抽象函數(shù)的對稱性

1、抽象函數(shù)的對稱性抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論 一.概念: 抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像,只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域,解析遞推式,特定點(diǎn)的函數(shù)值,特定的運(yùn)算性質(zhì)等,它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn),也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個銜接點(diǎn),由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體,因此理解研究起來比較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運(yùn)用的能力 1、周期函數(shù)的定義：對于定義域內(nèi)的每一個，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期。分段函數(shù)

2、的周期：設(shè)是周期函數(shù)，在任意一個周期內(nèi)的圖像為C:。把個單位即按向量在其他周期的圖像：。2、奇偶函數(shù)：設(shè)若若。分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)的對稱性：（1）中心對稱即點(diǎn)對稱：點(diǎn) （2）軸對稱：對稱軸方程為：。關(guān)于直線函數(shù)關(guān)于直線成軸對稱。關(guān)于直線成軸對稱。二、函數(shù)對稱性的幾個重要結(jié)論（一）函數(shù)圖象本身的對稱性（自身對稱）若，則具有周期性；若，則具有對稱性：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性”。1、 圖象關(guān)于直線對稱推論1： 的圖象關(guān)于直線對稱推論2、 的圖象關(guān)于直線對稱推論3、 的圖象關(guān)于直線對稱2、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱推論1、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱推論2、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱推論3、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱（二）

3、兩個函數(shù)的圖象對稱性（相互對稱）（利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解）1、偶函數(shù)與圖象關(guān)于Y軸對稱2、奇函數(shù)與圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱函數(shù)3、函數(shù)與圖象關(guān)于X軸對稱4、互為反函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱5.函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱 推論1:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱推論2:函數(shù)與 圖象關(guān)于直線對稱推論3:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱 （三）抽象函數(shù)的對稱性與周期性1、抽象函數(shù)的對稱性性質(zhì)1 若函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa軸對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(ax)f(ax) （2）f(2ax)f(x) （3）f(2ax)f(x)性質(zhì)2 若函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）

4、f(ax)f(ax)（2）f(2ax)f(x)（3）f(2ax)f(x)易知，yf(x)為偶（或奇）函數(shù)分別為性質(zhì)1（或2）當(dāng)a0時的特例。2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義1、 若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有fg(x)fg(x)，則復(fù)數(shù)函數(shù)yfg(x)為偶函數(shù)。定義2、 若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有fg(x)fg(x)，則復(fù)合函數(shù)yfg(x)為奇函數(shù)。說明：（1）復(fù)數(shù)函數(shù)fg(x)為偶函數(shù)，則fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)，復(fù)合函數(shù)yfg(x)為奇函數(shù)，則fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)。（2）兩個特例：yf(xa)為偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；yf(xa)為奇

5、函數(shù)，則f(xa)f(ax)（3）yf(xa)為偶（或奇）函數(shù)，等價于單層函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa軸對稱（或關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對稱）3、復(fù)合函數(shù)的對稱性性質(zhì)3復(fù)合函數(shù)yf(ax)與yf(bx)關(guān)于直線x（ba）/2軸對稱性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)yf(ax)與yf(bx)關(guān)于點(diǎn)（ba）/2，0）中心對稱推論1、 復(fù)合函數(shù)yf(ax)與yf(ax)關(guān)于y軸軸對稱推論2、 復(fù)合函數(shù)yf(ax)與yf(ax)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱4、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對于函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)的任一變量x點(diǎn)有下列條件之一成立，則函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(

6、x)f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)5、函數(shù)的對稱性與周期性性質(zhì)5 若函數(shù)yf(x)同時關(guān)于直線xa與xb軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T2|ab|性質(zhì)6、若函數(shù)yf(x)同時關(guān)于點(diǎn)（a，0）與點(diǎn)（b，0）中心對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T2|ab|性質(zhì)7、若函數(shù)yf(x)既關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對稱，又關(guān)于直線xb軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T4|ab| 6、函數(shù)對稱性的應(yīng)用 （1）若,即 （2）例題 1、; 2、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對稱：。 3、若的圖像關(guān)于直線對稱。設(shè).（四）常用函數(shù)的對稱性三、函數(shù)周期性的幾個重要結(jié)論1、( ) 的周期為，

7、()也是函數(shù)的周期2、 的周期為3、 的周期為4、 的周期為5、 的周期為6、 的周期為7、 的周期為8、 的周期為9、 的周期為10、若11、有兩條對稱軸和 周期推論：偶函數(shù)滿足 周期12、有兩個對稱中心和 周期推論：奇函數(shù)滿足 周期13、有一條對稱軸和一個對稱中心的四、用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性解題的常見類型靈活應(yīng)用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性，可巧妙的解答某些數(shù)學(xué)問題，它對訓(xùn)練學(xué)生分析問題與解決問題的能力有重要作用.下面通過實(shí)例說明其應(yīng)用類型。1.求函數(shù)值例1.（1996年高考題）設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則等于（）（A）; （B）; （C）; （D）.例2（1989年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題

8、）已知是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且，求的值.。2、比較函數(shù)值大小例3.若是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時，試比較、的大小.解：是以2為周期的偶函數(shù)，又在上是增函數(shù)，且，3、求函數(shù)解析式例4.（1989年高考題）設(shè)是定義在區(qū)間上且以2為周期的函數(shù)，對，用表示區(qū)間已知當(dāng)時，求在上的解析式.解：設(shè)時，有 是以2 為周期的函數(shù)，.例5設(shè)是定義在上以2為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，在區(qū)間上，求時，的解析式.解：當(dāng)，即，又是以2為周期的周期函數(shù)，于是當(dāng)，即時，4、判斷函數(shù)奇偶性例6.已知的周期為4，且等式對任意均成立，判斷函數(shù)的奇偶性.解：由的周期為4，得，由得，故為偶函數(shù).5、確定函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的個數(shù)例7.設(shè)

9、函數(shù)對任意實(shí)數(shù)滿足， 判斷函數(shù)圖象在區(qū)間上與軸至少有多少個交點(diǎn).解：由題設(shè)知函數(shù)圖象關(guān)于直線和對稱，又由函數(shù)的性質(zhì)得是以10為周期的函數(shù).在一個周期區(qū)間上，故圖象與軸至少有2個交點(diǎn).而區(qū)間有6個周期，故在閉區(qū)間上圖象與軸至少有13個交點(diǎn).6、在數(shù)列中的應(yīng)用例8.在數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式，并計算分析：此題的思路與例2思路類似.解：令則不難用歸納法證明數(shù)列的通項為：，且以4為周期.于是有1，5，9 1997是以4為公差的等差數(shù)列，由得總項數(shù)為500項，7、在二項式中的應(yīng)用例9.今天是星期三，試求今天后的第天是星期幾？分析：轉(zhuǎn)化為二項式的展開式后，利用一周為七天這個循環(huán)數(shù)來進(jìn)行計算即可.解：因?yàn)檎?/p>

10、開式中前92項中均有7這個因子，最后一項為1，即為余數(shù)，故天為星期四.8、復(fù)數(shù)中的應(yīng)用例10.（上海市1994年高考題）設(shè)，則滿足等式且大于1的正整數(shù)中最小的是（A） 3 ； （B）4 ； （C）6 ； （D）7.分析：運(yùn)用方冪的周期性求值即可.解：，9、解“立幾”題例是單位長方體，黑白二蟻都從點(diǎn)A出發(fā)，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為“走完一段”。白蟻爬行的路線是黑蟻爬行的路線是它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第段所在直線與第段所在直線必須是異面直線（其中.設(shè)黑白二蟻?zhàn)咄甑?990段后，各停止在正方體的某個頂點(diǎn)處，這時黑白蟻的距離是（A）1； （B）；（C） ； （D）0.解：依條件列出白蟻的路線立

11、即可以發(fā)現(xiàn)白蟻?zhàn)咄炅魏笥只氐搅薃點(diǎn).可驗(yàn)證知：黑白二蟻?zhàn)咄炅魏蟊鼗氐狡瘘c(diǎn)，可以判斷每六段是一個周期.1990=6，因此原問題就轉(zhuǎn)化為考慮黑白二蟻?zhàn)咄晁亩魏蟮奈恢茫浑y計算出在走完四段后黑蟻在點(diǎn)，白蟻在C點(diǎn)，故所求距離是例題與應(yīng)用例1：f(x) 是R上的奇函數(shù)f(x)= f(x+4) ，x0，2時f(x)=x，求f(2007) 的值 例2：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故f(2009)= f(2518+1)=f(1)=2例3：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，且當(dāng)時，f(x)=2x

12、+1，則當(dāng)時求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+999)=，f(999+x)=f(999x)， 試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，且當(dāng)時，f(x)是減函數(shù)，求證當(dāng)時f(x)為增函數(shù)例6：f(x)滿足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上單調(diào).求a的值. 例7：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在區(qū)間1000，1000上f(x)=0至少有幾個根？ 解：依題意f(x

13、)關(guān)于x=2，x=7對稱，類比命題2（2）可知f(x)的一個周期是10 故f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在區(qū)間(0，10上，方程f(x)=0至少兩個根 又f(x)是周期為10的函數(shù)，每個周期上至少有兩個根， 因此方程f(x)=0在區(qū)間1000，1000上至少有1+=401個根.例1、 函數(shù)yf(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，那么yf(x4)與yf(6x)的圖象之間（D ）A關(guān)于直線x5對稱 B關(guān)于直線x1對稱C關(guān)于點(diǎn)（5，0）對稱 D關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱解：據(jù)復(fù)合函數(shù)的對稱性知函數(shù)yf(x4)與yf(6x)之間關(guān)于點(diǎn)（64）/2，0）即（1，0

14、）中心對稱，故選D。（原卷錯選為C）例2、 設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于x1對稱，證明f(x)是周期函數(shù)。（2001年理工類第22題）例3、 設(shè)f(x)是（，）上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0x1時f(x)x，則f等于（）（1996年理工類第15題）例4、 設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，則f(x)是（C ）A偶函數(shù)，又是周期函數(shù) B偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C奇函數(shù)，又是周期函數(shù) D奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)六、鞏固練習(xí)1、函數(shù)yf(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，那么yf(x4)與yf(6x)的圖象（ ）。A關(guān)于直線x5對稱 B關(guān)于直線x1對稱C關(guān)于點(diǎn)（5，0）對稱 D關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱2