高考山東理科數(shù)學(xué)試題及答案解析

1、2015年高考山東理科數(shù)學(xué)試題及答案解析2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(山東卷)數(shù)學(xué)(理科)第I卷(共50分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)【2015年山東，理1】已知集合x(chóng)|x24X3*Bx|2x4,則AB()(A)1,3(B)1,4(C)2,3(D)2,4(2)【2015年山東，理2】若復(fù)數(shù)z滿足白，其中i是虛數(shù)單位，則z()(A)1i(B)1i(C)1i(D)1i(3)【2015年山東，理3】要得到函數(shù)ysin(4x?的圖象，只3需將函數(shù)ysin4x的圖像()(A)向左平移五個(gè)單位(B)向右平移丘個(gè)單位(C)向

2、左平移個(gè)單位(D)向右平移工個(gè)單位33(4)【2015年山東，理4】已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,ABC60,貝(J曬？?)(A)2a2(B)3a2(D)2a2(5)【2015年山東，理5】不等式ix1|ix5|2的解集是(A) ( ,4)(B) ( ,1)(C) (1,4)15(D)(1,5)xy0(6)【2015年山東，理6】已知x,y滿足約束條件xy2若zaxyy0的最大值為4,則。()(C) -2(A)3(D)3/吟(7)【2015年山東，理7】在梯形ABCD中，ABCADBC2AD2AB2,，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(A) g(8) 43

3、3(C)53(8)(D)【2015年山東，理28已知某批零件的長(zhǎng)度誤差位:米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件(單苴(D)(9)長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間3,6內(nèi)的概率為(變量服從正態(tài)分布N( , 2),則P(P( 22 ) 95.44%)(A) 4.56%(B) 13.59%31.74%)(附:若隨機(jī).26% ,)27.18%【2015年山東，理9 一條光線從點(diǎn)(2, 3)射出，經(jīng)反射與圓(x3)2(y2)21相切，則反射光線所在的直線的斜率為(a)5或 5(B)(或：(D) 4或(或(10)【2015年山東,理10】設(shè)函數(shù)f(x):X 1,x 1,則滿足 f(f(a) 2f2 , x 1.

4、的取值范圍是(A)3，13(D) 1,)(B) 0,1(C)。)3第II卷(共100分):、填空題：本大題共5小題，每小題5分(11)【2015年山東，理11】觀察下列各式:c0C30 c； c；40；4；C242;C C343;照此規(guī)律當(dāng) n N*C2n1C2n 1C2n(12【2015年山東，理12若“x 0,-,tan/4是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為(13【2015年山東，理13】執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的T的值為un”的»=1,T=1(14)【2015年山東，理14】已知函數(shù)f(x)axb(a0,a1)的定義域和值域都是1，明則ab(15)【2015年山東，理15】平面直角坐

5、標(biāo)系xoy中，雙曲線c4, a bO,A,B ,若為1(a0,b0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p0)交于點(diǎn)OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率:、解答題：本大題共6題，共75分.(16：f(x) sinxcosx cos2(x )(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;)【2015年山東，理16(本小題滿分12分)設(shè)(n)在銳角ABC中)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,0,a1,求ABC面積.AB 2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn)B求平面FGH與（17）【2015年山東，理17（本小題滿分12分）如圖）在三棱臺(tái)DEFABC中）(I)求證：BD/平面FGH；(n)若CF平面ABC,ABBC,

6、CFDE,BAC45,平面ACFD所成角（銳角）的大小.(18)【2015年山東，理18(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列嗝的前n項(xiàng)和為Sn,已知203n3.(I)求數(shù)列哺的通項(xiàng)公式；(II)若數(shù)列bn滿足anbnlog3%,求數(shù)列的前門(mén)項(xiàng)和1(19)【2015年山東，理19(本小題滿分12分)若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被1

7、0整除，得-1分；若能被10整除，得1分.(I)寫(xiě)出所有個(gè)位數(shù)字是5的三位遞增數(shù)”；(n)若甲參加活動(dòng)，求甲得分x的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.(20)【2015年山東，理20(本小題滿分13分)平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：£51(ab0)的離心率為ab號(hào),左、右焦點(diǎn)分別是42,以Fi為圓心，以3為半徑的圓與以F2為圓心，以1為半徑的圓相交，交點(diǎn)在橢圓C上.(I)求橢圓C的方程；(n)設(shè)橢圓e：三*1)p為橢圓c上的任意一點(diǎn))過(guò)4a4b點(diǎn)P的直線ykxm交橢圓E于A,B兩點(diǎn))射線po交橢圓E于點(diǎn)Q.(i)求端的值；(ii)求abq面積最大值.(21)【2015年山東，理21(本題滿

8、分14分)設(shè)函數(shù)f(x)ln(x1)a(x2x),其中a(I)討論函數(shù)(n)若x0，Rf(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由;f(x)0成立，求a的取值范圍.2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(山東卷)數(shù)學(xué)(理科)第I卷(共50分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)【2015年山東，理1】已知集合x(chóng)|x24X30,Bx|2x%則AB()(A)1,3(B)1,4(C)2,3(D)2,4【答案】C【解析】Ax|x24x30x|1x3)AdB(2,3)故選C.(2)【2015年山東，理2】若復(fù)數(shù)z滿足六，其中i是虛數(shù)單位，則z(),(A

9、)1i(B)1i(C)1i(D)1i【答案】A【解析】Z(1i)ii2i1i)z1i)故選A.(3)【2015年山東，理3】要得到函數(shù)ysin(4xR的圖象，只3需將函數(shù)ysin4x的圖像()(A)向左平移12個(gè)單位(B)向右平移石個(gè)單位(C)向左平移三個(gè)單位(D)向右平移行個(gè)單位33【答案】B【解析】ysin4(x不)只需將函數(shù)ysin4x的圖像向右平移12個(gè)單位，故選B.(4)【2015年山東，理4】已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,ABC6。，貝(J?)(A)2a2(B)3a2(D)2a2【答案】D【解析】由菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,ABC6?？芍狟AD1806。12。，BDCD(ADAB)(A

10、B)ABADAB2aacos12。a2|a2)故選D.(5)【2015年山東，理5】不等式ix1iix5|2的解集是()(A)(,4)(B)(,1)(C)(1,4)(D)(1,5)【答案】A【解析】當(dāng)x1時(shí))1x(5x)42成立；當(dāng)1X5時(shí))x1(5x)2x62)解得x4,則1x4；當(dāng)x5時(shí))x1(x5)42不成立.綜上x(chóng)4)故選A.xy0(6)【2015年山東，理6】已知x,y滿足約束條件xy2若zaxyyo的最大值為4,則，()(A)3(B)2(C)-2(D)-3【答案】B【解析】由Zaxy得yaxz,借助圖形可知：當(dāng)a1,即a1時(shí)在xyo時(shí)有最大值0,不符合題意；當(dāng)。a1,即1a0時(shí)在x

11、y1時(shí)有最大值a14,a3)不滿足1a。；當(dāng)1a0)即0a1時(shí)在xy1時(shí)有最大值a14,a3)不滿足0a1；當(dāng)a1,即a1時(shí)在x2,y0時(shí)有最大值2a4,a2)滿足a1)故選B.(7)【2015年山東，理71在梯形ABCD中，ABCAD/BC,BC2AD2AB2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()(A)2r(B)4r(C)5r(D)2【答案】C【解析】V12211215-,故選C.33(8)【2015年山東，理8】已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布n(o,32),從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間3,6內(nèi)的概率為()(附：若隨機(jī)變量服從正

12、態(tài)分布N(,2),則P()68.26%)P(22)95.44%)(A)4.56%(B)13.59%(C)27.18%(D)31.74%【答案】D【解析】P(36)1(95.44%68.26%)13.59%)故選D.(9)【2015年山東，理9】一條光線從點(diǎn)(2,3)射出，經(jīng)y軸反射與圓(X3)2(y2)21相切，則反射光線所在的直線的斜率為()(A)3或5(B):或|(C)(或5(D)3或：【答案】D【解析】(2,5)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3),設(shè)反射光線所在直線為y3k(x2),即kxy2k30)則d13k分31i,|5k5|解得k:或:故選D.：k134，(10)【2015年山東，理

13、10】設(shè)函數(shù)f(x)；x1,x11,則滿足f(f)2«)2,x1.的取值范圍是(A)3，1(B) 0,1)f(D) 1, 【答案】 【解析】選C.)C由 f(f(a)2f(a)可知 f(a) 1 ,貝 U ；a 11 或解得3第II卷(共100分):、填空題：本大題共5小題，每小題(11)【2015年山東，理11】觀察下列各式:C10C30C50C7040;4;C242;C； C343;照此規(guī)律Cn 1c2n 1 ( 【答書(shū) 【解析】4n 1C2n 1 C212(C0n11(C°(C2n 12Cc22n 110C2n 1C2n 12 QC212n 12n 1)(C2n1C2

14、n 1C；n12) (Cn2 2n2c2n 12n 3C2n 12c2n 1pn 1nC2n 1C2nc") i2 12n(12)【2015 年山東，理 12若 “x 0,-,tan命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為n 1 、2c2n 1 )Cnn 1)4n 1m”是真【答案】1【解析 Qjanx m”是真命題，則m tan- 1,于是實(shí)數(shù)m的最小值為1.蔣姐1 k(13)【2015年山東，理13】執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的T的值為【答案】11628【解析】T10xdx0x2dx71I.236(14)【2015年山東，理14】已知函數(shù)f(x)axb(a0,a1)的定義域和值域都是1,0,則ab

15、.11【解析】當(dāng)a1時(shí)a0b1,無(wú)解；當(dāng)0a1時(shí)ab0,解得ab0ab17b2,a2,貝！1ab222.(15)【2015年山東，理15】平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線C,W1(a0,b0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p0)交于點(diǎn)abO,A,B)若0AB的垂心為C2的焦點(diǎn))則Ci的離心率為.【答案】2x2y2b2pb2pb22pb2pb2l用牛忻1Ci：三1(a0,b0)日勺漸近線為y-x則A(上,-),B(上,三)aba7aaaa22pb衛(wèi)C2：x22py(p0)的焦點(diǎn)F(01),則kAF2即5，2'2pbba4'a222_cab9c3-paa4)a2,三、解答題：本大

16、題共6題，共75分.(16)【2015年山東，理16(本小題滿分12分)設(shè)2,、f(x)sinxcosxcos(x).(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(n)在銳角 ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c)若f(A) 0,a 求解：(I )由ABC面積.11f(x) -sin2x -1 cos(2x1)sin2x221 sin2x sin2x由 2k 2x 2k ,k Z 彳導(dǎo) kx k - ,k Z 44,則f（x）的遞增區(qū)間為k-,k-,kZ；44由2k-2x2k二,kZ得k-xk,kZ.2244)則f（x）的遞增區(qū)間為k-,k，,kZ.44n)在銳角abc中)“9sinA10,sinA2

17、)a-?Wa1,由余弦定理可得ib2c22bccos-2bc.3bc(23)bc)當(dāng)且僅當(dāng)c時(shí)等號(hào)成立，即bc會(huì)2禽，S ABC111-bcsin A - bcsin - - bc226 4守故ABC面積的最大值為2/ .4（17）【2015年山東，理17（本小題滿分分）如圖）在三棱臺(tái)DEF abc中）AB 2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn).（I ）求證：BD/平面FGH ；(II ) 若 CF 平面 ABC,AB BC,CF DE, BAC 45,求平面 FGH 與平面ACFD所成角（銳角）的大小.解：（I ）證明：連接DG）DC）設(shè)DC與GF交于點(diǎn)T,在三棱臺(tái) DEF ABC 中）AB

18、 2DE）貝AC 2DF ） 而G是AC的中點(diǎn)）DFIAC）則DF&GC） 所以四邊形DGCF是平行四邊形，T是 DC的中點(diǎn)）DG FC .又在BDC）是BC的中點(diǎn)）則THIDB）又BD 平面FGH , TH 平面FGH , 故BD/平面FGH .（II ）由 CF 平面 ABC）可得 DG 平面 ABC 而）AB BC）BAC 45）則GBAC,于是GB,GAGC兩兩垂直）以點(diǎn)G為坐標(biāo)原GA,GB,GC所在的直線）分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB2,則DECF1,AC2"AG”，B（0,廊,c）F（衣?！兵B(niǎo)，仔，則平面ACFD的一個(gè)法向量為不（0,1,0）設(shè)平面

19、FGH的法向量為n2(X2,y2,z2)則n2GH0,即7n2GF022cx2V222Z2取X21,則y212凡n2（1,1,向）cos6同,1*3-）故平面FGH與平面ACFD1122角）的大小為60.(18)anSnSn所成角（銳【2015年山東，理18（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知2s3n3.（I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（n）若數(shù)列bn滿足anbnlog3%,求數(shù)列3的前nI項(xiàng)和(I11(3n3)1(3n22而43)由3)3n1(n2Sn3n3可12(33)3、則2)，3,n3nn1,n1n)由anbn10g3an及a3,nn13,n1,可得bn10g3an13n1

20、尹Tn32111111n1111111n1Tn-FF-T3-nT一-2(2731)-333333333333333113n 133n3n13 2n 1183n132n1工1243n1(19)【2015年山東，理19(本小題滿分12分)若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為三位遞增數(shù)”(如137359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的三位遞增數(shù)的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.(I )寫(xiě)出所有

21、個(gè)位數(shù)字是5的(n)若甲參加活動(dòng),求甲得分三位遞增數(shù)”；X的分布列和數(shù)學(xué)期I) 125, 135, 145,235, 245,345;1 . P(X 0)X0-112111P31442甲得分X的分布列為:n)x的所-3C3-,p(x1)C3-,p(xC33C；14有取值為-1c4c4c42111)-T42EX023工1411(1)142421,(20)【2015年山東，理20(本小題滿分13分)平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：£E1(ab0)的離心率為ab左、右焦點(diǎn)分別是Fi，F(xiàn)2,以Fl為圓心，以3為半徑的圓與以F2為圓心，以1為半徑的圓相交，交點(diǎn)在橢圓C上.(I)求橢圓c的方

22、程；(n)設(shè)橢圓E：11,P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，過(guò)4a4b71點(diǎn)P的直線ykxm交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.(i)求器的值；(ii)求abq面積最大值.解:(I)由橢圓C：x21(ab0)的離心率為當(dāng)可知e，彖而ab2a27a2b2c2則a2b,cJ3b5左、右焦點(diǎn)分別是Fi(施回椀,。)，圓Fi：(xV3b)2y29,圓F2：(x73b)2y21,由兩圓相交可得22麻4,即173b2,交點(diǎn)(看，局2)在橢圓C上，1(-2<3b)2,則入T%整理得4b4時(shí)10,解得b21,b24(舍去)，故b21,a24,橢圓C的方程為9/1.(n)(i)橢圓e的方程為F1)設(shè)點(diǎn)P(

23、x0,y0),滿足二y。21,1644，射線po： y% x(xx0 0) % ,代人卷？1可得點(diǎn)Q(2%,2y0),于是|OQ|J(21)2(2y0)22ioPi辰y(tǒng)()點(diǎn)Q(2x0,2y0)到直線AB距離等于原點(diǎn)。到直線AB距離的3倍：IAB|Jik24k216(16k2dI2kx02y0m|k23|m|1k2y2x16y21)得x24(kxm)216)丁整理得(14k2)x28kmx64k2m216(4k21)(m24)4m2)c1S1|AB|d222m216k26廠2(4k21)號(hào)成立.而直線y312mkx4m1616(16k24m2)0Iml4k2124j16k24m26|m|16k

24、14k,當(dāng)且僅當(dāng)|m|16k24m2,m28kykx2x4ym4有解,HPx24(kxm)14k2則上述m2函數(shù),于是當(dāng)1值為12.(21)【2015年山東,f(x)ln(x1)a(x2x),其中(I)討論函數(shù)(n)若解：(i)m與橢圓C：142、24,(14k)x8kmx一22一164km16(18k22不成立,(0,1)則S4k21有交點(diǎn)4m24224k)(mo有解,一221)16(14km)等號(hào)不成立,6|m|J6k214k4-6，(4t)t在(0,1為增m2時(shí)Smax6441)16/3,故ABQ面積最大21(本題滿分14分)設(shè)函數(shù)Rf(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由;f(x)0成立，求a

25、的取值范圍._2f(x)ln(x1)a(x,1f(x)a(2x1)x1當(dāng)a0時(shí))g(x)x)定義域?yàn)?1,)_2a(2x1)(x1)12axax1a1,f(x),設(shè)g(x)2ax2ax1a,0)函數(shù)f(x)在(1,)為增函數(shù),無(wú)極值點(diǎn).當(dāng)a0時(shí)aa28a(1a)9a28a)若0a8時(shí)不g(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)在(1,)為增函數(shù),若a8時(shí)。，設(shè)g(x)0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根XX1X2,X ( 1,Xi)X1X22)而 g( 1) 1 0)貝U 1X11X24,g(X) 0, f (X) 0,f(X)單調(diào)遞增；當(dāng) X (Xi,X2),g(X) 0, f (x) 0, f (x) 單 )

26、,g(X) 0,f (X) 0,f (x)單調(diào)遞增.X ( 1,X2)因此此時(shí)函數(shù)當(dāng) a 0 時(shí) 0 ,g(x) 0, f (x) 0,f(x)單調(diào)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)；)但 g( 1) 1 0)Xi1有一人遞增；當(dāng)X (X2, 極值點(diǎn).綜上可知當(dāng)0),g(x) 0,f(x) 0,f(x)單調(diào)遞減)所以函數(shù)只-個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)a 8時(shí),8時(shí)f(X)的無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng) f(X)的有兩個(gè)a 0時(shí)f(x)有極值點(diǎn).)由(I)可知當(dāng)則當(dāng) 當(dāng)9 則當(dāng)(0,)時(shí))1 時(shí),g(0)(0,)時(shí))f(x)0,X2f(X)8時(shí)f(x)在(0,)單調(diào)遞增,而0,符合題意；0)f(x)在(0,)單調(diào)遞增)而0,符合題意；f(

27、0) 0 )f(0) 0 )當(dāng)a1時(shí))g(0)0涇0)所以函數(shù)f(X)在(0冬)單調(diào)遞減,而f(0)0)則當(dāng)x(。時(shí)，f(x)0,不符合題意;當(dāng)a0時(shí)，設(shè)h(x)xln(x1)當(dāng)x(0,)時(shí)h(x)1，0,x11xx (0,)時(shí) h(x) h(0) 0,ln(x 1) 0)x 1 -時(shí) ax2(1 a)x 0a)另解：(I)f (x)f(x) ln(x 1) a(x2 x)定義域?yàn)?1,)1占 a(2x 1)a(2x 1)(x 1) 1 2ax2 ax 1 a當(dāng) a 0 時(shí))f (x) 極值點(diǎn).x 1'函數(shù)f(x)在(1,)為增函數(shù))無(wú)h(x)在(0,)單調(diào)遞增，因此當(dāng)于是f(x)xa(x2x)ax2(1a)x)當(dāng)此時(shí)f(x)0,不符合題意.綜上所述，a的取值范圍是a2 8a(1 a) 9a2 8a ,設(shè)g(x)2ax2ax1a,g(1)1,g(x) 0 的當(dāng)a0時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).8 時(shí),g(x) 0 , f (x) 0 函數(shù)在(1,)為即a 8或a 0)而當(dāng)a 0時(shí)g( 1) 00在(1,)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)函數(shù)若a(9a8)0)增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn).若a(9a8)0)此J時(shí)方程g(x)f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a9時(shí)方程g(x)0在(1,)都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)；綜上