–概述–平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力–梁橫截面

1、171 概述概述 72 平面平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力73 梁橫截面上的剪應(yīng)力梁橫截面上的剪應(yīng)力74 梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 梁的合理截面梁的合理截面75 非對(duì)稱(chēng)截面梁的平面彎曲非對(duì)稱(chēng)截面梁的平面彎曲 開(kāi)口薄壁截面的彎曲中心開(kāi)口薄壁截面的彎曲中心76 考慮材料塑性時(shí)的極限彎矩考慮材料塑性時(shí)的極限彎矩第七章第七章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 MxQx 純彎曲純彎曲(Pure Bending):某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒(méi)有剪力時(shí)，該段梁的變形稱(chēng)為純彎曲。7 7 概述概述aaPPBA7 72 2 平面平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力1.梁

2、的純彎曲實(shí)驗(yàn)橫向線(a b、c d）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向線變?yōu)榍疑峡s下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。abcd中性面中性面中中性性軸軸中中性性軸軸（一）變形幾何規(guī)律：一、 純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力abcdMM:橫截面上只有正應(yīng)力。平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，距中性軸等高處，變形相等。（可由對(duì)稱(chēng)性及無(wú)限分割法證明）3:推論abcdMM2:兩個(gè)概念 中性層： 中性軸：yxd 4. 幾何方程：A(1) . yx （二）、物理關(guān)系：假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點(diǎn)均處于單項(xiàng)應(yīng)力狀態(tài)。(2) . EyExx y d ddy ) 1 11111OO ABOO

3、B A ABB A x （三）靜力學(xué)關(guān)系： AAxdAEy dAN 0 zAESydAE軸軸過(guò)過(guò)形形心心中中性性 )( z 0 zSMEIdAyEdAEyydAMzAAAz 22)(0 )(yzAAAyEIyzdAEdAEyzzdAM對(duì)稱(chēng)面(3) . 1zZEIM 桿桿的的抗抗彎彎剛剛度度。zEI (4) . zxIM y (5) . zma xWM （四）最大正應(yīng)力：maxyI Wzz 抗抗彎彎截截面面模模量量。(3) . 1 zZEI M桿的抗彎剛度。桿的抗彎剛度。zEI )1(32 _43max DyIWzz圓圓環(huán)環(huán)hHbB)1(6 _332maxBHbhBHyIWzz 回回字字框框dD

4、Dd1120180302q=60 kN/m1m2m11BAkNmqLM5 .678/3608/22max kNmqxqLxMx60)22(121 例 5-2-1:受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁如圖所示，試求：（1）11截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半徑。q L/ 8Mx解：畫(huà)M圖求截面彎矩M1Mmaxyz1120180302q=60 kN/m1m2m11BA45123310832. 5101218012012mbhIz 341048. 62/mIWzz MPaIyMz7 .6110832. 560605121

5、q L/ 8Mx求應(yīng)力M1MmaxyzMPaWMz6 .921048. 66041max1 mMEIz4 .1941060832. 520011 MPaWMz2 .1041048. 65 .674maxmax 求曲率半徑1120180302q=60 kN/m1m2m11BAq L/ 8MxM1MmaxyzQ（x）+ d Q（x）M（x）M（x）+ d M（x）Q（x）d xA 圖圖 bh7 73 3 梁橫截面上的剪應(yīng)力梁橫截面上的剪應(yīng)力一、一、 矩形截面矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力梁橫截面上的剪應(yīng)力1、兩點(diǎn)假設(shè)： 剪應(yīng)力與剪力平行；矩中性軸等距離處，剪應(yīng)力 相等。2、研究方法：分離體平衡。 在梁

6、上取微段如圖b； 在微段上取一塊如圖c，平衡圖圖a0)(112 dxbNNX Q（x）+ d Q（x）M（x）M（x）+ d M（x）Q（x）d xA 圖圖 bh圖圖azzAzAIMSydAIMdAN 1zzISdMMN )(2zzzzbIQSbISdxdM 1 )4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz zzbIQ S y 1)( 由由剪剪應(yīng)應(yīng)力力互互等等Q 5.123max AQ)4(222yhIQz 矩矩 二、其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;剪應(yīng)力的計(jì)算公式亦為：zzbIQS1y為為z, zIAz,.ybSQ點(diǎn)出的截面寬度點(diǎn)出的截面寬度是是之慣性矩之慣性矩軸軸為

7、整個(gè)截面對(duì)為整個(gè)截面對(duì)對(duì)中性軸之靜矩對(duì)中性軸之靜矩點(diǎn)以下的面積點(diǎn)以下的面積為截面剪力為截面剪力其中其中 2、幾種常見(jiàn)截面的最大彎曲剪應(yīng)力：工工字字鋼鋼截截面面：腹腹板板的的面面積積 fmaxA ; fA Q ：圓圓截截面面： 3434max AQ：薄薄壁壁圓圓環(huán)環(huán)： 22max AQQe：槽鋼：Q R.; RzzbIQS合合力力為為腹腹板板上上 2H.;1合合力力為為翼翼緣緣上上zIQA 剪力作用線：截面上剪應(yīng)力的合力作用線。如圖，RHhe h0)( AxddAM 7 74 4 梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 梁的合理截面梁的合理截面1、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：一般截面，最大

8、正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對(duì)值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截面的中性軸處。Q M 2、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：帶翼緣的薄壁截面，最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力的情況與上述相同；還有一個(gè)可能危險(xiǎn)的點(diǎn)，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交處。（以后講）Q M zzIbSQmaxmaxmax zWMmaxmax3、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：4、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時(shí)，要校核剪應(yīng)力梁的跨度較短，M 較小，而 Q較大時(shí)，要校核剪應(yīng)力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。 max 、校核強(qiáng)度：

9、 、校校核核強(qiáng)強(qiáng)度度： max；、設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)截截面面尺尺寸寸：、設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)截截面面尺尺寸寸： max MWz 、設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)載載荷荷：、設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)載載荷荷： ; max zWM )(maxMfP MxQx解：、畫(huà)內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例5-4-1、矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，=7 M Pa，=0. 9 M Pa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。q= 3.6kN/mL= 3mABNqLQ54002336002max NmqLM4050833600822max q L/ 2-q L/ 2q L/ 8MxQx求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度應(yīng)力之比q= 3.6kN/mL= 3mAB7 .16

10、32maxmaxmax hLQAWMz q L/ 2-q L/ 2q L/ 822maxmaxmax18. 012. 0405066 bhMWMz MPaMPa 725. 618.012.054005.15 . 1 maxmax AQ MPaMPa9 . 0375. 0解：畫(huà)彎矩圖并求危面內(nèi)力例5-4-2、T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的L=30 M Pa，y=60 M Pa.其截面形心位于C點(diǎn)，y1=52mm， y2=88mm，I z=763cm ，試校核此梁的強(qiáng)度。并說(shuō)明T字梁怎樣放置更合理？ kNRkNRBA5 .10;5 . 2Mx2.5kNm-4k N mA1A2y 2y 1C

11、Cz)(5 . 2下下拉拉、上上壓壓kNmMC （上上拉拉、下下壓壓）kNmMB4 41m1m1mABCDP 2 =4kNP 1 =9kNA3A4面危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn)A3A4校核強(qiáng)度MPaIyMzCLA2 .2810763885 . 2822 MPaIyMzBLA2 .2710763524813 MPaIyMzByA2 .4610763884824 LL 2 .28max yy 2 .46max T字頭在上面合理Mx2.5kNm-4k N mA1A2y 2y 1C CzA3A4四、梁的合理截面矩形木梁的合理高寬比bh北宋李誡于1100年著營(yíng)造法式 一書(shū)中指出:矩形木梁的合理高寬比 ( h

12、/b= ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義 一書(shū)中指出:矩形木梁的合理高寬比 為., 3;, 2剛剛度度最最大大時(shí)時(shí)強(qiáng)強(qiáng)度度最最大大時(shí)時(shí) bhbhAQm3433. 1max 3231DWz z13221.18W 6)(6 RbhWz m 5 . 1max )2/(;,41221 DRaaD 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)強(qiáng)度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面 zWM zzbIQS* zDaaz其它材料與其他截面形狀梁的合理截面m 2max z1433W75.2 )0.8-(132 DWz 1222167.1,4)8.0(4 DDDDD 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 11212

13、12,24 DaaD 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)z13124W67.1 646 abhWzm 5 . 1max 2a1a1z0.8DDz)AQ(= 3 . 2fmaxm 工字形截面與框形截面類(lèi)似z15W57.4 zW1222222105.1,6.18.024 DaaaD 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 0.8a2a22a21.6a2z2、根據(jù)材料特性選擇截面形狀對(duì)于鑄鐵類(lèi)抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類(lèi)的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險(xiǎn)截面處又上側(cè)受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：Z（二）、采用變截面梁 ，如下圖：PX )()()(maxxWxMx最好是等強(qiáng)度梁最好是等強(qiáng)度梁，即，即 bx

14、Mxh)(6)( 若若為為等等寬寬度度矩矩形形截截面面，則則高高為為 b5 . 1)( , bh(x)Q1.5=maxQxh 同同時(shí)時(shí)7 75 5 非對(duì)稱(chēng)截面梁的平面彎曲非對(duì)稱(chēng)截面梁的平面彎曲 開(kāi)口薄壁截面的彎曲中心開(kāi)口薄壁截面的彎曲中心軸軸過(guò)過(guò)形形心心中中性性 )( z 0 zSMEIdAyEdAEyydAMzAAAz 22)(0)( yzAAAyEIyzdAEdAEyzzdAM0)( zAAAESydAEdAEydAN., z y 0外力要與主軸共線軸必須為截面主慣性軸、yzIyzxoexddAMAx軸軸到到桿桿軸軸的的距距離離依依此此確確定定力力臂臂,0)( P依此確定正應(yīng)力計(jì)算公式。剪

15、應(yīng)力研究方法與公式形式不變。幾何方程與物理方程不變。Q R.; RzzbIQS合合力力為為腹腹板板上上 2H.;1合合力力為為翼翼緣緣上上zIQA 彎曲中心(剪力中心):使桿不發(fā)生扭轉(zhuǎn)的橫向力作用點(diǎn)，（如前述坐標(biāo)原點(diǎn)O）RHhe 非對(duì)稱(chēng)截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力必須作用在主慣性面內(nèi)，中性軸為形心主軸，,若是橫向力，還必須過(guò)彎曲中心。0)( AxddAM力力臂臂 PM 槽鋼：Qe zzbIQS : :求求任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)剪剪應(yīng)應(yīng)力力彎曲中心的確定: ACddAM力力臂臂向向形形心心簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化)(: (1)雙對(duì)稱(chēng)軸截面，彎心與形心重合。(2)反對(duì)稱(chēng)截面，彎心與反對(duì)稱(chēng)中心重合。(3)若截面由兩個(gè)狹長(zhǎng)矩形組成，彎心與兩矩形長(zhǎng)中線交點(diǎn)重合。CCC(4)求彎心的普遍方法：yCeQMe :求求彎彎心心到到形形心心距距離離QyeC7 76 6 考慮材料塑性時(shí)的極限彎矩考慮材料塑性時(shí)的極限彎矩（一）物理關(guān)系為：sx 全面屈服后,平面假設(shè)不再成立;仍做縱向纖維互不擠壓假設(shè).（二）靜力學(xué)關(guān)系：)( 依依此此確確定定中中性性軸軸的的位位置置CSAA 0)()( C