–概述–平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力–梁橫截面

1、171 概述概述 72 平面平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力73 梁橫截面上的剪應(yīng)力梁橫截面上的剪應(yīng)力74 梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件 梁的合理截面梁的合理截面75 非對稱截面梁的平面彎曲非對稱截面梁的平面彎曲 開口薄壁截面的彎曲中心開口薄壁截面的彎曲中心76 考慮材料塑性時的極限彎矩考慮材料塑性時的極限彎矩第七章第七章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 MxQx 純彎曲純彎曲(Pure Bending):某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲。7 7 概述概述aaPPBA7 72 2 平面平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力1.梁

2、的純彎曲實驗橫向線(a b、c d）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榍?，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。abcd中性面中性面中中性性軸軸中中性性軸軸（一）變形幾何規(guī)律：一、 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力abcdMM:橫截面上只有正應(yīng)力。平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動，距中性軸等高處，變形相等。（可由對稱性及無限分割法證明）3:推論abcdMM2:兩個概念 中性層： 中性軸：yxd 4. 幾何方程：A(1) . yx （二）、物理關(guān)系：假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單項應(yīng)力狀態(tài)。(2) . EyExx y d ddy ) 1 11111OO ABOO

3、B A ABB A x （三）靜力學(xué)關(guān)系： AAxdAEy dAN 0 zAESydAE軸軸過過形形心心中中性性 )( z 0 zSMEIdAyEdAEyydAMzAAAz 22)(0 )(yzAAAyEIyzdAEdAEyzzdAM對稱面(3) . 1zZEIM 桿桿的的抗抗彎彎剛剛度度。zEI (4) . zxIM y (5) . zma xWM （四）最大正應(yīng)力：maxyI Wzz 抗抗彎彎截截面面模模量量。(3) . 1 zZEI M桿的抗彎剛度。桿的抗彎剛度。zEI )1(32 _43max DyIWzz圓圓環(huán)環(huán)hHbB)1(6 _332maxBHbhBHyIWzz 回回字字框框dD

4、Dd1120180302q=60 kN/m1m2m11BAkNmqLM5 .678/3608/22max kNmqxqLxMx60)22(121 例 5-2-1:受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）11截面上1、2兩點的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半徑。q L/ 8Mx解：畫M圖求截面彎矩M1Mmaxyz1120180302q=60 kN/m1m2m11BA45123310832. 5101218012012mbhIz 341048. 62/mIWzz MPaIyMz7 .6110832. 560605121

5、q L/ 8Mx求應(yīng)力M1MmaxyzMPaWMz6 .921048. 66041max1 mMEIz4 .1941060832. 520011 MPaWMz2 .1041048. 65 .674maxmax 求曲率半徑1120180302q=60 kN/m1m2m11BAq L/ 8MxM1MmaxyzQ（x）+ d Q（x）M（x）M（x）+ d M（x）Q（x）d xA 圖圖 bh7 73 3 梁橫截面上的剪應(yīng)力梁橫截面上的剪應(yīng)力一、一、 矩形截面矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力梁橫截面上的剪應(yīng)力1、兩點假設(shè)： 剪應(yīng)力與剪力平行；矩中性軸等距離處，剪應(yīng)力 相等。2、研究方法：分離體平衡。 在梁

6、上取微段如圖b； 在微段上取一塊如圖c，平衡圖圖a0)(112 dxbNNX Q（x）+ d Q（x）M（x）M（x）+ d M（x）Q（x）d xA 圖圖 bh圖圖azzAzAIMSydAIMdAN 1zzISdMMN )(2zzzzbIQSbISdxdM 1 )4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz zzbIQ S y 1)( 由由剪剪應(yīng)應(yīng)力力互互等等Q 5.123max AQ)4(222yhIQz 矩矩 二、其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;剪應(yīng)力的計算公式亦為：zzbIQS1y為為z, zIAz,.ybSQ點出的截面寬度點出的截面寬度是是之慣性矩之慣性矩軸軸為

7、整個截面對為整個截面對對中性軸之靜矩對中性軸之靜矩點以下的面積點以下的面積為截面剪力為截面剪力其中其中 2、幾種常見截面的最大彎曲剪應(yīng)力：工工字字鋼鋼截截面面：腹腹板板的的面面積積 fmaxA ; fA Q ：圓圓截截面面： 3434max AQ：薄薄壁壁圓圓環(huán)環(huán)： 22max AQQe：槽鋼：Q R.; RzzbIQS合合力力為為腹腹板板上上 2H.;1合合力力為為翼翼緣緣上上zIQA 剪力作用線：截面上剪應(yīng)力的合力作用線。如圖，RHhe h0)( AxddAM 7 74 4 梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件 梁的合理截面梁的合理截面1、危險面與危險點分析：一般截面，最大

8、正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。Q M 2、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件：帶翼緣的薄壁截面，最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力的情況與上述相同；還有一個可能危險的點，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交處。（以后講）Q M zzIbSQmaxmaxmax zWMmaxmax3、強度條件應(yīng)用：依此強度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強度計算：4、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核剪應(yīng)力梁的跨度較短，M 較小，而 Q較大時，要校核剪應(yīng)力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。 max 、校核強度：

9、 、校校核核強強度度： max；、設(shè)設(shè)計計截截面面尺尺寸寸：、設(shè)設(shè)計計截截面面尺尺寸寸： max MWz 、設(shè)設(shè)計計載載荷荷：、設(shè)設(shè)計計載載荷荷： ; max zWM )(maxMfP MxQx解：、畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例5-4-1、矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，=7 M Pa，=0. 9 M Pa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強度。q= 3.6kN/mL= 3mABNqLQ54002336002max NmqLM4050833600822max q L/ 2-q L/ 2q L/ 8MxQx求最大應(yīng)力并校核強度應(yīng)力之比q= 3.6kN/mL= 3mAB7 .16

10、32maxmaxmax hLQAWMz q L/ 2-q L/ 2q L/ 822maxmaxmax18. 012. 0405066 bhMWMz MPaMPa 725. 618.012.054005.15 . 1 maxmax AQ MPaMPa9 . 0375. 0解：畫彎矩圖并求危面內(nèi)力例5-4-2、T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的L=30 M Pa，y=60 M Pa.其截面形心位于C點，y1=52mm， y2=88mm，I z=763cm ，試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣放置更合理？ kNRkNRBA5 .10;5 . 2Mx2.5kNm-4k N mA1A2y 2y 1C

11、Cz)(5 . 2下下拉拉、上上壓壓kNmMC （上上拉拉、下下壓壓）kNmMB4 41m1m1mABCDP 2 =4kNP 1 =9kNA3A4面危面應(yīng)力分布圖，找危險點A3A4校核強度MPaIyMzCLA2 .2810763885 . 2822 MPaIyMzBLA2 .2710763524813 MPaIyMzByA2 .4610763884824 LL 2 .28max yy 2 .46max T字頭在上面合理Mx2.5kNm-4k N mA1A2y 2y 1C CzA3A4四、梁的合理截面矩形木梁的合理高寬比bh北宋李誡于1100年著營造法式 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比 ( h

12、/b= ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲學(xué)與機械技術(shù)講義 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比 為., 3;, 2剛剛度度最最大大時時強強度度最最大大時時 bhbhAQm3433. 1max 3231DWz z13221.18W 6)(6 RbhWz m 5 . 1max )2/(;,41221 DRaaD 時時當(dāng)當(dāng)強度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面 zWM zzbIQS* zDaaz其它材料與其他截面形狀梁的合理截面m 2max z1433W75.2 )0.8-(132 DWz 1222167.1,4)8.0(4 DDDDD 時時當(dāng)當(dāng) 11212

13、12,24 DaaD 時時當(dāng)當(dāng)z13124W67.1 646 abhWzm 5 . 1max 2a1a1z0.8DDz)AQ(= 3 . 2fmaxm 工字形截面與框形截面類似z15W57.4 zW1222222105.1,6.18.024 DaaaD 時時當(dāng)當(dāng) 0.8a2a22a21.6a2z2、根據(jù)材料特性選擇截面形狀對于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險截面處又上側(cè)受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：Z（二）、采用變截面梁 ，如下圖：PX )()()(maxxWxMx最好是等強度梁最好是等強度梁，即，即 bx

14、Mxh)(6)( 若若為為等等寬寬度度矩矩形形截截面面，則則高高為為 b5 . 1)( , bh(x)Q1.5=maxQxh 同同時時7 75 5 非對稱截面梁的平面彎曲非對稱截面梁的平面彎曲 開口薄壁截面的彎曲中心開口薄壁截面的彎曲中心軸軸過過形形心心中中性性 )( z 0 zSMEIdAyEdAEyydAMzAAAz 22)(0)( yzAAAyEIyzdAEdAEyzzdAM0)( zAAAESydAEdAEydAN., z y 0外力要與主軸共線軸必須為截面主慣性軸、yzIyzxoexddAMAx軸軸到到桿桿軸軸的的距距離離依依此此確確定定力力臂臂,0)( P依此確定正應(yīng)力計算公式。剪

15、應(yīng)力研究方法與公式形式不變。幾何方程與物理方程不變。Q R.; RzzbIQS合合力力為為腹腹板板上上 2H.;1合合力力為為翼翼緣緣上上zIQA 彎曲中心(剪力中心):使桿不發(fā)生扭轉(zhuǎn)的橫向力作用點，（如前述坐標(biāo)原點O）RHhe 非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力必須作用在主慣性面內(nèi)，中性軸為形心主軸，,若是橫向力，還必須過彎曲中心。0)( AxddAM力力臂臂 PM 槽鋼：Qe zzbIQS : :求求任任意意一一點點剪剪應(yīng)應(yīng)力力彎曲中心的確定: ACddAM力力臂臂向向形形心心簡簡化化)(: (1)雙對稱軸截面，彎心與形心重合。(2)反對稱截面，彎心與反對稱中心重合。(3)若截面由兩個狹長矩形組成，彎心與兩矩形長中線交點重合。CCC(4)求彎心的普遍方法：yCeQMe :求求彎彎心心到到形形心心距距離離QyeC7 76 6 考慮材料塑性時的極限彎矩考慮材料塑性時的極限彎矩（一）物理關(guān)系為：sx 全面屈服后,平面假設(shè)不再成立;仍做縱向纖維互不擠壓假設(shè).（二）靜力學(xué)關(guān)系：)( 依依此此確確定定中中性性軸軸的的位位置置CSAA 0)()( C