第五節(jié) 隱函數的導數.ppt2003(用)

1、第五節(jié)第五節(jié) 隱函數的導數隱函數的導數隱函數求導法隱函數求導法隱函數求導法隱函數求導法( , )0F x y 由由方方程程所所確確定定的的函函數數 稱稱為為( ).yf x 形形式式的的函函數數稱稱為為顯顯函函數數0),( yxF)(xfy 隱函數的顯化隱函數的顯化隱函數不易顯化或不能顯化如何求導隱函數不易顯化或不能顯化如何求導?22-10 xy0 xyxyee顯顯化化2211yxyx 或或.隱隱函函數數不可顯化不可顯化問題問題: 0.xyxyeedydx求求由由方方程程所所確確定定的的隱隱函函數數的的導導數數例例1解解,x方方程程兩兩邊邊對對 求求導導(x)0 xydydyyxeedxdx解

2、得解得,yxexyedxdy 對方程兩邊求導，對方程兩邊求導，解出所求的導數解出所求的導數隱函數求導法隱函數求導法: :( )yy x 0 xydydyyxeedxdx()yxdyxeeydx333,CxyxyC設設曲曲線線 的的方方程程為為求求過過 上上例例2解解,x方方程程兩兩邊邊對對 求求導導yxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy30.xy 即即3 3(, )2 2點點的的切切線線方方程程. .22(33 )33yyxyx22yxyyx 觀察函數觀察函數32(1)1.(4)xxxyxe 先在方程兩邊取對

3、數先在方程兩邊取對數, , 然后利用隱函數然后利用隱函數的求導方法求出導數的求導方法求出導數. .先取對數再求導先取對數再求導32(1)1lnln,(4)xxxyxe 1lnln(1)ln(1)2ln(4)3yxxxx兩邊取對數：兩邊取對數：如何求導？如何求導？即即23lnln (1)1ln (4),xyxxxe例例2解解142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊等式兩邊取對數取對數，得，得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(lnx上上式式兩兩邊邊對對 求求導導，得得142)1(3111 xxxyy32(1)1,.(4)xxxyyxe 設設求求例例3解解si

4、n(0),.xyxxy 設設求求等式兩邊取對數，得等式兩邊取對數，得xxylnsinln x上上式式兩兩邊邊對對 求求導導，得得xxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般冪指函數的導數一般冪指函數的導數( )( )( )( ( )0), ( ), ( )v xy xu xu xu x v x可可導導. .( )( )( ) ln ( )( )( )( )y xu xv xu xv xy xu x ( )( )( )( ) ( ) ln ( )( )( )v xu xy xu xv xu xv xu x ln( ) ln (

5、 )yv xu x 取對數：取對數：兩邊求導數：兩邊求導數：( ) ( )( )( )( ) ln ( )( )v x u xy xy x v xu xu x 取對數求導法可用于取對數求導法可用于: :( )2( ).v xu x1.1.多多個個因因子子相相乘乘的的函函數數；. .冪冪指指函函數數的的情情形形()()ln ()()ln ()( )u(x)v xv xu xv xu xy xee 冪指函數求導的另一方法：冪指函數求導的另一方法：( )ln ( )( )( ) ( ) ln ( )( )( )v xu xu xy xev xu xv xu x ( )( )( ) ( ) ln (

6、)( )( )v xu xu xv xu xv xu x 化為復合函數化為復合函數小小 結結隱函數求導法則隱函數求導法則: :取對數求導法取對數求導法: :直接對方程兩邊求導，解出導數直接對方程兩邊求導，解出導數. .按隱函數的求導法則求導按隱函數的求導法則求導. .對方程兩邊取對數后，對方程兩邊取對數后，練習練習課本習題課本習題1-31-3(p.64)習題習題2.5221.(1)xy2xy2xx解：兩邊同時對 求導：2x 2yy 2(y)2xy2x 2yy 2y 22xy(xy)y1yx 1yxyyx(2)cos(xy)y x解：兩邊同時對 求導：sin(xy)(1y)y sin(xy)ys

7、in(xy)y 1 sin(xy)sin(xy)y sin(xy)1 sin(xy)yxy(3)elncos(2x)yxx解：兩邊同時對 求導：xy1e (xy)ln2sin(2x)yxyx xy1e (y xy)ln2sin(2x)yxyx xyxy1yexyeln2sin(2x)yxyx xyxyy(xeln )2sin(2x)yeyxx xyxy2sin(2x)yeyxelnyxxxyxy2 sin(2x)yex(xeln )xxyx(4)x yxyex解：兩邊同時對 求導：(1y)x yyxyeyx yx yyxyee(x)x yx yyeeyxx yx yeyye(5)arctanx

8、yyx解：兩邊同時對 求導：211yyy211(1)1yy2221()1yyy2212yyy22(6)arctanlnyxyxx解：兩邊同時對 求導：222( )1ln(xy ) 21 ( )yxyx22221 222xy1 ( )y xyxyyxyx222222xyyy xyxxyxyx2222xyyy xyxyxyxyyy xy()xyy xyxy yxysinx2.(1)(cosx)y 解：兩邊同時取對數得：lnsin(cosx)yxlnx兩邊同時對 求導：(sin )(cosx)sin(cosx) yx lnx lnysincos(cosx)sincosxyxxlnxy2sincos(

9、cosx)cosxyxxlny2sincos(cosx)cosxxyyxlny2sinxsinxsin(cosx)cos(cosx)(cosx)cosxxyxln2sinxsinx2sin(cosx)cos(cosx)(cosx)coscos xxyxlnxsinx 12(cosx)(cosx)tanylnxarctan(2)xye解：兩邊同時取對數得：arctanlnlnxyelnarctanyxx兩邊同時對 求導：()1yxyx1 121yxyx12(1)yyxx2(1)yyxxarctan2(1)xeyxx112332(3)(1x)(2x ) (3x )y 解：兩邊同時取對數得：1123

10、32lnln (1x)(2x ) (3x )y2311lnln(1x)ln(2x )ln(3x )23y x兩邊同時對 求導：22311213(1x)2 (2x )3 (3x )yxxy2231(1x)(2x )(3x )yxxy2231(1x)(2x )(3x )xxyy(4)lncosxyxx解：兩邊同時取對數得：-lncosxyxxln(lncos )lnxyxxx兩邊同時對 求導：ln(lncos )lnyxxxsincosln1lncosxyxxyx tan(ln1)(lncos )yxxyx(ln1)(lncos )tanyxyxx3.222求曲線x y +x -y=1在點(1,1)處的切線方程.x解：兩邊同時對 求導：222(x