雙星三星四星問題

1、雙星模型、三星模型、四星模型一、雙星問題1 .模型構(gòu)建：在天體運動中，將兩顆彼此相距較近，且在相互之間萬有引力作用下繞兩者連線上的某點做角速度、 周期相同的勻速圓周運動的恒星稱為雙星。2 .模型條件：(1)兩顆星彼此相距較近。(2)兩顆星靠相互之間的萬有引力提供向心力做勻速圓周運動。(3)兩顆星繞同一圓心做圓周運動。3.模型特點：(1)“向心力等大反向”一一兩顆星做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供。(2)周期、角速度相同”一一兩顆恒星做勻速圓周運動的周期、角速度相等。(3)三個反比關(guān)系： m=mr2； mvi=mv2； mai=ma2推導(dǎo)：根據(jù)兩球的向心力大小相等可得，mco2ri

2、 = mw2r2,即mri = m2；等式mri = mr?兩邊同乘以角速度 3,得mrico=mr23,即 mvi=mv2；由 m3 2ri=m32r2直接可得， mai = maz。(4)巧妙求質(zhì)量和： GmMmc/ri粵=m32r2由十得：G m； m =O2L-m+m=-LLLLG4.解答雙星問題應(yīng)注意“兩等” “兩不等”(1) “兩等”：它們的角速度相等。 雙星做勻速圓周運動向心力由它們之間的萬有引力提供，即它們受到的向心力大小總是相等。(2) “兩不等”：雙星做勻速圓周運動的圓心是它們連線上的一點，所以雙星做勻速圓周運動的半徑與雙星間的距離是不相等的，它 們的軌道半徑之和才等于它們

3、間的距離。由m32ri=mco2r2知由于m與m一般不相等，故ri與一般也不相等。二、多星模型(i)定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同.(2)三星模型：三顆星位于同一直線上，兩顆環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示).三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示).(3)四星模型：其中一種是四顆質(zhì)量相等的恒星位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙).另一種是三顆恒星始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心 O外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示).三、衛(wèi)星的

4、追及相遇問題i、某星體的兩顆衛(wèi)星從相距最近到再次相距最近遵從的規(guī)律:2天的整數(shù)倍。內(nèi)軌道衛(wèi)星所轉(zhuǎn)過的圓心角與外軌道衛(wèi)星所轉(zhuǎn)過的圓心角之差為2、某星體的兩顆衛(wèi)星從相距最近到相距最遠遵從的規(guī)律:內(nèi)軌道衛(wèi)星所轉(zhuǎn)過的圓心角與外軌道衛(wèi)星所轉(zhuǎn)過的圓心角之差為%的奇數(shù)倍。3、對于天體追及問題的處理思路:(1)根據(jù)G"mmrco 2,可判斷出誰的角速度大;(2)根據(jù)兩星追上或相距最近時滿足兩星運行的角度差等于2元的整數(shù)倍，相距最遠時，兩星運行的角度差等于無的奇數(shù)倍。在與地球上物體追及時，要根據(jù)地球上物體與同步衛(wèi)星角速度相同的特點進行判斷。天體物理中的雙星，三星，四星，多星系統(tǒng)是自然的天文現(xiàn)象，天體之

5、間的相互作用遵循萬有引力的規(guī)律,F F ,作用力的方向在雙他們的運動規(guī)律也同樣遵循開普勒行星運動的三條基本規(guī)律。雙星、三星系統(tǒng)的等效質(zhì)量的計算，運行周期的計算 等都是以萬有引力提供向心力為出發(fā)點的。雙星系統(tǒng)的引力作用遵循牛頓第三定律: 星間的連線上，角速度相等,【例題1】天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運動特征可推算出它們的總質(zhì)量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，周期均為T,兩顆恒星之間的距離為 r ,試推算這個雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。(引力常量為G)【解析】：設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別

6、為m、口，做圓周運動的半徑分別為r 2,角速度分別為3 1、3 2。根據(jù)題意有r r ri 12根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律,m1m2r22miwi ri2miw2i聯(lián)立以上各式解得rimim2m2r根據(jù)解速度與周期的關(guān)系知聯(lián)立式解得mi m2T2【例題2】神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律.天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了 LMCX3可見星A和不可見的暗星 B構(gòu)成，兩星視為質(zhì)點，不考慮其他天體的影響.A、方案之一是觀測雙星系統(tǒng)，它由B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖4-2所示.引力常量為G,由觀測能夠得到可見星 A

7、的速率v和運行周期T.(1)可見星A所受暗星B的引力Fa可等效為位于 。點處質(zhì)量為 m'的星體(視為質(zhì)點)對它的引力，設(shè) A和B的質(zhì)量 分別為m、n2,試求m'(用m、m2表示).(2)求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率v、運行周期T和質(zhì)量m之間的關(guān)系式；(3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量m的2倍，它將有可能成為黑洞.若可見星A的速率v=xi0 5 m/s,運行周期丁=兀X104s,質(zhì)量m=6m,試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎解析：設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為 小%,由題意知，A、定律，有 Fa m1 2r1，F(xiàn)b m22r2 , FA FB設(shè)A、B間距離為廣，則

8、r r1 r2由以上各式解得r m1_Enm2B做勻速圓周運動的角速度相同，設(shè)其為 韶。由牛頓運動(G=X 10 -11 N - m2/kg2, m,= X 1030 kg)3m7 一、2 2(m1 m2) r1由萬有引力定律，有Fa G mm2，代入廣得Fa r3令FaGmm，通過比較得m 32I(N m?)2(2)由牛頓第二定律，有 G mm2 m1 r1而可見星A的軌道半徑r12,33將卜樓代入上式解得一m2- 乂工(m1 m2)22 G(3)將m1 6ms代入上式得3m2(6ms、2m2)v3T2-G代入數(shù)據(jù)得3m2(6ms m2)23.5ms設(shè)m2 nms(n 0),將其代入上式得m

9、2 3(6msm2(6nn ms3.5ms1)2m2 3(6 msm2(6nn ms 3.5ms1)2可見,3m2(6 ms2m2)的值隨理的增大而增大，試令 n2,n(6 nms 1)20.125ms 3.4ms可見,若使以上等式成立，則 依必大于2,即暗星B的質(zhì)量ms必大于2ms,由此可得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞?！纠}3】天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星，它們在萬有引力作用下間距始終保持不變，并沿半徑不同的同心軌道作勻速園周運動，設(shè)雙星間距為L,質(zhì)量分別為M、M,試計算(1)雙星的軌道半徑(2)雙星運動的周期。15.解析：雙星繞兩者連線上某點做勻速圓周運動，即:八 M1M

10、2gt22MiLiM2L2.L1 L2 L由以上兩式可得:_L, M1 M2L2M2 LMi M2M1M2又由G ，2L2得:T 2L；G(M1 M2)2LL3【例題4】我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星.某雙星由質(zhì)量不等的星體 S和S2構(gòu)成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動.由天文觀察測得其運動周期為T,Si到C點的距離為ri,Si和S2的距離為r,已知引力常量為G.由此可求出S2的質(zhì)量為A.2 2.、4冗 r (rri)GT2B.2 34tt riGT22 2D. 41GT2答案：D解析雙星的運動周期是一樣的，選S為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力

11、定律得Gmimi24u2nttzmiri 升，貝U m2=r2T22 24 tt rriGT2.故正確選項 D正確.【例題5】如右圖，質(zhì)量分別為 m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞。點做勻速周運動,星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和。三點始終共線，A和B分別在。的兩側(cè)。引力常數(shù)求兩星球做圓周運動的周期。 在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響， 可以將月球和地球看成上述星球 A和B,月球繞其軌道中心運行為的周期記為Tio但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期Tao已知地球和月球的質(zhì)量分別為X10 24kg 和 xi022kg。求T2與兩者平方之

12、比。（結(jié)果保留 3位小數(shù)）L3G(M m)【解析】 A和B繞。做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供向心力，則A和B的向心力相等。且 A和B和。始終共線，說明 A和B有相同的角速度和周期。因此有m 2rM 2R, r R L ,連立解得對A根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得R L , r m MGMm 2 、2下化簡得 T 2L3,G(M m)將地月看成雙星，由得 Ti 2L3,G(M m)將月球看作繞地心做圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得GMm ,m(L化簡得GM2422所以兩種周期的平方比值為(尹mM-.5.98 10241.01【例題6】【2012?江西聯(lián)考】如右圖，三個質(zhì)點a、

13、b、c質(zhì)量分別為 m、口、M (M>m, M>nt)。在c的萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動，它們的周從圖示位置開始，在 b運動一周的過程中，則 ()A. a、b距離最近的次數(shù)為 k次期之比 Ta ： Tb=1 ： k;B. a、b距離最近的次數(shù)為k+1次C. a、b、c共線的次數(shù)為2kD. a、b、c共線的次數(shù)為 2k-2【解析】在b轉(zhuǎn)動一周過程中，a、b距離最遠的次數(shù)為 k-1次，a、b距離最近的次數(shù)為 k-1次，故a、b、c共線的次數(shù)為2k-2 ,選項D正確?！纠}7】宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略

14、其他星體對它們的引力作用.已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上 ，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為 R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行.設(shè)每個星體的質(zhì)量均為 m.(1)試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期(2)假設(shè)兩種形式下星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少答案(1) “5GmR4 J-R(2)(必)2R5Gm5解析(1)對于第一種運動情況，以某個運動星體為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有F1=Gm2R2F2Gm22(2R)2一 一 2 F1+F2=mv/R一 5G

15、mR運動星體的線速度:v =2R周期為T,則有T=2小T4 ; R3,由力的合成和牛頓運動定律有:15Gm(2)設(shè)第二種形式星體之間的距離為r,則三個星體做圓周運動的半徑為R - r/2 R = cos 30由于星體做圓周運動所需要的向心力靠其它兩個星體的萬有引力的合力提供匚-Gm2F 合=2 2cos30r244冗，F(xiàn)合=m廠RT2112 k所以 r= ()3R5【例題8】(2012?湖北百校聯(lián)考)宇宙中存在由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，四星系統(tǒng)離其他恒星較遠，通?？珊雎云渌求w對四星系統(tǒng)的引力作用.已觀測到穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，其運動周期為 箝；另一種形式是有三顆星位于邊長為 a的等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，其運動周期為而第四顆星剛好位