高等代數(shù)考試試卷

1、河南理工大學(xué)20092010學(xué)年第2學(xué)期高等代數(shù)試卷總得分；線:號學(xué)線閱卷人復(fù)查人考試方式本試卷考試分?jǐn)?shù)占學(xué) 生總評成績比例閉卷80%號 學(xué)填空：(每小題5分，共55分)名2 口張滿處：,X2,L ,Xn)的規(guī)范形由所唯一確定.22_ 2_時，二次型f(X1,X2,X3)XiX25X32tx1X22X1X34X2X3是正定二次型ij)n n的全體特征值的和等于,全體特征值的積等于姓姓-.4"已知.3階A的特征值為1,2,3 ,則A3 5A2 7E的特征值為.C上的線性空間，它的維數(shù)是 復(fù)數(shù)一密二6.已知A.是一R上的線性空間，它的維數(shù)是,那么 A 1 =, |A =一縷：二：8 二，

2、光二二的二二二知：級班業(yè)專p A:繆班業(yè)專：M班加7 8P中的一個固定的數(shù)，而W (a,X2，L ,Xn) x若A的初等因子為:P,i 2,L,n維(W) =(1)2,(i)3,(i)3則A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為9 .設(shè)1,2,3是線性空間V的一組基，則由基1,2,3到基2,3,1的過渡矩陣T=10 .設(shè)線性空間P3的線性變換為：(X,X2,X3)(Xi,X2,XiX2)則在標(biāo)準(zhǔn)基1,2,3下的矩陣為5aba011 .設(shè)叫|a,bR，W2|a,bR1b020b二、計算與證明：（共45分）1.（5分）證明：如果A,B都是n階正定矩陣，則AB也是正定矩陣.2 .（15分）已知二次型fx1,x2,x3x22

3、x22x24x1x24x1x38x2x3，求一個正交變換XPY,把二次型f（x1,x2,x3）化為標(biāo)準(zhǔn)型.3 .（10分）設(shè)V1與V2分別是齊次方程組x1x2Lxn0與x1X2Lxn的解空間，證明PnViV2.4. (15分)設(shè)P22是數(shù)域P上的2級全體方陣所成的線性空間,定義P2 2的一個線性變換如下:1122(X)XXP2211（1） 求在基E11,E12,E21,E22下的矩陣;（2） 求的值域.答案一'、填空：(每小題4分，共56分)1)f的秩和正慣性指數(shù)p；2)4)3,-5,-11;5)1,2;6)111i/1i7)1,n1;8)1i0;3)&1A,ann，001;9

4、)100010i1i1i10)100、10010;11)L(0011001001010,01),L(00)'二、計算與證明：（共44分）1.（5分）證明：令fXT（AB）X則fXT(AB)XXTAXXTBX因?yàn)锳,B都是正定矩陣，所以對任意的X0,有XTAX0,XTBX0所以fXTAXXTBX0,則二次型fXT（AB）X為正定二次型,所以A B為正定矩陣。2. （15分）解12二次型f的矩陣為222424| E A (7)(2)22故A的特征值為17, 23 2 .當(dāng)i7時，解方程（A 7E）x 0,由1得基礎(chǔ)解系12 .取P22323當(dāng)23 2時，解方程（A 2E）x 0,由22得基

5、礎(chǔ)解系21,3001將1, 2正交化得225451再將2, 3單位化得P21-521， P3013,5于是正交矩陣為132322515023.543<553<5X1則正交變換為x2X31323214, 53.5火丫2y33,5則有f7y22y22y2.3.證：XiX2LXn。的解空間是n1維，基為1(1,1,0,L,0),2(1,0,1,L,0),L,n1(1,0,0,L,1),XiX2LXn的解空間的基為(1,1,1L,1),因?yàn)橛?, 2,Ln 1,構(gòu)成的矩陣A滿足A1 1 0 L1 0 1 LM M M1 0 0 L11 1 L01M ( 1)n 1n 001dim V 2.V L(B1B)所以1,2,L,n1,為Pn的基，故PnV1V2又因?yàn)閐im Pnn dim V1 dim V2所以PnV1V214.解 1)E11AE11100,八(En,E12,E21,E22),1010類似有01E12(E11,E12,E21,E22)八0110E21(E11,EE21,E22),1001E22(E11,E12,E21,E22)八01設(shè)在基E11,E12,E21,E22下的矩陣為B,則10100101B.10102)令B0101(1,2,3,4),其中i為B的列向量，