1.2第二節(jié)洛必達L’Hospital法則ppt課件

1、高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系第二節(jié)第二節(jié) 洛必達洛必達(L(LHospital)Hospital)法則法則洛必達法則是求0/0, / , 0* , - , 1 , 00 , 0類型極限的有力工具.; 0)(lim, 0)(lim) 1 (xgxfaxax定理定理1 (0/0型型) 假設(shè)假設(shè); 0)(,)(),()2( xgaxgxf且的某鄰域內(nèi)都可導在點函數(shù)Axgxfxgxfaxax)()(lim)()(lim則,)()(lim)3(Axgxfax高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系證明: 我們補充定義f(a)=g(a

2、)=0,有)()()()()()(agxgafxfxgxf在區(qū)間a,x或x,a上應(yīng)用柯西中值定理),(,)()()()()()(xagfagxgafxfaax,Axgxfgfxgxfaxxax)()(lim)()(lim)()(lim高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系定理1又稱為洛必達法則 洛必達法則是求不定式極限的一個有效方法.掌握這 個法則沒有什么困難,但是需要注意以下問題: (1) 只有不定式極限問題才能夠運用洛必達法則,非不定 式極限要用四則運算或其他方法.對于不定式極限,假設(shè) 干次運用羅比達法則以后如果已經(jīng)化為非不定式,就 不能繼續(xù)運用洛必達法則,

3、否則就會出現(xiàn)錯誤.高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系例1 求下列極限)1(lim)2( ;1)1(lim)1(10nnaxenxx解: (1)是0/0型的,用洛必達法則,得到aaxaxxaaxax1100)01(1)1(lim1)1(lim)/1(/11lim11lim)1(lim111xyxeneenxxnnnn(2)是0型的,可以化為0/0型.11lim1lim00yyyyeye高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系例2 求極限30sinlimxxxxxxxxxxxxxx2sinlim3131coslimsinlim 02

4、030解： 解此0/0型，連用三次洛必達法則可得到結(jié)果。在使用洛必達法則時，必須要檢查是否是0/0型的。在計算中常犯的錯誤是沒有滿足0/0的條件。61sinlim61 0 xxx高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系(1)lim ( ),lim ( );xaxaf xg x函數(shù)f(x)與g(x)在點a的某鄰域內(nèi)(點a可以除外)都可 導,且g(x)0Axgxfax)()(lim)3(Axgxfxgxfaxax)()(lim)()(lim則定理定理2(型)設(shè)：高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系例3 求函數(shù) 的極限tgxxx)2/l

5、n(lim02)()2/ln( lim02x型tgxx解：)(sec)2/(1 202xlim型xx)(2/cos 202xlim型xx 1)sin(cos2 lim02xxx0 2sin lim02xx高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 對于其他的形式可以通過恒等變形,化為基本型.可使 用洛必達法則求極限.)1(000/1limlnlimlnlim) 1 ( axaxaxaxxxxxx解：)sin1sincos(lim)csc(lim)2(00 xxxxctgxxx).csc(lim)2( ;lnlim) 1 (00 xctgxxxxax例4 求下列極限0

6、lim1 0axxa.0cossinlimsin1coslim 00 xxxxxx高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系例5 求下列極限:21 /00(1) lim; ( 2 ) lim (c o s);xxxxxx /1/1lim/1lnlimlnlim2000 xxxxyxxx解：(1) 令y=xx, 那么 lny=xlnx, 再取極限, 得到0lim 0 xx0lnlim0yx1lim 1lim000 xxxxey01(3 ) lim (1)xxx高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系ln00(1 ) l i ml i mx

7、xxxxxe也可以221ln c o s1 /00( 2 ) li m ( c o s)li mxxxxxxextgx2sec)(0e x p l i m(l n) xxx0201 /e x p l i m11 /xxex20ln c o se x p li mxxx01e x p li me x p 1 22xt g xx1 / 21ee高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系)/11ln(00lim)11(lim)3(xxxxxex/1ln)1ln(limexp 0 xxxx)1(limexp 2110 xxxx)1(limexp 20 xxxx)100exp

8、( 1 0 e高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 在使用洛必達法則時,如果把等階無窮小代換,代數(shù), 三角運算和洛必達法則結(jié)合起來,可以簡化運算過程.2000cos(1cos )2limlimlimsinsinsinxxxxxxxxxxxxxxxx例6 22200332limlim31 cos22xxxxxx高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系注意(4):洛必達法則使用前后都應(yīng)注意分離因式,把具有非零極限的因子提出極限號外,并及時求出極限,再對余下未定式求極限.0/011lncos(1)sin(1)limlim/(cos)1 sin(/2)cos(1)22xxxxxxx)2/sin(1)1cos(lnlim1xxx例7 求1) 1cos(lim1xx0/012sin(1)limcos2xxx高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系2sin) 1cos(lim42cos) 1sin(lim2120/01xxxxxx注意(5): 有些不定式,運用洛必達法則不能得到結(jié)果, 但是這不能說明該不定式的極限不存在,因 為洛 必達法則是極限存在的充分條件24高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系.例如 當x時, 是,xxxxcossinsin(sin )1 cos(