用二分法求方程的近似解

1、授課老師：張晴問(wèn)題問(wèn)題1.1.能否求解以下幾個(gè)方程能否求解以下幾個(gè)方程(1)(1)x x2 2-2-2x x-1=0 -1=0 (2) 2(2) 2x x=4-=4-x x(3)(3)x x3 3+3+3x x-1=0 (4)lgx=3-x -1=0 (4)lgx=3-x 問(wèn)題問(wèn)題2. 2. 不解方程不解方程, ,能否求出方程（能否求出方程（2 2）的近似解？）的近似解？ 指出：指出：用配方法可求得方程用配方法可求得方程x x2 2-2-2x x-1=0-1=0的解，但的解，但此法不能運(yùn)用于解另外兩個(gè)方程。此法不能運(yùn)用于解另外兩個(gè)方程。學(xué)生活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)與討論與討論問(wèn)題問(wèn)題3 3不解方程，如何求

2、方程不解方程，如何求方程x x2 2-2x-1=0-2x-1=0的一個(gè)的一個(gè)正的近似解（精確到正的近似解（精確到0.10.1）? ? xy1 203y=x2-2x-1-1 由此可知：借助函數(shù)由此可知：借助函數(shù)f(x)= x2-2x-1的圖象及其單的圖象及其單調(diào)性，我們發(fā)現(xiàn)調(diào)性，我們發(fā)現(xiàn)f(2)=-10，這表明此函數(shù)，這表明此函數(shù)圖象在區(qū)間圖象在區(qū)間(2,3)上穿過(guò)上穿過(guò)x軸一次，可得出方程在區(qū)間軸一次，可得出方程在區(qū)間(2,3)上有惟一解上有惟一解.畫出畫出y=x2-2x-1的圖象，如圖的圖象，如圖由于由于2.375與與2.4375的近似值都為的近似值都為2.4,停止操作停止操作,所求近似解為

3、所求近似解為2.4。數(shù)離形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)難入微！數(shù)離形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)難入微！ 2-3+xy1203y=x2-2x-1-12-3+2.5+2.25-2.375-2-3+2.25-2.5+2.375-2.4375+2-2.5+3+232.52-3+2.5+2.25-22.52.25解：設(shè)解：設(shè)f f (x)=x(x)=x2 2-2x-1-2x-1，設(shè)，設(shè)x x1 1為其正的零點(diǎn)為其正的零點(diǎn)1 1簡(jiǎn)述上述求方程近似解的過(guò)程簡(jiǎn)述上述求方程近似解的過(guò)程x x1 1(2,3)(2,3) f f(2)0, (2)0(3)0 x x1 1(2,2.5)(2,2.5)f f(2)0, (2)0(2.5)

4、0 x x1 1(2.25,2.5)(2.25,2.5) f f(2.25)0, (2.25)0(2.5)0 x x1 1(2.375,2.5)(2.375,2.5) f f(2.375)0, (2.375)0(2.5)0 x x1 1(2.375,2.4375)(2.375,2.4375) f f(2.375)0, (2.375)0(2.4375)0f f(2.5)=0.250(2.5)=0.250 f f(2.25)= -0.43750(2.25)= -0.43750 f f(2.375)= -0.23510(2.375)= -0.23510(2.4375)= 0.1050 2.3752.

5、375與與2.43752.4375的近似值都是的近似值都是2.42.4xx1 12.42.4 對(duì)于在區(qū)間對(duì)于在區(qū)間 a,ba,b 上連續(xù)不斷，且上連續(xù)不斷，且f f (a) (a)f f (b)0 (b)0的的函數(shù)函數(shù)y y= =f f ( (x x) )，通過(guò)不斷地把函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f f( (x x) )的零點(diǎn)所在的區(qū)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得間一分為二，使區(qū)間的兩端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)到零點(diǎn)( (或?qū)?yīng)方程的根或?qū)?yīng)方程的根) )近似解的方法叫做二分法。近似解的方法叫做二分法。問(wèn)題問(wèn)題5 5：二分法實(shí)質(zhì)是什么？：二分法實(shí)質(zhì)是什么？ 用二分法

6、求方程的近似解，實(shí)質(zhì)上就是通過(guò)用二分法求方程的近似解，實(shí)質(zhì)上就是通過(guò)“取取中點(diǎn)中點(diǎn)”的方法，運(yùn)用的方法，運(yùn)用“逼近思想逐步縮小零點(diǎn)所在的逼近思想逐步縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間。區(qū)間。 1 1 2 2x xy y4 40 04 4y y=2=2x xy y=4-=4-x x1 1怎樣找到它的解所在的區(qū)間呢？怎樣找到它的解所在的區(qū)間呢？在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫函數(shù)y=2y=2x x與與y=4-xy=4-x的圖象，如圖：的圖象，如圖：提問(wèn)：能否不畫圖確定根所在的區(qū)間？提問(wèn)：能否不畫圖確定根所在的區(qū)間？得得: :方程有一個(gè)解方程有一個(gè)解x x0 0 (0,4)(0,4)如果畫得很準(zhǔn)確，可得如果畫得

7、很準(zhǔn)確，可得x x0 0 (1,2)(1,2)解：設(shè)函數(shù)解：設(shè)函數(shù)f f (x)=2(x)=2x x+ +x x-4-4則則f f (x)(x)在在R R上是增函數(shù)上是增函數(shù)f f (0)= -30, (0)= -30(2)=20 f f (x)(x)在在(0,2)(0,2)內(nèi)有惟一零點(diǎn)，內(nèi)有惟一零點(diǎn)， 方程方程2 2x x+x-4 =0+x-4 =0在在(0,2)(0,2)內(nèi)有惟一解內(nèi)有惟一解x x0 0。由由f f (1)= -10, (1)= -10(2)=20得：得：x x0 0(1,2)(1,2)由由f f (1.5)= 0.330, (1.5)= 0.330, f f (1)=-1

8、0(1)=-10得：得：x x0 0(1,1.5)(1,1.5)由由f f (1.25)= -0.370, (1.25)= -0.370(1.5)0得：得：x x0 0(1.25,1.5)(1.25,1.5)由由f f (1.375)= -0.0310, (1.375)= -0.0310(1.5)0得：得：x x0 0(1.375,1.5)(1.375,1.5)由由f f (1.4375)= 0.1460, (1.4375)= 0.1460, f f (1.375)0(1.375)0得：得：x x0 0(1.375,1.4375)(1.375,1.4375) 1.3751.375與與1.437

9、51.4375的近似值都是的近似值都是1.41.4 xx0 01.41.4 問(wèn)題問(wèn)題6 6：能否給出二分法求解方程：能否給出二分法求解方程f f( (x x)=0 )=0 或或g g( (x x)=)=h h( (x)x)近似解的基本步驟？近似解的基本步驟？給定精確度給定精確度 ，用二分法求函數(shù)，用二分法求函數(shù)f f（x x）零點(diǎn)近）零點(diǎn)近似值的步驟如下：似值的步驟如下：1 1 確定區(qū)間確定區(qū)間aa，bb，驗(yàn)證，驗(yàn)證f f（a a）ff（b b）00，給定精，給定精確度確度 。2 2 求區(qū)間（求區(qū)間（a a，b b）的中點(diǎn)）的中點(diǎn)c c。3 3 計(jì)算計(jì)算f f（c c）：）：（1 1）若）若f

10、 f（c c）=0=0，則，則c c就是函數(shù)的零點(diǎn)。就是函數(shù)的零點(diǎn)。（2 2）若）若f f（a a）ff（c c）00，則令，則令b=cb=c。（此時(shí)零點(diǎn)（此時(shí)零點(diǎn)x x0 0（a,ca,c）（3 3）若）若f f（c c）ff（b b）00，則令，則令a=ca=c。（此時(shí)零點(diǎn)（此時(shí)零點(diǎn)x x0 0 （c,bc,b）4 4 判斷是否達(dá)到精確度判斷是否達(dá)到精確度 ：即若：即若|a-b|a-b|，則得到零，則得到零點(diǎn)的近似值點(diǎn)的近似值a a（或（或b b）；否則重復(fù)）；否則重復(fù)2424步。步。 為什么由為什么由|a-b|a-b|，就可以判斷零點(diǎn)的近似值為，就可以判斷零點(diǎn)的近似值為a a（或（或b

11、b）？）？設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為x x0 0 ，所以所以0 x0 x0 0 a b a , a b a , 由于由于| a b | a b |，所以所以| x| x0 0 a | b a , a | b a , 作出數(shù)軸作出數(shù)軸,在數(shù)軸上標(biāo)上在數(shù)軸上標(biāo)上a，b，x0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)：則則ax0b，a b x0- b0 x0 b | | a b | 即即a或或b作為函作為函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)的零點(diǎn)x0的近似值都達(dá)到給定的精確度的近似值都達(dá)到給定的精確度。ax0b練習(xí)練習(xí)1： 求方程求方程x3+3x-1=0的一個(gè)近似解的一個(gè)近似解(精確到精確到 0.01)畫畫y=x3+3x-1的圖象比較困難，的圖象比較困難，變形為變形為x3=1-3x，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象如何？，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象如何？練習(xí)練習(xí)2：求方程：求方程lgx=3-x的一個(gè)的一個(gè)近似解近似解(精確到精確到 0.1)xy10y=1-3xy=x31有惟一解有惟一解x0(0,1)思考題思考題 從上海到美國(guó)舊金山的海底電纜有從上海到美國(guó)舊金山的海底電纜有15個(gè)接點(diǎn)，現(xiàn)在某接點(diǎn)發(fā)生故障，需及時(shí)修個(gè)接點(diǎn)，現(xiàn)在某接點(diǎn)發(fā)生故障，需及時(shí)修理，為了盡快斷定故障發(fā)生點(diǎn)，一般至少理，為了盡快斷定故障發(fā)生點(diǎn)，一般至少需要檢查幾個(gè)接