微積分(上)D2_3高階導(dǎo)數(shù)

1、.二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則第三節(jié)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二章 .一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：變速直線運(yùn)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .定義定義.若函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo),或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy類(lèi)似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為三階導(dǎo)數(shù) ,1n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為 n 階導(dǎo)數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) ,

2、記作y )(xf 的導(dǎo)數(shù)為依次類(lèi)推 ,分別記作則稱(chēng)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .設(shè),2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212 ayxa3232) 1(nnxann依次類(lèi)推 ,nnany!)(233xa例例1.思考思考: 設(shè), )(為任意常數(shù)xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問(wèn)可得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .nx)1 ( ,3xaeay 例例2. 設(shè)求解解:特別有:解解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1思考思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例3. 設(shè),

3、)1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .例例4. 設(shè),sinxy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(類(lèi)似可證:xxncos()(cos)()2n)2n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .例例5 . 設(shè)bxeyxasin解解:bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa

4、求為常數(shù) , ),(ba.)(nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay )sin(bxaexa222)()(nnbayxaeba22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(nbxexa)cos(bxbexa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .例例6. 設(shè),3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim

5、0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x階數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 設(shè)函數(shù)vunn) 1(推導(dǎo) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .vu 3)(vuvuvu)(

6、 vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式萊布尼茲公式成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .例例7. ,22xexy 求.)20(y解解: 設(shè),22xveux則xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入萊布尼茲公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .0!2) 1() 1(nynn)(nyn例例8. 設(shè),arctanxy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1 (2yx用萊布尼茲

7、公式求 n 階導(dǎo)數(shù))1 (2xx22令,0 x得)0() 1()0() 1() 1(nnynny),2, 1(n由,0)0(y得,0)0( y,0)0()4(y,)0() 12( my)0() 12(2) 12(mymm)0(! )2() 1(ymm0)0()2(my ) 1(ny12, ! )2() 1(2,0)0()(mnmmnymn即), 2, 1 , 0(m由, 1)0( y得)0(! )2() 1()0() 12(ymymm機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 逐階求導(dǎo)法(2) 利用歸納法(3) 間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4) 利用萊布尼茲公式高階導(dǎo)數(shù)的

8、求法)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .思考與練習(xí)思考與練習(xí)xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn1. 如何求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .2312xxy1121xxy11)() 1(1)2(1!) 1(nnnnxxny(3)12) 1)(2(1xBxAxx提示提示: 令)2(xA原式2x) 1(xB原式1x11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .xxy66cossin)4(323

9、2)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba )(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .1)( !nxfn2. (填空題) (1) 設(shè),cos)23()(1622xnxxxf則)2()(nf)(xf16cos) 1(2xxn)()(xfn16cos) 1(2xxn提示提示:各項(xiàng)均含因子 ( x 2 )nx)2( ! n22!n(2) 已知)(xf任意階可導(dǎo), 且2n時(shí))()(xfn提示提示:,)(

10、)(2xfxf則當(dāng) )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .3. 試從 yyx1dd導(dǎo)出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 同樣可求33ddyx(見(jiàn) P101 題4 ) 作業(yè)作業(yè)P101 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 8 (2) , (3) ; 9 (2) , (3)第四節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .解解: 設(shè))(sin2xfxy 求,y 其中 f 二階可導(dǎo). y yxxfxcos)(sin2)(sin2xf備用題備用題x2)(sin xf2x)(sin xf xcos)cos)(s