北京郵電大學復(fù)變函數(shù)第四章

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換一、復(fù)數(shù)列的極限一、復(fù)數(shù)列的極限二、復(fù)數(shù)項級數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)項級數(shù)的概念一、復(fù)數(shù)列的極限一、復(fù)數(shù)列的極限1.1.定義定義 , , 0 N自自然然數(shù)數(shù)若若 . 0 zzNnn時時，有有當當, 0z收斂于收斂于記作記作0limzznn , ), 2 , 1( 其其中中為為一一復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè) nzn,nnniyxz , 000為為一一確確定定的的復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)又又設(shè)設(shè)iyxz nz則稱復(fù)數(shù)列則稱復(fù)數(shù)列. )( 0 nzzn或或. 發(fā)散發(fā)散不收斂，則稱不收斂，則稱若數(shù)列若數(shù)列nnzz.0為極限為極限以以或稱或稱zzn2.復(fù)數(shù)列收斂的條件復(fù)數(shù)列收斂的條件 ),2,1( 0

2、的的充充要要條條件件是是收收斂斂于于復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列定定理理znzn ,lim0zznn 如如果果, 0 , 0 N 則則 , 時時當當Nn ,)()(00 iyxiyxnn證證,)()(000 yyixxxxnnn從而有從而有.lim0 xxnn .lim0yynn 所以所以同理同理.lim ,lim00yyxxnnnn .2,200 yyxxnn反之反之, 如果如果,lim,lim00yyxxnnnn , 時時那那么么當當Nn 從而有從而有)()(000iyxiyxzznnn )()(00yyixxnn 該定理說明該定理說明: 可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個實數(shù)

3、列的斂散性個實數(shù)列的斂散性.lim 0zznn 所所以以證畢證畢,00 yyxxnnninenz )11()1( 因因為為下列數(shù)列是否收斂下列數(shù)列是否收斂, 如果收斂如果收斂, 求出其極限求出其極限.;)11()1(ninenz .sin)11(nnyn ,cos)11(nnxn 所所以以而而. 0lim,1lim nnnnyx解解 例例1 1),sin)(cos11(ninn .cos)2(innzn ,收斂收斂數(shù)列數(shù)列.1lim nnz且且)2(2)(cosnnneeninnz 由由于于,時時當當 n所以數(shù)列發(fā)散所以數(shù)列發(fā)散., nz課堂練習課堂練習: :下列數(shù)列是否收斂下列數(shù)列是否收斂?

4、 如果收斂如果收斂, 求出其極限求出其極限.;11)1(ninizn ;1)1()2( niznn.1)3(2innenz innnnzn2221211 ).( 1 n發(fā)散發(fā)散2sin12cos1 nninnzn ).( 0 n二、復(fù)數(shù)項級數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)項級數(shù)的概念1.1.定義定義,), 2 , 1(為為一一復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè) nyxznnn nnnzzzz211表達式表達式稱為復(fù)數(shù)項無窮級數(shù)稱為復(fù)數(shù)項無窮級數(shù).其最前面其最前面 n 項的和項的和nnzzzs 21稱為級數(shù)的部分和稱為級數(shù)的部分和.部分和部分和收斂與發(fā)散收斂與發(fā)散,收收斂斂如如果果部部分分和和數(shù)數(shù)列列ns ,1收斂收斂那么級數(shù)那

5、么級數(shù) nnz.lim稱稱為為級級數(shù)數(shù)的的和和并并且且極極限限ssnn 說明說明:.lim ssnn 利用極限利用極限 與實數(shù)項級數(shù)相同與實數(shù)項級數(shù)相同, 判別復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散判別復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性的基本方法是性的基本方法是:,不不收收斂斂如如果果部部分分和和數(shù)數(shù)列列ns .1發(fā)散發(fā)散那么級數(shù)那么級數(shù) nnz:,0 nnz級級數(shù)數(shù)例例如如1-21nnzzzs ,1時時由于當由于當 z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂所所以以當當 z2.復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的條件復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的條件證證 nkknkknkknyixzs111,nni )( 11收收斂

6、斂的的充充要要條條件件是是級級數(shù)數(shù) nnnnniyxz . 11都都收收斂斂和和 nnnnyx定理定理收斂收斂 ns都收斂都收斂和和 nn . 11 nnnnyx都都收收斂斂和和 1 收收斂斂級級數(shù)數(shù)nnz說明說明 復(fù)數(shù)項級數(shù)的審斂問題復(fù)數(shù)項級數(shù)的審斂問題 實數(shù)項級數(shù)的審斂問題實數(shù)項級數(shù)的審斂問題(定理定理)則則例例2 2 1 112是否收斂？是否收斂？級數(shù)級數(shù) nnni解解 1112)1(11nnnnnini, 1 1發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)因為因為 nn.原原級級數(shù)數(shù)仍仍發(fā)發(fā)散散,1)1(1收斂收斂雖雖 nnn 11nn 11)1(nnni; 1 11發(fā)發(fā)散散因因為為 nnnnx . 1121收收

7、斂斂 nnnny所以原級所以原級數(shù)發(fā)散數(shù)發(fā)散. . 課堂練習課堂練習11(2)(1)ninn 2 2級級數(shù)數(shù) 是是否否收收斂斂？ 所以原級所以原級數(shù)收斂數(shù)收斂. . )1(1 1是否收斂？是否收斂？級數(shù)級數(shù) nnin(1); 1 121收收斂斂因因為為 nnnnx. 1131收收斂斂 nnnny 11nnnnyx收收斂斂的的必必要要條條件件是是和和因因為為實實數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù).0lim0lim nnnnyx和和0lim nnz級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件重要結(jié)論重要結(jié)論:.0lim1發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù) nnnnzz收斂的必要條件是收斂的必要條件是所以復(fù)數(shù)項級數(shù)所以復(fù)數(shù)項級數(shù) 1nnz:,

8、1 nine級級數(shù)數(shù)例例如如, 0limlim innnnez因因為為不滿足必要條件不滿足必要條件,所以原級數(shù)發(fā)散所以原級數(shù)發(fā)散.啟示啟示: 判別級數(shù)的斂散性時判別級數(shù)的斂散性時, 可先考察可先考察0lim nnz? , 0limnnz如果如果級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散;應(yīng)進一步判斷應(yīng)進一步判斷., 0lim nnz3. 絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂 . , 11也也收收斂斂那那么么收收斂斂級級數(shù)數(shù)如如果果 nnnnzz注：注： ,1的的各各項項都都是是非非負負實實數(shù)數(shù) nnz可用正項級數(shù)的審斂法可用正項級數(shù)的審斂法.定理定理證證由于由于,1221 nnnnnyxz而而,2222nnnnnnyx

9、yyxx 根據(jù)實數(shù)項級數(shù)的比較準則根據(jù)實數(shù)項級數(shù)的比較準則, 知知收收斂斂及及 11 nnnnyx 11收斂收斂及及 nnnnyx .1n收斂收斂 nz非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù)條件收斂級數(shù).說明說明, 22nnnnyxyx 由由, 11122 nkknkknkkkyxyx知知如果如果 收斂收斂, 那么稱級數(shù)那么稱級數(shù) 為為絕對收斂絕對收斂. 1nnz 1nnz定義定義,11絕絕對對收收斂斂時時與與 nnnnyx所以所以.1絕對收斂絕對收斂也也 nnz.111絕絕對對收收斂斂與與絕絕對對收收斂斂 nnnnnnyxz綜上綜上: !)8( 1是否絕對收斂？是否絕對

10、收斂？級數(shù)級數(shù) nnni例例3 3, !81收收斂斂 nnn故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂, 且為絕對收斂且為絕對收斂.,!8!)8(nninn 因為因為所以由正項級數(shù)的比值判別法知所以由正項級數(shù)的比值判別法知:解解 ; )1( 1收收斂斂因因為為 nnn,211收收斂斂也也 nn故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂.,)1(1收收斂斂為為條條件件但但 nnn所以原級數(shù)非絕對收斂所以原級數(shù)非絕對收斂. 21)1( 1是否絕對收斂？是否絕對收斂？級數(shù)級數(shù) nnnin例例4 4解解小結(jié)與思考小結(jié)與思考 通過本課的學習通過本課的學習, 應(yīng)了解復(fù)數(shù)列的極限概念應(yīng)了解復(fù)數(shù)列的極限概念; 熟悉復(fù)數(shù)列收斂及復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂與絕

11、對收斂熟悉復(fù)數(shù)列收斂及復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂與絕對收斂的充要條件的充要條件;理解復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散、絕對理解復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂的概念與性質(zhì)收斂與條件收斂的概念與性質(zhì). :,11問問均均發(fā)發(fā)散散和和如如果果復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù) nnnnyx?)(1也也發(fā)發(fā)散散嗎嗎級級數(shù)數(shù) nnnyx思考題思考題思考題答案思考題答案否否.課間休息課間休息一、冪級數(shù)的概念一、冪級數(shù)的概念二、冪級數(shù)的斂散性二、冪級數(shù)的斂散性三、冪級數(shù)的運算和性質(zhì)三、冪級數(shù)的運算和性質(zhì)一、冪級數(shù)的概念一、冪級數(shù)的概念1.1.復(fù)變函數(shù)項級數(shù)復(fù)變函數(shù)項級數(shù)定義定義 , ), 2 , 1()( 為為一一復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)序序列

12、列設(shè)設(shè) nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各項在區(qū)域其中各項在區(qū)域 D內(nèi)有定義內(nèi)有定義. .表達式表達式稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù), 記作記作 . )(1 nnzf)()()()(21zfzfzfzsnn 稱為這級數(shù)的稱為這級數(shù)的部分和部分和. . 級數(shù)最前面級數(shù)最前面n項的和項的和和函數(shù)和函數(shù).)( , )( , )()(lim , 001000它的和它的和稱為稱為收斂收斂在在那么稱級數(shù)那么稱級數(shù)存在存在極限極限內(nèi)的某一點內(nèi)的某一點如果對于如果對于zszzfzszszDnnnn )()()()(21zfzfzfzsn稱為該級數(shù)在區(qū)域稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的上的

13、和函數(shù)和函數(shù).如果級數(shù)在如果級數(shù)在D內(nèi)處處收斂內(nèi)處處收斂, 那么它的和一定那么它的和一定 :)( zsz的一個函數(shù)的一個函數(shù)是是例例1 1 求級數(shù)求級數(shù) nnnzzzz201的收斂范圍與和函數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解解級數(shù)的部分和為級數(shù)的部分和為)1( ,11112 zzzzzzsnnn1 zzsnn 11lim級數(shù)級數(shù) 0nnz收斂收斂,1 z0lim nnz級數(shù)級數(shù) 0nnz發(fā)散發(fā)散.收斂范圍為一單位圓域收斂范圍為一單位圓域, 1 z且有且有.1112 nzzzz2. 2. 冪級數(shù)冪級數(shù)當當101)()( nnnzzczf或或,)(11時時 nnnzczf函數(shù)項級數(shù)的特殊情形函數(shù)項級數(shù)的特殊

14、情形 20201000)()()(zzczzcczzcnnn nnzzc)(0.22100 nnnnnzczczcczc或或這種級數(shù)稱為這種級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù).為簡便，以下討論冪級數(shù)為簡便，以下討論冪級數(shù) . 0nnnzc二、冪級數(shù)的斂散性二、冪級數(shù)的斂散性1.收斂定理收斂定理(阿貝爾阿貝爾Abel定理定理)如果級數(shù)如果級數(shù) 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收斂收斂, z那么對那么對的的級數(shù)必絕對收斂級數(shù)必絕對收斂, 如果如果在在級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散, 那么對滿足那么對滿足的的級數(shù)必發(fā)散級數(shù)必發(fā)散.滿足滿足證證 , 00收收斂斂因因為為級級數(shù)數(shù) nnnzc各項有界，各

15、項有界，. 0lim 0 nnnzc則則即存在正數(shù)即存在正數(shù)M, . 0Mzcnn 有有使對所有的使對所有的n, , 0zz 如果如果而而nnnnnnzzzczc00 .0nzzM 從而級數(shù)從而級數(shù)由正項級數(shù)的比較判別法知由正項級數(shù)的比較判別法知:. 0是絕對收斂的是絕對收斂的故級數(shù)故級數(shù) nnnzc nnnnnzczczcczc22100收斂收斂. 00收斂收斂級數(shù)級數(shù)nnzzM 那么那么另一部分的證明可用反證法另一部分的證明可用反證法.2. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑（1）對所有的復(fù)數(shù)都收斂）對所有的復(fù)數(shù)都收斂.例如例如, 級數(shù)級數(shù) nnnzzz2221對任意固定的對任意固定的z,

16、從某個從某個n開始開始, 總有總有,21 nz于是有于是有,21nnnnz 故該級數(shù)對任意的故該級數(shù)對任意的z均收斂均收斂.（2） 對所有的復(fù)數(shù)，除對所有的復(fù)數(shù)，除 z=0 外都發(fā)散外都發(fā)散.例如，級數(shù)例如，級數(shù) nnznzz2221, 0 時時當當 z通項不趨于零通項不趨于零, 故級數(shù)發(fā)散故級數(shù)發(fā)散.對于一個冪級數(shù)對于一個冪級數(shù) , 其收斂的情況有三種其收斂的情況有三種: 0nnnzcxyo. .R收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnzc的收斂范圍是以原點為中心的圓域的收斂范圍是以原點為中心的圓域. （3）既存在使級數(shù)收斂的復(fù)數(shù)）既存在使級數(shù)收斂的復(fù)數(shù) , 也存在使級數(shù)也存在使

17、級數(shù)發(fā)散的復(fù)數(shù)發(fā)散的復(fù)數(shù) . 由阿貝爾定理，由阿貝爾定理， zzcnnn0 在在圓圓周周外外發(fā)發(fā)散散在在圓圓周周 z, 0內(nèi)內(nèi)絕絕對對收收斂斂在在圓圓周周Rzzcnnn 外外發(fā)發(fā)散散在在圓圓周周Rz 則存在正數(shù)則存在正數(shù)R，, 內(nèi)絕對收斂內(nèi)絕對收斂答案答案:. 0為為中中心心的的圓圓域域是是以以zz 冪級數(shù)冪級數(shù) 00)(nnnzzc的收斂范圍是何區(qū)域的收斂范圍是何區(qū)域?問題問題1: 在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出不能作出一般的結(jié)論一般的結(jié)論, 要對具體級數(shù)進行具體分析要對具體級數(shù)進行具體分析.注意注意問題問題2: 冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何冪級數(shù)在收斂圓

18、周上的斂散性如何?例如例如, 級數(shù)級數(shù): 0200nnnnnnnznzz1, 1 zR收收斂斂圓圓周周均均為為收斂圓周上無收斂點收斂圓周上無收斂點;,1在在其其它它點點都都收收斂斂發(fā)發(fā)散散在在點點 z在收斂圓周上處處收斂在收斂圓周上處處收斂.3. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法方法方法1 1：（比值法）（比值法）, 0lim 1 nnncc如如果果那么收斂半徑那么收斂半徑.1 R方法方法2 2：（根值法）（根值法）, 0lim nnnc如如果果那么收斂半徑那么收斂半徑.1 R說明說明: 0 0 RR如果如果收斂半徑公式可記為收斂半徑公式可記為.1limlim1nnnnnncccR 例例2求下列冪

19、級數(shù)的收斂半徑求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1) 13nnnz(并討論在收斂圓周上的情形并討論在收斂圓周上的情形)(2) 1)1(nnnz(并討論并討論2,0 z時的情形時的情形)或或nnncR1lim 解解 (1)1lim nnnccR3)1(limnnn , 1 . 1lim3 nnn所以收斂半徑所以收斂半徑, 1 R即原級數(shù)在圓即原級數(shù)在圓1 z內(nèi)收斂內(nèi)收斂, 在圓外發(fā)散在圓外發(fā)散, 收斂的收斂的p級數(shù)級數(shù) ).13( p所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.在圓周在圓周1 z上上, 級數(shù)級數(shù) 13131nnnnnz說明說明：在收斂圓周上既有級數(shù)的收斂點在收斂圓周

20、上既有級數(shù)的收斂點, 也有也有 級數(shù)的發(fā)散點級數(shù)的發(fā)散點.,0時時當當 z原級數(shù)成為原級數(shù)成為,1)1(1 nnn交錯級數(shù)交錯級數(shù), 收斂收斂.,2時時當當 z發(fā)散發(fā)散.原級數(shù)成為原級數(shù)成為,11 nn調(diào)和級數(shù)，調(diào)和級數(shù)，(2)nnccRnnnn1limlim1 ,1 incncos 因為因為1lim nnnccR所以收斂半徑為所以收斂半徑為 0)(cosnnzin例例3求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂半徑的收斂半徑:解解),(21nnee .1e 11lim nnnnneeee1221lim nnneee解解)4sin4(cos21 ii因因為為nnic)1( 1lim nnnccR例例4 0)1(

21、nnnzi求求 的收斂半徑的收斂半徑.,24ie ;)2(4inne 1)2()2(lim nnn.2221 pnnnnnnccR)1(limlim1 答案答案，因為因為pnnc1 課堂練習課堂練習 試求冪級數(shù)試求冪級數(shù) 1npnnz)( 為為正正整整數(shù)數(shù)p的收斂半徑的收斂半徑.pnn)11(lim . 1 三、冪級數(shù)的運算和性質(zhì)三、冪級數(shù)的運算和性質(zhì)1.1.冪級數(shù)的有理運算冪級數(shù)的有理運算.,)(,)(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 設(shè)設(shè),)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf Rz ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(n

22、nnnnzbababaRz ),min(21rrR 2. 冪級數(shù)的代換冪級數(shù)的代換( (復(fù)合復(fù)合) )運算運算如果當如果當rz 時時,)(0 nnnzazf又設(shè)在又設(shè)在Rz 內(nèi)內(nèi))(zg解析且滿足解析且滿足,)(rzg 那么當那么當Rz 時時, 0.)()(nnnzgazgf說明說明: 此代換運算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù)此代換運算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù). 00)(nnnzzc定理定理設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為的收斂半徑為,R那么那么(2)(zf在收斂圓在收斂圓Rzz 0內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導(dǎo)得到級數(shù)逐項求導(dǎo)得到, .)()(110 nnnzznczf即即是收斂圓是

23、收斂圓Rzz 0內(nèi)部的解析函數(shù)內(nèi)部的解析函數(shù) . 00)()( nnnzzczf它它的的和和函函數(shù)數(shù)(1)3. 復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)(3)(zf在收斂圓內(nèi)可以逐項積分在收斂圓內(nèi)可以逐項積分, 00.,d)(d )(nCnnCRazCzzzczzf 010.)(1d)( nnnCzznczzf或或簡言之簡言之: 在收斂圓內(nèi)在收斂圓內(nèi), , 冪級數(shù)的和函數(shù)解析冪級數(shù)的和函數(shù)解析; 冪級數(shù)可逐項求導(dǎo)冪級數(shù)可逐項求導(dǎo), , 逐項積分逐項積分. .(常用于求和函數(shù)常用于求和函數(shù))即即例例5 把函數(shù)把函數(shù)bz 1表成形如表成形如 0)(nnnazc的冪的冪級數(shù)級數(shù), 其中其

24、中ba與與是不相等的復(fù)常數(shù)是不相等的復(fù)常數(shù) .解解把函數(shù)把函數(shù)bz 1寫成如下的形式寫成如下的形式: bz1)()(1abaz abazab 111代數(shù)變形代數(shù)變形 , 使其分母中出現(xiàn)使其分母中出現(xiàn))(az 湊出湊出)(11zg 時，時，當當1 abaz nabazabazabaz)()(111 bz1故故nnabazab 0)(1,時時當當abaz 級數(shù)收斂級數(shù)收斂, 且其和為且其和為.1bz nnabaz 0.)()(101 nnnazab小結(jié)與思考小結(jié)與思考 這節(jié)課學習了冪級數(shù)的概念和阿貝爾定理等這節(jié)課學習了冪級數(shù)的概念和阿貝爾定理等內(nèi)容，應(yīng)掌握冪級數(shù)收斂半徑的求法和冪級數(shù)的內(nèi)容，應(yīng)掌握

25、冪級數(shù)收斂半徑的求法和冪級數(shù)的運算性質(zhì)運算性質(zhì).思考題思考題冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定?思考題答案思考題答案由于在收斂圓周上由于在收斂圓周上z確定確定, 可以依復(fù)數(shù)項級可以依復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性討論數(shù)斂散性討論.阿貝爾資料阿貝爾資料 非凡的數(shù)學家非凡的數(shù)學家阿貝爾阿貝爾Died: 6 April 1829 in Froland, NorwayNiels AbelBorn: 5 Aug 1802 in Frindoe , Norway 阿貝爾（阿貝爾（1802-1829）挪威數(shù)學家。是克里斯蒂安尼）挪威數(shù)學家。是克里斯蒂安尼亞（現(xiàn)在的奧斯陸）教區(qū)窮牧師的六個

26、孩子之一。盡管家亞（現(xiàn)在的奧斯陸）教區(qū)窮牧師的六個孩子之一。盡管家里很貧困，父親還是在里很貧困，父親還是在1815年把阿貝爾送進克里斯蒂安尼年把阿貝爾送進克里斯蒂安尼亞的一所中學里讀書，亞的一所中學里讀書，15歲時優(yōu)秀的數(shù)學教師洪堡發(fā)現(xiàn)了歲時優(yōu)秀的數(shù)學教師洪堡發(fā)現(xiàn)了阿貝爾的數(shù)學天才，對他給予指導(dǎo)。使阿貝爾對數(shù)學產(chǎn)生阿貝爾的數(shù)學天才，對他給予指導(dǎo)。使阿貝爾對數(shù)學產(chǎn)生了濃厚的興趣。了濃厚的興趣。16歲時阿貝爾寫了一篇解方程的論文。丹歲時阿貝爾寫了一篇解方程的論文。丹麥數(shù)學家戴根看過這篇論文后，為阿貝爾的數(shù)學才華而驚麥數(shù)學家戴根看過這篇論文后，為阿貝爾的數(shù)學才華而驚嘆，當時數(shù)學界正興起對橢圓積分的研

27、究，于是他給阿貝嘆，當時數(shù)學界正興起對橢圓積分的研究，于是他給阿貝爾回信寫到：爾回信寫到：“.與其著手解決被認為非常難解的方程問與其著手解決被認為非常難解的方程問題，不如把精力和時間投入到對解析學和力學的研究上。題，不如把精力和時間投入到對解析學和力學的研究上。例如，橢圓積分就是很好的題目，相信你會取得成功例如，橢圓積分就是很好的題目，相信你會取得成功.”。于是阿貝爾開始轉(zhuǎn)向?qū)E圓函數(shù)的研究。于是阿貝爾開始轉(zhuǎn)向?qū)E圓函數(shù)的研究。阿貝爾阿貝爾18歲時，父親去世，這使生活更加貧困。歲時，父親去世，這使生活更加貧困。1821年在洪堡老師的幫助下，阿貝爾進入克里斯蒂安尼亞大學。年在洪堡老師的幫助下，阿

28、貝爾進入克里斯蒂安尼亞大學。1823年，他發(fā)表了第一篇論文，開了研究積分方程的先河。年，他發(fā)表了第一篇論文，開了研究積分方程的先河。1824年，他解決了用根式求解五次方程的不可能性問題。這年，他解決了用根式求解五次方程的不可能性問題。這一論文也寄給了高斯，但是高斯連信都未開封。一論文也寄給了高斯，但是高斯連信都未開封。 1825年，他去柏林，結(jié)識了業(yè)余數(shù)學愛好者克萊爾。年，他去柏林，結(jié)識了業(yè)余數(shù)學愛好者克萊爾。他建議克萊爾創(chuàng)辦了著名數(shù)學刊物他建議克萊爾創(chuàng)辦了著名數(shù)學刊物純粹與應(yīng)用數(shù)學雜志純粹與應(yīng)用數(shù)學雜志。這個雜志頭三卷發(fā)表了阿貝爾這個雜志頭三卷發(fā)表了阿貝爾22篇包括方程論、無窮級數(shù)、篇包括方

29、程論、無窮級數(shù)、橢圓函數(shù)論等方面的論文。橢圓函數(shù)論等方面的論文。 1826年，阿貝爾來到巴黎，會見了柯西、勒讓德、狄年，阿貝爾來到巴黎，會見了柯西、勒讓德、狄利赫萊等，但人們并沒有真正認識到他的天才。阿貝爾又太利赫萊等，但人們并沒有真正認識到他的天才。阿貝爾又太靦腆，不好意思在陌生人面前談?wù)撍睦碚?，但他仍然堅持靦腆，不好意思在陌生人面前談?wù)撍睦碚?，但他仍然堅持?shù)學的研究工作。撰寫了數(shù)學的研究工作。撰寫了“關(guān)于一類極廣泛的超越函數(shù)的一般關(guān)于一類極廣泛的超越函數(shù)的一般性質(zhì)性質(zhì)”的論文，提交給巴黎科學院。阿貝爾在給洪堡的信中，的論文，提交給巴黎科學院。阿貝爾在給洪堡的信中，非常自信地說：非常自信

30、地說：“.已確定在下個月的科學院例會上宣讀我的已確定在下個月的科學院例會上宣讀我的論文論文,由柯西審閱由柯西審閱,恐怕還沒有來得及過目。不過，我認為這是恐怕還沒有來得及過目。不過，我認為這是一件非常有價值的工作，我很想能盡快聽到科學院權(quán)威人士一件非常有價值的工作，我很想能盡快聽到科學院權(quán)威人士的意見，現(xiàn)在正昂首以待的意見，現(xiàn)在正昂首以待.。” 可是，負責給阿貝爾審稿的柯西把論文放進抽屜里，一可是，負責給阿貝爾審稿的柯西把論文放進抽屜里，一放了之（這篇論文原稿于放了之（這篇論文原稿于1952年在佛羅倫薩重新發(fā)現(xiàn)）。阿年在佛羅倫薩重新發(fā)現(xiàn)）。阿貝爾等到年末，了無音信。一氣之下離開了巴黎，在柏林作貝

31、爾等到年末，了無音信。一氣之下離開了巴黎，在柏林作短暫停留之后于短暫停留之后于1827年年5月月20日回到了挪威。由于過渡疲勞和日回到了挪威。由于過渡疲勞和營養(yǎng)不良，在旅途上感染了肺結(jié)核。這在當時是不治之癥。營養(yǎng)不良，在旅途上感染了肺結(jié)核。這在當時是不治之癥。當阿貝爾去弗魯蘭與女朋友肯普（當阿貝爾去弗魯蘭與女朋友肯普（Christine Kemp）歡度圣）歡度圣誕節(jié)時，身體非常虛弱，但他一邊與病魔作斗爭一邊繼續(xù)進誕節(jié)時，身體非常虛弱，但他一邊與病魔作斗爭一邊繼續(xù)進行數(shù)學研究。他原希望回國后能被聘為大學教授，但是他的行數(shù)學研究。他原希望回國后能被聘為大學教授，但是他的 這一希望又一次落空。他靠給

32、私人補課謀生，一度當過這一希望又一次落空。他靠給私人補課謀生，一度當過代課教師。阿貝爾和雅可比是公認的橢圓函數(shù)論的創(chuàng)始人。代課教師。阿貝爾和雅可比是公認的橢圓函數(shù)論的創(chuàng)始人。這一理論很快就成為十九世紀分析中的重要領(lǐng)域之一，他這一理論很快就成為十九世紀分析中的重要領(lǐng)域之一，他對數(shù)論、數(shù)學物理以及代數(shù)幾何有許多應(yīng)用。阿貝爾發(fā)現(xiàn)對數(shù)論、數(shù)學物理以及代數(shù)幾何有許多應(yīng)用。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、雙周期性。此外，在交換群、二了橢圓函數(shù)的加法定理、雙周期性。此外，在交換群、二項級數(shù)的嚴格理論、級數(shù)求和等方面都有巨大的貢獻。在項級數(shù)的嚴格理論、級數(shù)求和等方面都有巨大的貢獻。在這個時候，阿貝爾的名聲隨著

33、克萊爾雜志的廣泛發(fā)行而傳這個時候，阿貝爾的名聲隨著克萊爾雜志的廣泛發(fā)行而傳遍了歐洲的所有數(shù)學中心。雅可比看見這篇橢圓函數(shù)的論遍了歐洲的所有數(shù)學中心。雅可比看見這篇橢圓函數(shù)的論文，而且知道了巴黎科學院所作的蠢事之后，非常吃驚，文，而且知道了巴黎科學院所作的蠢事之后，非常吃驚，在在1829年年3月月14日寫信給巴黎科學院表示抗議：日寫信給巴黎科學院表示抗議：“.這在我這在我們們生活的這個世紀中，恐怕是數(shù)學中最重要的發(fā)現(xiàn)，雖然向生活的這個世紀中，恐怕是數(shù)學中最重要的發(fā)現(xiàn)，雖然向老爺們老爺們的研究院提交此論文達兩年之久，但一直沒有的研究院提交此論文達兩年之久，但一直沒有得到得到諸位先生的注意，這是為什

34、么呢？諸位先生的注意，這是為什么呢？.”。 由于阿貝爾身處孤陋寡聞之地，對于這一切一無所知。阿由于阿貝爾身處孤陋寡聞之地，對于這一切一無所知。阿貝爾的病情不斷發(fā)展，甚至連醫(yī)生也束手無策了。貝爾的病情不斷發(fā)展，甚至連醫(yī)生也束手無策了。 1829年年4月月5日夜間，阿貝爾的病情急劇惡化，于日夜間，阿貝爾的病情急劇惡化，于4月月6日日上午上午11點去世。作為命運捉弄人的是，在他死后的第二天，點去世。作為命運捉弄人的是，在他死后的第二天，克萊爾寫信給阿貝爾克萊爾寫信給阿貝爾“.我國教育部決定招聘您為柏林大學教我國教育部決定招聘您為柏林大學教授授.，一個月之內(nèi)就能發(fā)出招聘書，一個月之內(nèi)就能發(fā)出招聘書.。

35、”這封信還提到，希望這封信還提到，希望阿阿貝爾能盡量用最好的藥物治療，不要考慮費用支出。他的親貝爾能盡量用最好的藥物治療，不要考慮費用支出。他的親人們聽到這一消息，禁不住淚流滿面。人們聽到這一消息，禁不住淚流滿面。一、問題的引入一、問題的引入二、泰勒定理二、泰勒定理三、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)三、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)一、問題的引入一、問題的引入問題問題: : 任一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)來表達？任一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)來表達？, )( 內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)Dzf記記為為為為中中心心的的任任一一圓圓周周內(nèi)內(nèi)以以為為KzD , 0 0rz , DK與它的內(nèi)部全包含于與它的內(nèi)部全包含于圓

36、周圓周如圖如圖:DKz.內(nèi)任意點內(nèi)任意點r0z.Krz 0 圓圓周周. 由柯西積分公式由柯西積分公式 , 有有 Kzfizf,d)(21)( 其中其中 K 取正方向取正方向., , 的的內(nèi)內(nèi)部部在在點點上上取取在在圓圓周周因因為為積積分分變變量量KzK . 1 00 zzz 所以所以0001111zzzzz 則則Dz.r0z.K. 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz 10010)()(d)(21NnnKnzzzfi KNnnnzzzfi.d)()()(21010 Kzfizf d)(21)(由高階導(dǎo)數(shù)公式由高階導(dǎo)數(shù)公式, 上式又可寫成上式

37、又可寫成 1000)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中其中 KNnnnNzzzfizR d)()()(21)(010, 0)(lim zRNN若若可知在可知在K內(nèi)內(nèi) 000)()(!)()(nnnzznzfzf. )( 內(nèi)可以用冪級數(shù)來表示內(nèi)可以用冪級數(shù)來表示在在即即Kzf令令qrzzzzz 000 , )( )(內(nèi)內(nèi)解解析析在在DKDzf 則在則在K上連續(xù)上連續(xù), , 1 則存在一個正常數(shù)則存在一個正常數(shù)M,.)( MfK 上上在在szzzfzRKNnnnNd)()()(21)(010 KNnnszzzzfd)(21000 NnnrqrM221.1qMqN 0lim NNq

38、K0)(lim zRNN在在內(nèi)成立內(nèi)成立,從而在從而在K內(nèi)內(nèi) 圓周圓周K的半徑還可以增大的半徑還可以增大,只要只要K內(nèi)即可內(nèi)即可.D在在 000)()(!)()(nnnzznzfzf的的泰勒展開式泰勒展開式)(zf在在0z泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)稱為稱為如果如果0z到到D的邊界上各點的最短距離為的邊界上各點的最短距離為,R0z那么那么)(zf在在的泰勒展開式在的泰勒展開式在 內(nèi)成立內(nèi)成立Rzz 0由上討論得重要定理由上討論得重要定理泰勒展開定理泰勒展開定理特別地，特別地，二、泰勒定理二、泰勒定理, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)泰勒展開式泰勒展開式定理定理R為

39、為0z到到的邊界上各點的最短距離的邊界上各點的最短距離, D設(shè)設(shè))(zf在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,0z為為D 內(nèi)的一內(nèi)的一點點, 00)()(nnnzzczf成立成立,泰勒介紹泰勒介紹Rzz 0時時,當當那么那么說明說明:1.由泰勒定理，復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的條件要由泰勒定理，復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的條件要比實函數(shù)時弱得多比實函數(shù)時弱得多; (想一想想一想, 為什么為什么?); , , )( . 200zRzRDzf 即即之間的距離之間的距離到最近一個奇點到最近一個奇點等于等于冪級數(shù)的收斂半徑冪級數(shù)的收斂半徑則則內(nèi)有奇點內(nèi)有奇點在在如果如果yxz0aO )(在在收收斂斂圓圓內(nèi)內(nèi)解解析析，因

40、因為為zf可可以以擴擴大大則則收收斂斂半半徑徑還還不不可可能能在在收收斂斂圓圓外外，否否又又因因為為奇奇點點 不可能在收斂圓內(nèi)不可能在收斂圓內(nèi)故奇點故奇點 只能在收斂圓周上只能在收斂圓周上因此奇點因此奇點 : )( 0已已被被展展開開成成冪冪級級數(shù)數(shù)在在設(shè)設(shè)zzf 202010)()()(zzazzaazf,)(0 nnzza那么那么,)(00azf ,)(10azf 即即)., 2 , 1 , 0( )(!10)( nzfnann,因此因此, 任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù)泰勒級數(shù), 因而是唯一的因而是唯一的.3 3. 解析解析函數(shù)在一點處的冪級

41、數(shù)函數(shù)在一點處的冪級數(shù)展開式是唯一展開式是唯一的的事實上事實上,!)(0)(nnanzf 4. 由泰勒定理及冪級數(shù)的性質(zhì)得由泰勒定理及冪級數(shù)的性質(zhì)得:函數(shù)在一點解析的函數(shù)在一點解析的充要條件是它在該點的鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù)充要條件是它在該點的鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù)三、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)三、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)常用方法常用方法: 直接法和間接法直接法和間接法. .1.直接法直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)在在將函數(shù)將函數(shù)zzf由泰勒展開定理計算系數(shù)由泰勒展開定理計算系數(shù)例如，例如，. 0 的的泰泰勒勒展展開開式式在在求求 zez),

42、2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze, 在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析因為因為ze. R所以級數(shù)的收斂半徑所以級數(shù)的收斂半徑,)( )(znzee 因因為為仿照上例仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的泰勒展開式的泰勒展開式在在與與可得可得 zzz2. 間接展開法間接展開法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開式借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合解析結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì), 冪級數(shù)運算性質(zhì)冪級數(shù)運算性質(zhì)

43、(逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo), 積分積分等等)和其它數(shù)學技巧和其它數(shù)學技巧 (代換等代換等) , 求函數(shù)的泰勒展求函數(shù)的泰勒展開式開式.間接法的優(yōu)點間接法的優(yōu)點: : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直因而比直接展開更為簡潔接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛使用范圍也更為廣泛 .例如，例如， . 0 sin 的泰勒展開式的泰勒展開式在在利用間接展開法求利用間接展開法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi例例1 1. )1 (1 2的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zz 解解 nnzzz

44、z) 1(11121 z, 11)1(12 zzz上有一奇點上有一奇點在在由于由于,1內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析且在且在 z,的冪級數(shù)的冪級數(shù)可展開成可展開成 z zz11)1 (12. 1,)1(111 znznnn上式兩邊逐項求導(dǎo)上式兩邊逐項求導(dǎo),)1(0 nnnz例例2 2. 0 )1ln( 泰泰勒勒展展開開式式處處的的在在求求對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的主主值值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一個奇點是它的一個奇點平面內(nèi)是解析的平面內(nèi)是解析的向左沿負實軸剪開的向左沿負實軸剪開的在從在從 z. 1 的的冪冪級級數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)可可以以展展開開成成所所以以它它在在zz 如圖如圖,1 Ro1 1x

45、yzzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 將展開式兩端沿將展開式兩端沿 C 逐項積分逐項積分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的曲線的曲線到到內(nèi)從內(nèi)從為收斂圓為收斂圓設(shè)設(shè)zzC 例例3 3. 1 2)( 的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù) zzzzf解解, 22)( zzzzf只有一個奇點只有一個奇點由于由于收收斂斂半半徑徑312 R2212)( zzzzf3)1(21 z3111321 znnnz 31)1(3210 ).31( 13)1(32311 zznnnn例例

46、4 4 .0arctan的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因因為為1,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所所以以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn例例5 5.cos2的的冪冪級級數(shù)數(shù)求求z解解),2cos1(21cos2zz 因為因為 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所所以以 zzzz! 62! 42! 22165432附附: 常見函數(shù)的泰勒展開式常見函數(shù)的泰勒展開式,!

47、21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z例例6 6. 11的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成把把zez 解解 利用微分方程法利用微分方程法 ,)( 11zezf 因因

48、為為211)1(1)(zezfz ,)1(1)(2zzf , 0)()()1( 2 zfzfz所所以以對上式求導(dǎo)得對上式求導(dǎo)得0)()32()()1(2 zfzzfz0)(2)()54()()1(2 zfzfzzfz由此可得由此可得,)0()0(eff ,3)0(ef ,13)0(ef 故故.! 313! 2313211 zzzeez)1( z小結(jié)與思考小結(jié)與思考 通過本課的學習通過本課的學習, 應(yīng)理解泰勒展開定理應(yīng)理解泰勒展開定理,熟記熟記五個基本函數(shù)的泰勒展開式五個基本函數(shù)的泰勒展開式,掌握將函數(shù)展開成掌握將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法泰勒級數(shù)的方法, 能比較熟練的把一些解析函數(shù)能比較熟練的把

49、一些解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)展開成泰勒級數(shù).思考題思考題奇、偶函數(shù)的泰勒級數(shù)有什么特點奇、偶函數(shù)的泰勒級數(shù)有什么特點?思考題答案思考題答案 奇函數(shù)的泰勒級數(shù)只含奇函數(shù)的泰勒級數(shù)只含 z 的奇次冪項的奇次冪項, 偶函數(shù)偶函數(shù)的泰勒級數(shù)只含的泰勒級數(shù)只含 z 的偶次冪項的偶次冪項.泰勒資料泰勒資料非凡的數(shù)學家非凡的數(shù)學家泰勒泰勒Brook TaylorBorn: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, England一、問題的引入一、問題的引入二、洛朗級數(shù)的概念二、

50、洛朗級數(shù)的概念三、函數(shù)的洛朗展開式三、函數(shù)的洛朗展開式一、問題的引入一、問題的引入問題問題: . , )( 00的其它級數(shù)形式的其它級數(shù)形式是否能表示為是否能表示為不解析不解析在在如果如果zzzzf nnnzzc)(0 考慮雙邊冪級數(shù)考慮雙邊冪級數(shù)負冪項部分負冪項部分正冪項部分正冪項部分主要部分主要部分解析部分解析部分同時收斂同時收斂收斂收斂 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收斂半徑收斂半徑收斂收斂時時,R 101RRzz 收斂域收斂域收斂半徑收斂半徑2R20Rzz :)1( 21RR 若

51、若兩收斂域無公共部分兩收斂域無公共部分:)2(21RR 兩收斂域有公共部分兩收斂域有公共部分H:.201RzzR R HR2z0R1結(jié)論結(jié)論:的的收收斂斂區(qū)區(qū)域域為為雙雙邊邊冪冪級級數(shù)數(shù)nnnzzc)(0 .201RzzR 圓圓環(huán)環(huán)域域1R2R.0z常見的特殊圓環(huán)域常見的特殊圓環(huán)域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否能展開成雙邊冪級數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否能展開成雙邊冪級數(shù)? ?二、洛朗級數(shù)的概念二、洛朗級數(shù)的概念定理定理內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，在在圓圓環(huán)環(huán)域域設(shè)設(shè) )( 201RzzRzf ,)()(0nnnzzczf Cnnzfic

52、d)()(21 10其中其中),1,0( nC為圓環(huán)域內(nèi)繞為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡單閉曲線的任一正向簡單閉曲線. 0z為洛朗系數(shù)為洛朗系數(shù). )( 內(nèi)內(nèi)可可展展開開成成雙雙邊邊冪冪級級數(shù)數(shù)此此圓圓環(huán)環(huán)域域在在那那么么zf洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)洛朗展開式洛朗展開式 0zCR2R1 d21d21)(12 KKzfizfizf證證0zRr2R.z1K2K1R.，為圓環(huán)域內(nèi)的任一點為圓環(huán)域內(nèi)的任一點設(shè)設(shè) z為為以以在在圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)作作0 z，與與中中心心的的正正向向圓圓周周21 KK，的半徑的半徑小于小于的半徑的半徑RKrK21 之之間間，與與位位于于且且使使21 KKz如圖：如圖：由多連通區(qū)域上的柯

53、西積由多連通區(qū)域上的柯西積分公式（分公式（P69推論推論2）得：）得：)()(1100zzzz 對于第一個積分對于第一個積分: 00001nnzzzz 0zRr2R.z1K2K1R. ,)()(0100 nnnzzz 22內(nèi)內(nèi)部部，在在上上，在在KzK . 1 00 zzz 則則nnnzzc)(00 d)(212 Kzfi所以所以nnKnzzzfi)(d)()(2100102 d)(212 Kzfi000111zzzz 對于第二個積分對于第二個積分: d)(211 Kzfiz 1 000111zzzzz 11外外部部，在在上上，在在KzK . 1 00 zzz 則則R2R1K2K. 0z.z1

54、R.r 1010)()(nnnzzz ,)()(10110nnnzzz d)(211 Kzfi則則)()(d)()(21011101zRzzzfiNnNnKn )(zRN d)()()(211010 KNnnnzzfzi下面證明下面證明.0)(lim1外部成立外部成立在在 KzRNN 000 zzrzzzq 令令. 10, q無無關(guān)關(guān)與與積積分分變變量量 )()( 的連續(xù)性決定的連續(xù)性決定由由因為因為又又zfMf szzzzfzRKNnnNd)(21)(1000 rqrMnNn 221.1qMqN . 0)(lim zRNN所所以以,)(01nnnzzc d)(21 1 Kzfi于于是是nnK

55、nzzzfi )(d)()(2101101 d)(21d)(21)(12 KKzfizfizf則則nnnnnnzzczzc )()(0100.)(0nnnzzc 0zCR2R1), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 如果如果C為在圓環(huán)域內(nèi)繞為在圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條正向簡單的任何一條正向簡單0z閉曲線，閉曲線，式子表示為式子表示為:nncc 與與可用一個可用一個證畢證畢則根據(jù)復(fù)合閉路定理，則根據(jù)復(fù)合閉路定理，.)()(0nnnzzczf 說明說明:函數(shù)函數(shù))(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式洛朗展開式)(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗洛朗(Laurent)級數(shù)級數(shù).

56、 nnnzzczf)()(0 1) 2) 某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負冪項的級數(shù)是唯一的，冪項的級數(shù)是唯一的， 這就是這就是 f (z) 的洛朗級數(shù)的洛朗級數(shù). 定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)的一般方法的一般方法. .三、函數(shù)的洛朗展開式三、函數(shù)的洛朗展開式1. 直接展開法直接展開法利用定理公式計算系數(shù)利用定理公式計算系數(shù)nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 然后寫出然后寫出.)()(0nnnzzczf 根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯

57、一性, 可可用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開 .2. 間接展開法間接展開法例例1 1, 0 內(nèi)內(nèi)在在 z. )( 2展開成洛朗級數(shù)展開成洛朗級數(shù)將將zezfz 解解 z0 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中本例中 z = 0 既是各負冪項的奇點既是各負冪項的奇點,. 2的奇點的奇點也是函數(shù)也是函數(shù)zez.)!2(1102 nnnzzz解解 z0zzzfsin)( .)!12()1(02 nnnnz練習練習. 0 sin 0洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)的的去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)展展開開成成在在將將函函數(shù)數(shù)

58、 zzz )!12()1(! 51! 3111253nzzzzznn例例2 2 : )2)(1(1)( 在圓環(huán)域在圓環(huán)域把函數(shù)把函數(shù) zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z內(nèi)展開成洛朗級數(shù)內(nèi)展開成洛朗級數(shù).解解,1121)( zzzfxyO1xyO12xyO2oxy1,1 z由由于于211210zznn 12 z從而從而 , 10 )1內(nèi)內(nèi)在在 zzzzzzf 21111121)( 00221nnnnnzz.)211(01 nnnz解析解析在在因為因為內(nèi)的泰勒展開式相同，內(nèi)的泰勒展開式相同，在在不含負冪項，與不含負冪項，與0)( 1)( zzfzzf , 21 )2內(nèi)內(nèi)在在 z12o

59、xy1 z由由11 z2 z12 z1121)( zzzfzzz111121121 0011221nnnnzzz.120101 nnnnnzz, 2 )3內(nèi)內(nèi)在在 z2oxy2 z由由12 z1121)( zzzfzzzz11112111 001121nnnnzzzz.1201 nnnz注意注意:0 z奇點但卻不是函數(shù)奇點但卻不是函數(shù))2)(1(1)( zzzf的奇點的奇點 .本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心是各負冪項的是各負冪項的說明說明:1. 函數(shù)函數(shù))(zf在以在以0z為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中盡管含有數(shù)中盡管含有0zz 的負冪項的負冪項, 而且而且0z又是這些又是這些項的奇點項的奇點, 但是但是0z可能是函數(shù)可能是函數(shù))(zf的奇點的奇點,也可能也可能)(zf的奇點的奇點.不是不是可可以以在在奇奇點點展展開開為為即即函函數(shù)數(shù))( zf奇點展開奇點展開洛朗級數(shù)，也可以在非洛朗級數(shù)，也可以在非2. 給定了函數(shù)給定了函數(shù))(zf與復(fù)平面內(nèi)的一點與復(fù)平面內(nèi)的一點0z以后以后,域內(nèi)解析，則在各個不同的圓環(huán)域中有不同的域內(nèi)解析，則在各個不同的圓環(huán)域中有不同的回答：不矛盾回答：不矛盾 .朗展開式是唯一的朗展開式是唯一的)問題：這與洛朗展開式的唯一性是否相矛盾問題：這與