振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、 更一般的說，從幾何方面研究而不涉及物更一般的說，從幾何方面研究而不涉及物理原因。理原因。 運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)描述質(zhì)點(diǎn)或系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)描述質(zhì)點(diǎn)或系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)（位移、速度、加速度、相位等）隨時(shí)間變化（位移、速度、加速度、相位等）隨時(shí)間變化的規(guī)律的學(xué)科，不涉及受力情況。的規(guī)律的學(xué)科，不涉及受力情況。 前邊說的第二類分類方法就是從運(yùn)動(dòng)學(xué)角前邊說的第二類分類方法就是從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度把系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分為簡諧振動(dòng)、一般周期振動(dòng)度把系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分為簡諧振動(dòng)、一般周期振動(dòng)等等。等等。第二章第二章 振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué) 21 簡諧振動(dòng)參量簡諧振動(dòng)參量 22 諧振動(dòng)的矢量表示法諧振動(dòng)的矢量表示法 及復(fù)數(shù)表示法及復(fù)數(shù)表示法

2、23 簡諧振動(dòng)的合成簡諧振動(dòng)的合成24 拍（拍（beat）25 本章習(xí)題本章習(xí)題21 21 簡諧振動(dòng)參量簡諧振動(dòng)參量 簡諧振動(dòng)是最簡單的周期振動(dòng)，其位移方簡諧振動(dòng)是最簡單的周期振動(dòng)，其位移方程可以用正弦或余弦函數(shù)描述另行程可以用正弦或余弦函數(shù)描述另行x=Asint 。TA0 xt其中振動(dòng)參量有：其中振動(dòng)參量有： x x振動(dòng)任一瞬時(shí)的位移（線位移或角位移），單位毫振動(dòng)任一瞬時(shí)的位移（線位移或角位移），單位毫米或弧度。米或弧度。 t t時(shí)間，單位秒（時(shí)間，單位秒（timetime）。）。 A A振幅（最大振動(dòng)位移）振幅（最大振動(dòng)位移）amplitudeamplitude。 T T振動(dòng)周期，振動(dòng)一次

3、（一周）所需的時(shí)間，單位：秒。振動(dòng)周期，振動(dòng)一次（一周）所需的時(shí)間，單位：秒。 ff2,2圓周率（又稱角頻率），表示振動(dòng)快慢，圓周率（又稱角頻率），表示振動(dòng)快慢， 單位：弧度單位：弧度/ /秒（或秒（或1/1/秒）。秒）。 另外，還有一種自然頻率（又稱頻率）。另外，還有一種自然頻率（又稱頻率）。 f f每秒振動(dòng)的次數(shù)，單位每秒振動(dòng)的次數(shù)，單位 周周/ /秒（赫茲、次秒（赫茲、次/ /秒）。秒）。 21fT（freguencefreguence）由上式可以看到由上式可以看到: :速度：速度：也是固頻率的簡諧函數(shù)也是固頻率的簡諧函數(shù) （其中（其中AA速度幅）單位毫米速度幅）單位毫米/ /秒秒 加速

4、度：加速度： （其中（其中AA2 2加速度幅）單位毫米加速度幅）單位毫米/ /秒秒2 2 tconAxtAxsin2 下面介紹兩個(gè)同頻率不同相位的簡諧振動(dòng)下面介紹兩個(gè)同頻率不同相位的簡諧振動(dòng) 初相位（初相位（t t0 0時(shí)的相位）時(shí)的相位） x x2 2比比x x1 1超前超前相位，即相位，即x x2 2比比x x1 1提前提前/秒達(dá)到位移最大值。秒達(dá)到位移最大值。 注意：只有頻率相同，相位注意：只有頻率相同，相位差差才保持不變。才保持不變。 )sin(sin2211tAxtAx0A2A1x tx2(t)x1(t)22 簡諧振動(dòng)的矢量表示法簡諧振動(dòng)的矢量表示法及復(fù)數(shù)表示法及復(fù)數(shù)表示法 描述簡諧

5、振動(dòng)的數(shù)學(xué)表示方法有三種：描述簡諧振動(dòng)的數(shù)學(xué)表示方法有三種： 用三角函數(shù)的代數(shù)表示法用三角函數(shù)的代數(shù)表示法 矢量表示方法矢量表示方法 復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)表示 1、用三角函數(shù)的代數(shù)表示法、用三角函數(shù)的代數(shù)表示法 如前所述，但研究兩個(gè)同頻率簡諧振動(dòng)合成時(shí)，如前所述，但研究兩個(gè)同頻率簡諧振動(dòng)合成時(shí)，物理概念不清晰，不直觀。物理概念不清晰，不直觀。 例如：例如： )sin()sin(22111tAtAx2 2、矢量表示方法、矢量表示方法 用矢量的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)表示簡諧振動(dòng)是很方便的。用矢量的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)表示簡諧振動(dòng)是很方便的。以矢量的水平位置為起點(diǎn)以矢量的水平位置為起點(diǎn)t0，矢量的模，矢量的模A振振幅，旋轉(zhuǎn)角速度

6、幅，旋轉(zhuǎn)角速度振動(dòng)的圓頻率到振動(dòng)的圓頻率到t瞬時(shí)，矢量瞬時(shí)，矢量與水平軸的夾角與水平軸的夾角t即相位角，旋轉(zhuǎn)矢量在垂直軸的即相位角，旋轉(zhuǎn)矢量在垂直軸的投影投影Asint或在水平軸的投影或在水平軸的投影Acost都可以代表簡都可以代表簡諧振動(dòng)。自然頻率諧振動(dòng)。自然頻率f就是每秒轉(zhuǎn)的周數(shù)，單位周就是每秒轉(zhuǎn)的周數(shù)，單位周/秒。秒。顯然顯然 f2 用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、加速度旋轉(zhuǎn)矢量的相對位置關(guān)系（即相位關(guān)系）。加速度旋轉(zhuǎn)矢量的相對位置關(guān)系（即相位關(guān)系）。 則則 設(shè)簡諧位移方程（代數(shù)表示）設(shè)簡諧位移方程（代數(shù)表示）xAsint 用矢量表示方

7、法可以很清楚地看出位移、速度、加用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、加速度旋轉(zhuǎn)矢量的相對位置關(guān)系（即相位關(guān)系）。速度旋轉(zhuǎn)矢量的相對位置關(guān)系（即相位關(guān)系）。 )2sin(tAtconAx 超前于位移超前于位移 2)sin(sin22tAtAx 超前位移超前位移 矢量表矢量表示見圖示見圖 tAAA2t=03 3、復(fù)數(shù)表示、復(fù)數(shù)表示 我們知道，一個(gè)復(fù)數(shù)我們知道，一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi可以表示復(fù)平面的一可以表示復(fù)平面的一個(gè)矢量。個(gè)矢量。 矢量的長度稱為矢量的長度稱為z的模，即的模，即 22bazA 矢量與實(shí)軸的夾角矢量與實(shí)軸的夾角稱為幅角，記為稱為幅角，記為argz，即，即 ab1 -tgargz

8、 我們又知道，復(fù)數(shù)我們又知道，復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部分別是：的實(shí)部和虛部分別是：Rt(z)aAcos；Im(z)bAsin注：注：argargument, Rereal, Imimaginary aAb實(shí)實(shí)(Re)虛虛(Im) 了解上述概念之后，我們用旋轉(zhuǎn)的復(fù)數(shù)矢量可了解上述概念之后，我們用旋轉(zhuǎn)的復(fù)數(shù)矢量可以表示簡諧振動(dòng)。用復(fù)數(shù)的模表示振幅，仍用以表示簡諧振動(dòng)。用復(fù)數(shù)的模表示振幅，仍用A；幅角幅角此時(shí)代之以相位角此時(shí)代之以相位角t，這時(shí)幅角將隨時(shí)間，這時(shí)幅角將隨時(shí)間t變變化。就是說，該復(fù)數(shù)矢量按逆時(shí)針方向以化。就是說，該復(fù)數(shù)矢量按逆時(shí)針方向以為角速為角速度旋轉(zhuǎn)。該旋轉(zhuǎn)矢量在實(shí)軸及虛軸上的投影：度旋

9、轉(zhuǎn)。該旋轉(zhuǎn)矢量在實(shí)軸及虛軸上的投影：Re (z) Acost；Im (z) =Asint都可以表示簡諧振都可以表示簡諧振動(dòng)。動(dòng)。 tA(Re)(Im) 復(fù)數(shù)可以合成指數(shù)形式復(fù)數(shù)可以合成指數(shù)形式zAcostiAsintAeit。 我們約定，用復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量在虛軸的投影表示我們約定，用復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量在虛軸的投影表示簡諧振動(dòng)：簡諧振動(dòng)：xAsintIm (z)ImAeit簡單寫簡單寫成成xAeit 注意：不要理解成振動(dòng)是復(fù)數(shù)注意：不要理解成振動(dòng)是復(fù)數(shù) 就是指他的虛部（虛部本身是個(gè)實(shí)數(shù)；例如就是指他的虛部（虛部本身是個(gè)實(shí)數(shù)；例如Im (z)=Asin t） 注意：振動(dòng)現(xiàn)象本身是實(shí)際存在的，用復(fù)數(shù)表注意：振

10、動(dòng)現(xiàn)象本身是實(shí)際存在的，用復(fù)數(shù)表示簡諧振動(dòng)指的是用其中的實(shí)部或虛部（我們這里示簡諧振動(dòng)指的是用其中的實(shí)部或虛部（我們這里用虛部）來表示振動(dòng)。用虛部）來表示振動(dòng)。 用復(fù)數(shù)表示振動(dòng)時(shí)，其速度和加速度為：用復(fù)數(shù)表示振動(dòng)時(shí)，其速度和加速度為： tiAeidtdxxtiAedtxdx222 可以看到，每求一次導(dǎo)數(shù)，就在前邊乘上一個(gè)可以看到，每求一次導(dǎo)數(shù)，就在前邊乘上一個(gè)i，而每乘一個(gè)，而每乘一個(gè)i（按復(fù)數(shù)乘法可知）就是把這復(fù)（按復(fù)數(shù)乘法可知）就是把這復(fù)數(shù)矢量逆時(shí)針數(shù)矢量逆時(shí)針 轉(zhuǎn)，這在求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中帶來了方轉(zhuǎn)，這在求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中帶來了方便。便。 24 4、小結(jié)、小結(jié) 簡諧振動(dòng)有三種表示方法，其中代數(shù)方法簡諧

11、振動(dòng)有三種表示方法，其中代數(shù)方法xAsint比較符合我們的習(xí)慣。但在表示同頻率簡諧比較符合我們的習(xí)慣。但在表示同頻率簡諧振動(dòng)合成時(shí)，矢量表示方法有著物理概念清晰、直振動(dòng)合成時(shí)，矢量表示方法有著物理概念清晰、直觀的優(yōu)點(diǎn)。復(fù)數(shù)表示方法在求導(dǎo)運(yùn)算中帶來了方便。觀的優(yōu)點(diǎn)。復(fù)數(shù)表示方法在求導(dǎo)運(yùn)算中帶來了方便。這里再重復(fù)一遍，用矢量表示簡諧振動(dòng)，說的是當(dāng)這里再重復(fù)一遍，用矢量表示簡諧振動(dòng)，說的是當(dāng)矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，它在垂直軸（或水平軸）上的矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，它在垂直軸（或水平軸）上的投影的變化可以代表簡諧振動(dòng)；用復(fù)數(shù)表示簡諧振投影的變化可以代表簡諧振動(dòng)；用復(fù)數(shù)表示簡諧振動(dòng)，說的是當(dāng)復(fù)數(shù)矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，它

12、在虛軸動(dòng)，說的是當(dāng)復(fù)數(shù)矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，它在虛軸（或?qū)嵼S）上投影，即虛部（或?qū)嵅浚┑淖兓梢裕ɑ驅(qū)嵼S）上投影，即虛部（或?qū)嵅浚┑淖兓梢源砗喼C振動(dòng)。代表簡諧振動(dòng)。 如果一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)包含兩個(gè)頻率相同而有相位如果一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)包含兩個(gè)頻率相同而有相位差差的簡諧振動(dòng)：的簡諧振動(dòng)： 23 簡諧振動(dòng)的合成簡諧振動(dòng)的合成 我們來求它的合成運(yùn)動(dòng)，用代數(shù)方法雖然可求，我們來求它的合成運(yùn)動(dòng)，用代數(shù)方法雖然可求，但很煩瑣，用矢量相加方法求這個(gè)合成運(yùn)動(dòng)很方便。但很煩瑣，用矢量相加方法求這個(gè)合成運(yùn)動(dòng)很方便。 tAxsin11)sin(22tAx合成后的位移矢量為：合成后的位移矢量為： 21AAA矢量矢量 的模即合成后

13、的振幅可由余弦定理求得：的模即合成后的振幅可由余弦定理求得： Acos2)180cos(2212221212221AAAAAAAAAA1A2Atx0 結(jié)論：兩個(gè)具有相同頻率但不同相位的簡諧振結(jié)論：兩個(gè)具有相同頻率但不同相位的簡諧振動(dòng)合成后仍是簡諧振動(dòng)，其振幅及初相位公式如上。動(dòng)合成后仍是簡諧振動(dòng)，其振幅及初相位公式如上。但是，兩個(gè)頻率不同的簡諧振動(dòng)合成后不再是簡諧但是，兩個(gè)頻率不同的簡諧振動(dòng)合成后不再是簡諧振動(dòng)。振動(dòng)。 cossin212AAAtg合成后振動(dòng)矢量合成后振動(dòng)矢量 比比 超前超前角角 A1A顯然，合成后的振動(dòng)就是矢量顯然，合成后的振動(dòng)就是矢量 在垂直軸上的投影在垂直軸上的投影 Ax

14、Asin（t）；）； 特例特例，兩個(gè)簡諧振動(dòng)具有相同頻率，但相位差，兩個(gè)簡諧振動(dòng)具有相同頻率，但相位差90，即兩旋轉(zhuǎn)矢量互相垂直。，即兩旋轉(zhuǎn)矢量互相垂直。 tbtbxtaxcos)2sin(sin21合成振動(dòng)仍寫成合成振動(dòng)仍寫成 )sin(tAxAatx0b這里這里 abtg22baA就是說就是說 )sin(cossin22tbatbtax這種情況以后經(jīng)常用到。這種情況以后經(jīng)常用到。 前邊說過，兩個(gè)具有不同頻率的簡諧振動(dòng)的合前邊說過，兩個(gè)具有不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)不再是簡諧振動(dòng)。我們研究下面兩個(gè)簡諧振成運(yùn)動(dòng)不再是簡諧振動(dòng)。我們研究下面兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成問題。動(dòng)的合成問題。 其中其中12但

15、相差很小，這時(shí)合成運(yùn)動(dòng)就是但相差很小，這時(shí)合成運(yùn)動(dòng)就是一種特殊的振動(dòng)一種特殊的振動(dòng)拍拍 。24 拍（拍（beatbeat） tbxtax2211sinsin令令21則：則：這里這里 x=x1+x2=asin1t+bsin(1+)t=asin1+b(sin1tcost+cos1tsint)=(a+bcost)sin1t+bsintcos1t=A1(t)sin1t+A2con1t； tbAtbatAsincos)(21合成運(yùn)動(dòng)可寫成合成運(yùn)動(dòng)可寫成xA（t）sin(1t+) Aatx0b其中其中 tabbatbtbaAAtcos2)sin()cos()(A222221 用旋轉(zhuǎn)矢量加法，但要注意，這里

16、矢量用旋轉(zhuǎn)矢量加法，但要注意，這里矢量的模隨時(shí)間變化，于是合成矢量的模也隨時(shí)間變化。的模隨時(shí)間變化，于是合成矢量的模也隨時(shí)間變化。 )(),(21tAtA 這就是說，合成運(yùn)動(dòng)是這樣一種振動(dòng)：其振動(dòng)這就是說，合成運(yùn)動(dòng)是這樣一種振動(dòng)：其振動(dòng)頻率是頻率是1但振幅本身又隨著時(shí)間變化。變化的頻率但振幅本身又隨著時(shí)間變化。變化的頻率是是（12）。我們把這種振動(dòng)現(xiàn)象叫做拍。我們把這種振動(dòng)現(xiàn)象叫做拍。因因比比1小得多，故振幅變化速度是緩慢的。我們小得多，故振幅變化速度是緩慢的。我們研究一下運(yùn)動(dòng)規(guī)律：研究一下運(yùn)動(dòng)規(guī)律： Tb當(dāng)當(dāng)t0時(shí)時(shí)Amaxa+b；當(dāng)當(dāng)t時(shí)，時(shí)，Aminab 赫茲，赫茲， 拍的園頻率，頻率及

17、周期分別用拍的園頻率，頻率及周期分別用b，fb，Tb表示，表示，則則 b12弧度弧度/秒，秒， 2212bbf1221bbfT秒秒 拍拍兩個(gè)頻率有微小差別的簡諧振動(dòng)合成兩個(gè)頻率有微小差別的簡諧振動(dòng)合成時(shí)，其合成振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫做拍。時(shí)，其合成振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫做拍。 拍拍的周期的周期合成振動(dòng)的振幅由加強(qiáng)到減弱合成振動(dòng)的振幅由加強(qiáng)到減弱再到加強(qiáng)所經(jīng)過的時(shí)間叫拍的周期。再到加強(qiáng)所經(jīng)過的時(shí)間叫拍的周期。 拍頻拍頻合振動(dòng)在單位時(shí)間內(nèi)加強(qiáng)或減弱的合振動(dòng)在單位時(shí)間內(nèi)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)稱為拍頻（次數(shù)稱為拍頻（fb）。 例：例：一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)做兩個(gè)振動(dòng)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)做兩個(gè)振動(dòng)x1=3sin40t，

18、x2=sin41t，求合成運(yùn)動(dòng)的最大、最小振幅及拍的頻率？求合成運(yùn)動(dòng)的最大、最小振幅及拍的頻率？x=A(t)sin(40+) 弧度弧度/ /秒，秒， Amax=3+4=7cm，Amin=4-3=1cm，b=41-40=1弧度弧度/秒秒, 212bbf21bbfT秒。秒。 注：可以看到，合成最大本身的園頻率是注：可以看到，合成最大本身的園頻率是40弧弧度度/秒，而拍（即振幅變化）的園頻率是秒，而拍（即振幅變化）的園頻率是1弧度弧度/秒，秒，慢多了。慢多了。 解：解：本章小結(jié)本章小結(jié) 這一章題目是這一章題目是“振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)”，研究振動(dòng)的，研究振動(dòng)的形態(tài)（位移、速度、加速度等）隨時(shí)間變化

19、的規(guī)律，形態(tài)（位移、速度、加速度等）隨時(shí)間變化的規(guī)律，而不涉及產(chǎn)生振動(dòng)的物理原因。而不涉及產(chǎn)生振動(dòng)的物理原因。 我們著重研究了簡諧振動(dòng)。定義簡諧振動(dòng)的參我們著重研究了簡諧振動(dòng)。定義簡諧振動(dòng)的參量位移、時(shí)間、振幅、園頻率、頻率、周期等等，量位移、時(shí)間、振幅、園頻率、頻率、周期等等，x=Asin(t+)。簡諧振動(dòng)的三種表示方法：代數(shù)。簡諧振動(dòng)的三種表示方法：代數(shù)表示法、矢量表示法、復(fù)數(shù)表示法。簡諧振動(dòng)的合表示法、矢量表示法、復(fù)數(shù)表示法。簡諧振動(dòng)的合成，其中特別是成，其中特別是x=asint+bcost這種情況。值得這種情況。值得注意的是：同頻率簡諧振動(dòng)合成后仍是簡諧振動(dòng)，注意的是：同頻率簡諧振動(dòng)合

20、成后仍是簡諧振動(dòng)，不同頻率簡諧振動(dòng)合成后不再是簡諧振動(dòng)。對于后不同頻率簡諧振動(dòng)合成后不再是簡諧振動(dòng)。對于后一種情況，我們研究了一個(gè)特例一種情況，我們研究了一個(gè)特例拍。拍。 習(xí)題習(xí)題2-1 2-1 有一作簡諧振動(dòng)的物體，它通過距離平衡位有一作簡諧振動(dòng)的物體，它通過距離平衡位置為置為 時(shí)的速度分別為時(shí)的速度分別為 求其振動(dòng)周期、振幅和最大求其振動(dòng)周期、振幅和最大速度。速度。 cmxcmx10521及scmvscmv/5/2021及解解：設(shè)物體振動(dòng)規(guī)律為：設(shè)物體振動(dòng)規(guī)律為 )sin(tAx)2sin()cos(.tAtAx 25 本章習(xí)題本章習(xí)題51x201x )cos(20)sin(511tAtA222)20(5A（1 1）102x52x 22222)5(10)cos(5)sin(10AtAtA（2 2）由（由（1 1），（），（2 2）解得）解得 5cmA1 .10sT81. 2522最大速度最大速度 scmAv/58.22max所以 振動(dòng)周期 振幅振幅 最大速度 sT81. 2cmA1 .10scmv/58.22max所以，振動(dòng)周期所以，振動(dòng)周期 最大速度最大速度 習(xí)題2-2 一個(gè)機(jī)器內(nèi)某零件的振動(dòng)規(guī)律為 ，x的單位是cm， 。這個(gè)振動(dòng)是否是否簡諧振動(dòng)？求出它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋轉(zhuǎn)矢量表示這三者見的關(guān)系。ttxco