第三章-協(xié)方差傳播率及權(quán)

1、 第三章第三章 協(xié)方差傳播率及權(quán)協(xié)方差傳播率及權(quán)3-1 協(xié)方差傳播率及其應(yīng)用3-2 權(quán)與定權(quán)的常用方法3-3 協(xié)因數(shù)陣與權(quán)陣3-4 協(xié)因數(shù)傳播率3-5 由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用3-6 系統(tǒng)誤差的傳播協(xié)方差傳播律是研究函數(shù)與自變量之間的協(xié)方差運算規(guī)律。協(xié)方差傳播律是研究函數(shù)與自變量之間的協(xié)方差運算規(guī)律。描述描述觀測值方差觀測值方差與與觀測值函數(shù)方差觀測值函數(shù)方差之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式。例如，圖中例如，圖中A A和和B B為已知點，為了確定為已知點，為了確定P P的平面坐標，觀測了邊長的平面坐標，觀測了邊長s s和角度和角度。P P點坐標為：點坐標為：式中：式中： 現(xiàn)在的問題現(xiàn)在的問題是在

2、已知是在已知觀測邊長觀測邊長s s和和角度角度的方差和協(xié)方差條件下的方差和協(xié)方差條件下，如何計算如何計算P P點坐標的方差和協(xié)方差。點坐標的方差和協(xié)方差。 BPBPsxxcosBPBPsyysin360BABP)arctan(BABABAxxyy 1 協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用一、協(xié)方差與相關(guān)一、協(xié)方差與相關(guān) 1.1.協(xié)方差協(xié)方差 協(xié)方差是用數(shù)學(xué)期望來定義的。設(shè)有觀測值協(xié)方差是用數(shù)學(xué)期望來定義的。設(shè)有觀測值X X和和Y Y，它們的協(xié)方差定義是：它們的協(xié)方差定義是： 式中式中 和和 分別是分別是X X和和Y Y的的真誤差。真誤差。 協(xié)方差則是這兩種真誤差所有可能取值的乘積的理協(xié)方差則是這兩種真誤差所有

3、可能取值的乘積的理論平均值，論平均值，即即)(1limlim2211nnyxyxyxnyxnxynn)()(YEYXEXExy)(yxxyEXXEx)(YYEy)(nyxxy 當當X X和和Y Y相互獨立時：相互獨立時： 當當X X和和Y Y相互獨立時，相互獨立時，X X和和Y Y的協(xié)方差為零。但是，逆的協(xié)方差為零。但是，逆命題卻不一定成立，即協(xié)方差為零并不意味著相互命題卻不一定成立，即協(xié)方差為零并不意味著相互獨立。獨立。 只有當只有當X X和和Y Y服從聯(lián)合正態(tài)分布時，協(xié)方差為零才是服從聯(lián)合正態(tài)分布時，協(xié)方差為零才是相互獨立的充分條件。因此，相互獨立的充分條件。因此，對于服從正態(tài)分布的對于服

4、從正態(tài)分布的觀測值，協(xié)方差為零和相互獨立是等價條件觀測值，協(xié)方差為零和相互獨立是等價條件。)()()()()()(YEXEYXEYXEXYEYEYXEXExy)()()(YEXEXYE0)()()()(YEXEYEXExy2.2.相關(guān)相關(guān) 如果協(xié)方差如果協(xié)方差為零為零，表示這兩個（或兩組）觀測值的，表示這兩個（或兩組）觀測值的誤差之間互不影響，或者說，它們的誤差是誤差之間互不影響，或者說，它們的誤差是不相關(guān)不相關(guān)的，并稱這些觀測值為不相關(guān)觀測值；的，并稱這些觀測值為不相關(guān)觀測值； 如果協(xié)方差如果協(xié)方差不為零不為零，則表示它們的誤差之間是，則表示它們的誤差之間是相關(guān)相關(guān)的，稱這些觀測值是相關(guān)觀測

5、值。的，稱這些觀測值是相關(guān)觀測值。 由于在測量上所涉及的觀測值和觀測誤差都是服從由于在測量上所涉及的觀測值和觀測誤差都是服從正態(tài)分布的隨機變量，對于正態(tài)隨機變量而言，正態(tài)分布的隨機變量，對于正態(tài)隨機變量而言，“不相關(guān)不相關(guān)”與與“獨立獨立”是等價的，所以把是等價的，所以把不相關(guān)不相關(guān)觀觀測值也稱為測值也稱為獨立觀測值獨立觀測值，同樣把，同樣把相關(guān)相關(guān)觀測值也稱為觀測值也稱為不獨立觀測值不獨立觀測值。 p在測量工作中，直接觀測得到的高差、距離、角在測量工作中，直接觀測得到的高差、距離、角度、方向和三角高程測量求得的高差等，都認為度、方向和三角高程測量求得的高差等，都認為是是獨立觀測值獨立觀測值。

6、p一般來說，獨立觀測值的各個函數(shù)之間是不獨立一般來說，獨立觀測值的各個函數(shù)之間是不獨立的，或者說是相關(guān)的，因而它們是相關(guān)觀測值。的，或者說是相關(guān)的，因而它們是相關(guān)觀測值。例如，當一個測站上的水平方向觀測值是獨立觀例如，當一個測站上的水平方向觀測值是獨立觀測值時，由這些方向值所算得的相鄰角度就是測值時，由這些方向值所算得的相鄰角度就是相相關(guān)觀測值關(guān)觀測值；又如，三角網(wǎng)或?qū)Ь€網(wǎng)中根據(jù)觀測角；又如，三角網(wǎng)或?qū)Ь€網(wǎng)中根據(jù)觀測角度和邊長求得的各點的坐標也是度和邊長求得的各點的坐標也是相關(guān)觀測值相關(guān)觀測值。 通過變換將隨機變量標準化，則兩個標準化變量乘通過變換將隨機變量標準化，則兩個標準化變量乘積的數(shù)學(xué)期

7、望就是一個無量綱的數(shù)，稱之為積的數(shù)學(xué)期望就是一個無量綱的數(shù)，稱之為相關(guān)系相關(guān)系數(shù)數(shù)： 由于由于 和和 為正，所以為正，所以 的正負取決于的正負取決于 的正負。的正負。 大于零稱為正相關(guān)，大于零稱為正相關(guān)， 小于零稱為負相關(guān)，小于零稱為負相關(guān)， 等等于零稱為不相關(guān)。可以證明于零稱為不相關(guān)。可以證明 的絕對值不大于的絕對值不大于1 1。yxxyyxxyYEYXEXE)()()(xyxyxyxyxyxyxy3.3.協(xié)方差陣協(xié)方差陣 假定有假定有 個不同精度的相關(guān)觀測值個不同精度的相關(guān)觀測值 ，它們的數(shù)學(xué)，它們的數(shù)學(xué)期望和方差分別為期望和方差分別為 和和 ，它們兩兩之間的協(xié)方，它們兩兩之間的協(xié)方差為差

8、為 , ,用矩陣表示為用矩陣表示為: : 式中式中X X為觀測值向量，簡稱為為觀測值向量，簡稱為觀測值觀測值； 為為X X的的數(shù)數(shù)學(xué)期望學(xué)期望； 為觀測值向量為觀測值向量X X的的方差方差- -協(xié)方差陣協(xié)方差陣，簡稱，簡稱為為協(xié)方差陣協(xié)方差陣。 nixix2ixjixxTnxxxX.21)(.21XETxxxXnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxTXXXXXXED2222122121211)()(XEXXXDp可以看出，協(xié)方差陣有以下幾個特點：可以看出，協(xié)方差陣有以下幾個特點： 是一個是一個n n* *n n的對稱的方陣；的對稱的方陣； 中的主對角線上的個元素中的主對角線上的個元素 為為

9、 的方差；非的方差；非主對角線中的元素主對角線中的元素 為為 關(guān)于關(guān)于 的的協(xié)方差協(xié)方差，是，是描述描述 與與 之間的相關(guān)性的量；之間的相關(guān)性的量；方差陣方差陣 也稱方差也稱方差- -協(xié)方差陣，簡稱協(xié)方差陣，簡稱方差陣方差陣或或協(xié)協(xié)方差陣方差陣； 是描述觀測向量的精度指標。它不僅給出了各是描述觀測向量的精度指標。它不僅給出了各觀測值的方差，而且還給出了其中兩兩觀測值之間觀測值的方差，而且還給出了其中兩兩觀測值之間的協(xié)方差即的協(xié)方差即相關(guān)程度相關(guān)程度。XXDXXD2xiixxixjixjxixjxXXDXXD當當 時，表示兩個隨機變量互不相關(guān)。時，表示兩個隨機變量互不相關(guān)。當當x xi i、x

10、xj j均為正態(tài)隨機變量時，表示兩個隨機變均為正態(tài)隨機變量時，表示兩個隨機變量互相獨立。量互相獨立。當當n n維隨機向量中任意兩個隨機變量均為互不維隨機向量中任意兩個隨機變量均為互不相關(guān)時，則相關(guān)時，則 。此時方差陣。此時方差陣DxxDxx即變?yōu)閷醋優(yōu)閷顷嚕航顷嚕?2221000000nxxD)(0jiij0 xixj4.4.互協(xié)方差陣互協(xié)方差陣 設(shè)有觀測值向量 和 ，它們的數(shù)學(xué)期望分別為 和 。 令： ；則 的協(xié)方差陣為： 式中 和 分別為X和Y的協(xié)方差陣， 是X關(guān)于Y的互協(xié)方差陣互協(xié)方差陣。1 ,nX1 , rY1 ,nX1 ,rYYXZZYYYXXYXXZZDDDDDXXDYYDXY

11、DrnnnrryxyxyxyxxxyxyxyxyxXYD212221212111YXTTYXXYDYXED)(p互協(xié)方差陣說明：互協(xié)方差陣說明：互協(xié)方差陣中的元素均為互協(xié)方差陣中的元素均為協(xié)方差協(xié)方差；互協(xié)方差陣互協(xié)方差陣D DXYXY和和D DYXYX互為互為轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置；若若D DXYXY=0=0，則稱，則稱X X與與Y Y是相互獨立的觀測向量；是相互獨立的觀測向量；互協(xié)方差陣是表征兩組觀測向量間兩兩觀測值相互協(xié)方差陣是表征兩組觀測向量間兩兩觀測值相關(guān)程度的指標；互協(xié)方差陣一般關(guān)程度的指標；互協(xié)方差陣一般不是方陣不是方陣；當當X X和和Y Y的維數(shù)的維數(shù)n=r=1n=r=1時，互協(xié)方差陣就是時

12、，互協(xié)方差陣就是X X關(guān)于關(guān)于Y Y的協(xié)方差。的協(xié)方差。二、觀測值線性函數(shù)的方差二、觀測值線性函數(shù)的方差 設(shè)有觀測值向量 ，其數(shù)學(xué)期望為 ，協(xié)方差陣為 ,即 式中 為 的方差， 為 和 的協(xié)方差，又設(shè)有 的線性函數(shù)為： 令： 則： XXXXD2212222111212212121),()()()(,nnnnnXXnnXnDXEXEXEXEXXXX2iiXijiXjXX02211kXkXkXkZnn.21nkkkK 1 , 101 , 11 , 1kXKZnn 對上式兩邊取數(shù)學(xué)期望：對上式兩邊取數(shù)學(xué)期望： Z Z的方差為：的方差為： 即：即： 000)()()(kKkXKEkKXEZEXTZZZ

13、EZZEZED)()(TXXkKkKXkKkKXE)(0000TTXXKXXKE)(TTXXKXXKE)(1 , 121 , 1nTnnXXnZZZKDKD 當向量 中的各分量兩兩獨立時，它們之間的協(xié)方差 =0，此時上式為： 線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律敘述為： 設(shè)有函數(shù)： 則：133112212222222121222kkkkkkkDnnZZZnnnnnnkkkk, 111122), 2 , 1(niXiij22222221212nnZZZkkkD0KKXZTXXZZKKDD例例1-2 1-2 在在1 1：500500的圖上，量得某兩點間的距離的圖上，量得某兩點間的距離 =23.4mm,d=23.

14、4mm,d的量測中的誤差的量測中的誤差 = =0.2mm0.2mm，求該兩點實地，求該兩點實地距離距離 及中誤差及中誤差 。解：解：ddSSmmmdS7 .11117004 .23500500222500dsmmmdS1 . 0100)2 . 0(500500m1 .07 .11S最后寫成最后寫成: : 三、三、多個多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣陣 設(shè)有觀測值向量 和 ， 的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差陣分別為 和 ， 的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差陣分別為 和 ， 關(guān)于 的互協(xié)方差陣為 。 1 ,nX1 , rYXxXXDYyYYDXYXYDnXXXX21)()()(2121nXXXXXEXEX

15、En2222122121211nnnnnXXXXXXXXXXXXXXXXXDrYYYY21)()()(2121rYYYYYEYEYEr2222122121211rrrrrYYYYYYYYYYYYYYYYYDrnnnrrYXYXYXYXYXYXYXYXYXXYD212221212111TXYYXDD若有 的 個線性函數(shù)：若令： 則：Xt0221120222212121012121111tntntttnnnnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZttZZZZ211,tnttnnntkkkkkkkkkK212222111211,020101 ,0ttkkkK1,01,1,tnnttKXKZ

16、00)()(KKKKXEZEx)()(,TttZZZEZZEZED)(TxxKKXKKXETTxxKXXKE)(tnTnnXXntttZZKDKD, 設(shè)另有 的 個線性函數(shù)Ys0221120222212121012121111srsrsssrrrrfYfYfYfWfYfYfYfWfYfYfYfWssWWWW211 ,srssrrrsfffffffffF212222111211,020101,0ssfffF0FFYW0)(FFWEysrTrrYYrsssWWFDFD,令則根據(jù)互協(xié)方差陣的定義：)()(TZWWEWZEZED)(0000TYxFFFFYKKKKXETTYxFYXKE)(srTrnX

17、YntFDK,)()(TWZZEZWEWED)(0000TxYKKKKXFFFFYETTxYKXYFE)(tnTnrYXrsKDF,協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律 設(shè)有觀測值向量設(shè)有觀測值向量 和和 的線性函數(shù)：的線性函數(shù)： 的協(xié)方差陣的協(xié)方差陣 ， 的協(xié)方差陣的協(xié)方差陣 ， 關(guān)于關(guān)于 的互的互協(xié)方差陣為協(xié)方差陣為 （ ），）， 、 、 、 為常系數(shù)為常系數(shù)陣。則有如下方差和協(xié)方差計算公式：陣。則有如下方差和協(xié)方差計算公式： 這就是這就是協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律的實用計算公式，其它計算公式的實用計算公式，其它計算公式均可由此導(dǎo)出。均可由此導(dǎo)出。 XY00FFYWKKXZXXXDYYYDXYXYDTX

18、YYXDDK0KF0FTXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDD線性函數(shù)的協(xié)方差和線性函數(shù)的協(xié)方差和多多個線性函數(shù)的協(xié)方差陣個線性函數(shù)的協(xié)方差陣在在形式上完全相同形式上完全相同，且推導(dǎo)過程也相同；，且推導(dǎo)過程也相同；所不同的是：所不同的是： 表示的是一個方陣；表示的是一個方陣；前者是一個函數(shù)值的前者是一個函數(shù)值的方差方差（1 1行行1 1列）；列）；而后者是而后者是t t個函數(shù)值的個函數(shù)值的協(xié)方差陣協(xié)方差陣（t t行行t t列）。列）。即：前者是后者的特殊情況即：前者是后者的特殊情況。ZZD（1）計算 、 、0KKXZ0FFYWWZSFYKXRXXDYYDXYDT

19、XYYXDDK0KF0FZZDWWDWZDSSDRRDZXDZYDZZDWWDWZDTXXZZKKDDTYYWWFFDDTXYZWFKDDTZWWZDDSSDTYYTYXTXYTXXWWWZZWZZSSFFDKFDFKDKKDDDDDDRRDYXFKFYKXRTYYTYXTXYTXXTTYYYXXYXXRRFFDKFDFKDKKDFKDDDDFKDZXD0KKXZIXX IXXTXXZXKDIKDDZYD0KKXZIYY XYTXYZYKDIKDD0000KYXKKKXZYXIY0XYXYXXYYYXXYXXZYKDIKDKDIDDDDKD000小 結(jié)1. 協(xié)方差傳播律：00FFYWKKXZT

20、XYZWTYXWZTYYWWTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDD00FFXWKKXZTXXZWTXXWZTXXWWTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDD四、單個非線性函數(shù)四、單個非線性函數(shù) 設(shè)有觀測值設(shè)有觀測值 的非線性函數(shù)：的非線性函數(shù)： 或表示為或表示為 已知已知 的協(xié)方差陣的協(xié)方差陣 ，求，求 的方差的方差 。假定觀測值假定觀測值 有近似值：有近似值： 將函數(shù)式將函數(shù)式 按泰勒級數(shù)在點按泰勒級數(shù)在點 處展開為：處展開為：1 ,nX)(XfZ ),(21nXXXfZ1nXXXDZZZDXTnnXXXX002011 ,0),(21nXXXfZ00201nXXX、)()(),(011

21、0100201XXXfXXXfZn二次以上項）()()()()(0002202nnnXXXfXXXf式中式中 是函數(shù)對各個變量所取的偏導(dǎo)數(shù)，并是函數(shù)對各個變量所取的偏導(dǎo)數(shù)，并以以 近似值代入所算得的數(shù)值，它們都是常數(shù)，近似值代入所算得的數(shù)值，它們都是常數(shù)，當當 與與 非常接近時，上式中二次以上各項很非常接近時，上式中二次以上各項很微小，可以略去，將上式寫為：微小，可以略去，將上式寫為： 令：令： 得：得： 這樣，就將非線性函數(shù)式化成了線性函數(shù)式，然后這樣，就將非線性函數(shù)式化成了線性函數(shù)式，然后用線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律計算協(xié)方差。用線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律計算協(xié)方差。0)iXf（0X0XX0010

22、02010202101)(),()()()(iniinnnXXfXXXfXXfXXfXXfZ0020121)()()(nnXfXfXfkkkK01002010002211),(iniinnnXkXXXfkkKXkXkXkXkZTXXZZKKDD如果令：如果令： 則上式可寫為則上式可寫為 上式是上式是非線性函數(shù)式的全微分非線性函數(shù)式的全微分。根據(jù)協(xié)方差傳播律：。根據(jù)協(xié)方差傳播律：為求非線性函數(shù)的方差，對它求全微分就可以了。為求非線性函數(shù)的方差，對它求全微分就可以了。002010210,)(), 2 , 1(nTniiiXXXfZZZdZdXdXdXdXniXXdXKdXdXXfdXXfdXXfd

23、Znn0202101)()()(ZZdzdzXXdxdxDDDDjiji,五、多個非線性函數(shù)五、多個非線性函數(shù) 如果有如果有 的的 個非線性函數(shù)個非線性函數(shù) 將將 個函數(shù)求全微分得個函數(shù)求全微分得Xt),(),(),(2121222111nttnnXXXfZXXXfZXXXfZtnnttttnnnndXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZ02021010220221012201202110111)()()()()()()()()(若記若記 則有：則有：根據(jù)根據(jù)協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律得得 的協(xié)方差陣：的協(xié)方差陣：因此，對于非線性函數(shù)，因此，對于非線性

24、函數(shù)，首先首先將其線性化，將其線性化，然后然后用線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律計算。用線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律計算。線性化方法可用泰勒級數(shù)展開或求全微分。線性化方法可用泰勒級數(shù)展開或求全微分。ttZZZZ211 ,ttdZdZdZdZ211 ,00201022201201021011,)()()()()()()()()(ntttnnntXfXfXfXfXfXfXfXfXfKKdXdZ 1 , tZTXXZZKKDDaabb0ababs dbdaabadbbdads2222222babbaabasabababbaslnlnlnbdbadasdsdbdaabadbbdads2222222babbaabasa

25、babab 設(shè)：設(shè)： ， 和和 的方差為零，的方差為零， 的方差為的方差為 ， 的方差為的方差為 ，且，且計算計算 ？解：解：)cos(BABPsxx)sin(BABPsyyBxByBAs2s20sPPPPyxyx,22ddsssdydxBABABABAPP/ )cos()sin(/ )sin()cos(222200)cos()sin()sin()cos(sBABABABAYXYYXXssPPPPPP)cos()sin()sin()cos(BABABABAss22222)sin()(cos(BAsBAXsP22222)cos()(sin(BAsBAYsP2222)cos()sin()sin()

26、cos(BABAsBABAYXsPP如果如果 以以弧度弧度為單位，則該項不需要。為單位，則該項不需要。 通常以通常以秒秒為單位，則為單位，則 。 在測量工作中，常用在測量工作中，常用來衡量點的精度，點位方差來衡量點的精度，點位方差等于該點在兩個互相垂直方向上的方差之和，即：等于該點在兩個互相垂直方向上的方差之和，即： 通常通常 稱為稱為縱向方差縱向方差，它是由邊長它是由邊長BPBP方差引起的。在方差引起的。在BPBP邊的垂直方向的方差邊的垂直方向的方差 稱為稱為橫向方差橫向方差，它是由邊的坐標方，它是由邊的坐標方位角的方差引起的。位角的方差引起的。點位方差也可由和來計算。即：點位方差也可由和來

27、計算。即：)(8 .206264)(3438)(29578.571800秒分度dd206265222PPYXP22222ssp2222su2S2u222uSpSPPPAB是用于角度與弧度的換算。 實際測量中，縱橫向精度一致都是指實際測量中，縱橫向精度一致都是指中誤差中誤差，即，即 結(jié)論：當角度誤差的弧度值等于距離測量的相對誤差時，點位縱橫向精度一致。 例：例： ，測距相對誤差為，測距相對誤差為 ，問測角，問測角的中誤差的中誤差點位精度分析點位精度分析SuSS 51022000001 12000001點位縱橫向精度點位縱橫向精度相同相同。應(yīng)用協(xié)方差傳播律的具體步驟應(yīng)用協(xié)方差傳播律的具體步驟 1.

28、1.按要求寫出函數(shù)式，如：按要求寫出函數(shù)式，如：2.2.如果為非線性函數(shù)，則對函數(shù)式求全微分，如果為非線性函數(shù)，則對函數(shù)式求全微分，得：得： 3.3.寫成矩陣形式：寫成矩陣形式： 或或 4.4.應(yīng)用協(xié)方差傳播律求方差或協(xié)方差陣。應(yīng)用協(xié)方差傳播律求方差或協(xié)方差陣。), 2 , 1(),(21tiXXXfZniinniiiidXXfdXXfdXXfdZ0202101)()()(), 2 , 1(tiKXZ KdXdZ 經(jīng)個N測站測定兩水準點A、B間的高差，其中第i(i=1,2N)站的觀測高差為解：A、B兩水準點間的高差為：設(shè)：各測站觀測高差是精度相同的獨立觀測值，其中誤差均為 ，應(yīng)用協(xié)方差傳播律，

29、得設(shè)：若水準路線敷設(shè)在平坦的地區(qū)，前后量測站間的距離s大致相等，設(shè)A、B間的距離為S，則測站數(shù)N=S/s，代入上式得：如果S=1km，s以km為單位，則一公里的測站數(shù)為：而一公里觀測高差的中誤差即為：所以，距離為S公里的A、B兩點的觀測高差的中誤差為： ihNABhhhh21站22222站站站站NABh站NABh站sSABhsN1站公里s1公里SABh結(jié)論：當各測站高差的觀測精度相同時，水準測量高差的中誤差與測站數(shù)的平方根成正比；當各測站的距離大致相等時，水準測量高差的中誤差與距離的平方根成正比。 設(shè)對某量以同精度獨立觀測了N次，得觀測值 ，它們的中誤差均等于 。求N個觀測值的算術(shù)平均值的中誤

30、差。解：應(yīng)用協(xié)方差傳播律得： 即：即：N N個同精度獨立觀測值的算術(shù)平均值的中誤差，等于各觀個同精度獨立觀測值的算術(shù)平均值的中誤差，等于各觀測值的中誤差除以測值的中誤差除以 。NLLL、21 NLNLNLNNLx11121，NNNNx22222222111NNx/ 一個觀測結(jié)果同時受到許多獨立誤差的聯(lián)合影響。在這種情況下，觀測結(jié)果的真誤差是各個獨立誤差的代數(shù)和，即由于這里的真誤差是相互獨立的，各種誤差的出現(xiàn)都是隨機的，因而也可由（1-5-12）并顧及 得出它們之間的方差關(guān)系式 即觀測結(jié)果的方差觀測結(jié)果的方差 , ,等于各獨立誤差所對應(yīng)的方差之和。等于各獨立誤差所對應(yīng)的方差之和。nZ210ij2

31、22212nZ2Z協(xié)方差傳播律 小結(jié)1. 線性函數(shù)：2. 非線性函數(shù) 只需對函數(shù)全微分，然后按協(xié)方差傳播律計算即可。00FFYWKKXZTXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDD),(21nXXXfZKdXdXXfdXXfdXXfdZnn0202101)()()(TXXZZKKDD3ppppHHHH第二節(jié) 權(quán)與定權(quán)的常用方法如圖所示，在水準測量中，如圖所示，在水準測量中，A A、B B、C C為三個已知點，為三個已知點，P P為待定點，由為待定點，由3 3個已知點分別向待定點做水準測個已知點分別向待定點做水準測量，假設(shè)每公里的觀測精度相同，而三條水準路量，假設(shè)每公

32、里的觀測精度相同，而三條水準路線的長度不同，分別為線的長度不同，分別為S1S1、S2S2、S3S3，最終，最終P P點高程點高程如何計算？取三次測量的平均值可以嗎？如何計算？取三次測量的平均值可以嗎？pppHHH、設(shè)三條水準路線求得的設(shè)三條水準路線求得的P P點高程分別為：點高程分別為：則：則：設(shè)有一組觀測值設(shè)有一組觀測值 (i(il l，2 2，n)n)，它們的方差為，它們的方差為 (i=1(i=1，2 2，n)n)，如選定任一常數(shù)，如選定任一常數(shù) ，則定義觀測值，則定義觀測值 的權(quán)為：的權(quán)為：稱稱p pi i為觀測值為觀測值L Li i的權(quán)。的權(quán)。iL2i0220iip2222122022

33、20212021111nnnppp：權(quán)之間的比例關(guān)系權(quán)之間的比例關(guān)系: :數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)描述：權(quán)之比權(quán)之比= =相應(yīng)方相應(yīng)方差倒數(shù)之比差倒數(shù)之比表示各觀測值方差之間按比例關(guān)系的數(shù)字特征表示各觀測值方差之間按比例關(guān)系的數(shù)字特征權(quán)權(quán)觀測高差：觀測高差：水準路線長度：水準路線長度：設(shè)每公里觀測值高差的方差為設(shè)每公里觀測值高差的方差為各水準路線的方差為：各水準路線的方差為：4321hhhh、kmS0 . 11kmS0 . 22kmS0 . 43kmS0 . 842公里2424232322222121,公里公里公里公里SSSS2120125. 0,25. 0,50. 0,00. 14321pppp2420

34、00. 1,00. 2,00. 4,00. 84321pppp222212202220212021111nnnppp：例1-93.3.權(quán)是用來比較各觀測值間精度高低的，是相對精度指標，權(quán)是用來比較各觀測值間精度高低的，是相對精度指標，權(quán)的意義不在于其本身數(shù)值大小，重要是其之間的比例關(guān)權(quán)的意義不在于其本身數(shù)值大小，重要是其之間的比例關(guān)系。對于單個觀測值而言，權(quán)無意義。系。對于單個觀測值而言，權(quán)無意義。權(quán)的性質(zhì)：權(quán)的性質(zhì)：1.1.選定一個選定一個 值，即有一組對應(yīng)的權(quán)。反之亦成立。值，即有一組對應(yīng)的權(quán)。反之亦成立。204.4.為了使權(quán)能起到比較精度高低的作用，同一問題只能選為了使權(quán)能起到比較精度高

35、低的作用，同一問題只能選定一個定一個 值。值。202.2.一組觀測值的權(quán)，其大小隨著一組觀測值的權(quán)，其大小隨著 的不同而異，但的不同而異，但不論不論 選用何值，選用何值，權(quán)之間的比例關(guān)系不變權(quán)之間的比例關(guān)系不變。20206.6.事先給出一定的條件，就可以確定出觀測值的權(quán)的數(shù)值事先給出一定的條件，就可以確定出觀測值的權(quán)的數(shù)值。5.5.權(quán)與中誤差的平方成反比，中誤差越小，權(quán)越大，表權(quán)與中誤差的平方成反比，中誤差越小，權(quán)越大，表明觀測值越可靠。明觀測值越可靠。 “ “單位權(quán)單位權(quán)”的定義：的定義：等于等于1 1的權(quán)為的權(quán)為單位權(quán)單位權(quán)； 對應(yīng)的觀測值為對應(yīng)的觀測值為單位權(quán)觀測值單位權(quán)觀測值； 對應(yīng)觀

36、測值的中誤差稱為對應(yīng)觀測值的中誤差稱為單位權(quán)中誤差單位權(quán)中誤差。可見：可見：權(quán)定義中，權(quán)定義中， 稱為單位權(quán)方差。（即所選的稱為單位權(quán)方差。（即所選的 值一值一經(jīng)選定，就有具體含義了）經(jīng)選定，就有具體含義了）2020 同類觀測值同類觀測值： 權(quán)是無量綱，無單位；權(quán)是無量綱，無單位； 不同類觀測值不同類觀測值：權(quán)是有單位的。例如：權(quán)是有單位的。例如：邊角網(wǎng)中：設(shè)測角中誤差單位為邊角網(wǎng)中：設(shè)測角中誤差單位為“秒秒”；測邊中誤差；測邊中誤差單位為單位為“mm”mm”若若 單位取秒，則角度的權(quán)無單位，邊長的權(quán)的單單位取秒，則角度的權(quán)無單位，邊長的權(quán)的單位為：位為：若若 單位取單位取mmmm，則邊長的權(quán)

37、無單位，角度的權(quán)的單，則邊長的權(quán)無單位，角度的權(quán)的單位為：位為：022/mm秒022/秒mm220iip（1 1）設(shè)單位長度（例如一公里）的距離觀測值的方差為）設(shè)單位長度（例如一公里）的距離觀測值的方差為 ，則全長為，則全長為S S公里的距離觀測值的方差為公里的距離觀測值的方差為 取長度為取長度為C C公里的距離觀測值方差為單位權(quán)方差，即：公里的距離觀測值方差為單位權(quán)方差，即： 則距離觀測值的權(quán)為：則距離觀測值的權(quán)為： （2 2）設(shè)長度為）設(shè)長度為S S公里的距離觀測值的方差為公里的距離觀測值的方差為 ， 和和 分別為測距固定誤差和比例誤差。分別為測距固定誤差和比例誤差。取單位權(quán)方差取單位權(quán)方

38、差則距離觀測值的權(quán)為：則距離觀測值的權(quán)為：222SSSCpSS2202)(bSa ab220C2)(bSaCpSC20（1 1）設(shè)每公里的觀測高差的方差均相等，均為）設(shè)每公里的觀測高差的方差均相等，均為 ；第；第i i條水準線路的觀測高差為條水準線路的觀測高差為 ，長度為，長度為 公里公里則第則第i i條水準線路（觀測高差）的方差為：條水準線路（觀測高差）的方差為： 取線路長度為取線路長度為C C公里的觀測高差的方差為單位權(quán)方差：公里的觀測高差的方差為單位權(quán)方差： 則線路長度為則線路長度為 公里的觀測高差的權(quán)為：公里的觀測高差的權(quán)為：ih2公里iSiiS22公里C220公里iSiiSSCSCp

39、i22公里公里若某段高差的距離若某段高差的距離 ，則他的權(quán)為，則他的權(quán)為ipC當當 時，有時，有1ip C C的兩個意義：的兩個意義： （1 1）C C是是1 1公里的觀測高差的權(quán)；公里的觀測高差的權(quán)；（2 2）C C是單位權(quán)觀測高差的公里數(shù)。是單位權(quán)觀測高差的公里數(shù)。1iSCSi1,2,iiCpinS由協(xié)方差傳播律得，各觀測高差的中誤差為由協(xié)方差傳播律得，各觀測高差的中誤差為1,2,iiSin公里0C公里設(shè)單位權(quán)中誤差為：設(shè)單位權(quán)中誤差為：由權(quán)定義得：由權(quán)定義得：且有關(guān)系：且有關(guān)系：1212121 11:nnnC CCp ppS SSS SS在水準測量中，若已知每一公里的觀測高差的中誤差均在

40、水準測量中，若已知每一公里的觀測高差的中誤差均相等相等 ，設(shè)為已知各路線的觀測距離為，設(shè)為已知各路線的觀測距離為 12nSSS， ，公里例1-10即當各測站的觀測高差為同精度時，各路線的權(quán)與測站數(shù)成反比。（2 2）設(shè)每一測站觀測高差的精度相同，其方差均為）設(shè)每一測站觀測高差的精度相同，其方差均為 ；第第i i條水準線路的觀測高差為條水準線路的觀測高差為 ，測站數(shù)為，測站數(shù)為 , ,則第則第i i條水準線路（觀測高差）的方差為：條水準線路（觀測高差）的方差為： 取測站數(shù)為取測站數(shù)為C C的高差觀測值為單位權(quán)方差：的高差觀測值為單位權(quán)方差： 則第則第i i條水準線路（觀測高差）的權(quán)為：條水準線路（

41、觀測高差）的權(quán)為：2站iNiiN22站C220站iiiNCNCp22站站ih若某段高差的測站數(shù)若某段高差的測站數(shù) ，則他的權(quán)為，則他的權(quán)為ipC1iN 當當 時，有時，有1ip iNCC C的兩個意義：的兩個意義：（1 1）C C是是1 1測站的觀測高差的權(quán)；測站的觀測高差的權(quán)；（2 2）C C是單位權(quán)觀測高差的測站數(shù)。是單位權(quán)觀測高差的測站數(shù)。設(shè)每站觀測高差精度相同，其中誤差均為設(shè)每站觀測高差精度相同，其中誤差均為站如圖所示，在水準網(wǎng)中，有如圖所示，在水準網(wǎng)中，有n=7條水準路線，現(xiàn)沿每一條路線測定兩點條水準路線，現(xiàn)沿每一條路線測定兩點間的高差，得各路線的觀測高差為間的高差，得各路線的觀測高

42、差為 ，各路線的測站數(shù)分別，各路線的測站數(shù)分別為為12nhhh， ，12nNNN，1,2,iiCpinN由協(xié)方差傳播律得，各觀測高差的中誤差為由協(xié)方差傳播律得，各觀測高差的中誤差為1,2,iiNin站0C站設(shè)單位權(quán)中誤差為：設(shè)單位權(quán)中誤差為：由權(quán)定義得：由權(quán)定義得：且有關(guān)系：且有關(guān)系：121212111: : : :nnnC CCp ppN NNN NN例1-11即當各測站的觀測高差為同精度時，各路線的權(quán)與測站數(shù)成反比。在水準測量中，究竟是用水準路線的距離在水準測量中，究竟是用水準路線的距離S S定權(quán)，定權(quán)，還是用測站數(shù)定權(quán)，要視具體情況而定。還是用測站數(shù)定權(quán)，要視具體情況而定。一般來說，起伏

43、不大的地區(qū)，每公里的測站數(shù)大致一般來說，起伏不大的地區(qū)，每公里的測站數(shù)大致相同，可按水準路線的距離定權(quán)；相同，可按水準路線的距離定權(quán)；而起伏較大的地區(qū)，每公里測站數(shù)相差較大，則按而起伏較大的地區(qū)，每公里測站數(shù)相差較大，則按測站數(shù)定權(quán)。測站數(shù)定權(quán)。設(shè)有設(shè)有 它們分別是它們分別是 次同精度觀測值的平均值，次同精度觀測值的平均值，若每次觀測的方差均為若每次觀測的方差均為 ，則則 的方差為：的方差為： ?。喝。簞t算術(shù)平均值則算術(shù)平均值 的權(quán)的權(quán) 為：為： nLLL，21nNNN，212iLiiN22C220iLipCNpiii220若某段高差的測站數(shù)若某段高差的測站數(shù) ，則他的權(quán)為，則他的權(quán)為1iN

44、當當 時，有時，有1ip iNCC C的兩個意義：的兩個意義：（1 1）C C是一是一次觀測的次觀測的權(quán)權(quán)倒數(shù)倒數(shù)；（2 2）C C是單位權(quán)觀測值觀測的次數(shù)。是單位權(quán)觀測值觀測的次數(shù)。即由不同次數(shù)的同精度觀測值所算得的算術(shù)平均值，其權(quán)與觀測次數(shù)成正比。Cpi1邊角網(wǎng)中有兩類不同量綱的觀測值：方向（或角度）和邊長。邊角網(wǎng)中有兩類不同量綱的觀測值：方向（或角度）和邊長。設(shè)方向觀測值設(shè)方向觀測值 的方差為的方差為 （ ），），邊長觀測值邊長觀測值 的方差為的方差為（ 、 或或 ）?。喝。簞t方向觀測值則方向觀測值 的權(quán)的權(quán) ： （無單位）。（無單位）。邊長觀測值邊長觀測值 的權(quán)的權(quán),.)2 , 1(

45、iLi22秒,.)2 , 1(jSj22)(jSbSaj2毫米2厘米2分米220iL1ipjS22)(jjbSap22毫米秒例1-12在邊角網(wǎng)中，已知測角中誤差為1.0，測邊中誤差為2.0cm，試確定它們的權(quán)。解：設(shè)解：設(shè)0 = = 1.0 則由則由1 1權(quán)定義得：權(quán)定義得：222220220)/(25.0)2()1 (1cmcmPPss 第三節(jié) 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律 權(quán)是一種比較權(quán)是一種比較觀測值觀測值之間精度高低的指標，同之間精度高低的指標，同樣可以用權(quán)來比較各個樣可以用權(quán)來比較各個觀測值觀測值函數(shù)函數(shù)之間的精度。之間的精度。 在此引進在此引進協(xié)因數(shù)協(xié)因數(shù)和和協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣的概念解決根據(jù)

46、觀的概念解決根據(jù)觀測值的權(quán)來求觀測值函數(shù)權(quán)的問題。測值的權(quán)來求觀測值函數(shù)權(quán)的問題。 一、協(xié)因數(shù)一、協(xié)因數(shù)2021iiiipQ定義定義：協(xié)因數(shù)就是權(quán)倒數(shù)，用：協(xié)因數(shù)就是權(quán)倒數(shù)，用Q Qiiii表示。表示。即：即：或：或：iiQi220表明：任意觀測值的方差總是等于單位權(quán)方差與該觀測值協(xié)因數(shù)（權(quán)倒數(shù)）的乘積。設(shè)有觀測值設(shè)有觀測值 和和 ，它們的權(quán)分別為它們的權(quán)分別為 和和 ，它們的方差分別為它們的方差分別為 和和 ，它們之間的協(xié)方差為它們之間的協(xié)方差為 ，單位權(quán)方差為，單位權(quán)方差為 。 令：令： 或?qū)憺椋夯驅(qū)憺椋?稱稱 為為 的的協(xié)因數(shù)或權(quán)倒數(shù)協(xié)因數(shù)或權(quán)倒數(shù)， 為為 的協(xié)因數(shù)或權(quán)倒數(shù)，的協(xié)因數(shù)或權(quán)

47、倒數(shù)， 為為 關(guān)于關(guān)于 的協(xié)因數(shù)或的協(xié)因數(shù)或 相關(guān)權(quán)倒數(shù)。相關(guān)權(quán)倒數(shù)。iLjL2i2jij2020202202,1,1ijijjjjjiiiiQpQpQijijjjjiiiQQQ20202202,iLjLiiQiLjLjjQiPjPijQ協(xié)因數(shù)與權(quán)成反比，因此，也可作為衡量精度的相對指標。 當 =0，說明兩觀測值獨立（不相關(guān)）。ijQ設(shè)有觀測值向量設(shè)有觀測值向量X X和和Y Y，它們的方差陣分別為它們的方差陣分別為 和和 ，X X關(guān)于關(guān)于Y Y的互協(xié)方差陣為的互協(xié)方差陣為 ，單位權(quán)方差為單位權(quán)方差為 。 令：令： 或?qū)憺椋夯驅(qū)憺椋?稱稱 為為X X的的協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣, , 為為Y Y的的協(xié)因

48、數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣， 為為X X關(guān)于關(guān)于Y Y的的互協(xié)因數(shù)陣互協(xié)因數(shù)陣。nnXXD,rrYYD,rnXYD,20XYrnXYYYrrYYXXnnXXDQDQDQ20,20,20,1,1,1XYXYYYYYXXXXQDQDQD202020,XXQYYQXYQ二、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣二、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣 1. 1.協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣ttt2t12t22211t121120220222021202220222202212021202122021120QQQQQQQQQ1ttttttXXXXDQ協(xié)因數(shù)陣的特點：協(xié)因數(shù)陣的特點：1.1.主對角元素主對角元素 是隨機變量是隨機變量 的協(xié)因數(shù)，即權(quán)倒數(shù)。的協(xié)因數(shù)，即權(quán)倒

49、數(shù)。iXiiQ2.2.非主對角元素非主對角元素 是隨機變量是隨機變量 關(guān)于隨機變量關(guān)于隨機變量 的互協(xié)因數(shù)，且有的互協(xié)因數(shù)，且有 ，因此協(xié)因數(shù)陣也為，因此協(xié)因數(shù)陣也為對稱陣對稱陣。 iXjiQijjXXXQ協(xié)因數(shù)陣jiijQQ 4. 4. 表明隨機變量表明隨機變量 與隨機變量與隨機變量 獨立，獨立，不相關(guān)。不相關(guān)。jiQij 0iXjX3. 3. 中的元素就是中的元素就是 關(guān)于關(guān)于 的相關(guān)權(quán)倒數(shù)。的相關(guān)權(quán)倒數(shù)。XYQiXjX 互協(xié)因數(shù)陣定義：互協(xié)因數(shù)陣定義： 對于對于 則有協(xié)因數(shù)陣則有協(xié)因數(shù)陣111)(YXZtrtYYYXXYXXZZQQQQQ 其中非主對角線元素稱其中非主對角線元素稱X X關(guān)

50、于關(guān)于Y Y的互協(xié)因數(shù)陣。的互協(xié)因數(shù)陣。2 2、互協(xié)因數(shù)陣、互協(xié)因數(shù)陣三、權(quán)陣三、權(quán)陣 設(shè)有設(shè)有獨立觀測值獨立觀測值 ，其方差為，其方差為 ，權(quán)，權(quán)為為 ，單位權(quán)方差為，單位權(quán)方差為 。 的協(xié)因數(shù)陣為：的協(xié)因數(shù)陣為： ）（niXi,2 , 12iip20nnXXXX211 ,22221,0000000nnnXXDnnnXXPPPP00000021,XnnXXXXpppDQ101000100000001212022022202120IQPQPXXXXXXXX11. 是由獨立觀測值是由獨立觀測值 的權(quán)的權(quán) 構(gòu)成的對角陣。構(gòu)成的對角陣。iXXXPip2.2. 與協(xié)因數(shù)陣與協(xié)因數(shù)陣 互為逆陣，通常稱互

51、為逆陣，通常稱 為為 的權(quán)陣的權(quán)陣XXPiXXXPXXQ則有則有1.1.獨立觀測值的協(xié)因數(shù)陣獨立觀測值的協(xié)因數(shù)陣 、權(quán)陣、權(quán)陣 是對角是對角陣，陣，權(quán)陣主對角元素就是相應(yīng)觀測值的權(quán)。權(quán)陣主對角元素就是相應(yīng)觀測值的權(quán)。XXPXXQ2.2.當觀測值相關(guān)，其協(xié)因數(shù)陣當觀測值相關(guān)，其協(xié)因數(shù)陣 是非對角陣，是非對角陣，權(quán)陣權(quán)陣 的主對角元素不再是相應(yīng)觀測值的主對角元素不再是相應(yīng)觀測值 的權(quán)。的權(quán)。XXPXXQiX權(quán)陣說明權(quán)陣說明：1212222111211XXnnnnnnXXQPPPPPPPPPP則，則， 稱為稱為 的權(quán)陣。的權(quán)陣。XXXP對于對于相關(guān)的觀測向量相關(guān)的觀測向量 ，我們令，我們令I(lǐng)QPQP

52、XXXXXXXX1X1XXXXQP定義：定義：協(xié)因數(shù)陣的逆陣為協(xié)因數(shù)陣的逆陣為權(quán)陣權(quán)陣。即。即例例1-131-13：已知觀測向量：已知觀測向量L L的協(xié)因數(shù)陣為：的協(xié)因數(shù)陣為：2112LLQ試求觀測向量試求觀測向量L L的權(quán)陣的權(quán)陣P P及觀測值及觀測值L L1 1、L L2 2的權(quán)。的權(quán)。211231211211LLLLQP2021iiiiipQ解：由權(quán)陣定義得解：由權(quán)陣定義得又由又由得觀測值的權(quán)為得觀測值的權(quán)為211,211222111QPQP1 1）觀測值的權(quán)與權(quán)陣中的兩個主對角線元素并不一定）觀測值的權(quán)與權(quán)陣中的兩個主對角線元素并不一定相等！相等！2 2）這是權(quán)陣中的各個元素不具有權(quán)的

53、意義?。┻@是權(quán)陣中的各個元素不具有權(quán)的意義！例例1-141-14設(shè)有獨立觀測值設(shè)有獨立觀測值L Li i(i(i=1,2=1,2n),n),其方差其方差為為 ，權(quán)為，權(quán)為P Pi i，單位權(quán)方差為，單位權(quán)方差為 ，寫出觀測，寫出觀測向量向量L L的協(xié)因數(shù)陣以及權(quán)陣。的協(xié)因數(shù)陣以及權(quán)陣。 222210000000nLLDnnnnnLLLLpppQQQDQ100210001000000000000000001112211202202220212222120202i20nnnnnLLLLpppQQQQQQQP000000000000000000211122111122111p由此可見：由此可見：當觀

54、測值是獨立向量時，其協(xié)因數(shù)陣以及權(quán)陣當觀測值是獨立向量時，其協(xié)因數(shù)陣以及權(quán)陣均為對角陣；均為對角陣；這時權(quán)陣中主對角線上元素才是對應(yīng)觀測向量這時權(quán)陣中主對角線上元素才是對應(yīng)觀測向量的權(quán)！的權(quán)！p思考：思考：1.1.相關(guān)觀測時，權(quán)陣相關(guān)觀測時，權(quán)陣P PX X中主對角線元素中主對角線元素P Pijij是不是不是觀測值是觀測值L L的權(quán)？如果不是的話，的權(quán)？如果不是的話，L Liiii的權(quán)又如的權(quán)又如何求得？何求得？2.2.當觀測值獨立時，情況又怎樣？當觀測值獨立時，情況又怎樣？例例1-15:1-15:已知觀測向量已知觀測向量L L的權(quán)陣為：的權(quán)陣為：321242123LP求觀測值求觀測值L L1

55、 1、L L2 2、L L3 3的權(quán)。的權(quán)。2101210124132124212311PQL2142332211QQQ2321LLLPPPp可以看出：可以看出：當當Q QXXXX是非對角陣時，不可從權(quán)陣中來直接是非對角陣時，不可從權(quán)陣中來直接“提取提取”權(quán)！權(quán)！協(xié)因數(shù)協(xié)因數(shù)與與權(quán)權(quán)互為互為倒數(shù)倒數(shù)，協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣與與權(quán)陣權(quán)陣互為互為逆矩逆矩陣陣，協(xié)因數(shù)對角線上的元素為各變量的權(quán)倒數(shù)，協(xié)因數(shù)對角線上的元素為各變量的權(quán)倒數(shù)，是否可由此說權(quán)陣對角線上的元素即為觀測向量是否可由此說權(quán)陣對角線上的元素即為觀測向量的權(quán)？的權(quán)？當觀測值當觀測值互不相關(guān)互不相關(guān)時，權(quán)陣為對角陣，主對角線時，權(quán)陣為對角陣，

56、主對角線上的元素為觀測值的權(quán)。上的元素為觀測值的權(quán)。當觀測值當觀測值相關(guān)相關(guān)時，協(xié)因數(shù)陣主對角線上的元素仍時，協(xié)因數(shù)陣主對角線上的元素仍為觀測值的權(quán)倒數(shù)。而權(quán)陣主對角線上的元素不為觀測值的權(quán)倒數(shù)。而權(quán)陣主對角線上的元素不是觀測值的權(quán)。是觀測值的權(quán)。設(shè)有觀測值向量設(shè)有觀測值向量 和和 的線的線性函數(shù)性函數(shù)根據(jù)協(xié)方差傳播律：根據(jù)協(xié)方差傳播律：顧及協(xié)方差陣與協(xié)因數(shù)陣的關(guān)顧及協(xié)方差陣與協(xié)因數(shù)陣的關(guān)系系 XY00FFYWKKXZTXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDD化簡得：化簡得：上式稱為上式稱為。協(xié)方。協(xié)方差傳播律與協(xié)因數(shù)傳播律聯(lián)合差傳播律與協(xié)因數(shù)傳播律聯(lián)合稱為稱為廣

57、義傳播律廣義傳播律。TXYTXYZWTYXTYXWZTYYTYYWWTXXTXXZZKFQKQFQFQKFQKQFFQFQFQKQKKQKQ202020202020202020202020TXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKFQQFQKQFFQQKQKQQD20第四節(jié)第四節(jié) 協(xié)因數(shù)傳播律協(xié)因數(shù)傳播律如果如果Z Z和和W W的各個分量是的各個分量是X X和和Y Y的非線性函數(shù)的非線性函數(shù)線性化：線性化：),(),(),(,),(),(),(21212211212121221121rWrrWrWrnZtnZnZtYYYfYYYfYYYfWWWWXXXfXXXfXXXfZZZZFdYdWKdX

58、dZnZtZtZtnZZZnZZZXfXfXfXfXfXfXfXfXfK212221212111rWrWrWrrWWWrWWWYfYfYfYfYfYfYfYfYfF212221212111TXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKFQQFQKQFFQQKQKQ對于獨立觀測值對于獨立觀測值 ，假定各假定各 的權(quán)為的權(quán)為 ，則則 的權(quán)陣、協(xié)因數(shù)陣均為的權(quán)陣、協(xié)因數(shù)陣均為對角陣對角陣 1 ,nLiLiP1 ,nLnLLpppP00000021nnnLLpppQQQQ100010001000000212211有函數(shù)：有函數(shù)：線性化：線性化：),(21nLLLfZnnZZZpLfpLfpLfPQ1)(1

59、)(1)(12222121nnnTLLZZLfLfLfpppLfLfLfKQQ212121100010001KdLdLLfdLLfdLLfdZnn2211X的協(xié)因數(shù) ，Y的協(xié)因數(shù) ，X關(guān)于Y的互協(xié)因數(shù)陣為 （ ），又 為常系數(shù)陣。求：解：0KKXZ0FFYWWZSFYKXRXXQYYQXYQTXYYXQQK0KF0FZZQWWQWZQSSQRRQZXQZYQTXXZZKKQQTYYWWFFQQTXYZWFKQQTYYTYXTXYTXXWWWZZWZZSSFFQKFQFKQKKQQQQQQYXFKFYKXRTYYTYXTXYTXXTTYYYXXYXXRRFFQKFQFKQKKQFKQQQQFKQ

60、0KKXZIXX XXTXXZXKQIKQQIYY XYTXYZYKQIKQQ0000KYXKKKXZYXIY0XYXYXXYYYXXYXXZYKQIKQKQIQQQQKQ000例例1-171-17 設(shè)獨立觀測值設(shè)獨立觀測值 的權(quán)均為的權(quán)均為 ，試求算，試求算術(shù)平均值術(shù)平均值 的權(quán)的權(quán)解：解：由此知：), 2 , 1(niLip nLx xp nnLLLnnnLnLnLnnLx.1.111112121nnnpppnnnpQnxxx1111.011.11121nppnnpppn11)111(122nppx第五節(jié) 由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用 用不同精度的真誤差計算單位權(quán)方差的