第六章 IIR數(shù)字濾波器

1、第6章 無限沖激響應(yīng)(IIR） 濾波器設(shè)計6.1 濾波器的基本概念；6.2 模擬低通濾波器設(shè)計；6.3 沖激響應(yīng)不變法；6.4 雙線性Z變換法；6.5 數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器設(shè)計；| )(| )(|;)(| )(|;)(| )(jjjeYceHbeXa( )( )( )|,|ccx nh ny n通過系統(tǒng)后使輸出中不再含有的頻率成分 而使的成分不失真的通過.1. 1. 濾波原理濾波原理6.1 濾波器的基本概念若 中的有用成分 和希望去除的成分 各自占有不同的頻帶, 通過一個線性系統(tǒng)可將 有效去除. 分類: 低通(LP), 高通(HP),帶通(BP), 帶阻(BS) 2. 濾波器的分類( )

2、x n( )( )( )x ns nu n加法性噪聲( )u n( )s n( )u n每一種又有模擬(AF)、數(shù)字(DF)兩種濾波器.對數(shù)字濾波器, 從實現(xiàn)方法上, 有IIR濾波器和FIR濾波器之分, 轉(zhuǎn)移函數(shù)分別為:NkkkMrrrzazbzH101)(10)()(NnnznhzHFIR DF:IIR DF:種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預(yù) 測、自適應(yīng)濾波器( )( ) ( )x ns n u n乘法性噪聲( )( )* ( )x ns nu n卷積性噪聲信號的頻譜和噪聲道頻譜混迭在一起，靠經(jīng)典的濾波方法難以去除噪聲。目標(biāo)：從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄(又稱時間序列)中估計出信號的某些特征或

3、信號本身。2s11()jH ep21/10通通帶帶過過度度帶帶阻阻帶帶1 1(或或 )3. 濾波器的技術(shù)要求低通：絕對指標(biāo)絕對指標(biāo)阻帶下限截止頻率又稱通帶上限頻率通帶截止頻率:)(:sp分別為通帶和阻帶的容限12, pRsA0 ppR ssA通帶允許的最大衰減；通帶允許的最大衰減；阻帶內(nèi)應(yīng)達到的最小衰減阻帶內(nèi)應(yīng)達到的最小衰減| )(|lg20| )(| )(|lg20| )(|lg20| )(| )(|lg2000ssppjjjsjjjpeHeHeHeHeHeH單位 (dB)若幅度下降到 0.707, 則幅平方下降 0.5 （半功率點）：0|()|120lg20lg3dB0.707|()|pj

4、pjH eH e若幅度下降到 0.01：0|()|120lg20lg40dB0.01|()|pjsjH eH e高通：p：通帶允許的最大衰減；s：阻帶內(nèi)應(yīng)達到的最小衰減帶通： 為帶寬。p：通帶允許的最大衰減；s：阻帶內(nèi)應(yīng)達到的最小衰減slsh13slsh帶阻：p：通帶允許的最大衰減；s：阻帶內(nèi)應(yīng)達到的最小衰減slsh1. 給定所設(shè)計的濾波器的技術(shù)指標(biāo)：,pspssfLP, HP13,slshpssfBP, BS 2. 設(shè)計出一個 ，使( )H z()jH e滿足給定的技術(shù)要求沒有考慮相位,( ):ppssG s給定模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計低通濾波器NNNNNNNNscscsccsdsdsd

5、dsG 11101110)(210lg |()|,.pspsG j使其對數(shù)幅頻響應(yīng)在處分別達到的要求6.2 模擬低通濾波器的設(shè)計一、概述10/ )(210| )(|jG22()1( )10lg10lg()|()|X jY jG j )(定義衰減函數(shù)22()10lg|()|()10lg|()|pppsssG jG j 上面兩式將要求的衰減和模擬濾波器的幅平方特性聯(lián)系了起來。注意，由于衰減指標(biāo)只有兩個，因此也只能和幅平方特性的兩個特殊頻率相聯(lián)系。 我們的目的是由幅平方特性 求出模擬濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù) ，如何將二者聯(lián)系起來( )G s2|()|G j*2( )( )( ) ()|()|sjG s G

6、sG s GsG j 因為2|()|( )G jG s就很容易得到所需要的所以，由 注意，由于衰減指標(biāo)只有兩個，只能和幅平方特性的兩個特殊頻率相聯(lián)系，因此，幅平方特性的表達式必須簡化。2| )(|jG將 按不同的原則簡化，可得到不同形式的濾波器，即不同的 表達式：( )G s1. 巴特沃茲(Butterworth)濾波器NcG2211)j (稱為截止頻率，稱為截止頻率，N N稱為濾波器階數(shù)。稱為濾波器階數(shù)。c2. 切比雪夫I型(Chebyshev-I)濾波器2221|() |1()npG jC1( )cos( cos ( ) nCxnx其中其中222221|()|()1(/)nsnsG jCC

7、3. 切比雪夫II型濾波器)(11| )(|222nUjG2( )nU：Jacobian 函數(shù)本課程只討論 Butterworth 和 Chebyshev-I 濾波器的設(shè)計（二者都是全極點型）4. 橢圓濾波器NcG2211)j (由由有有221( )10lg10lg|()|()|G jG j 二、Butterworth濾波器的設(shè)計 1. 確定確定截止頻率截止頻率 和濾波器階數(shù)和濾波器階數(shù) N N：c()/10210|()|G j, 11010/ )(2Nc分別將分別將 ， 代入代入ps得：得：2/10101 pNpc2/10/10101101psNps兩式的比為兩式的比為2/10101 sNs

8、c(i)(ii)/10/10lg(101)/(101)2lg(/)pspsN(6.1)則則可以是以下區(qū)間的任意數(shù)值可以是以下區(qū)間的任意數(shù)值c1/102(101) pNcp ) 110() 110(2110/2110/NscNpsp由式由式(i), (ii)可分別得到可分別得到1/102(101) sNcs (6.2)2. 確定( )G s求極點：令求極點：令 則有則有22222/ j(j)1( ) ()(j)(j)1jNcNNNsccG s GsGss22(j)0NNcs121j()2221(j)e , (1,2,2)kNNkccskN 或?qū)懗苫驅(qū)懗?1j()2e , (0,1,21)kNNk

9、cpkN 21exp2kckNpjN Nk2 , 2 , 1 ccc即 2N 個極點均勻分布在 s 平面半徑為的圓上，取左半平面的 N 個賦予 ，右半平面的 N 個賦予 ( )G s()GsNk, 2 , 1 對對 有：有：kNkpp Nk, 2 , 1 21exp2kckNpjN 所求的傳遞函數(shù)為所求的傳遞函數(shù)為1( )()NcNkkGssp在虛軸上和右半平面內(nèi)無極點，因果穩(wěn)定。在虛軸上和右半平面內(nèi)無極點，因果穩(wěn)定。( )G s(6.4)注意注意:（1）將成對共軛極點對應(yīng)的兩個因子相乘，）將成對共軛極點對應(yīng)的兩個因子相乘， 可將傳遞函數(shù)化成實系數(shù)二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)結(jié)構(gòu)可將傳遞函數(shù)化成實系數(shù)二階網(wǎng)絡(luò)

10、級聯(lián)結(jié)構(gòu). （2）指標(biāo)）指標(biāo) ， 的單位是：弧度的單位是：弧度/秒；秒； 若給定頻率（若給定頻率（Hz）指標(biāo)）指標(biāo) ， 利用公式利用公式 化成角頻率?；山穷l率。(6.3)pspfsf2f 20, |()|1,(0)0,0G j (1). 當(dāng)時即在處無衰減;3.巴特沃思濾波器幅頻響應(yīng)的特點:222|()|,( ), |()|,|()|G jNG jG j(3). 單調(diào)減小單調(diào)增加越大減小的越慢 即在通帶內(nèi)越平；c1(j)0.707,2G , 5 . 021)j (2G（2 2）. .當(dāng)當(dāng) 時，時，22( )10lg|()|10lg1NcG j ()10lg23dB, cN22(5).|()|0

11、,1G jN 在處對的一階 二階 直至階導(dǎo)數(shù)皆為零.c2)j ( G（4 4）. .當(dāng)當(dāng) 時，時， 單調(diào)減少，衰單調(diào)減少，衰減速度比通帶快，減速度比通帶快，N N越大，衰減越快。越大，衰減越快。例8.1(P292)例8.3 (p296) 給定 如下技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計模擬低通 Butterworth濾波器習(xí)題P8.1 (P365)切比雪夫多項式：當(dāng)1coscos( )cos()nxxCxn2221|() |1()npG jC三、切比雪夫I型模擬低通濾波器設(shè)計1( )cos( cos ( ) nCxnx 1px 令：令：11( )cos(1)cos()cos( )sin()sin( )( )cos(1

12、)cos()cos( )sin()sin( )nnCxnnnCxnnn11( )2( )( )nnnCxxCxCx兩式相加得遞推公式：兩式相加得遞推公式：由定義可知：由定義可知：01( )1 , ( )CxC xx由遞推公式知由遞推公式知 確是確是 的多項式。的多項式。 ( )nCxx012210332142432( )cos(0)1( )cos( )( )2( )( )21( )2( )( )43( )2( )( )881CxC xxCxxC xCxxC xxCxC xxxCxxC xCxxx首項系數(shù)是12n(1)1nC由定義有由定義有,1. 將頻率歸一化 得歸一化的幅平方特性 即)(11|

13、 )(|222nCjG設(shè)計步驟：)(1lg10)(22nC110) 1 (10/22pnC2(1)1nC/102101p2. 求 和n注意：1 p1/102(101)p因此： 時，切比雪夫多項式要重新定義，采用雙曲函數(shù)：求n要利用另外的條件：,:1sssNote 1( )cos( cos)nCn必須不大于11cosh/2sinh/2xxxxxeexee )(coshcosh()(1xnxCn其中其中在這種定義下得到的仍為多項式且與在這種定義下得到的仍為多項式且與 有相同形有相同形式式 。 1 x將 代入得到注意到注意到 則有則有)(1lg(10)(22nC1s110)(10/22ssnC210

14、/10/210/121110110110)(cosh(coshdnpsss即即kss1 p其中其中d，k分別為定義過的判別因子和選擇性因子。分別為定義過的判別因子和選擇性因子。)1(cosh)1(cosh11kdn3. 確定確定( )G s求根求根2/ j221( ) ()(j )1()jsnpG s GsGsC221( )0jnqCp qs其中其中1( j )jnCq 11cos cos ( j )jnq 令令)1(sinh112n112cos (), jqj可得可得,2) 12(1nk1ln)(sinh21xxx注注：12cosh ( )ln1xxx22(21)sinsinh()2(21)

15、coscosh()2kkpnkjn2,( ),(),( ),1,2,knpG sGsG skn此式求出的個極點一半屬于一半屬于把左半平面的極點賦于即nk2 , 2 , 1 最后導(dǎo)出：切比雪夫濾波器的極點分布 反映了實際頻率最后得到轉(zhuǎn)移函數(shù)為最后得到轉(zhuǎn)移函數(shù)為：pp1p1( )2()nnnkkG ssp思考題思考題：以例8.5為例按上述關(guān)鍵步驟編寫Matlab程序求切比雪夫I型低通濾波器的傳遞函數(shù)。6.3 6.3 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計 IIR DFIIR DF,psps ,psps( )H s( )H z)(f)(zfs 頻率變換頻率變換復(fù)平面映射復(fù)平面映射模擬低通設(shè)計模擬低

16、通設(shè)計數(shù)字濾波器設(shè)計步驟數(shù)字濾波器設(shè)計步驟:由由s平面到平面到z平面：平面：時域：時域：)(tx復(fù)頻域：復(fù)頻域： dtetxsXst)()(jsf2雙邊Laplace 變換 s 平面j0( )( )()snx nx ttnT() ()ssnx nTtnT對離散信號做拉普拉斯變換 ( )( )stx nx n edt()()stssnx nTtnT edt()()sssnTsTsnx nT eX essTzeL令：ssTseznsnTszXsXenTxnxL)()()()(即：即：這是抽樣信號的L變換與z-變換之間的關(guān)系。而z平面與 s平面之間的映射關(guān)系為ssTez 映射關(guān)系討論：映射關(guān)系討論：

17、令令則由則由 （為方便可以用（為方便可以用T代替代替T s）有）有je , jrzsssTez 1, 01, 01, 0rrrTrrTTTeeeejjZkTTkTsT,eee)2j(由指數(shù)函數(shù)的周期性有ssTez )(s)(zj1T/T/T/3T/3s平面每一條寬度為平面每一條寬度為 的左半帶形區(qū)域都重疊映的左半帶形區(qū)域都重疊映射到射到z平面的單位圓內(nèi)。非帶限信號會產(chǎn)生頻率混疊。平面的單位圓內(nèi)。非帶限信號會產(chǎn)生頻率混疊。T/2,psps ,.ps.,不變ps利用上一節(jié)的方法，可設(shè)計出模擬濾波器( ),( )G pG s( )H z獲得數(shù)字濾波器H(z)最直接的方法可以如下：sT 利用：1,ln

18、ssTszeszT1ln( )( )sszTH zG s但這樣做， 將不再是 的有理多項式，給極零分析帶來困難。( )H zz0)()(| )()(nsnTtsnTttgtgnThs令：沖激響應(yīng)不變法模擬濾波器的沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)assG1)(若 則其拉氏逆變換為atetg)(110011)()()(zezeznThzHssaTnnaTnnssanTsenTh)(在因果穩(wěn)定的前提下就有22( )( )sin() ( )()tG sg tet u tssssTsTsTeTezzTzezH22)cos(2)sin()(注：用歐拉公式將正弦函數(shù)換成指數(shù)函數(shù)再求和。( ),( )( ),

19、G sG sH z總可由一階和二階系統(tǒng)并聯(lián)或級聯(lián)而成故由上面兩式可實現(xiàn)由到的轉(zhuǎn)換 該轉(zhuǎn)換所遵循的基本關(guān)系仍是ssTez (1),.spspsT 利用將轉(zhuǎn)換為.,不變ps).()2(sG設(shè)計低通模擬濾波器).()() 3(zHsG轉(zhuǎn)換為將|()|()|,jH eG j相對于有較大失真 這是因為抽樣頻率過小時，易產(chǎn)生混迭。此外，該方法對高通、帶阻濾波器不適用。線性轉(zhuǎn)換關(guān)系3111342)(2sssssG例6.3 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為sssssssTTTTTTTezeezeezezezzH423131311)(1)(1111)(試用沖擊響應(yīng)不變法,設(shè)計IIR數(shù)字濾波器.解:G(s)有兩個一級極點s1= -1,s2= -3, 故所求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為6.4 用分式線性映射