第6章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計B

1、第第6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計8. 已知系統(tǒng)的單位脈沖響應為h(n)=(n)+2(n1)+0.3(n2)+2.5(n3)+0.5(n5)試寫出系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)， 并畫出它的直接型結(jié)構(gòu)。 解解： 將h(n)進行Z變換， 得到它的系統(tǒng)函數(shù) H

2、(z)=1+2z1+0.3z2+2.5z3+0.5z5畫出它的直接型結(jié)構(gòu)如題8解圖所示。題8解圖9. 已知FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為)9 . 01 . 29 . 01 (101)(4321zzzzzH試畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)和線性相位結(jié)構(gòu)。 解解： 畫出濾波器的直接型結(jié)構(gòu)、 線性相位結(jié)構(gòu)分別如題9解圖(a)、 (b)所示。題9解圖直接型結(jié)構(gòu)、 線性相位結(jié)構(gòu)N=5為奇數(shù)，第一類15 寫出題15圖中系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位脈沖響應。題15圖解解：11112112131135)(zzzzzH取收斂域： |z|1/2， 對上式進行逆Z變換， 得到) 1(215319)(6) 1(212)(21) 1(31

3、3)(5)(11nunnunununnhnnnnn21. 假設FIR格型網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的參數(shù)k1=0.08, k2=0.217, k3=1.0, k4=0.5， 求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)并畫出FIR直接型結(jié)構(gòu)。解解： 用到的公式重寫如下： ，al1)(0lllka)( ) 1()() 1()(lkllllklkaaaa1kl1; l=1, 2, , N（該題N=3）08. 0 ,217. 0 0 . 1 5 . 01) 1 (12)2(23)3(34)4(4kaka，ka，ka，k，l1 2097. 0121)1(1)2(2)1(1)2(1kkkaaaa，k，l2 30.314)2(132)2(1)3(3)

4、2(2)3(2akkaaaa，kl1 ，3314. 0 23)2(1)2(2)3(3)2(1)3(1kkaaaaa最后得到 1 0.314， 0.314， 1)3(33)3(22)3(110aaaaaa，a畫出它的直接型結(jié)構(gòu)如題21解圖所示。不對系統(tǒng)函數(shù)為321314. 0314. 01)(zzzzH 經(jīng)典濾波器從功能上分又可分為：經(jīng)典濾波器從功能上分又可分為：低通濾波器低通濾波器（LP):Low pass filterLP):Low pass filter帶通濾波器帶通濾波器(BP):Bandpass filter(BP):Bandpass filter高通濾波器高通濾波器(HP):High

5、 pass filter(HP):High pass filter帶阻濾波器帶阻濾波器(BS):Bandstop filter(BS):Bandstop filter 1數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器的分類經(jīng)典濾波器經(jīng)典濾波器現(xiàn)代濾波器現(xiàn)代濾波器總起來可以分成兩大類：總起來可以分成兩大類：6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計圖6.1.1 理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性 )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0帶通0帶阻222222226 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計ps通帶阻帶過渡帶10112p1, 1)(

6、1 ejH通通帶帶：)(lg20)()(lg200ppjwjwjpeHeHeH )(lg20)()(lg200ssjwjwjseHeHeH s2,)(ejH阻阻帶帶：阻帶應達到的最小衰減阻帶應達到的最小衰減 ： s 通帶允許的最大衰減通帶允許的最大衰減 ： p 實際中濾波器：實際中濾波器：當當=c,幅度降到幅度降到 ，此時，此時 dB，稱，稱c為為3 dB通帶截止頻率通帶截止頻率。2/23p6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計pjjp0,dB| )e (|min| )e (|maxlg20HHdB| )e(|min| )e(|maxlg20jjsHHlIIR濾波

7、器設計方法有間接法和直接法濾波器設計方法有間接法和直接法間接法間接法是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。 設計步驟是：設計步驟是： 先設計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)先設計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha (s)，然后將然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。直接法直接法直接在頻域或者時域中設計數(shù)字濾波器，由于要解聯(lián)立直接在頻域或者時域中設計數(shù)字濾波器，由于要解聯(lián)立方程，設計時需要計算機輔助設計。方程，設計時需要計算機輔助設計。lFIR常用的設計方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和切比雪夫等波常用的設計方法有窗函

8、數(shù)法、頻率采樣法和切比雪夫等波紋逼近法。紋逼近法。3 數(shù)字濾波器設計方法概述數(shù)字濾波器設計方法概述6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 圖6.2.1 各種理想模擬濾波器的幅頻特性 )(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計四四. .低通巴特沃斯濾波器的設計步驟低通巴特沃斯濾波器的設計步驟 (1)根據(jù)技術(shù)指標根據(jù)技術(shù)指標p,p,s和和s，求出濾波器的階數(shù)，求出濾波器的階數(shù)N。(2) 求截止頻率求截止頻率c(3)求出歸一化極點求出歸一化極點pk，得到歸一化傳輸函數(shù)，得到歸一化傳

9、輸函數(shù)Ha(p)。 (4)將將Ha(p)去歸一化。將去歸一化。將p=s/c代入代入Ha(p)，得到實際的濾波，得到實際的濾波器傳輸函數(shù)器傳輸函數(shù)Ha(s)。 MATLAB信號處理工具箱函數(shù)buttap, buttord和butter是巴特沃斯濾波器設計函數(shù)。6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計6.2.3 切比雪夫濾波器的設計切比雪夫濾波器的設計1 切比雪夫濾波器的設計原理切比雪夫濾波器的設計原理巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶還是阻帶都是頻率的單調(diào)減函數(shù)。因此，當通帶邊界處滿足指標要求時，通帶內(nèi)肯定會有較大富余量。因此，更有效的設計方法應該是將逼近精確度

10、均勻地分布在整個通帶內(nèi)，或者均勻分布在整個阻帶內(nèi)，或者同時均勻分布在兩者之內(nèi)。 而通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)，可以使濾波器階數(shù)大大降低。切比雪夫濾波器的幅頻特性就具有這種等波紋特性。它有兩種形式： 1、振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的、在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的切比雪夫型濾波器； 2、振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)下降、在阻帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫型濾波器。 采用何種形式的切比雪夫濾波器取決于實際用途。圖6.2.7(a)和(b)分別畫出不同階數(shù)的切比雪夫型和型濾波器幅頻特性。我們這里僅介紹切比雪夫型濾波器的設計方法。其幅度平方函數(shù)用|Ha(j)|2表示： 式中，為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度，愈大，

11、波動幅度也愈大; p稱為通帶截止頻率。令=/p，稱為對p的歸一化頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項式，定義為2a22p1|(j)|1NHC1|)arch(ch1|)arccoscos()(xxNxxNxCN，當N=0時，C0(x)=1； 當N=1時，C1(x)=x； 當N=2時，C2(x)=2x21； 當N=3 時，C3(x)=4x33x。由此可歸納出高階切比雪夫多項式的遞推公式為 切比雪夫多項式的特性： (1) 切比雪夫多項式的過零點在|x|1的范圍內(nèi)； (2) 當|x|1時，|CN(x)|1，在|x|1時，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。)()(2)(11xCxxCxCNNN這樣，

12、當|x|1時，在0至2之間波動，函數(shù)1+的倒數(shù)即是幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2。所以|Ha(j)|2在0，p上有等波紋波動，最大值為1，最小值為1/(1+2)。當p時，|Ha(j)|2隨加大，很快接近于零。圖6.2.8分別畫出了四階切比雪夫型和巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性，顯然, 切比雪夫濾波器比巴特沃斯濾波器有較窄的過渡帶。按照(6.2.24)式，幅度平方函數(shù)與三個參數(shù)（、p、N）有關。其中與通帶內(nèi)允許的波動幅度有關，定義允許的通帶內(nèi)最大衰減p用下式表示： )(22xCN)(22xCN2app2amax(j)10lg |min(j)HH式中因此這樣，根據(jù)通帶內(nèi)最大衰減 p，可以求出參數(shù)。階數(shù)

13、N影響過渡帶的寬度，同時也影響通帶內(nèi)波動的疏密，因為N等于通帶內(nèi)最大值與最小值的總個數(shù)(反之N值可由頻譜特性定出，后面講）。設阻帶的起始點頻率(阻帶截止頻率)用s表示，在s處的|Ha(j)|2用(6.2.24)式確定： 22aa21max()1 min()1HjHj(6.2.26)(6.2.27)1lg(102p110p1 . 022as22s1()1NpHjC3 dB截止頻率計算公式：1arch1chpcN求出極點，為因果穩(wěn)定，用左半平面的極點構(gòu)成Ga(p)，即式中, c是待定系數(shù)。根據(jù)幅度平方函數(shù)(6.2.24)式可導出： c=2N1，代入(6.2.38)式，得到歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為Niip

14、pcpG1a)(1)(NiiNpppG11a)(21)(去歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為按照以上分析，歸納出切比雪夫型濾波器設計步驟： (1) 確定技術(shù)指標參數(shù) p、p、 s和s。 p是=p時的衰減， s是 =s時的衰減，它們滿足ppaa1p1( )( )2()NsNpNiiHsGpsp這里 p就是前面定義的通帶最大衰減，見(6.2.26)式。(2) 求濾波器階數(shù)N和參數(shù)。歸一化邊界頻率為p=1, s=s/p。由(6.2.24)式得到：(6.2.41)(6.2.42)p2ap110lg|(j)|Hs2as110lg|(j)|H2p2ap2s2as11()(j)11()(j)NNCHCH 則，因此這樣，先

15、由(6.2.43)式求出，代入(6.2.44)式，求出階數(shù)N，最后取大于或等于N的最小整數(shù)。按照(6.2.27)式求： 11Archch kNs)(arch)(archs11kN11kp0.12101110110ps1 . 01 . 011k(3) 求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。為求Ga(p)，先按照(6.2.32)式求出歸一化極點pk, k=1，2，N。 將極點pk代入(6.2.39)式，得到： NkNkpk2) 12(coschj2) 12(sincha1i11( )2()NNiGppp(4) 將Ga(p)去歸一化，得到實際的Ha(s)，即【例例6.2.2】設計低通切比雪夫濾波器，要求通帶截

16、止頻率fp=3 kHz，通帶最大衰減 p=0.1 dB，阻帶截止頻率fs=12 kHz，阻帶最小衰減 s=60 dB。解解 (1) 濾波器的技術(shù)要求： paa/( )( )|p sHsGppppsssspsp0.1dB,26krad/s60dB,224krad/s1,4ffff切比雪夫型濾波器設計步驟： (1) 確定技術(shù)指標參數(shù) p、p、 s和s。 (2) 求濾波器階數(shù)N和參數(shù)。 (3) 求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。 (4) 將Ga(p)去歸一化，得到實際的Ha(s) (2) 由(6.2.44)和 (6.2.45)式求階數(shù)N和：1526. 011011056 . 406. 247. 9)4()

17、6553(6553110110)()(01. 01 . 01 . 01 . 011s11ppsNArchArchNkArchkArchN，取(3) 將極點pk、N和代入(6.2.39)式求Ga(p)： 由(6.2.46)式求出N=5時的極點pi，代入上式，得到： (4) 將Ga(p)去歸一化，得到：51i) 15(a)(21526. 01)(ipppG)6359. 08720. 0)(1949. 13331. 0)(5389. 0(442. 21)(22appppppG147214627/aa102595. 2106437. 11 )102459. 4102788. 6)(100158. 1(

18、1| )()(pssssspGsHsp2. 用MATLAB設計切比雪夫濾波器MATLAB信號處理工具箱函數(shù)cheb1ap，cheb1ord和cheby1是切比雪夫型濾波器設計函數(shù)。其調(diào)用格式如下: 1） z, p, k= cheb1ap(N, Rp)2） N, wpo= cheb1ord(wp, ws, Rp, As)3） N, wpo= cheb1ord(wp, ws, Rp, As, s)4） B, A= cheby1(N, Rp, wpo, ftype)5） B, A= cheby1(N, Rp, wpo, ftype, s)【例例6.2.3】 設計切比雪夫型和切比雪夫型模擬低通濾波器。

19、要求與例6.2.2相同。解解 設計程序ep623.m如下: 例6.2.3設計程序: ep623.m設計切比雪夫型模擬低通濾波器wp=2*pi*3000; ws=2*pi*12000; Rp=0.1; As=60; 設置指標參數(shù)N1, wp1=cheb1ord(wp, ws, Rp, As, s); 計算切比雪夫型模擬低通濾波器階數(shù)和通帶邊界頻率B1, A1=cheby1(N1, Rp, wp1, s); 計算切比雪夫型模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)subplot(2, 2, 1); fk=0:12000/512:12000; wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B1, A1, wk); pl

20、ot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk); grid onxlabel(頻率(kHz); ylabel(幅度(dB)axis(0, 12, -70, 5)運行結(jié)果: N=5切比雪夫型模擬低通濾波器通帶邊界頻率: wp1 =1.8850e+004切比雪夫型模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù): B=1.2187e+011A = 1 3.2873e+004 9.8445e+008 1.6053e+013 1.8123e+017 9.7448e+020 濾波器損耗函數(shù)如圖6.2.9所示。圖6.2.9 五階切比雪夫型模擬低通濾波器損耗函數(shù) （例6.2.3的設計結(jié)果 6.2.4 橢圓

21、濾波器的設計橢圓濾波器的設計橢圓（Elliptic）濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都具有等波紋幅頻響應特性。由于其極點位置與經(jīng)典場論中的橢圓函數(shù)有關，所以由此取名為橢圓濾波器。又因為在1931年考爾（Cauer）首先對這種濾波器進行了理論證明，所以其另一個通用名字為考爾（Cauer）濾波器。橢圓濾波器的典型幅頻響應特性曲線如圖6.2.10所示。圖6.2.10 橢圓濾波器幅頻響應特性曲線由圖6.2.10(a)可見，橢圓濾波器通帶和阻帶波紋幅度固定時，階數(shù)越高, 過渡帶越窄； 由圖6.2.10(b)可見，當橢圓濾波器階數(shù)固定時，通帶和阻帶波紋幅度越小, 過渡帶就越寬。所以橢圓濾波器的階數(shù)N由通帶邊界頻率p、

22、阻帶邊界頻率s、通帶最大衰減 p和阻帶最小衰減 s共同決定。后面對五種濾波器的比較將證實，橢圓濾波器可以獲得對理想濾波器幅頻響應的最好逼近，是一種性能價格比最高的濾波器，所以應用非常廣泛。橢圓濾波器逼近理論是復雜的純數(shù)學問題，該問題的詳細推導已超出本書的范圍。只要給定濾波器指標，通過調(diào)用MATLAB信號處理工具箱提供的橢圓濾波器設計函數(shù)，就很容易得到橢圓濾波器系統(tǒng)函數(shù)和零極點位置。MATLAB信號處理工具箱提供橢圓濾波器設計函數(shù)ellipap、 ellipord和ellip。其調(diào)用格式如下: 1） z, p, k= ellipap(N, Rp, As) 2） N, wpo= ellipord(

23、wp, ws, Rp, As) 3） N, wpo= ellipord(wp, ws, Rp, As, s) 4） B, A= ellip(N, Rp, wpo, ftype) 5） B, A= ellip(N, Rp, wpo, ftype, s)【例例6.2.4】 設計橢圓模擬低通濾波器。要求與例6.2.2相同。設計程序ep624.m如下:% 橢圓濾波器設計程序wp=2*pi*3000; ws=2*pi*12000; Rp=0.1; As=60; %設置指標參數(shù)N, wpo=ellipord(wp, ws, Rp, As, s); %計算橢圓低通模擬濾波器階數(shù)和通帶邊界頻率B, A=ell

24、ip(N, Rp, As, wpo, s); %計算低通模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)省去以下繪圖部分運行結(jié)果:橢圓模擬低通濾波器階數(shù): N=4模擬低通濾波器通帶邊界頻率: wpo=1.8850e+004橢圓模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù): B=0.0010 8.3913e015 2.9126e+007 8.0051e004 1.0859e+017A= 1 3.3792e+004 9.3066e+008 1.3646e+013 1.0984e+017濾波器損耗函數(shù)如圖6.2.11所示。雖然本例中橢圓濾波器階數(shù)是4，但從圖6.1.11可以看出，四階橢圓模擬低通濾波器的過渡帶寬度小于7 kHz，

25、比指標要求（9 kHz）窄2 kHz。 而例6.2.3中需要五階切比雪夫模擬低通濾波器，且其過渡帶寬度大于7 kHz。對于本例的設計指標，如果用巴特沃斯模擬低通濾波器，計算所要求的階數(shù)N=7。圖6.2.11 四階橢圓模擬低通濾波器損耗6.2.5 五種類型模擬濾波器的比較五種類型模擬濾波器的比較 當階數(shù)相同時，對相同的通帶最大衰減當階數(shù)相同時，對相同的通帶最大衰減 p和阻帶最小衰和阻帶最小衰減減 s：l巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶最寬。巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶最寬。l兩種類型的兩種類型的切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃思的過渡帶寬度相等，

26、比巴特沃思濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。 切比雪夫切比雪夫型型濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和阻帶是單調(diào)下降的幅頻特性阻帶是單調(diào)下降的幅頻特性。 切比雪夫切比雪夫型型濾波器的通帶幅頻響應幾乎與巴特沃思濾波器濾波器的通帶幅頻響應幾乎與巴特沃思濾波器相同，阻帶是等波紋幅頻特性。相同，阻帶是等波紋幅頻特性。l橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計相位逼近情況相

27、位逼近情況: 巴特沃思和切比雪夫濾波器在大約3/4的通帶上非常接近線性相位特性，而橢圓濾波器僅在大約半個通帶上非常接近線性相位特性。貝塞爾濾波器在整個通帶逼近線性相位特性，而其幅頻特性的過渡帶比其他四種濾波器寬得多。復雜性復雜性: 在滿足相同的濾波器幅頻響應指標條件下，巴特沃思濾波器階數(shù)最高，橢圓濾波器的階數(shù)最低，而且階數(shù)差別較大。所以，就滿足濾波器幅頻響應指標而言，橢圓濾波器的性能價格比最高，應用較廣泛。6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計6.2.6 頻率變換與模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計頻率變換與模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計高通、帶通、帶阻濾波器的幅

28、頻響應曲線及邊界頻率分別如圖所示。 低通、高通、帶通和帶阻濾波器的通帶最大衰減和阻帶最小衰減仍用 p和 s表示。6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計各種經(jīng)典濾波器的設計公式都是針對低通濾波器的，通各種經(jīng)典濾波器的設計公式都是針對低通濾波器的，通過頻率變換公式，可以將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)過頻率變換公式，可以將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)Q(p)變換變換成希望設計的低通、高通、帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)成希望設計的低通、高通、帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。在模擬濾波器設計手冊中，提供從低通到其他各種濾波器的在模擬濾波器設計手冊中，提供從低通到其他各種濾波器的頻率變換

29、公式。頻率變換公式。設計高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是設計高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是:l(1) 通過頻率變換公式，先將希望設計的濾波器指標轉(zhuǎn)換為通過頻率變換公式，先將希望設計的濾波器指標轉(zhuǎn)換為相應的低通濾波器指標；相應的低通濾波器指標； l(2) 設計相應的低通系統(tǒng)函數(shù)設計相應的低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)；l(3) 對對Q(p)進行頻率變換，得到希望設計的濾波器系統(tǒng)函數(shù)進行頻率變換，得到希望設計的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。 6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計l為了敘述方便，定義為了敘述方便，定義p=+j為為Q(p)的的歸一化復變量歸一化復變量，其，其通帶

30、邊界頻率記為通帶邊界頻率記為p，稱為歸一化頻率稱為歸一化頻率。用。用Hd(s)表示希望設表示希望設計的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，計的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，s=+j表示表示Hd(s)的復變量。的復變量。l例如，一階巴特沃斯例如，一階巴特沃斯低通原型系統(tǒng)函數(shù)低通原型系統(tǒng)函數(shù)為為l顯然顯然, 其其3 dB截止頻率截止頻率p=1, 是關于是關于3 dB截止頻率歸一化。截止頻率歸一化。 l模擬濾波器設計模擬濾波器設計手冊中給出了手冊中給出了各種模擬濾波器歸一化低通系各種模擬濾波器歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)的參數(shù)統(tǒng)函數(shù)的參數(shù)（零、極點位置，分子、分母多項式系數(shù)等）。（零、極點位置，分子、分母多項式系數(shù)等）。 1( )

31、1G pp6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計1 模擬高通濾波器設計模擬高通濾波器設計從低通到高通濾波器的映射關系為下面簡單介紹各種頻率變換公式。從p域到s域映射的可逆變換記為p=F(s)。低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)與Hd(s)之間的轉(zhuǎn)換關系為（6.2.48） d( )( )( )p F sHsQ p（6.2.49） 1d( )( )( )s FpQ pHspphps （6.2.50）6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計在虛軸(頻率軸)上該映射關系簡化為如下頻率變換公式: 式中，ph為希望設計的高通濾波器HHP(s)的通帶邊界頻率。低通

32、的通帶0, p 高通的通帶-, -ph低通的通帶-p, 0 高通的通帶ph, 。低通的阻帶s, 高通的阻帶-sh, 0低通的阻帶-, -s 高通的阻帶0, sh。（6.2.51）pph 所以低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Q(p)轉(zhuǎn)換成通帶邊界頻率為ph的高通濾波器系統(tǒng)函數(shù):pphHP( )( )psHsG p 6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計【例例6.2.5】 設計巴特沃思模擬高通濾波器，要求通帶邊界頻率為4 kHz，阻帶邊界頻率為1 kHz，通帶最大衰減為0.1 dB，阻帶最小衰減為40 dB。解解 (1） 將希望設計的高通濾波器的指標轉(zhuǎn)換成相應的低通濾波器Q(p)

33、的指標。為了計算簡單，一般選擇Q(p)為歸一化低通，即取Q(p)的通帶邊界頻率p=1。則可求得歸一化阻帶邊界頻率為p=1，phss20004210006 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計pph 轉(zhuǎn)換得到低通濾波器的指標為：通帶邊界頻率p=1，阻帶邊界頻率s=4，通帶最大衰減 p=0.1dB阻帶最小衰減 s=40 dB（2） 設計相應的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)。本例調(diào)用MATLAB函數(shù)buttord和butter來設計Q(p)。6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計pphps （6.2.50）（3） 將Q(p)轉(zhuǎn)換成希望設計的高通濾

34、波器的系統(tǒng)函數(shù)HHP(s)。 調(diào)用MATLAB函數(shù)lp2hp實現(xiàn)低通到高通的變換。 BH, AH=lp2hp(B, A, wph) 將系統(tǒng)函數(shù)分子和分母系數(shù)向量為B和A的低通濾波器變換成通帶邊界頻率為whp的高通濾波器，返回結(jié)果BH和AH是高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母的系數(shù)向量。實現(xiàn)步驟（2）和（3）的程序ep616.m如下: 6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計例6.2.5 設計巴特沃思模擬高通濾波器程序: ep625.mwp=1; ws=4; Rp=0.1; As=40; 設置低通濾波器指標參數(shù)N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s)

35、; 計算低通濾波器Q(p)的階數(shù)N和3 dB截止頻率wcB, A=butter(N, wc, s); 計算低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)Q(p)的分子分母多項式系數(shù)wph=2*pi*4000; 模擬高通濾波器通帶邊界頻率wphBH, AH=lp2hp(B, A, wph); 低通到高通轉(zhuǎn)換6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計由系數(shù)向量B和A寫出歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)為由系數(shù)向量BH和AH寫出希望設計的高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為Q(p)和HHP(s)的損耗函數(shù)曲線如圖6.2.13所示。543210.2405( )5.153313.27821.144520.810110.2405Q pp

36、pppp51245323HP5449313217201.94 105.5146 109.59394.56071.9485 10( )5.1073 101.3042 102.0584 102.0078 109.7921 10sssssHssssss6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計圖6.2.13 例6.2.5 所得低通、高通濾波器損耗函數(shù)曲線6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計值得注意的是，實際上調(diào)用函數(shù)buttord和butter可以直接設計巴特沃思高通濾波器。設計程序ep616b.m如下: 例6.2.5 設計巴特沃思模擬高通濾

37、波器程序: ep625b.mwp=2*pi*4000; ws=2*pi*1000; Rp=0.1; As=40; 設置高通濾波器指標參數(shù)N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); 計算高通濾波器階數(shù)N和3 dB截止頻率BH, AH=butter(N, wc, high, s); 計算高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)HHP(s)分子分母多項式系數(shù)6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計程序運行結(jié)果: N=5BH=1 0 0 0 0 0AH=1 5.1073e+004 1.3042e+009 2.0584e+013 2.0078e+017 9.7921e+02

38、0 由BH和AH寫出希望設計的高通濾波器系統(tǒng)函數(shù): 5HP544931321720( )5.1073 101.3042 102.0584 102.0078 109.7921 10sHssssss6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計低通到帶通的頻率變換公式如下: p平面與s平面虛軸上的頻率關系為：2 低通到帶通的頻率變換低通到帶通的頻率變換式中，式中，Bw=pupl: 通帶寬度，通帶寬度，pl和和pu分別為分別為下下截止頻率和通帶截止頻率和通帶上上截止頻率截止頻率; 0稱為帶通濾波器的稱為帶通濾波器的中心頻率中心頻率。頻率頻率=0 頻率頻率=0;頻率頻率=p 頻率

39、頻率pu和和-pl，頻率頻率=-p 頻率頻率-pu和和pl。低通通帶低通通帶-p, p帶通通帶帶通通帶-pu, -pl和和pl, pu。頻率頻率=s 頻率頻率su和和sl，頻率頻率=s 頻率頻率su 和和sl。220pwspB s（6.2.53）220pwB （6.2.54）6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計就將Q(p)轉(zhuǎn)換為帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即 如果原指標給定的邊界頻率不滿足式（6.2.56），就要改變其中一個邊界頻率, 以便滿足式（6.2.56），但要保證改變后的指標高于原始指標。 具體方法:如果plpuslsu，則減小pl（或增大sl）使式（6.2.

40、56）得到滿足。具體計算公式為220pwBP( )( ) spB sHsQ p（6.2.55）2plpuslsu0 （6.2.56）6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計減小pl使通帶寬度大于原指標要求的通帶寬度，增大sl或減小pl都使左邊的過渡帶寬度小于原指標要求的過渡帶寬度； 反之，如果plpufslfsu所以不滿足（6.2.56）式。按照（6.2.57）式增大fsl，則 采用修正后采用修正后的fsl，按如下步驟設計巴特沃斯模擬帶通濾波器。6plpusl3su28 10 3.1111 kHz9 10f fff 將希望設計的帶通濾波器指標轉(zhuǎn)換為相應的低通原型濾波

41、器Q(p)的指標。6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 為了設計方便，一般選擇Q(p)為歸一化低通，即取Q (p)的通帶邊界頻率p=1。 因為=s的映射為sl，所以可求得歸一化阻帶邊界頻率為轉(zhuǎn)換得到的歸一化低通濾波器指標為: 通帶邊界頻率p=1，阻帶邊界頻率s=1.963，通帶最大衰減 p=1 dB，阻帶最小衰減 s=20 dB。 2220slsslw283.11111.96303.1111 3fff B6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 設計相應的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)。設計過程與例6.2.1完全相同。 將Q(p)轉(zhuǎn)換成所

42、希望設計的帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)HBP(s)。本例調(diào)用MATLAB函數(shù)buttord和butter直接設計巴特沃思模擬帶通濾波器。設計程序ep626.m如下: 6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計例6.2.6 設計巴特沃思模擬帶通濾波器程序: ep626.mwp=2*pi*4000, 7000; ws=2*pi*2000, 9000; Rp=1; As=20; 設置帶通濾波器指標參數(shù)N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); 計算帶通濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率wcBB, AB=butter(N, wc, s); 計算帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分

43、母多項式系數(shù)向量BB和AB6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計程序運行結(jié)果: 階數(shù): N=5系統(tǒng)函數(shù)分子多項式系數(shù)向量: BB=1.0e+021 * 0 0 0 0 0 6.9703 0 0 0 0 0系統(tǒng)函數(shù)分母多項式系數(shù)向量: AB=1 7.5625e+004 8.3866e+009 4.0121e+014 2.2667e+019 7.0915e+023 2.5056e+028 4.9024e+032 1.1328e+037 1.1291e+041 1.6504e+045 由運行結(jié)果可知，帶通濾波器是2N階的。10階巴特沃思帶通濾波器損耗函數(shù)曲線如圖6.2.

44、15所示。6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計3 低通到帶阻的頻率變換低通到帶阻的頻率變換低通到帶阻的頻率變換公式為p平面與s平面虛軸上的頻率變換關系為式中，式中，Bw=susl，表示帶阻濾波器的阻帶寬度，表示帶阻濾波器的阻帶寬度，sl和和su分別為帶阻濾分別為帶阻濾波器的阻帶下截止頻率和阻帶上截止頻率波器的阻帶下截止頻率和阻帶上截止頻率; 0稱為帶阻濾波器的阻帶中心稱為帶阻濾波器的阻帶中心頻率。頻率。將低通的通帶p, p 帶阻的阻帶su, sl和sl, su。wp220B sps（6.2.58）wp220B （6.2.59）6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 所以將將歸一化通帶邊界頻率為p的