t)函數(shù)的拉氏變換及反變換通?？梢杂衫献儞Q表直接或通過一定的轉(zhuǎn)換得到。 434、拉氏變換積分下限的說明、拉氏變換積分下限的說明 在某些情況下，函數(shù)f(t)在t0處有一個脈沖函數(shù)(或在t=0處具有間斷點)。這時必須明確拉氏變換的積分下限是0還

20、是0+，并相應(yīng)記為：0)()(dtetftfLst000)()()()(dtetftfLdtetftfLstst44常用拉氏變換表常用拉氏變換表455、拉氏變換的主要定理、拉氏變換的主要定理 疊加定理 q 齊次性：Laf(t)=aLf(t)，a為常數(shù)；q 疊加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t) a，b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。 微分定理 0)()0( ),0()()(ttfffssFdttdfL4600)(0)()(dtsedttdfsetfdtetfststst證明證明：由于dttdfLssfsF)(1)0()(即：)0()()(fssFdttdfL所以

21、：)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同樣有：47)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時刻的值均為零時（零初始條件）：當(dāng)f(t)在t=0處具有間斷點時，df(t)/dt在t=0處將包含一個脈沖函數(shù)。故若f(0+) f(0)，則：48 積分定理 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfL當(dāng)初始條件為零時：若f(0+) f(0)，則：sfssFdttfLsfssFdttf

22、L)0()()()0()()()1()1()0()()(),0()()(fssFdttdfLfssFdttdfL49證明證明：0)()(dtedttfdttfLst00)()(dtsetfsedttfststssFsf)()0()1(0)(10)(1dtetfstdttfsst)0(1)0(1)(1)()1()1(1nnnnfsfssFsdttfL同樣：50)(1)(sFsdttfLnn當(dāng)初始條件為零時： 延遲定理 )()(sFetfLs設(shè)當(dāng)t0時，f(t)=0，則對任意0，有：函數(shù) f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)51 位移定理 )()(asFtfeLat例：2222cossinss

23、tLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat 初值定理 )(lim)0()(lim0ssFftfst52證明證明：初值定理建立了函數(shù)初值定理建立了函數(shù)f(t)在在t=0+處的初值與函數(shù)處的初值與函數(shù)sF(s)在在s趨于無窮遠處的終值間的關(guān)系。趨于無窮遠處的終值間的關(guān)系。 0)0()(lim)(lim)(lim0fssFdtedttdfdttdfLsstss)(lim)0(ssFfs即： 終值定理 )(lim)()(lim0ssFftfst若sF(s)的所有極點位于左半s平面， 即：)(limtft存在。則：53證明證明：)0()(lim)0()(lim)(lim0

24、00fssFfssFdttdfLsss)0()()()(lim)(lim0000ffdtdttdfdtedttdfdttdfLstss又由于：)(lim)(0ssFfs)0()(lim)0()(0fssFffs即：終值定理說明終值定理說明f(t)穩(wěn)定值與穩(wěn)定值與sF(s)在在s=0時的初值相同。時的初值相同。547、求解拉氏反變換的部分分式法、求解拉氏反變換的部分分式法 部分分式法 如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s)假定F1(s), F2(s), ，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則：L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1

25、F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)55)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm)()()()()(2101110nmmmpspspscscscscsAsBsF在控制理論中，通常：為了應(yīng)用上述方法，將F(s)寫成下面的形式：式中，-p1，-p2，-pn為方程A(s)=0的根，稱為F(s)的極點；ci=bi /a0 (i = 0,1,m)。此時，即可將F(s)展開成部分分式。 56 F(s)只含有不同的實數(shù)極點niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(ipsiipssFA)(

26、)(式中，Ai為常數(shù)，稱為s = -pi極點處的留數(shù)。() ( )()( )( )( )( )()()limlimiiiiispspiisp B ssp B sB sAA sA sB pA p實際常如下計算：實際常如下計算：57例例：求)6(2)(22ssssssF的原函數(shù)。解解：23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssFA158)2(2)() 3(3232sssssssFsA54) 3(2)()2(2223sssssssFsA215431158131)(ssssF即：)0(5415831)()(231tees

27、FLtftt58例例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù)f（t）s10s7s1s2) s (F23解：解：32( )2121( )( )(2)(5)710B sssF sA ss sssss其中：其中：p10、p2-2、p3-51102( )21|0.1( )31410spSB ssAA sss同理：同理：A2=0.5、A30.65s6 . 02s5 . 0s1 . 0) s (Ft5t2e6 . 0e5 . 01 . 0) t (f其反變換為：其反變換為：59 F(s)含有共軛復(fù)數(shù)極點 假設(shè)F(s)含有一對共軛復(fù)數(shù)極點-p1、-p2，其余極點均為各不相同的實數(shù)極點。注意，此時F(s)仍

28、可分解為下列形式：niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(由于p1、p2為共軛復(fù)數(shù)，因此， A1和A2也為共軛復(fù)數(shù)。ipsiipssFA)()(60例 試求 的拉氏反變換。 321sF ssss解： 31232113132222AAAsFssssssjsj1321322113132226sjsAsjjsss 21326Aj 則 332011ssAssss 32131311262613132222jjsF ssssssjsj61則 131322221213131 12626333sincos1 1322jtjttf tjejetettt tjtjtjtjeeteej

29、t21cos21sin這里用到歐拉公式 62例例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù)5s2s3s) s (F2解：解：p11+j2、p21j2411242( )| 2( )0.5 2( )2cos(2)4jsjjtN sKjeD sKef tet 則：63 F(s)含有重極點 設(shè)F(s)存在r重極點-p0，其余極點均不同，則： )()()()()()(101110nrrmmmmpspspsbsbsbsbsAsBsF式中，Ar+1，An利用前面的方法求解。)()()()()(11001002001nnrrrrrpsApsApsApsApsA640)(001pspssFAr

30、0)(002pspssFdsdAr0)(! 2102203pspssFdsdAr0)()!1(10110pspssFdsdrArrrr65tpnnentpsL0)!1()(1101注意到：)0( )!2()!1()()(10102021011teAeAeAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr所以：66例例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù)23s) 1s (1) s (F解：解：B（s）0有有 p11的三重根、的三重根、p20的二重根，所以的二重根，所以F（s）可以展開為：可以展開為：2212231121213sKsK) 1s (K) 1s (K1sK) s (F23s1)

31、s (F) 1s (故：3s1dsd21K2|s1dsdK1|s1K222131s2121s21132) 1s (1) s (Fs3|) 1s (1dsdK1|) 1s (1K0s3220s321tetteetfssssssFttt32123)(13) 1(1) 1(213)(2232從而：67例例：求的原函數(shù)。) 1()2(3)(2ssssF解解：12)2()(302201sAsAsAsF12132)2)(201ssssssFA2 2) 1() 1)(3() 1()3( 2132)2)(2202sssssssssdsdsssFdsdA21) 1)(3sssFA1222)2(1)(2ssssF

32、68)0(2)2()()(21teetsFLtftt于是：8、 應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程 求解步驟q 將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?s 的代數(shù)方 程； q 解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表 達式；q 應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。 69原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程70 實例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若xi (t) =1(t)，初始條件分別為xo(0)、xo(0)，試求xo(t)。解解：對微分方程左邊進行拉氏變換： )0()

33、0()()(222ooooxsxsXsdttxdL)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL71)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL即：)(6)(6sXtxLoostLsXtxLii1)( 1)()(對方程右邊進行拉氏變換：sxxssXssooo1)0()0()5()()65(2從而：323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooo7261065121sssA212) 3(12sssA313)2(13sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxs

34、B)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB73) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXooooo所以：查拉氏變換表得：當(dāng)初始條件為零時：74q 應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時，由于初始 條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式 中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù) 的值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏 變換可以簡單地用sn代替dn/dtn得到。 由上述實例

35、可見：q 系統(tǒng)響應(yīng)可分為兩部分：零狀態(tài)響應(yīng)和零輸 入響應(yīng) 75五、傳遞函數(shù)1、傳遞函數(shù)的概念和定義、傳遞函數(shù)的概念和定義 傳遞函數(shù) 在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。 零初始條件：q t0時，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；q 輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工 作狀態(tài)，即t 0 時，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也 均為0；76 傳遞函數(shù)求解示例 q 質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù) )()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo)()()()(2sFsKXsCsXsXmsioooKCsmssFsXsGio21)()()(所有初始條件均為零時，其

36、拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：77q R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo11)()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：78q 幾點結(jié)論 傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型， 其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)， 與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。 若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函 數(shù)G(s) 決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的 固有動態(tài)特性。 傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān) 系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的 輸入輸出特性來描述

37、系統(tǒng)的內(nèi)部特性。 79 一般有nm 同一個系統(tǒng)，當(dāng)輸入量和輸出量的選擇不相同時，可能會有不同的傳遞函數(shù)。不同的物理系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)。80 傳遞函數(shù)的一般形式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考慮線性定常系統(tǒng)當(dāng)初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：81mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasasasN1110)

38、(令：)()()()()(sNsMsXsXsGio則：N(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。2、特征方程、零點和極點、特征方程、零點和極點 特征方程式中，K稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。當(dāng)s=0時： G(0)=bm/an=K82從微分方程的角度看，此時相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項都為零。因此K 反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。 零點和極點 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG將G(s)寫成下面的形式： N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=p

39、j (j=1, 2, , n)，稱為傳遞函數(shù)的極點；決定系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的收斂性，即穩(wěn)定性式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, , m)，稱為傳遞函數(shù)的零點；影響瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀，不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性83系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)的特征根。零點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。 零、極點分布圖 將傳遞函數(shù)的零、極點表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點分布圖。圖中，零點用“O”表示，極點用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點分布圖0 12312-1-2-3-1-2j84時間常數(shù)形式時間常數(shù)形式853、傳遞函

40、數(shù)的幾點說明、傳遞函數(shù)的幾點說明 傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常 系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函 數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)； 傳遞函數(shù)是 s 的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各 項系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項系數(shù)對應(yīng)相 等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)； 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零 時刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡工作點處于 相對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能 反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律； 86 傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系， 無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。 一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出 的關(guān)系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。 4、脈沖

41、響應(yīng)函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù) 初始條件為0時，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下的輸出響應(yīng)的拉氏變換為：)()()()(sGsXsGsY即：)()()()(11tgsGLsYLtyg(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)）。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)包含關(guān)于系統(tǒng)動態(tài)特性的相同信息。875、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 環(huán)節(jié) 具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。 任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。 典型環(huán)節(jié)示例 q 比例環(huán)節(jié) 輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關(guān)系。88其運動方程為：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、

42、xi(t)分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。KsXsXsGio)()()(比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動副R2R1ui(t)uo(t)運算放大器KzzsNsNsGio21)()()(KRRsUsUsGio12)()()(89q 慣性環(huán)節(jié) )()()(tKxtxtxdtdTioo1)()()(TsKsXsXsGio凡運動方程為一階微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為： T時間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和 環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)式中，K環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；90)()()(tKxtKxdttdxCiooKCTTskCsKsG,11)(如：彈簧

43、-阻尼器環(huán)節(jié)xi(t)xo(t)彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)KC91q 微分環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量的微分。dttdxtxio)()(運動方程為：ssXsXsGio)()()(傳遞函數(shù)為：式中，微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)不獨立存在，而是和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。92RCui(t)uo(t)i(t)無源微分網(wǎng)絡(luò)無源微分網(wǎng)絡(luò) RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)(顯然，無源微分網(wǎng)絡(luò)包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當(dāng)|Ts|1時，才近似為微分環(huán)節(jié)。 除了上述純微分環(huán)節(jié)外，還有一類一階微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：93) 1()()

44、()(sKsXsXsGio微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反映了輸入信號的變化趨勢，從而給系統(tǒng)以有關(guān)輸入變化趨勢的預(yù)告。因此，微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。q 積分環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量對時間的積分。 tiodttxTtx0)(1)(運動方程為：TssXsXsGio1)()()(傳遞函數(shù)為：式中，T積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。94AtTAdtTtxto11)(0積分環(huán)節(jié)特點： 輸出量取決于輸入量對時間的積累過程。 且具有記憶功能； 具有明顯的滯后作用。積分環(huán)節(jié)常用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。如當(dāng)輸入量為常值 A 時，由于：輸出量須經(jīng)過時間T才能達到輸入量在t = 0時的值A(chǔ)。95如：有源積分網(wǎng)絡(luò)

45、 +CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a)()(tudttduRCioRCTTsRCssG,11)(96液壓缸 Aqi(t)xo(t)dttqAtxio)(1)(AssQsXsGio1)()()(97q 振蕩環(huán)節(jié) 含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有振蕩的性質(zhì)，運動方程為： 10),()()(2)(222tKxtxtxdtdTtxdtdTiooo12)()()(22TssTKsXsXsGio傳遞函數(shù)：式中，T振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù) 阻尼比，對于振蕩環(huán)節(jié)，對于振蕩環(huán)節(jié)，0 1 K比例系數(shù)98TsssGnnnn1,2)(222振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標準形式

46、為（K=1）：n稱為無阻尼固有頻率。)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)12/11)(222TssTKKCsmssG傳遞函數(shù)：mKCKmT2,式中，99mkC2當(dāng)時，為振蕩環(huán)節(jié)。q 二階微分環(huán)節(jié) 式中，時間常數(shù) 阻尼比，對于二階微分環(huán)節(jié)，01 K比例系數(shù) 10,)()(2)()(222txtxdtdtxdtdKtxiiio運動方程：12)(22ssKsG傳遞函數(shù)：01100q 延遲環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅 由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要 求的輸出值；)()(txtxio運動方程：sesG)(傳遞函數(shù)：式中，為純延遲時

47、間。 延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0 時間內(nèi), 沒有輸出，但t=之后，輸出完全等于輸入。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：101ALvhi(t)ho(t)軋制鋼板厚度測量vLththio)()( 小結(jié) q 環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件；102q 一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運動特性 共同組成；q 同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸 出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。 六、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖1、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖 系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解形式。可以形象直觀地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。注意：即使描述系統(tǒng)

48、的數(shù)學(xué)關(guān)系式相同，其方框圖也不一定相同。103 方框圖的結(jié)構(gòu)要素 q 信號線 帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。X(s), x(t)信號線q 信號引出點（線） 表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。 同一信號線上引出的信號，其性質(zhì)、大小完全一樣。 引出線X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)104q 函數(shù)方框(環(huán)節(jié)) G(s)X1(s)X2(s)函數(shù)方框函數(shù)方框具有運算功能，即： X2(s)=G(s)X1(s) 傳遞函數(shù)的圖解表示。q 求和點（比較點、綜合點）信號之間代數(shù)加減運算的圖解。用符號“ ”及相應(yīng)的信號箭頭表示，每個箭頭前方的“+”或“-

49、”表示加上此信號或減去此信號。 105相鄰求和點可以互換、合并、相鄰求和點可以互換、合并、分解，即滿足代數(shù)運算的交換分解，即滿足代數(shù)運算的交換律、結(jié)合律和分配律。律、結(jié)合律和分配律。 X1(s)X2(s)X1(s)X2(s) ABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CCA-B+C求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的。 106R1Cs1求和點函數(shù)方框函數(shù)方框引出線Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框圖示例任何系統(tǒng)都可以由信號線、函數(shù)方框、信號引出點及求和點組成的方框圖來表示。 107 系統(tǒng)方框圖的建立 q 步驟 建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號 的因果關(guān)系（輸入/輸出）。

50、 對上述微分方程進行拉氏變換，繪制各部 件的方框圖。 按照信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依 次將各部件的方框圖連接起來，得到系統(tǒng) 的方框圖。 108q 示例 RCui(t)uo(t)i(t)無源RC電路網(wǎng)絡(luò) 無源RC網(wǎng)絡(luò) )()()(tututRioidttiCtuo)(1)()(1)()()()(sICssUsUsUsRIooi拉氏變換得：)(1)()()(1)(sICssUsUsURsIooi109從而可得系統(tǒng)各方框單元及其方框圖。 R1Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)()(1)(sUsURsIoi(a)Cs1Uo(s)I(s)(1)(sICssUo(b)R1Cs1Ui(s)U(s)

51、I(s)Uo(s)無源RC電路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)方框圖110 機械系統(tǒng) m1fi(t)K1C x(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC)()()()(11tftftftxmKCi )()()(11txtxKtfoKdttdxdttdxCtfoC)()()()()()()(212tftftftxmKCKo )()(22txKtfoK111)()()()()(1)()()()()()()()()()(1)(22212122111sXKsFsFsFsFsmsXsXsXCssFsXsXKsFsFsFsFsmsXoKKCKooCoKKCi112211smFi(s)X(s)FC(

52、s)FK1(s)(a)()()(1)(121sFsFsFsmsXKCiK1X(s)Xo(s)FK1(s)CsFC(s)(b)()()(11sXsXKsFoK)()()(sXsXCssFoC113221smXo(s)FC(s)FK2(s)FK1(s) (c)()()(1)(2122sFsFsFsmsXKCKoK2Xo(s)FK2(s)(d)()(22sXKsFoK114211smFi(s)X(s)FC(s)FK1(s)221smXo(s)FK2(s) K1Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2機械系統(tǒng)方框圖115 系統(tǒng)方框圖的簡化 q 方框圖的運算法則 串聯(lián)連接 G1(s)G2(s)Gn(s)

53、Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s).G(s)=G1(s) G2(s) Gn(s)Xi(s)Xo(s)116 并聯(lián)連接 Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)+Gn(s).Xi(s)Xo(s)G1(s)+ G2(s)+ + Gn(s)117 反饋連接 G(s)H(s)Xi(s)Xo(s) B(s)E(s)()()()()()()()()(sXsHsBsBsXsEsEsGsXoio)()(1)()()()(sHsGsGsXsXsioXi(s)Xo(s)()(1)(sHsGsG118q 方框圖的等效變換法則 求和點的移動 G(s)ABC求和點后移G(s)ABC求和點前移G(s

54、)ABCG(s)G(s)ABC)(1sG119 引出點的移動 引出點前移G(s)ACC引出點后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)AC)(1sGA120一般系統(tǒng)方框圖簡化方法：1)明確系統(tǒng)的輸入和輸出。對于多輸入多輸出系統(tǒng)，針對每個輸入及其引起的輸出分別進行化簡；2)若系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖內(nèi)無交叉回路無交叉回路，則根據(jù)環(huán)節(jié)串聯(lián)，并聯(lián)和反饋連接的等效從里到外從里到外進行簡化；3)若系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖內(nèi)有交叉回路有交叉回路，則根據(jù)相加點、分支點等移動規(guī)則消除交叉回路，然后按每2）步進行化簡；注意：分支點和相加點之間不能相互移動。注意：分支點和相加點之間不能相互移動。121例：求下圖所示系統(tǒng)

55、的傳遞函數(shù)。H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)BH2(s)A解解：1、A點前移；H1(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)Xo(s)H2(s)G3(s)1222、消去H2(s)G3(s)反饋回路)()()(1)()()(232321sHsGsGsGsGsGH1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)()()()()()(1)()()(232121321sHsGsGsHsGsGsGsGsGH3(s)Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s) 反饋回路123)()()()()()()()()()(1)()()(3321232121321sHsGsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGXi(s)Xo(s)4、消去H3(s) 反饋回路例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖簡化124125例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖簡化1262、梅遜公式、梅遜公式 1)()()(遞函數(shù)每一反饋回路的開環(huán)傳積前向通道的傳遞函數(shù)之sXsXsGiob 在相加點，對反饋信號為相加時取負號，對反饋信號為相減時取正號。條件：1）整個方框圖只有一條前向通道；2）各局部回路存在公共的傳遞函數(shù)方框。127例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖簡化321GGG前向通道：232312123211相加點處、：相加點處、：相加點處、