常微分方程數(shù)值解(第六章) (1)

1、江西理工大學(xué)江西理工大學(xué)第六章第六章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法.,.,.;),()(),(0值問(wèn)題的數(shù)值解法必須研究常微分方程初因此初等函數(shù)表示能用其精確解很難求出或不題的常微分方程由于大量來(lái)源于實(shí)際問(wèn)為給定的初值為已知函數(shù)其中ayxfayaybxayxfdxdy) 1 . 6()2 . 6(tfxxdtdxdtxdcos322如著名的倒擺強(qiáng)迫振動(dòng)6.1 6.1 引言引言 1 1、 一階常微分方程初值問(wèn)題的一般形式一階常微分方程初值問(wèn)題的一般形式是是其中其中:.,驅(qū)動(dòng)力角頻率數(shù)分別為無(wú)量綱的阻尼系f.,:)2(.,:) 1 (:1111方法其代表是步得值還要用到前面幾外和前一步值除

2、用到時(shí)即計(jì)算多步法方法其代表是和前一步值只用到時(shí)即計(jì)算單步法數(shù)值解法一般分為兩類常微分方程初值問(wèn)題的AdamsyxxyKRyxxynnnnnnnn即條件滿足如果,),(Lipschitzyxf，均有使得正數(shù),baxL2、方程6.1解存在定理|,| ),(),(|2121yyLyxfyxf的解存在且唯一則初值問(wèn)題) 1 . 6(3 3、數(shù)值解的分類、數(shù)值解的分類6.2.1 Euler公式公式 假設(shè)初值問(wèn)題假設(shè)初值問(wèn)題( 6.1)式式 (6.2)式的解式的解y =y (x)存在且足夠光滑，對(duì)存在且足夠光滑，對(duì)求解區(qū)域求解區(qū)域a, b分成分成n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn):1)(,()()(,) 1 . 6(,

3、)., 2, 1( ,) 1 . 6(:, 2, 1)(:,)(, 2, 1,11010nnxxnnnnnnnnnnnnNndxxyxfxyxyxxnyyxNnxyyyxxyhNnnhxxbxxxxa得到做積分上對(duì)方程在區(qū)間為此分方程求出近似值然后結(jié)合定解條件由差程的差分方建立關(guān)于節(jié)點(diǎn)近似值上離散化在剖分節(jié)點(diǎn)分方程通過(guò)離散化方法將常微想是構(gòu)造歐拉公式的基本思使上的近似值在節(jié)點(diǎn)精確解數(shù)值解法就是求為步長(zhǎng)其中節(jié)點(diǎn))3 . 6(6.2 Euler方法方法可導(dǎo)出梯形公式求積公式式右端的積分應(yīng)用梯形若對(duì)類似地推計(jì)算出遞即可由公式當(dāng)取定初值公式歐拉式稱為所滿足的差分公式可建立節(jié)點(diǎn)近似值據(jù)此得到舍去高階小項(xiàng)

4、化為則式形求積公式對(duì)右邊的積分應(yīng)用左矩)()(,()(,(2)(,() 3 . 6(,.,)4 . 6(,)(,)()4 . 6(, 1, 0),(,)(,()()(),()()(,()()() 3 . 6()()(,()(,(31121011221211hOxyxfxyxfhdxxyxfyyyaayyEulernyxhfyyyxyxhfxyxyhOhOxyxhfxyxyhOxyxhfdxxyxfnnnnxxNnnnnnnnnnnnnnnnxxnnnn)4 . 6(, 2, 1),(2)()(,(2)(,()(,()()(),1 . 6(, 1, 0),(),(2011311110111111

5、1nayyxhfyyEulerhOxyxhfdxxyxfdxxyxfxyxyxxnayyxfyxfhyynnnnxxnnxxnnnnnnnnnnnnnn中點(diǎn)公式則可導(dǎo)出求積公式對(duì)右端積分應(yīng)用中矩形則得到上積分方程如果在區(qū)間)5 . 6()6 . 6(比較比較6.46.4式和式和6.56.5式，為求得式，為求得 ,只需用到只需用到1nynnnyxx和1,這種方法稱為單步法這種方法稱為單步法，而而6.66.6式需要式需要1nxnnnnyyxx,11和前兩步的值。這種方法稱為多步法這種方法稱為多步法。6.46.4式和式和6.66.6式中的式中的1ny被顯式的表示出來(lái)了，被顯式的表示出來(lái)了，故故被稱為

6、顯式公式，而被稱為顯式公式，而6.56.5式的兩邊都含有式的兩邊都含有1ny項(xiàng)，因項(xiàng)，因而被稱為隱式公式而被稱為隱式公式。. 1 . 6,05. 0, 1 . 0, 1, 00)211(:).1/()(,1 . 602212計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表分別取步長(zhǎng)公式為求解此問(wèn)題的解此問(wèn)題的精確解是的數(shù)值方法求初值問(wèn)題利用例hnyyxhyyEulerxxxyEulernnnn0) 0 (2021122yxyxdxdyhxnyny(xn)y(xn)-ynh=0.10.000.000000.000000.000000.400.360850.34483-0.016030.800.513710.48780-0.0259

7、01.200.509610.49180-0.017811.600.458720.44944-0.009282.000.404190.40000-0.00419h=0.050.000.000000.000000.000000.400.352870.34483-0.008040.800.500490.48780-0.012681.200.500730.49180-0.008921.600.454250.44944-0.004812.000.402270.40000-0.002271 .6表計(jì)算結(jié)果 從計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)從計(jì)算結(jié)果可見(jiàn),步長(zhǎng)步長(zhǎng)h越小越小,數(shù)值解的精度越高數(shù)值解的精度越高.近似值準(zhǔn)確值.)

8、,(),(,., 1, 0),(),(2,110111方法所謂的改進(jìn)的利用這種方法建立一種校正值更高的再用梯形公式求得精度然后預(yù)測(cè)值的初步近似值公式求得一個(gè)先用實(shí)際計(jì)算時(shí)不便于計(jì)算但它屬于隱式公式公式好計(jì)算數(shù)值解的精度要比梯形公式從數(shù)值積分的角度來(lái)看EuleryyEulerEulernayyxfyxfhyynnnnnnnn)7 . 6(6.2.2 改進(jìn)的改進(jìn)的Euler方法方法, 2, 1, 0),(),(2),(01111nayyxfyxfhyyyxhfyynnnnnnnnnn)8 . 6()9 . 6(, 2, 1, 0),(),()(20121211nayhKyhxfKyxfKKKhyy

9、nnnnnn或?qū)憺榉椒ǖ乃闶綖榻馊〔介L(zhǎng)的數(shù)值解求初值問(wèn)題例Eulerh)1 (:.1 .0,2 .61)0(102yxyxydxdy, 1, 01)2(01nyyxyhyynnnnn方法的算式為改進(jìn)Euler)2(, 1, 01)2()2(2)2(011111nyyxyyxyhyyyxyhyynnnnnnnnnnnnn.21)(. 2 . 6xxy本題精確解為計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表xnEuler方法yn改進(jìn)Euler方法yn精確解y(xn)01110.11.11.0959091.0954450.21.1918181.1840961.1832160.31.2774381.2662011.2649910.4

10、1.3582131.3433601.3446410.51.4351331.4164021.4142140.61.5089661.4859651.4832400.71.5803381.5525151.5491930.81.6497831.6164761.6124520.91.7177791.6781681.6733201.01.7847701.7378691.7320512 .6表計(jì)算結(jié)果從計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)從計(jì)算結(jié)果可見(jiàn),改進(jìn)的改進(jìn)的Euler方法明顯地改善了精度方法明顯地改善了精度.6.2.3 Euler公式的誤差分析公式的誤差分析)(,()(),10. 6(. 2)()()()()()(2)()

11、()(),()()()4 . 6()11. 6(),()(,()(),(. 1.,)(),(.,211221111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyxfxyEulerhOyxyEulerhOxhyxyxyhxyhxyxyTaylorxyxyhxyyEuleryxfxyxfxyxyyEuleryxyxyy 由于公式改進(jìn)的公式的局部截?cái)嗾`差為從而可知公式得到利用對(duì)于精確解可以寫(xiě)為公式則注意到假設(shè)公式的局部截?cái)嗾`差估計(jì)式的精度它可以反映出差分公稱為局部截?cái)嗾`差誤差假設(shè)計(jì)算時(shí)產(chǎn)生的誤差我們主要研究進(jìn)行一步為了簡(jiǎn)化對(duì)誤差的分析)11. 6(y(xn)表示精確值的局部截?cái)嗾`差為類似可推

12、得梯形公式公式的局部截?cái)嗾`差為改進(jìn)的于是得代入式將展開(kāi)得到利用時(shí)則當(dāng))7 . 6()()(,)()(2)()(),10. 6(,)()()()()(,()(,()(,()(,(),()()(,(),(,)()(,()(,()(,()(311321212211121hOyxyEulerhOxyhxyhxyyKKhOxyhxyhOxyxfyhKxyxfxhxyxfhKxyhxfhKyhxfKxyxyxfyxfKTaylorxyyxyxfyxyxfxyxfxxynnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn .,)(,)()(12)(13311方法方法和梯形方法為二階改進(jìn)的方法是一

13、階方法所以為非負(fù)整數(shù)這里階方法該公式為則階部截?cái)嗾`差為如果單步差分公式的局一般地EulerEulerpphOhOxyhyxypnnn 6.2.4* Taylor展開(kāi)方法展開(kāi)方法)()(,(!)(,(2)(,()()(!)1()(!)(2)()()(.)2 .6()1 .6()(1)1()1(21)(21 pnnppnnnnnpnppnnnnhOxyxfphxyxfhxyxhfxyphxyphxyhxyhxyxyTaylorxy展開(kāi)得到利用的精確解是初值問(wèn)題設(shè))12. 6()()(,)13. 6()12. 6(,)(,)13. 6()()()(,(),()()(,(),(, 1, 0),(!),

14、(2),(),(111222)2()1(0)1()1(211pnnnnnnppnnnnnnphOyxyxyyfyfxyffyfxxyxfdxdyxffyfxxyxfdxdyxfnayyxfphyxfhyxhfyyhO其局部截?cái)嗾`差為可知和式由式時(shí)當(dāng)是一個(gè)單步式差分公式式其中則導(dǎo)出差分公式舍去高階小項(xiàng))13. 6(., 1, 0),(!3),(2),(,3;)13. 6( ,1.)13. 6(0)2(3)1(21階方法的途徑了一種構(gòu)造單步顯式高展開(kāi)方法給出然而展開(kāi)方法很少直接使用則得到三階顯式公式時(shí)當(dāng)公式式就是時(shí)當(dāng)階方法為故差分公式TaylorTaylornayyxfhyxfhyxhfyypEu

15、lerppnnnnnnnn6.3 Runge-Kutta方法方法 ),(1nnnnyxfKhKyy 由由Euler方法方法:分公式為此考慮如下形式的差造出高階差分公式就有可能構(gòu)值的次數(shù)只需增加計(jì)算函數(shù)由此可知截?cái)嗾`差為其局部的函數(shù)值需計(jì)算兩次時(shí)用它計(jì)算方法為改進(jìn)的其局部截?cái)嗾`差為時(shí)當(dāng)?shù)暮瘮?shù)值只需計(jì)算一次時(shí)用它計(jì)算,),(,).()(,),(,).()(,)(.),(,31112111yxfhOyxyyxfyEulerhOyxyxyyyxfynnnnnnnn),(),()(2121211hKyhxfKyxfKKKhyynnnnnn有時(shí)當(dāng)如公式階的為從而導(dǎo)出局部截?cái)嗾`差的值據(jù)此確定各參數(shù)項(xiàng)完全一致

16、使兩式直到的前提下在相比較展開(kāi)式的然后與精確解展開(kāi)處在點(diǎn)式中的將為待定參數(shù)其中,2:.)(,)(,)12. 6()(,),(), 1()14. 6(,),(),(),()(111112122122111pKuttaRungephOhxyyTaylorxyTayloryxpjKKhyhxfKKhyhxfKyxfKKKKhyypisiipnnnnnjisiipsspsnpnpnnnnppnn)14. 6()()(,()(,()(,(2)(,()()()(2)()()()()(),(),(),(),(),(,),()15.6(),(),()(323211321112122111hOxyxfyxyxf

17、xyxfxhxyxhfxyhOxyhxyhxyxyTaylorxyhOyxfyyxfhyxfxhyxfhyxfhyyTayloryxKhyhxfKyxfKKKhyynnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 展開(kāi)式的然后與得到展開(kāi)處做右端在點(diǎn)將式)15. 6(),(21,21(,)21,21(),()15. 6(,21, 1, 0);10. 6()15. 6(, 1,21, 1.21211,),(,112121212122212nnnnnnnnnnnnnnyxhfyhxhfyyhKyhxfKyxfKhKyyEulerhxyy或?qū)憺榉Q之為中點(diǎn)公式式得到差分公式代入則解得

18、若取公式式便是改進(jìn)的此時(shí)則解得若取可自由選取這組方程中有一個(gè)參數(shù)只需各參數(shù)滿足項(xiàng)完全一致欲使兩式直到當(dāng)時(shí)相比較)16. 6().()()2,()21,21(),()4(6.)15. 6()16. 6(,4112131213211hOyxyhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyyKR、KRKRnnnnnnnnnn局部截?cái)嗾`差為公式三階四階公式下面給出常用的三階公式可類似推導(dǎo)高階方法為二階統(tǒng)稱公式式確定的這樣一族差分參數(shù)由一般地)17. 6(.,),(,).()(),()21,21()21,21(),()22(6511342312143211計(jì)算量較大的值算四次數(shù)它的不足是每一步需計(jì)能

19、滿足精度要求計(jì)算簡(jiǎn)便顯式方法方法是精度較高的單步四階標(biāo)準(zhǔn)局部截?cái)嗾`差為公式四階標(biāo)準(zhǔn)yxfKRhOyxyhKyhxfKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKKhyyKRnnnnnnnnnnnn)18. 6(22311214321121221212212)22(6:. 2 . 0,1)0(1023 . 6hKyhxhKyKhKyhxhKyKyxyKKKKKhyyKRhyxyxydxdyKRnnnnnnnnnnn公式為求解此問(wèn)題的四階標(biāo)準(zhǔn)解取步長(zhǎng)的數(shù)值解方法求初值問(wèn)題用四階例. 3 . 6)(2334計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表hKyhxhKyKnnnnxnyny(xn)nxnyny(xn)00.01.001.

20、030.61.48331.483210.21.18321.183240.81.61251.612520.41.34171.341651.01.73211.73213 . 6表計(jì)算結(jié)果 比較例比較例6.2與例與例6.3的計(jì)算結(jié)果的計(jì)算結(jié)果,顯然四階顯然四階R-K方法的精度高方法的精度高.盡管四階盡管四階R-K方法的計(jì)算量比改進(jìn)的方法的計(jì)算量比改進(jìn)的Euler方法大方法大,但由于放大了但由于放大了步長(zhǎng)步長(zhǎng),在求相同節(jié)點(diǎn)上的近似值時(shí)在求相同節(jié)點(diǎn)上的近似值時(shí),所需的計(jì)算量幾乎相同所需的計(jì)算量幾乎相同.以上以上討論的是顯式討論的是顯式R-K方法方法,同樣也可以構(gòu)造隱式同樣也可以構(gòu)造隱式R-K方法方法,其

21、一般形其一般形式式)2,2(,.)22,(),()(2)7 . 6(,.,., 2, 1),(11112121211111KhyhxfKhKyypKRpKhKhyhxfKyxfKKKhyyKRKRKRpprKhyhxfKKhyynnnnnnnnnnisiispsrsnrnrprrrnn中點(diǎn)公式為一級(jí)隱式例如方法的階可以大于級(jí)隱式但是它是二階方法方法的形式可以寫(xiě)成一個(gè)二級(jí)隱式梯形公式例如方法相同的原則與顯式確定待定參數(shù)方法級(jí)隱式稱之為.),(.)(21,21(11穩(wěn)定性好但隱式方法的數(shù)值計(jì)算計(jì)算工作量較大的方程組一般是非線性組方法每步需要求解方程隱式它是二階方法或?qū)憺镵Ryyhxhfyynnnn

22、n四階四階Runge-Kutta算法算法.;/ )() 1 (), 2, 1(,.), 1()(),(:000yyaxNabhNnyNybayNnnhaxyaybxayxfdxdynnn置近似解輸出輸入上的數(shù)值解在等距節(jié)點(diǎn)要求NnyxyyxxhxxKKKKhyyhKyhxfKhKyhxfKhKyhxfKyxfKNnnnnn,2, 1),()6(;)5()22(6)4(),()21,21()21,21(),()3().5()3(,2, 1)2(43213423121輸出至步循環(huán)執(zhí)行步對(duì)6.4 單步方法的收斂性和穩(wěn)定性單步方法的收斂性和穩(wěn)定性 初值問(wèn)題的數(shù)值解法是經(jīng)過(guò)某種離散化過(guò)程導(dǎo)出的初值問(wèn)題的

23、數(shù)值解法是經(jīng)過(guò)某種離散化過(guò)程導(dǎo)出的,因此需因此需要對(duì)數(shù)值解法進(jìn)行定性分析要對(duì)數(shù)值解法進(jìn)行定性分析.本節(jié)主要討論單步方法的收斂性與本節(jié)主要討論單步方法的收斂性與穩(wěn)定性穩(wěn)定性.),(),(,.,),(),(1yxfhyxEulerhyxhyxhyynnnn方法對(duì)于例如函數(shù)不同的增量不同的單步方法對(duì)應(yīng)著稱為方法的增量函數(shù)式中一寫(xiě)為如下形式的單步顯式方法可以統(tǒng)求解初值問(wèn)題aaybxayxfdxdy)(),()19. 6()20. 6(6.4.1 單步方法的收斂性單步方法的收斂性.)(,0,?)(,)()20. 6(,).,(),(,(),(21),(,這就是收斂性問(wèn)題是否有時(shí)當(dāng)也就是說(shuō)能否逼近充分小時(shí)

24、當(dāng)步長(zhǎng)的近似值求出精確解用單步方法對(duì)于任意給定的點(diǎn)方法相應(yīng)的增量函數(shù)類似地可寫(xiě)出與有方法對(duì)于改進(jìn)的nnnnnnnxyyhxyyhyxyxhyxKRyxhfyhxfyxfhyxEuler定義定義6.1.)20. 6(),(lim,.)20. 6(,)19. 6()(0斂的是收則稱單步方法式均有如果對(duì)任意固定的點(diǎn)解產(chǎn)生的近似是單步法式的解是初值問(wèn)題式設(shè)nnhnnxyyxyxy)21. 6(定理定理6.1, 1, 0| )1 (|)(),(),(,()23. 6()20. 6(,)(,| )(|)(),(,()()()(,)20. 6(|)(|,)20. 6(,)(,0,),(,1)20. 6(11

25、11100nChehLeLipschitzhRhyxhxyxheeyxyeChhRhRhxyxhxyxyxypChyxyChaayyLipschitzyhhybxahyxppnnnnnnnnnnnnpnnnnnnpnn條件得利用得到和式從式記誤差其中局部截?cái)嗾`差滿足則階方法為設(shè)單步方法使數(shù)無(wú)關(guān)的常其存在與是收斂的則方法初始近似條件滿足且關(guān)于上連續(xù)在區(qū)域增量函數(shù)階方法是設(shè)單步方法證明證明)22. 6()23. 6(Lipschiz條件：條件：|f(x,y2)-f(x,y1)|L|y2-y1|pnnnnhabLpabLnabLnhLnhLnpninipnnChyxyxyyayyeeLCheeeee

26、hLehLhLhLChehLhLChehLe|)(|),(lim, 0)() 1(|)1 ( ,1 1)1(|)1 ()1 (|)1 (|000)()(0)(110010且有收斂階估計(jì)所以由于于是注意到由此遞推得到等比數(shù)列公比為hL1xexx1:,有很小時(shí)若.,)1 (21,)1 (21221),(,(),(,(21),(),(21),(),(:,),(,)21. 6(00方法是收斂的因而改進(jìn)的條件的滿足常數(shù)為關(guān)于因此當(dāng)可得條件的利用給出由式其增量函數(shù)公式對(duì)于改進(jìn)的EulerLipschitzLhLyhhyyLhLyyLhyyLyxhfyhxfyxhfyhxfyxfyxfhyxhyxLipsc

27、hitzyxf，Eurel在收斂性的討論中在收斂性的討論中,我們已假定差分方程是精確求解的我們已假定差分方程是精確求解的,但實(shí)際但實(shí)際情況并非如此情況并非如此.例如例如,初始數(shù)據(jù)可能存在誤差初始數(shù)據(jù)可能存在誤差,計(jì)算過(guò)程中也不可計(jì)算過(guò)程中也不可避免地產(chǎn)生計(jì)算舍入誤差避免地產(chǎn)生計(jì)算舍入誤差,這些誤差的傳播和積累都會(huì)影響到這些誤差的傳播和積累都會(huì)影響到數(shù)值解數(shù)值解.那么實(shí)際計(jì)算得出的數(shù)值解能否作為精確解的近似呢那么實(shí)際計(jì)算得出的數(shù)值解能否作為精確解的近似呢?這取決于計(jì)算誤差是否可控制這取決于計(jì)算誤差是否可控制,這就是數(shù)值方法穩(wěn)定性的問(wèn)題這就是數(shù)值方法穩(wěn)定性的問(wèn)題.定義定義6.2分方法是不穩(wěn)如果對(duì)這

28、樣簡(jiǎn)單方程差為復(fù)數(shù)且其中方程通常只限于典型的試驗(yàn)討論數(shù)值方法的穩(wěn)定性穩(wěn)定的則稱此差分方法是絕對(duì)的變化均不超過(guò)各節(jié)點(diǎn)值如果這個(gè)誤差引起以后即計(jì)算值上產(chǎn)生計(jì)算誤差假設(shè)僅在一個(gè)節(jié)點(diǎn)值計(jì)算時(shí)用某一個(gè)差分方法進(jìn)行取定步長(zhǎng)對(duì)于初值問(wèn)題. 0)Re(,.,)(,),19. 6(yynmyyyyhmnnn6.4.2 單步方法的穩(wěn)定性單步方法的穩(wěn)定性有就將梯形公式用于方程似討論對(duì)隱式單步方法也可類絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間是方法的絕對(duì)穩(wěn)定域?yàn)橐虼吮仨毲抑豁毴粢惴匠虧M由上式可知誤差記各節(jié)點(diǎn)值計(jì)算產(chǎn)生影響將對(duì)以后則即計(jì)算值時(shí)產(chǎn)生誤差設(shè)在計(jì)算得到方法應(yīng)用于方程將對(duì)穩(wěn)定區(qū)間它與實(shí)軸的交集稱為絕定域范圍稱為方法的絕對(duì)穩(wěn)的取值要求變量

29、當(dāng)方法穩(wěn)定時(shí)在復(fù)平面上的大小也有關(guān)長(zhǎng)與步差分方法的穩(wěn)定性一般將如此那么對(duì)更復(fù)雜的方程也定的,.0)Re(2, 1|1 |. 1|1 |),( |)1 ()1 (,.,)1 (,.,.,11hyhhEulerhnmnmhhnmyyyyyyhyyyEulerhhnmnnmmmmmmmnnnnnnn.4 . 6., 0)Re(1211211,211211)(21111絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間給出了一些常用方法的表這是隱式公式的優(yōu)點(diǎn)恒成立長(zhǎng)所以此不等式對(duì)任意步由于可知絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域?yàn)轭愃魄懊娣治龅媒獬鰄hhyhhyyyyhyynnnnnnn方法方法的階數(shù)確定區(qū)間方法方法的階數(shù)確定區(qū)間Euler方法1（-2，0）二階

30、R-K方法2（-2，0）梯形方法2（-，0）三階R-K方法3（-2.51，0）改進(jìn)Euler方法2（-2，0）四階R-K方法4（-2.78，0）4 . 6表常用方法的穩(wěn)定區(qū)域.3.) 1 (,10357623. 9) 1 (,102410, 1 . 0:.),)(1)0(10 ,304 . 610141030方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間于不屬這是因?yàn)榈慕撇荒茏鳛轱@然而精確值為步計(jì)算得到公式經(jīng)按取解是指數(shù)衰減函數(shù)問(wèn)題的精確解為考慮初值問(wèn)題例EulerhyyyyEulerhexyyxyyx 綜上所述，收斂性是反映差分公式本身的截?cái)嗾`差對(duì)數(shù)值綜上所述，收斂性是反映差分公式本身的截?cái)嗾`差對(duì)數(shù)值解的影響；穩(wěn)定性

31、是反映計(jì)算過(guò)程中舍入誤差對(duì)數(shù)值解的影響。解的影響；穩(wěn)定性是反映計(jì)算過(guò)程中舍入誤差對(duì)數(shù)值解的影響。單步顯式方法的穩(wěn)定性與步長(zhǎng)密切相關(guān)，在一種步長(zhǎng)下是穩(wěn)定的單步顯式方法的穩(wěn)定性與步長(zhǎng)密切相關(guān)，在一種步長(zhǎng)下是穩(wěn)定的差分公式，取大一點(diǎn)步長(zhǎng)就可能是不穩(wěn)定的，只有既收斂又穩(wěn)定差分公式，取大一點(diǎn)步長(zhǎng)就可能是不穩(wěn)定的，只有既收斂又穩(wěn)定的差分公式才有實(shí)用價(jià)值。的差分公式才有實(shí)用價(jià)值。6.5 線性多步方法線性多步方法.,),(),(,.,.,1111步方法這就是線性多計(jì)算量小的差分公式高利用這些值構(gòu)造出精度因此可以及已經(jīng)知道時(shí)由于在計(jì)算計(jì)算量較大值方法需要計(jì)算四次函數(shù)的四階精度高一般精度較低計(jì)算簡(jiǎn)便單步方法是自開(kāi)

32、始方法nnnnnnnyxfyxfyyyKR6.5.1 利用待定參數(shù)法構(gòu)造線性多步方法利用待定參數(shù)法構(gòu)造線性多步方法.,)25. 6(,)()(,.,)24. 6(,0),(12111011iiiirnniiinininririiniininTaylorhOyxyyxfffhyyr從而求出方程應(yīng)滿足的參數(shù)成立時(shí)導(dǎo)出使式展開(kāi)為此利用局部截?cái)嗾`差為的選取原則是使方法的參數(shù)公式反之為顯式為隱式公式式時(shí)當(dāng)其中形式為步線性多步方法的一般)24. 6()25. 6()()(!3)2()(2)2()(2)()()(,()()(!3)(2)()()()(,()()(,(),(),(),()(!4)(!3)(2)

33、()()(),(:.)(,5 . 64)4(3222224)4(3211112211)4(4321221101210hOxyhxyhxyhxyxyxyxffhOxyhxyhxyhxyxyxyxffxyxyxffxyyxyyxyyyhxyhxyhxyhxyxyTaylorxyfffhyynnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 則有設(shè)展開(kāi)式則有設(shè)初值問(wèn)題的精確解為解為三階方法使三步方法選取參數(shù)例)26. 6()51623(12125,34,1223, 1314,212, 1, 1,)()(,)(),26. 6(21121021212102104111nnnnnnn

34、nfffhyyhOyxyTaylorxy差分公式于是得到三步三階顯式解得應(yīng)滿足方程要使展式相比較的然后與將其代入式6.5.2 利用數(shù)值積分構(gòu)造線性多步方法利用數(shù)值積分構(gòu)造線性多步方法1)(,()()(,),(11nnxxnnnndxxyxfxyxyxxyxfy得到上積分在小區(qū)間對(duì)方程)27. 6(.)(.),()()(,)()(,()(,()()()27. 6(,)(,()(11111公式阿當(dāng)姆斯面介紹常用的下式就可導(dǎo)出不同的差分公選取不同的插值多項(xiàng)式式所滿足的差分公則可建立近似值舍去為求積余項(xiàng)其中可寫(xiě)為則式次插值多項(xiàng)式的某個(gè)是函數(shù)設(shè)AdamsxLdxxLyyxyyRdxxLxyxfRRdxx

35、yxLxyxyrxyxfxLrxxrnnnnnxxrnxxnrnnrnnnnnn)28. 6(Adams顯式公式：顯式公式：經(jīng)整理可得做變量代換可得到代入式其中插值多項(xiàng)式次構(gòu)造據(jù)個(gè)數(shù)利用記上的近似值的等距節(jié)點(diǎn)在步長(zhǎng)為設(shè)已求得精確解,)()28. 6()()()()()(),( ,),(1),(.,)(01001thxxdxfxlyyxxxxxlfxlxLLagrangeryxyxryxffyyxxhxynjnrjxxjnnnrjkkknjnknjnrjjnjnrnnrnrnkkknrnnrnnn)(83)51623(1212)(125)3(211)(210.1)29. 6(, 1, 0)()(

36、!)() 1()4(42113112110001nnnnnnnnnnnnnnnrjrkjrjjnrjrjnnxyhfffhyyrxyhffhyyrxyhhfyyrAdamsrrrjdtjtktjjrfhyy 式截?cái)嗾`差主項(xiàng)的顯式公下面給出幾個(gè)帶有局部式顯式公步給出了式時(shí)并計(jì)算出當(dāng)取定其中系數(shù))29. 6(隱式公式截?cái)嗾`差主項(xiàng)的下面給出幾個(gè)帶有局部其中系數(shù)其一般形式為隱式公式稱為定性好的隱式公式則可導(dǎo)出數(shù)值穩(wěn)由于使用了數(shù)據(jù)中的插值多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造式如果選擇插值節(jié)點(diǎn)AdamsrjdtjtktjjrfhyyAdamsfxxLxxxxyhffffhyyrrkjrjjnrjrjnnnnrnnrnnnnnnn

37、n010*0*11111)5(53211, 1, 0)()(! )() 1(,),(),()28. 6(,)(720251)9375955(2413 Adams隱式公式：隱式公式：)(210211nnnnxyhhfyyr )30. 6()(241)8(1212)(121)3(211)4(4111311nnnnnnnnnnnxyhfffhyyrxyhffhyyr 計(jì)算公式為隱式公式做校正再用四階三步顯式公式做預(yù)估步預(yù)估校正公式由四階四四階例如式都取同階的公式一般預(yù)估公式和校正公正方法校稱之為預(yù)估求得數(shù)值解再用隱式公式校正供一個(gè)估計(jì)值由顯式公式提來(lái)使用顯式和隱式公式結(jié)合起通常把校正公式預(yù)估估,.,

38、.:)(72019)5199(2413)5(52111AdamsAdamsAdamsAdamsAdamsxyhffffhyyrnnnnnnn. 5 . 6.,:. 1 . 01)0(1026 . 6., 4, 3),()5199(24)9375955(2432132111121113211計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表正公式進(jìn)行計(jì)算再用預(yù)估校公式算出起始值先用四階標(biāo)準(zhǔn)解取步長(zhǎng)問(wèn)題預(yù)估校正公式求解初值用四階例為它提供起始值公式例如四階可以用同階的單步公式實(shí)際計(jì)算時(shí)這是四階四步顯式公式校正預(yù)估yyyKRhyxyxyyAdamsyyyKRnyxffffffhyyffffhyynnnnnnnnnnnnnnnxnR-K法

39、yn 預(yù)估值校正值yn精確值y(xn)0110.11.0954461.0954450.21.1832171.1832160.31.2649121.2649110.41.3415511.3416411.3416410.51.4140451.4142131.4142140.61.4830171.4832391.4832400.71.5489171.5491921.5491930.81.6121141.6124501.6124520.91.6729141.6733181.6733201.01.7315661.7320481.732051ny5 . 6表計(jì)算結(jié)果 預(yù)校算式每一步只需重新計(jì)算預(yù)校算式每一

40、步只需重新計(jì)算f(x,y)的函數(shù)值二次，因此比四階標(biāo)的函數(shù)值二次，因此比四階標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)R-K公式的計(jì)算量小。其缺點(diǎn)是要用其他方法計(jì)算起始值，計(jì)算過(guò)公式的計(jì)算量小。其缺點(diǎn)是要用其他方法計(jì)算起始值，計(jì)算過(guò)程中改變步長(zhǎng)困難。程中改變步長(zhǎng)困難。6.6 常微分方程組與高階微分方程的數(shù)值解法常微分方程組與高階微分方程的數(shù)值解法 一階常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值方法，原則上都可推廣到一階常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值方法，原則上都可推廣到一階方程組和高階方程情形。一階方程組和高階方程情形。6.6.1 一階常微分方程組的數(shù)值解法一階常微分方程組的數(shù)值解法 考慮一階常微分方程初值問(wèn)題考慮一階常微分方程初值問(wèn)題引進(jìn)向量符號(hào)00

41、212002212210012111)(),()(),()(),(mmmmmmmyxyyyyxfyyxyyyyxfyyxyyyyxfy)31. 6(.)32.6(,)(),()()31.6(,),(),(),(),(,)()()()(000201002121的差分方法問(wèn)題式地建立一階方程組初值可完全類似的差分方法仿照一階方程初值問(wèn)題可寫(xiě)為則初值問(wèn)題式y(tǒng)xyyxFxyyyyyyxfyxfyxfyxFxyxyxyxymmm)32. 6(0000)(),()(),(:,:zxzzyxgzyxyzyxfy常微分方程組為兩個(gè)未知量時(shí)特別)33. 6()2,2,2()2,2,2(),(),(, 1, 0)22(6)22(611211221214321143211lhzkhyhxgllhzkhyhxfkzyxglzyxfknllllhzzkkkkhyynnnnnnnnnnnnnn其中)34. 6(其四階其四階R-K方法為：方法為：.,)34. 6(, 4, 3, 2, 1,),(),()2,2,2()2,2,2(111334334223223nnniinnnnnnnnnnnnnnnzyxil