湖北隨州二中2004-2005年高考數學模擬題

1、.專題資料4： 排列、組合、概率復習建議 排列、組合、概率是高中數學教材中的一個相對獨立且難度較大的一章.其思想方法較為獨特，且又多以實際問題為模型，是培養(yǎng)抽象思維能力和邏輯思維能力的好素材.一下就幾個要點，對同學們的復習談一點建議： 1分清排列、組合這兩個概念共同點都是指從n個不同元素中進行不重復抽取的情況.分清一個具體問題是排列問題還是組合問題的關鍵在于看從n個不同元素取出m（mn）個元素是否與順序有關，有序就是排列問題，無序則屬于組合問題.例1.某街道有十只路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只，在兩端的燈也不能關掉的情況下，求滿足條件的關燈方法有多

2、少種？解：問題等價于在七只亮著的路燈產生的六個空檔中放入三只熄掉的路燈，因此滿足條件的關燈方法有C種. 例2.有7名同學排成一排，甲同學最高，排在中間，其它六名同學身高不相等，甲的左邊和右邊以身高為準，有高到低排列，共有排法總數是 分析：此問題相當于求六個元素中取出三個元素的組合數. 所以滿足條件的排法有：例3.從12名隊員中組隊打籃球比賽，要求其中一隊的年齡最小的隊員也比另一隊中年齡最大的隊員要大，問有多少種不同的組隊方法? 分析：從12名隊員中選兩名觀戰(zhàn)的每一種選法，對應著一種組隊方法:=66例4. 從0，1，9這十個數字中任取3個組成沒有重復數字的三位數，且要求百位數大于十位數，十位數大

3、于個位數，這樣的三位數有多少個？分析：任取3個數，按題意，就有一種順序，如果選上0，也是最小的，放在個位.因此，這樣的三位數有個.例5.從2，3，5，7四個數中任取不同的兩數，分別作對數的底數和真數問：（1）可得多少個不同的對數值？（2）可得多少個大于1的對數值？分析：（1）與順序有關，是排列問題.；(2) 與順序無關，是組合問題.2分清兩個原理掌握分類計數原理和分步計數原理是復習好本章的基礎.其應用貫穿于本章的始終.正確運用兩個原理的關鍵在于： 首先要搞清完成的是怎樣的“一件事”例6.（1）4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？分析：（1）要完成的是“4名同學

4、每人從三個項目中選報一項報名”這件事，因為每人必報一項，四人都報完才算完成，于是應按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有：3×3×3×3=34=81種報名方法.（2）4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍，共有多少種可能的結果？分析：完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事，因為每項冠軍只能有一人獲得，三項冠軍都有得主，這件事才算完成，于是應以“確定三項冠軍得主”為線索進行分步.而每項冠軍是四人中的某一人，有4種可能情況，于是共有4×4×4=43=64種可能的情況.例7.乘積（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(

5、c1+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項？分析：因為展開后的每一項為第一個括號中的一個，第二括號中的一個與第三個括號中的一個的乘積，所以應分三步m1=3,m2=4,m3=5，于是展開后共有m1×m2×m3=3×4×5=60項.例8.有4部車床，需加工3個不同的零件，其不同的安排方法有（ ）A.34B.43 C.AD.44分析：事件為“加工3個零件”，每個零件都加工完這件事就算完成，應以“每個零件”分步，共3步，而每個零件能在四部車床中的任一臺上加工，所以有4種方法，于是安排方法為4×4×4=43=64種，故選B.例9. 5名同學

6、去聽同時進行的4個課外知識講座，每個同學可自由選擇，則不同的選擇種數是（ ） A.54B.45 C.5×4×3×2D.分析：因為5名同學都去聽講座，這件事才能完成，所以應以同學進行分步，又因為講座是同時進行的，每個同學只能選其中一個講座來聽，于是有4種選擇，當完成時共有4×4×4×4×4=45種不同的選法，故選B.例10設集合A=，B=，則從A集到B集所有不同映射的個數是（ ）A.81B.64 C.12D.以上都不正確分析：因映射為從A到B，所以A中每一元素在B中應有一元素與之對應，也就是A中所有元素在B中都有象，因此，應按

7、A中元素分為4步，而對于A中每一元素，可與B中任一元素對應，于是不同對應個數應為3×3×3×3=34=81，故選A. 明確事件需要“分類”還是“分步”例11 用1,5,9,13任意一個數做分子，4，8，12，16中任意一個數作分母，可構造多少個不同的分數？可構造多少個不同的真分數？解：由分步計數原理，可構造N=44=16個不同的分數由分類計數原理，可構造N=4+3+2+1=10個不同的真分數“分類”是要注意“類”與“類”之間的獨立性和并列性.“分步”時要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性.例12小李有10個朋友，其中兩人是夫妻，他準備邀請其中4人到家中吃飯，這對夫妻或

8、者都邀請，或者都不邀請，有幾種請客方法?解：請客方法以“這對夫妻是否被邀請”可分兩類：(1)請其中的夫妻二人，則還須從余下的8人中選請2個，有種方法.(2)不請其中的夫妻二人，則應從其余的8人中選請4人，有種方法.由分類計數原理請客方法共有98種.例13.有10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求各有多少種情況出現如下結果.（1） 4只鞋子沒有成雙的；(2)4只鞋中有2只成雙，另兩支不成雙. 解：（1）從10雙鞋子中選取4雙，有種不同選法；在再每雙鞋子中各取一只，分別有取法，根據乘法原理，選取種數為：N=3360（種） （2）方法一：先選取一雙有種選法，再從9雙鞋種選取2雙

9、鞋有種選法，每雙鞋各取一只，有種選法，根據乘法原理，選取種數為：N=1140（種）方法二：先選取一雙有種選法，再從18只鞋中選取2只鞋有，而其中成雙的可能性有9種，根據乘法原理，選取種數為：N=（-9）例14. 有紅、藍、綠三種顏色的卡片，每種顏色均有A、B、C、D、E字母的各一張，現每次取出四張，要求字母各不相同，三種顏色齊備，問有多少種不同的取法? 分析：每次取出四張，所以有一種顏色的卡片取兩張，這種顏色的取法數有，確定了顏色之后，再在這種顏色里取兩個字母，方法數有；最后，在剩下的兩種顏色的卡片及每種顏色下的三個字母中分別取一個，方法數有： 故N=例15 如圖，是高考第一批錄取的一分志愿表

10、，現有4所重點院校，每所院校有3個專業(yè)供你選報.如果此表格需填滿，且要求所選的學校不許重復，所選的同一院校的專業(yè)也不許重復，那么滿足以上條件的填寫的不同的方法共有 學校專業(yè)1專業(yè)2()12()12()12 解：(按行填) 或 （按列填） 3關于古典概率的計算古典概率有兩個特點：（1） 做一次試驗，可能出現的結果是有限個.(2)每次試驗中，每種試驗結果出現的可能性是等同的.也就是說：古典概率不僅要求基本事件總數有限，更重要的是要求每個基本事件的概率相同.一般我們總是根據某種對稱性來判斷基本事件出現的等可能性，再直接應用公式P(A)=m/n來計算P(A).在古典概率的計算中，問題的焦點有兩個：一是

11、：如何選取基本事件，另一個是：計數，即公式中的分母n、分子m的計算. 基本事件選法的不同，會引起計數上的差異.計算概率的方法可以不同，但我們必須遵循的原則是：一是保證基本事件的等可能性；一是所涉及事件的概率為可求.同時應使學生明確，分子、分母計數的一致性是計算結果正確的前提.在一種選擇下求分母，在另一種選擇下計算分子，自然不會有正確的結果. 例1 某人有5把鑰匙，其中有一把是辦公室的抽屜鎖鑰匙，但他忘了是那一把，于是他便將五把鑰匙逐把不重復試開,問恰好第三次打開抽屜鑰匙的概率是多少？解1：“五把逐把試開”作為一次試驗.能打開抽屜的那把鑰匙可在這5個位置中的任何1個，故抽取5把鑰匙中任何一把打開

12、房門是等可能的,因此所要研究的是“等可能事件”問題. “恰好第三次打開抽屜”作為事件A. “五把逐把試開”相當于五把鑰匙在五個位置上的全排列.即n=A,“第三次打開”既是五個位置中確定了第三個位置的排列數，即m= A,所以P(A)=1/5 解2：我們也可以把“前三次試開”確定為一次試驗. 則n=A “第三次打開”既是三個位置中確定了第三個位置的排列數，即m=A . 所以，P(A)= A/ A=1/5解3：把“第三次試開”作為一次試驗：五把鑰匙都能等可能地在第三次試開（n=5），而能開鎖的鑰匙是其中的一種可能（m=1）所以，P=1/5實際上，用這種解法很容易得出：恰好第一次，第二次，第四次，第五

13、次打開抽屜鑰匙的概率均為1/5.例2 有8把鑰匙，其中有3把能打開房門，逐把試開，第五次且是最后一次打開房門的概率.解1: 把“八次試開”作為一次試驗，相當于八把鑰匙在八個位置上的全排列.即n=A，事件A是第5個位置上必須有1把能打開門，而其余2把能打開門的鑰匙需安排在前四個位置中的兩個位置上. 即m=A 所以， P= A/ A解2：把“前五次試開”作為一次試驗，相當于八把鑰匙在五個位置上的排列.即n=A，事件A是第5個位置上必須有1把能打開門而其余2把能打開門的鑰匙需安排在前四個位置中的兩個位置上. 即m=A 解3：把“后四次試開”作為一次試驗，相當于八把鑰匙在四個位置上的排列. 即n=A；

14、 事件A是第一個位置上必須有1把能打開門而其余三把不能打開門 m=A 以上概率的計算方法也同樣可以解決有關物品抽取問題、抽簽問題等.例3.一批產品有8個正品和2個次品，任意不放回地抽取兩次，求第二次抽出次品的概率. 分析：此問題相當于“有10把鑰匙，其中有2把能打開房門，逐把試開，第2次打開房門的概率. 解：n= ， m= 所以，P(A)= /=1/5例4.有10件產品，其中次品有2件，現逐個檢查，直到次品全部被查處，求第5次查處最后一個次品的概率. 分析：此問題相當于“有10把鑰匙，其中有2把能打開房門，逐把試開，第5次且是最后一次打開房門的概率”.解：n=，m= ，所以，P(A)= /=4

15、/45從上面幾個例題中，我們也看到，古典概率的計算，也是遵循“先特殊、后一般”的原則.如“第5次能打開門的鑰匙，第2次查出次品”等.例5.大樓共九層，6人乘電梯從一樓上樓，中途只下不上，求最高一層恰有兩人下的概率.分析：基本事件總數n=8.考慮分子m時，如果先考慮第二層，第三層、.下電梯的人數，一下就進入了死胡同.實際上，我們可以“先”在最高層下去兩人，然后再讓另外4人從2-8層下去，得m= 4. 概率解題典型錯誤類型 例6擲兩枚骰子，求事件A為出現的點數之和等于3的概率.錯解：擲兩枚骰子出現的點數之和的可能值為，有利于事件A的結果只有3，故P(A)=.分析：公式P(A)=僅當所述的實驗結果是

16、等可能時才成立.而此做法，不是等可能的.如取數值2與取數值3就不是等可能的：2只有這樣情況（1，1）才出，而3有兩種情況（1，2），（2，1）可出現，也就是說，這種取法看不到對稱性，基本事件出現的等可能性沒有得到保證.其它的情況可類推.正確的解法是：擲兩枚骰子可能出現的情況：（1，1）（1，2）,(1,6),(2,1),(2,2),（2，6），（6，1），（6，2），(6,6).基本事件總數為66=36.在這些結果中，有利于事件A的只有兩種結果：（1，2）（2，1）所以，P(A)=又比如：拋擲2枚均勻硬幣，共出現4種可能結果，如果認為只有“2個正面”、“2個反面”“一正一反”這三種結果，那么顯

17、然這三種結果不對稱，不是等可能的.類型2：“互斥”事件與“獨立”事件混同例8. 甲投籃命中率為0.8，乙投籃命中率為0.7,每人投3次，兩人恰好都命中兩次的概率是多少？ 錯解：設“甲恰好命中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為A+B.所以，P(A+B)=P(A)+P(B)=分析：本題錯解的原因是把相互獨立事件同時發(fā)生的事件當成互斥事件來考慮.將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好命中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和. 正確解答：設“甲恰好命中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件AB,則 P(AB)=P(A)P(B) = 例9.某家庭電話

18、在家中有人時，打進的電話響第一聲時被接聽的概率為0.1, 響第二聲時被接聽的概率為0.3, 響第三聲時被接聽的概率為0.4, 響第四聲時被接聽的概率為0.1,那么電話在響前4聲內被接聽的概率是多少？錯解：設電話響第一聲時被接的概率為P() = 0.1 ; 響第二聲時被接聽的概率為P() =0.3;響第三聲時被接聽的概率為P() =0.4; 響第四聲時被接聽的概率為P() =0.1 所以，電話在響前4聲內被接聽的概率是P= P()P()P()P()=0.0012分析: 本題錯解的原因在于把互斥事件當成相互獨立事件同時發(fā)生的事件來考慮.而實際上，根據生活中的經驗在響4聲內，每一聲是否被接聽彼此互斥

19、.正解：P= P()+P()+P()+P()=0.9 點評 以上兩例錯誤的原因都在于把兩事件互斥與兩事件獨立混同.類型3:“有序”與“無序”混同例10:從10件產品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件產品為次品的概率. 錯解：因為第一次有10種取法，第二次有9種取法，第三次有8種取法，第四次有7種取法，有乘法原理可知從10件中取4件共有10987種取法，故基本事件總數為10987個. 設A=“取出的4件中恰有1件次品，則A含有種取法（先從3件次品中取1件，再從7件正品中取3件）所以，P(A)= /10987=分析:上述做法的原因在于：計算實驗的基本事件總數時是用

20、排列的方法，即考慮了抽取的順序；而計算事件A所包含的基本事件個數時是用組合的方法，既沒有考慮抽取的順序. 正解：（1）都用排列的方法. 基本事件總數n = ，事件A包含個基本事件（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有種方式對于每一種方式，從3件次品中取1件，在從7件正品中一件一件地取3件，共有種取法）所以，P(A)= /（2）都用組合方法一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故n= , 而事件A含有個基本事件，所以，P(A)= /=從上例可以看出：關于不放回抽樣可以看作有順序（即排列問題），也可以看作無順序（組合問題），其結果是一樣的.無論選用那種方式，確定之后必須按同一方式去解決，否則會產生錯誤.類型4.忽視公式成立的條件.只有對于等可能性事件A來說，才能運用公式：P(A)=;只有對于互斥事件A和B中必有一個發(fā)生的概率，才能運用公