第七章靜電場和恒定電場

1、7.1電荷及性質靜電場定理一、在一孤立系統(tǒng)內發(fā)生的任何物理過程中總電荷數不變1、電荷守恒定律g-電荷具有相對論不變性+電子對湮滅-在相對運動的慣性參考系中測得帶電體的電量等,即g+電子對產生e = 1.6 ´10-19 Cq = ± 1 e2、電荷的量子性電子電量宏觀物體帶電量為e的整數倍。323夸克:q = ±任何宏觀帶電體的電荷都是量子化的ev二、點電荷Fv = K庫侖定律vqFq1F ¢2rv 2r3r(2-1-2 )eo= 8.85´10-12C N m1令 K =K=9×10 N.m /C9224pe有理化真空中的介電常數o

2、適用范圍：庫侖力或靜電力真空點電荷作用于每個點電荷上的總靜電力等于其它點電荷單獨存在時作用于該電荷的靜電力的矢量和疊加原理rrf= å fiiFv =12 rv4per30三、電場強度及疊加原理1.電場靜電場相對觀察者靜止的電荷激發(fā)的場稱靜電場2.電場強度試驗電荷：足夠小的點電荷電量足夠小不影響源電荷分布線度足夠小視為一點Fv.qFv .q ¢ Fv .q ¢¢P102030FvFvFvvF3 12=PQq ¢¢q ¢q00電荷受力0大小：FvvE =方向：正電荷受力方向電場強度q0：N/C、V/m點電荷在靜電場中受力為正點

3、電荷在電場中受力沿電場方向，負點電荷受力沿電場反方向某點場強等于正電荷在該點所受的電場力Q23、電場疊加原理r試驗電荷F2點r電QQ1試驗電荷受力F荷P1rrrrr系F = F + F + FF312r3rrrr =FF1+ F2+ F3=E由定義Q0Q0Q0Q0= rrrE1 + E2+ E3rr場強疊加原理E = å Eii點電荷系電場中某點場強，等于每個點電荷單獨存在時在該點產生的場強的矢量和Q04.場強的計算點電荷的電場由電荷指向場點PqrFv = 0rv4pe r30r ­­ rrq > 0方向q < 0E由源電荷指向場點大小r ­

4、¯rrE由場點指向源電荷rrE = å Eiiq2點電荷系的電場rP2Ev q= n1qi rv1 å r13i i=1 4pe0 riEv =qrv4pe r30電荷連續(xù)分布帶電體的場強由 dq 指向場點dqrQ0dqv=dErPQrpe r34roìrdV體面線dq = ïsdSíï ldLî場強疊加原理Ey = ò dEyEx = ò dEx分量式rrrrE = Ex i + Ey j + Ez krr1dq vE = òdE =r3 ro例題1求：電偶極子延長線及中垂線上任意點

5、的場強P定義：偶極矩pr = qlr >> lrrq+- q-0 l電偶極子在均勻外電場中受力為零Fv = Fv + Fv = qEv - qEv = 0+F+-F-vvvM = P ´ E力矩r >> l偶極矩rpr = qlq- qPl0-+r1q1q=E=EP+4pel2P-4pel2(r -2(r +2)0012 prE= E- E=P+P-4pePl 2(r 2 -)204r 41q解E = E =+-4pel2r+r2orE+4EE = 2E+ cosq lcosq =2rqlE-E =pe r34rol2+r2- +- q4ql- prrpr =

6、rqlE =4peo re3例2:設有一均勻帶電線，長為L，總帶電量q，線外一點P離開直線垂直距離為a，P點與帶電線兩端之間的夾角分別為q1， q2，求P點場強。dq = ldx ldxl = qvdEqYLdEdEydE = dE cosqdE =x4per2xPadE= dE sin q0yx = a ctg(p -q )= -actgqdx = a csc2 q dqrqqq21xxOdxl cosq dxEx = ò dEx= òLr = a4per20sin ql cosq dx= ò dEx= òEx4pe0r2Ll cosqdq4pe0aq

7、ò=2q1l(sin q- sin q1)=pe24a0òE=dEyyl sin qdq4pe0a=l(cosqqò- cosq=2)4pe a12q1 0dEx = dE cosqdEy = dE sin qx = a ctg(p -q )= -actgqdx = a csc2 q dqr =asin q=l(sinq- sinq )iv +l(cosqEv- cosq ) vj4pe a214pe a1200y22xL Þ ¥p2q2 Þ pq1 Þq2 Þ pq1 Þ 0無限長均勻帶電直線外的場強長

8、帶電線一端Ev = - l iv+ l vj4pe0a4pe0aqq1q1aq例題求均勻帶電圓環(huán)軸線上的場強?？傠娏縬 半徑a。dE/ = dE cosqdE = dE sin qrr= òdE/E = òdEE/adE/xqxLLrdEE = òL dE = 0dEx = lx2paxl2pa dl = ldlò0òcosqE=4pe r34pe r3/4pe r 2r000討論：r = 01） x = 0EEv =qiv（2）x >>a4pex2o（例題求:總電量Q ,半徑R 的均勻帶電圓盤軸線上的場強。× 2prdr

9、 = 2psrdrpR2dEvrxRv_當R >>x無限大均勻帶電平面的場強+E = s i v2eo線電荷密度為的無限長均勻帶電剛性細線，彎成圖示形狀，若半圓弧半徑為R，求O點場強。+l(cosq - cosq ) vjlEv- sinq )iv(sinql=4pe a124pe21a00= -liv +lvjiv -lvjEvEv= -14pe4pe R24pe R4pe RR0000= lRdq= ldlcosqdE = dE cosqcosqx4pe4peR2yR2000llEx = ò dEx= ò 4pecosqdq =R4peE1RE3p2i00O

10、E2= 2E iv =livEvEv = Ev+ Ev+ Ev= 02pe R3x1230曲線上每一點的切線方向與該點的電場方向一致四、定理1、電場線垂直于電場方向示場強的大小。面積上的場線條數表負電荷正電荷一對等量異號電荷的電場線+靜電場中電場線的性質：始于正電荷（或無限遠處），終于負電 荷（或無限遠處），在無電荷處不中斷。不形成閉合曲線。兩條電場線相交。2、電通量F通過S面的總的電場線數稱通過該面的電通量nr rr ­­ nrEF= ESSE1、均勻電場nrrrqrF = ES cosq= E × S2、均勻電場ES3、非均勻電場、任意曲面rrrErSdF =

11、 E ×dSEv × dsvòòsF =：VmvvF = òò E × dss通過閉合曲面的電通量規(guī)定外法線為正向ndS3、定理真空中的靜電場內，通過任意封閉曲面的電通量等于曲面內所包圍電荷電量的代數和除以真空介電常數。= 1 åQ( 分立 )(連續(xù) )eivvFe= òò E × dss01= eò dQ0一個靜止點電荷+q的電場中計算點電荷電場中以點電荷為中心的球面的電通量qvvE =òòFe=E × dsÒS4pe02Evrvsd

12、 Sd = r ×rE d SeqEv ×d Sv =qÒòÒò=×d S+eper240ssq× 4p r2=4per20qe 0q=負點電荷：= -e0以點電荷為球心的任意球面的電通量相等S當球面與S間無電荷時,根據電場線性質:通過球面和通過任意曲面S的電通量相等q+qS ¢= er0+q在閉合面外時，通過該面的電通量為零F= qSe0點電荷q的電場中,當電荷在閉合面S內時通過該面電通量為S對若干點電荷組成的點電荷系：q1 q4q3q2vvq5òò =×d SEÒ

13、;q6esrvÒò=E ×d S +Ò1s= 1 +2+Ln=3 e0結論可推廣到連續(xù)分布帶電體的電場中即:面定理:在真空中，通過任意閉合曲面的電通量等于該曲面內所包圍的自由電荷的代數和除以真空介電常數。定理表明靜電場是有源場，電荷就是靜電場的源。F = 0F < 0Ååqiåqi< 0= 0åqiF > 0> 0有源場靜電場的基本性質之一 =Ev × dsv = Sqi eÒòòes0注意：定理描述的是閉合曲面的通量荷的關系,不是E與所與所荷的關系穿

14、過閉合曲面的電通量只與面內電荷量有關，與S面外電荷無關，與面內電荷如何分布無關。q1 qq3q2 qSqi指面內電荷的代數和。45Sqi= 0 即正確理解定理的數學表示式：Ev × dsv = 0Òòò=的含義es定理中的場強（即面上任一點場強）是空間所有電荷（閉合面內和閉合面外的）激發(fā)的總場強。定理適用于一切靜電場 =Ev × dsv = Sqi eÒòòes04、定理的應用對于具有某種對稱性的電場，用定理求場強簡便。åòò Ev × dsv = SQiQò

15、42;ds ×cosq =iEÒe0e0såQiE =e0 Òòò cos dsa.分析電場的對稱性(球對稱,軸對稱,面對稱);b.選取合適的閉合曲面,所求場點在該面上;c.計算閉合曲面內電荷的代數和及電通量;d.由定理求場強.求電量為Q 、半徑為R的均勻帶電球面的場強分布。例題:源球對稱方向，大小場球對稱rrrEdSSQvEvòòE × ds = i rÅRrr > RF = òò E × dsverÅÅÅÅEE0v=

16、 E òò ds= E × 4pr 2ÅÅÅssQQE =F = 內面4peor2e0F = òò Ev × dsvr < RsE òò ds = E × 4pr=2F = Q內 = 0sE = 0e0Ev =0r < R Qrv3r > R4pe0 r例題:解：求電量為Q 、半徑為R的均勻帶電球體的場強分布。面同心球面3選擇DQQr 3(r < R)(r > R)× 4 pr3= Qr Dve Rv3eF = òò

17、 E × ds =s4 pR3R33ooQ3e oRr=EEòòòòddss = E × 4pr 2ssEQrv(r £ R)(r > R)v4peR3E =voQrrpe r34o0R求電量分別為Q1 及Q2半徑分例題別為R 1 及R2 的均勻帶電同心球面的(r < R )0F = òò Ev × dsvs場強分布。1Q 1(R1<r<R2)e0R 1(r > R2 ) 2 Re o2Q= E òò ds1= E × 4pr 2Q2(r < R )s01Q1(R < r < R )E =4pe r 212o(r > R2 ) 2 4pe r 2o(1- r )例題 求半徑為R電荷分布為 r = r0R的帶電球體的電場分布F = òò Ev × dsv = E × 4pr 2電場仍是球對稱分布= q內e 0rsrrq = ò r 4p r2dr = ò r (1-00R)4p r2drr < RRrr > Ròòq =r 4p r2dr =r (1-)4p r2dr0R0r0r (1- 3r )r