勾股定理練習題及答案

1、勾股定理課時練（1）1 .在直角三角形 ABC中，斜邊AB=1，則AB2 bc2 AC 2的值是（）A.2B.4C.6D.82 .如圖18 24所示，有一個形狀為直角梯形的零件 ABCD , AD / BC ,斜腰DC的長為10 cm, /D=120 ,則該零件另一腰 AB的長是 cm （結果不取近似值）.3 .直角三角形兩直角邊長分別為5和12,則它斜邊上的高為 .4 .一根旗桿于離地面 12m處斷裂，猶如裝有錢鏈那樣倒向地面，旗桿頂落于離旗桿地步16m,旗桿在斷裂之前高多少 m ?9.如圖，在四邊形 ABCD中，/ A=60° , / B=/ D=90° , BC=Z

2、CD=3 求 AB 的長.第9題圖10.如圖，一個牧童在小河的南 4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋 B的西8km北7km處, 他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？5.如圖，如下圖，今年的冰雪災害中，一棵大樹在離地面 米處，那么這棵樹折斷之前的高度是 米.3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部第5題圖11如圖，某會展中心在會展期間準備將高5m,長13m,寬2m的樓道上鋪地毯，已知地毯平方米18元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要多少元錢6.飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩子頭頂正上方4000米處，過了 20秒，飛機距離這個男孩頭頂500

3、0米，求飛機每小時飛行多少千米 ？7.如圖所示，無蓋玻璃容器，高 18cm ,底面周長為60cm ,在外側距下底1cm的點C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的容器的上口外側距開口1 cm的f處有一蒼蠅，試求急于撲貨蒼蠅充饑的蜘蛛，12.甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，沒有了水，需要尋找水源.為了不致于走散，他們用兩部對話機聯系，已知對話機的有效距離為15千米.早晨8: 00甲先出發(fā)，他以6千米/時的速度向東行走，1小時后乙出發(fā)，他以 5千米/時的速度向北行進，上午 10: 00,甲、乙二人相距多遠？ 還能保持聯系嗎？所走的最短路線的長度8. 一個零件的形狀如圖所示，已知AC=3cm , AB=4cm ,

4、 BD=12cm 。求CD的長.第8題圖9 .解：延長BC AD交于點E.(如圖所示)./B=90° , / A=60° ,E=30° 又CD=3 ： CE=6 ： BE=8,8設 AB=X，貝 U AE=2X,由勾股定理。得(2X)2 X282 x -3，310 .如圖，作出A點關于MN的對稱點A',連接A' B交MN于點P,22-V122 52 m69 13 ,再利第一課時答案:22.2221 .A,提示：根據勾股定理得BC AC 1,所以ab BC AC =1+1=2；2 .4 ,提示：由勾股定理可得斜邊的長為5m ,而3+4-5=2 m ,

5、所以他們少走了 4步.3 . 60，提示：設斜邊的高為 X,根據勾股定理求斜邊為13用面積法得，1 5 12 1 13 x,x 60; 22134 .解：依題意，AB=16 m , AC=12 m ,在直角三角形ABC中，由勾股定理，2_2_2_2_22BC AB AC 161220 ,所以 BC=20 m ,20+12=32( m ),故旗桿在斷裂之前有 32 m高.5 .86 .解：如圖，由題意得，AC=4000米，/C=90° ,AB=5000米，由勾股定理得bc=50002 400023000 (米),所以飛機飛行的速度為 一嘉一 540(千米/小時)36007 .解：將曲線

6、沿 AB展開，如圖所示，過點 C作CEL AB于E.在 Rt CEF, CEF 90 , ef=i8-i-i=16 (cm),1CE= 30( cm),2 . 60由勾股定理，得 cf= CE2 EF 2302 162 34(cm)8解：在直角三角形 ABC中，根據勾股定理，得BC2 AC2 AB232 4225在直角三角形 CBD中，根據勾股定理，得 CD=BC+BD=25+1T=169,所以CD=13.勾股定理的逆定理（2）一、選擇題1.下列各組數據中，不能作為直角三角形三邊長的是（）A.9, 12, 15 B. 5 3C.0.2, 0.3, 0.4 D.40, 41, 9- 1, 一 4

7、42 .滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三個內角比為1 ： 2 ： 1B.三邊之比為1 ： 2 ： <5C.三邊之比為 J3 ： 2 ： <5 D.三個內角比為1 ： 2 ： 33 .已知三角形兩邊長為2和6,要使這個三角形為直角三角形，則第三邊的長為（）A. .2 B. 2 10 C. 41/2或2<Tg D.以上都不對4 .五根小木棒，其長度分別為 7, 15, 20, 24, 25,現將他們擺成兩個直角三角形，其中正確的 是（）8 .在三角形 ABC中，AB=12cm , AC=5cm , BC=13cm ,貝U BC邊上的高為 AD=cm .三、解答

8、題9 .如圖，已知四邊形 ABCD 中，/ B=90° , AB=3, BC=4, CD=12 , AD=13,求四邊形 ABCD 的 面積.10 .場網,E、F分別是正贏"ABCD中BC和CD邊上的點，且 AB=4,>口第9題圖CE=BC F為CD的中點，連接 AF、AE,ABCD二、填空題5 . ABC的三邊分別是7、24、25,則三角形的最大內角的度數是.6 .三邊為9、12、15的三角形，其面積為.7 .已知三角形abc的三邊長為a,b,c滿足a b 10ab 18, c 8,則此三角形為 三角形.11 .如圖，AB為一棵大樹，在樹上距地面10m的D處有兩只猴

9、子，它們同時發(fā)現地面上的 C處有 一筐水果，一只猴子從 D處上爬到樹頂 A處，利用拉在 A處的?t繩AC,滑到C處，另一只猴子從D處滑到地面B,再由B跑到C,已知兩猴子所經路程都是 15m,求樹高AB.1 1-12 5 13 AD ;2 2三、9.解：連接AC,在RtAABC中，AC2=AB2+ BC2=32+42=25 ,: AC=5.在4ACD 中，: AC2 + CD2=25+ 122=169,而 AB2=132=169,AC2+ CD2=AB2,/ACD=90° .11 一故 Shw abcd=Saabc+ Saacd= AB BC+ ACCD=- X3X 4 + -22X

10、5X 12=6+ 30=36.12 .如圖，為修通鐵路鑿通隧道AC,量出/ A=40°/B= 50°,AB= 5公里,BC= 4公里，若每天鑿隧道0.3公里，問幾天才能把隧道 AB鑿通？10 .解：由勾月定理得 AE2=25, EF2=5,AF2=20,AE2= EF2 +AF2,.AEF是直角三角形11 .設 AD=x 米，貝U AB 為(10+x)米，AC 為(15-x)米，BC 為 5 米，：(x+10) 2+52=( 15-x)2,解 得 x=2,10+x=12 (米)12 .解：第七組，a 2 7 1 15, b 2 7 (7 1) 112,c 112 1 113

11、.第 n 組，a 2n 1,b2n(n 1),c 2n(n 1) 113 .2勾股定理的逆定理答案：一、1.C;2.C;3.C,提示：當已經給出的兩邊分別為直角邊時，第三邊為斜邊 =22 622 10;當6為斜邊時，第三邊為直角邊=,62 22 4J2 ； 4. C ；二、5.90。提示：根據勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的內角為190 .6.54 ,提不：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面積為 一 9 1254.72直角，提示：2222222(a b)100，得ab 2ab 100, a b 100 2 18 64 8 c ;60138.,提不：先根據勾股定理逆定理判

12、斷三角形是直角三角形，再利用面積法求得勾股定理的逆定理（3）求證：4ABC是直角三角形、基礎鞏固1 .滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（.）A.三內角之比為 1 ： 2 ： 3B.三邊長的平方之比為 1 ： 2 ： 3C.三邊長之比為 3 ： 4 ： 5D.三內角之比為 3 ： 4 ： 52 .如圖18 24所示，有一個形狀為直角梯形的零件 ABCD , AD / BC ,斜腰DC的長為10 cm, /D=120 ,則該零件另一腰 AB的長是 cm （結果不取近似值）.f L 區(qū)圖 18k,圖 18 2-5圖 182 63 .如圖18- 2 5,以RtAABC的三邊為邊向外作正方形，

13、其面積分別為S1、S2、S3,且S1=4,S2=8 ,則AB的長為.4 .如圖18- 2 6,已知正方形 ABCD的邊長為4, E為AB中點，F為AD上的一點，且AF=1AD,4試判斷 EFC的形狀.圖 18 289 .如圖182 9所示，在平面直角坐標系中， 點A、B的坐標分別為 A （3, 1）,B （2, 4）, A OAB 是直角三角形嗎？借助于網格，證明你的結論.圖 18 2910 .已知：在 4ABC 中，/ A、/ B、/C 的對邊分別是 a、b、c,滿足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷AABC的形狀.5 .一個零件的形狀如圖 182 7,按規(guī)定這個零件

14、中/ A與/ BDC都應為直角，工人師傅量得零 件各邊尺寸：AD=4 , AB=3,BD=5 , DC=12 , BC=13 ,這個零件符合要求嗎？圖 18 276 .已知4ABC的三邊分別為k2- 1, 2k, k2+1 （k>1）,求證： ABC是直角三角形 12.已知：如圖 18 210,四邊形 ABCD, AD / BC, AB=4 , BC=6 , CD=5 , AD=3. 求：四邊形 ABCD的面積.2-10二、綜合應用7 .已知a、b、c是RtABC的三 邊長，AAiBiCi的三邊長分別是 2a、2b、2c,那么AAiBiCi是直 角三角形嗎？為什么？8 .已知：如圖18

15、2 8,在4ABC中，CD是AB邊上的高，且 CD2=AD-BD.參考答案一、基礎鞏固1 .滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（-）A.三內角之比為1 ： 2 ： 3B.三邊長的平方之比為 1 ： 2 ： 3C.三邊長之比為 3 ： 4 ： 5D.三內角之比為 3 ： 4 ： 5思路分析：判斷一個三角形是否是直角三角形有以下方法：有一個角是直角或兩銳角互余;兩邊的平方和等于第三邊的平方；一邊的中線等于這條邊的一半由A得有一個角是直角；B、C滿足勾股定理的逆定理，所以.應選D.答案：D2 .如圖18 24所示，有一個形狀為直角梯形的零件 ABCD , AD / BC ,斜腰DC的長為10

16、 cm, /D=120 ,則該零件另一腰 AB的長是 cm (結果不取近似值).A f>Qw E C圖 18.2 4解：過D點作DE / AB交BC于E,則公DEC是直角三角形.四邊形ABED是矩形，.AB=DE.,:/ D=120 , ： / CDE=30 .又在直角三角形中，30°所對的直角邊等于余邊的一半，：CE=5 cm.根據勾股定理的逆定理得，DE= .102 525. 3 cm.AB= 102 525 /3 cm.3 .如圖18- 2 5,以RtAABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為 S1、S2、S3,且S=4, S2=8 ,則AB的長為.圖 182 5圖 1

17、8 2 6思路分析：因為 ABC 是 RtA,所以 BC2+AC2=AB2,即 S1+S2=S3,所以 S3=12,因為 S3=AB2,所以 AB= S312 2 3.答案：2.34 .如圖18- 2 6,已知正方形 ABCD的邊長為4,E為AB中點，F為AD上的一點，且AF= 1AD ,4解： E 為 AB 中點，BE=2.CE2=BE 2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=ae 2+AF 2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25. ce2+ef2=cf2,.EFC是以/ CEF為直角的直角三角形.5 .一個零件的形狀如圖 18- 2 7,按規(guī)定這個零件中/

18、A與/ BDC都應為直角，工人師傅量得零 件各邊尺寸：AD=4, AB=3,BD=5 , DC=12 , BC=13 ,這個零件符合要求嗎？思路分析：要檢驗這個零件是否符合要求， 只要判斷r7ADB和4DBC是否為直角三角形即可，這樣勾股定理的逆定理就可派上用場了.解：在 ABD 中，AB2+AD 2=32+42=9+16=25=BD 2,所以 ABD 為直角三角形，/ A =90°.在 BDC中，BD2+DC 2=52+122=25+144=169=13 2=BC 2.所以 BDC是直角三角形，/ CDB =90 .因此這個零件符合要求.6 .已知4ABC的三邊分別為k2-1, 2

19、k, k2+1 (k>1),求證： ABC是直角三角形.思路分析：根據題意，只要判斷三邊之間的關系符合勾股定理的逆定理即可證明：: k2+1>k21,k2+1 2k=(k 1)2>0,即 k2+1>2k, ： k2+1 是最長邊.:(k2 1)2+(2k)2=k4 2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2, .ABC是直角三角形.二、綜合應用7 .已知a、b、c是RtABC的三邊長，AAiBiCi的三邊長分別是 2a、2b、2c,那么AAiBiCi是直 角三角形嗎？為什么？思路分析：如果將直角三角形的三條邊長同時擴大一個相同的倍數，得到的三角形還是直角三角形

20、(例2已證).解：略8 .已知：如圖182 8,在4ABC中，CD是AB邊上的高，且 CD2=AD-BD.求證：4ABC是直角三角形.試判斷 EFC的形狀.思路分析：分別計算EF、CE、CF的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷即可它們的面積分別為”daMM=6Qdbc312.22圖 18 2 8思路分析：根據題意，只要判斷三邊符合勾股定理的逆定理即可證明：AC2=AD2+CD2, BC2=CD2+BD2,-AC 2+BC2=AD 2+2CD2+BD2=AD 2+2AD - BD+BD 2=(AD+BD ) 2=AB2.ABC是直角三角形.9 .如圖18- 2-9所示，在平面直角坐標系中， 點A、

21、B的坐標分別為 A (3, 1), B (2,4), OAB 是直角三角形嗎？借助于網格，證明你的結論.圖 18 2 9思路分析：借助于網格，利用勾股定理分別計算OA、AB、OB的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷 OAB是否是直角三角形即可.解： OA2=oa 12+a 1 a2=32+1 2=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB 2=AC2+BC2=12+32=10, oa2+ab 2=O B2.OAB是以OB為斜邊的等腰直角三角形 m10 .閱讀下列解題過程：已知a、b、c為AABC的三邊，且滿足 a2c2 b2c2=a4 - b4,試判斷ABC的形狀.解：a2c2b2

22、c2=a4 b4, (A) ： c2(a2 b2)=(a2+b2)(a2 b2), (B) ：c2=a2+b2, (C)- -AABC 是直 角三角形.問：上述解題過程是從哪一步開始出現錯誤的？請寫出該步的代號 ;錯誤的原因是廠;本題的正確結論是.思路分析：做這種類型的題目，首先要認真審題，特別是題目中隱含的條件，本題錯在忽視 了a有可能等于b這一條件，從而得出的結論不全面.答案：(B)沒有考慮a=b這種可能，當a=b時 ABC是等腰三角形；ABC是等腰 三角形或直角三角形.11 .已知：在 4ABC 中，/ A、/ B、/ C 的對邊分別是 a、b、c,滿足 a2+b2+c2+338=10a

23、+24b+26c. 試判斷AABC的形狀.思路分析：(1)移項，配成三個完全平方；(2)三個非負數的和為0,則都為0; (3)已知a、b、c,利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀為直角三角形解：由已知可得 a2- 10a+25+b2 24b+144+c226c+169=0,配方并化簡得，(a5)2+(b 12)2+(c 13)2=0. (a 5)2> 0,(b- 12)2> 0,(e- 13)2> 0.a- 5=0,b-12=0,c- 13=0.解彳a a=5,b=12,c=13.又 丁 a2+b2=169=c2,.ABC是直角三角形.12 .已知：如圖 18 210,四邊形

24、 ABCD , AD / BC, AB=4 , BC=6 , CD=5, AD=3.求：四邊形ABCD的面積.圖 18 2 10思路分析：(1)作DE/AB,連結BD,則可以證明 AABD AEDB (ASA);(2)DE=AB=4 , BE=AD=3 , EC=EB=3; (3)在 DEC 中，3、4、5 為勾股數， DEC 為直角三角形，DELBC; (4)利用梯形面積公式，或利用三角形的面積可解.解：作DE/AB,連結BD,則可以證明 AABD EDB (ASA),DE=AB=4 , BE=AD=3.BC=6, EC=EB=3.DE2+CE2=32+42=25=CD 2,.DEC為直角三

25、角形.又 EC=EB=3,： DBC為等腰三角形，DB=DC=5.在 ABDA 中 AD2+AB2=32+42=25=BD2, .ABDA是直角三角形.*,- S 四邊形 abcd =Sabda +Sadbc=6+12=18.6.如圖，在 RtAB計，/ ACB=90 , CD，AB, BC=Q AC=8, 求 AB、CD的長勾股定理的應用（4）1.三個半圓的面積分別為S1=4.5無，&=8無，S3=12.5無，把三個半圓拼成如圖所示的圖形，則 ABC一定是直角三角形嗎？說明理由。2.求知中學有一塊四邊形的空地 ABCD如下圖所示，學校計劃在空地上種植草皮，經測量/ A=90。， AB

26、=3m BC=12m CD=13m DA=4m若每平方米草皮需要 200天，問學校需要投入多少資金買草皮？7.在數軸上畫出表示 V17的點（不寫作法，但要保留畫圖痕跡）F 處，已知 AB=8cmBC=10cm3. （12分）如圖所示，折疊矩形的一邊 AD,使點D落在BC邊上的點 求EC的長。8.已知如圖，四邊形 ABCD 中，/ B=90° , AB=4, BC=3 CD=1Z AD=13求這個四邊形的面積4.如圖，一個牧童在小河的南 4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少?9.如圖，每

27、個小方格的邊長都為1 .求圖中格點四邊形 ABCD的面積。今東5. （8分）觀察下列各式，你有什么發(fā)現？32=4+5, 52=12+13, 72=24+25 9 2=40+41這到底是巧合，還是有什么規(guī)律蘊涵其中呢?(1)填空：132 =（2）請寫出你發(fā)現的規(guī)律。（3）結合勾股定理有關知識，說明你的結論的正確性。勾股定理復習題（5）一、填空、選擇題題：3.有一個邊長為5米的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少為（米。4、一旗桿離地面6米處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部8米處，則旗桿折斷之前的高度是()米。6、在4ABC中，/ C=90° ,AB=10。(1)若/ A=3

28、0°，則 BC=, AC=。 (2)若/ A=45° 貝U BC=, AC=。8、在 ABC中，/ C=90° , AC=0.9cm,BC=1.2cm.則斜邊上的高 CD= m19、有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面。水的深度與這根蘆葦的長度分別是多少？22.11、二角形的二邊a b c ,滿足(a b) c 2ab,則此三角形是 三角形。12、小明向東走80米后，沿另一方向又走了 60米，再沿第三個方向走 100米回到原地。小明向 東走80米后又向 方向

29、走的。13、 ABC 中，AB=13cm ,BC=10cm , BC邊上的中線 AD=12cnmW AC 的長為cm14、兩人從同一地點同時出發(fā)，一人以3米/秒的速度向北直行，一人以4米/秒的速度向東直行,5秒鐘后他們相距 米.15、寫出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？兩直線平行，內錯角相等。 ()如果兩個實數相等，那么它們的平方相等。 ( )2. 2右 a b ,貝1J a=b()全等三角形的對應角相等。 ()角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。( )16、下列各組線段組成的三角形不是直角三角形的是()(A)a=15 b=8 c=17 (B) a:b:c=1: 3 : 2(C) a=2 b= c= (D) a=13 b=14 c=155517、若一個三角形的三邊長為 6,8,x,則使此三角形是直角三角形的x的值是().A.8B.10 C.J28D.10 或 ,2818、下列各命題的逆命題不成立的是 ()A.兩直線平行，同旁內角互補 B.若兩個數的絕對值相等，則這兩個數相等22C.對頂角相等D. 如果a=b或a+b=0,那么a b20、一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處.折斷處離地面的高度是多少 ？(其中丈、尺是長度單位,1丈=10尺)21、某港口位于東西方向的海岸線上?！斑h航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固