Chap連續(xù)隨機(jī)變量及分布函數(shù)n

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 X 所有可能取值充滿若所有可能取值充滿若干個(gè)區(qū)間。對這種隨機(jī)變量，不能象離散型干個(gè)區(qū)間。對這種隨機(jī)變量，不能象離散型隨機(jī)變量那樣隨機(jī)變量那樣, 指出其取各個(gè)值的概率，指出其取各個(gè)值的概率， 給給出概率分布。而是用出概率分布。而是用“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”表示表示隨機(jī)變量的概率分布。隨機(jī)變量的概率分布。2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量例例1：某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過程中各某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過程中各種隨機(jī)因素的影響，零件長度不盡相同。

2、現(xiàn)測種隨機(jī)因素的影響，零件長度不盡相同?，F(xiàn)測得該廠生產(chǎn)的得該廠生產(chǎn)的100個(gè)零件長度個(gè)零件長度(單位單位: mm)如下如下:2.3.1 頻率直方圖頻率直方圖129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142,148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148

3、, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137,141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134,142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.這100個(gè)數(shù)據(jù)中，最小值是128，最大值是155。1

4、28155作密度直方圖的步驟作密度直方圖的步驟(1). 先確定作圖區(qū)間先確定作圖區(qū)間 a, b ;a = 最小數(shù)據(jù)最小數(shù)據(jù)- -/ 2，b = 最大數(shù)據(jù)最大數(shù)據(jù)+/ 2， 是數(shù)據(jù)的精度。是數(shù)據(jù)的精度。本例中本例中 = 1, a = 127.5, b = 155.5 。(2). 確定數(shù)據(jù)分組數(shù)確定數(shù)據(jù)分組數(shù) m = 1.87(n1)2/5 + 1， 組距組距 d = (b a) / m， 子區(qū)間端點(diǎn)子區(qū)間端點(diǎn) ti = a + i d, i = 0, 1, , m；(3). 計(jì)算落入各子區(qū)間內(nèi)觀測值頻數(shù)計(jì)算落入各子區(qū)間內(nèi)觀測值頻數(shù) ni = # xj ti1, ti)， j = 1, 2, ,

5、n， 頻率頻率 fi = ni / n， i = 1, 2, , m；子區(qū)間子區(qū)間頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率127.5, 131.5)127.5, 131.5)6 60.060.06131.5, 135.5)131.5, 135.5)12120.120.12135.5, 139.5)135.5, 139.5)24240.240.24139.5, 143.5)139.5, 143.5)28280.280.28143.5, 147.5)143.5, 147.5)18180.180.18147.5, 151.5)147.5, 151.5)8 80.080.08151.5, 155.5)151.5, 155.5

6、)4 40.040.04(4). (4). 以小區(qū)間以小區(qū)間 ti-1，ti 為底，為底，yi=fi / d ( i=1, 2, , m) 為高作一系列小矩形，組成了頻為高作一系列小矩形，組成了頻 率直方圖，簡稱直方圖。率直方圖，簡稱直方圖。 由于概率可以由頻率近似，由于概率可以由頻率近似， 因此這個(gè)直因此這個(gè)直方圖可近似地刻畫零件長度的概率分布情況。方圖可近似地刻畫零件長度的概率分布情況。 用上述直方圖刻畫隨機(jī)變量用上述直方圖刻畫隨機(jī)變量X的概率分布的概率分布情況是比較粗糙的。為更加準(zhǔn)確地刻畫情況是比較粗糙的。為更加準(zhǔn)確地刻畫X的概的概率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增加觀測數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增

7、加觀測數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù), 同同時(shí)將數(shù)據(jù)分得更細(xì)一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來越多時(shí)將數(shù)據(jù)分得更細(xì)一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來越多, 分分組越來越細(xì)時(shí)組越來越細(xì)時(shí), 直方圖的上方外形輪廓就越來直方圖的上方外形輪廓就越來越接近于某一條曲線越接近于某一條曲線, 這條曲線稱為這條曲線稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率密度曲線的概率密度曲線，可用來準(zhǔn)確地刻畫可用來準(zhǔn)確地刻畫X的概的概率分布情況。率分布情況。2.3. 2 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 定義定義1：若存在非負(fù)可積函數(shù)若存在非負(fù)可積函數(shù) f(x), 使隨機(jī)使隨機(jī)變量變量X取值于任一區(qū)間取值于任一區(qū)間 (a, b 的概率可表示成的概率可表示成(1) , )()( badxxfbXaP則

8、稱則稱 X為連續(xù)型隨機(jī)變量，為連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x)為為 X 的概率密的概率密度函數(shù)，簡稱度函數(shù)，簡稱概率密度概率密度或或密度密度。這兩條性質(zhì)是判定函數(shù)這兩條性質(zhì)是判定函數(shù) f(x) 是否為某隨機(jī)變量是否為某隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)的充的概率密度函數(shù)的充要條件。要條件。密度函數(shù)的性質(zhì)密度函數(shù)的性質(zhì)； 0)( ).1 (xf； 1 )( ).2 (dxxff(x)與與 x 軸所圍軸所圍 面積等于面積等于1。 若若x是是 f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則的連續(xù)點(diǎn)，則xxxXxPx)(lim0 x)(lim0 xxxxdttf=f(x)，(3). 對對 f(x)的進(jìn)一步理解：的進(jìn)一步理解：故故, X的概

9、率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)f(x)在在 x 這一點(diǎn)的值這一點(diǎn)的值, 恰恰好是好是X 落在區(qū)間落在區(qū)間 x , x +x上的概率與區(qū)間長上的概率與區(qū)間長度度x 之比的極限。之比的極限。 這里這里, 如果把概率理解為如果把概率理解為質(zhì)量，質(zhì)量，f (x)相當(dāng)于物理學(xué)中的線密度。相當(dāng)于物理學(xué)中的線密度。需要注意的是：需要注意的是：概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) a 處處取值，不是事件取值，不是事件 X =a 的概率。但是，該值的概率。但是，該值越大，越大，X 在在 a 點(diǎn)附近取值的概率越大。點(diǎn)附近取值的概率越大。若不計(jì)高階無窮小，有：若不計(jì)高階無窮小，有：. )(xxfxxXxP表示隨機(jī)

10、變量表示隨機(jī)變量 X 取值于取值于(x , x + x上的概率上的概率近似等于近似等于 f (x ) x 。 f (x ) x 在連續(xù)型隨機(jī)變量中所起的作用在連續(xù)型隨機(jī)變量中所起的作用與與 pk=PX=xk 在離散型隨機(jī)變量中所起的作在離散型隨機(jī)變量中所起的作用類似。用類似。(4). 連續(xù)型隨機(jī)變量取任意指定值的概率為連續(xù)型隨機(jī)變量取任意指定值的概率為 0.即：即：, 0)(aXPa為任意給定值。為任意給定值。這是因?yàn)椋哼@是因?yàn)椋?()lim()xP XaP axXa 0lim( )0.aaxxf x dx 由此得由此得， 對連續(xù)型對連續(xù)型 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X, 有有)()(bXaPbXaP

11、)(bXaP).(bXaP 由由P(X=a)=0， 可推出可推出 .1)()()(aXPdxxfaRXP而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件,可見：可見：由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A=；并非必然事件。并非必然事件。aRX由由 P(B)=1, 不能推出不能推出 B=。(5). 設(shè)設(shè)A為一個(gè)數(shù)集，則為一個(gè)數(shù)集，則()( )AP XAf x dx2.3.3 常見的連續(xù)型隨機(jī)變量常見的連續(xù)型隨機(jī)變量正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布 正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布。的一種連續(xù)型分布。 正態(tài)分布是十九世紀(jì)初，由高斯正態(tài)分布是十九世紀(jì)初，由

12、高斯(Gauss)(Gauss)給出并推廣的一種分布。故，也稱給出并推廣的一種分布。故，也稱高斯分布高斯分布。1. 正態(tài)分布正態(tài)分布這條紅色曲線近似我們將要介紹的這條紅色曲線近似我們將要介紹的正態(tài)分布正態(tài)分布的概率密度曲線。的概率密度曲線。I. 正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義 定義：定義：若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 的的概率密度函數(shù)為概率密度函數(shù)為),(2NX記作記作 f (x)所確定的曲線叫作所確定的曲線叫作正態(tài)曲線正態(tài)曲線。xexfx,)()(22221 (Normal)其中其中和和都是常數(shù)，都是常數(shù)，任意，任意，0，則稱，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為和和的正態(tài)分布。的正態(tài)分布。II. 正態(tài)分布

13、正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2N特點(diǎn)特點(diǎn)“兩頭低，中間高，左右對稱兩頭低，中間高，左右對稱”。 正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于X= =對對稱的稱的鐘形曲線鐘形曲線。 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2N 決決定了定了圖圖形的中心位置形的中心位置, 決定了圖形決定了圖形峰的陡峭程度。峰的陡峭程度。故故 f(x) 以以 x = =為對稱軸，并在為對稱軸，并在 x=處達(dá)到最處達(dá)到最大值大值: :xexfx,)()(22221 令令x1=+ +c, x2=- -c (c0), 分別代入分別代入 f (x), 得得f (x1) = f (x2)，且且 f (

14、+ +c) f ()， f (- -c) f (). 21)(f這說明：曲線這說明：曲線 f(x) 向左右伸展時(shí)，越來越貼向左右伸展時(shí)，越來越貼近近 x 軸。即軸。即 f (x) 以以 x 軸為漸近線。軸為漸近線。 xexfx,)()(22221 當(dāng)當(dāng) x 時(shí)，時(shí)，f(x) 0。用求導(dǎo)的方法可以證明：用求導(dǎo)的方法可以證明：xexfx,)()(22221 為為f (x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。x = . ,21)(222)(xdtexFxtIII. 正態(tài)分布正態(tài)分布 的分布函數(shù)的分布函數(shù)),(2NIV. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. d21)( 21)(2/2/22texxexxt

15、x， 稱稱 N(0, 1) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)密度函數(shù)和分布函數(shù)常分別用和分布函數(shù)常分別用 來來表示。表示。)( )(xx和和它的依據(jù)是下面的定理：它的依據(jù)是下面的定理： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 根據(jù)定理根據(jù)定理1,1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題。率計(jì)算問題。. ) 1 , 0() ( 2NXYNX，則，設(shè)定理定理

16、1： 書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題。概率計(jì)算問題。V. 正態(tài)分布表正態(tài)分布表. )(1)( 0 xxx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng). d21)(2/2texxt表中給出的是表中給出的是 x 0時(shí)，時(shí)，(x)的取值的取值;xx若若 XN(0, 1),bXaPbXaP； )()(abbXaPbXaP. ab，若若) ( 2NX服從服從N(0,1)36原則與管理例例1：假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高( (單位單位: cm) : cm) XN( (170,7.,7.692), ), 求該地區(qū)成年

17、男性的身高求該地區(qū)成年男性的身高超過超過 175cm175cm 的概率。的概率。 解解: : 根據(jù)假設(shè)根據(jù)假設(shè) XN( (170 ,7.,7.692) )，知，知， ) 1 0(69. 7170NX 事件事件 X 175 的概率為的概率為1751175XPXP.2578.0 )65.0(169.71701751解解: : 設(shè)車門高度為設(shè)車門高度為 h ，按設(shè)計(jì)要求按設(shè)計(jì)要求P(X h)0.01，或或 P(X h) 0.99，下面我們來求滿足上式的最小的下面我們來求滿足上式的最小的 h。例例2 2：公共汽車車門的高度是按成年男性與車公共汽車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在門頂頭碰頭機(jī)會(huì)

18、在0.01以下來設(shè)計(jì)的。以下來設(shè)計(jì)的。設(shè)某地設(shè)某地區(qū)成年男性身高區(qū)成年男性身高 (單位單位: cm) XN(170, 7.692),問車門高度應(yīng)如何確定問車門高度應(yīng)如何確定? ?因?yàn)橐驗(yàn)閄N( (170,7.,7.692),),， ) 1 0(69. 7170NX ，故故99. 0 69. 7170 69. 717069. 7170X hhPhXP求滿足求滿足 P(X h) 0.99 的最小的最小 h。，）得得查查表表，99. 0 9901. 02.33( .88. 1 33. 269. 7170 hh即即，所所以以，故，當(dāng)汽車門高度為故，當(dāng)汽車門高度為188厘米時(shí)，可使男子與厘米時(shí)，可使男子

19、與車門碰頭機(jī)會(huì)不超過車門碰頭機(jī)會(huì)不超過0.01。若若隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的概率密度為：的概率密度為：則稱則稱 X 服從區(qū)間服從區(qū)間 a, b 上的均勻分布，記作：上的均勻分布，記作：X Ua, b. , 0, ,1)(其其他他bxaabxf2. 均勻分布均勻分布 (Uniform)(注注: 有時(shí)也記作有時(shí)也記作 X U(a, b) )。. d )( abcdxxfdXcPdc若若X Ua, b，則對于滿足，則對于滿足 acdb 的的c 和和 d，總有，總有背景：公共汽車的到站時(shí)間、四舍五入的舍入背景：公共汽車的到站時(shí)間、四舍五入的舍入誤差誤差. 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如指數(shù)分布常用

20、于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命服從指數(shù)分布。放射性物質(zhì)相鄰元件的壽命服從指數(shù)分布。放射性物質(zhì)相鄰兩個(gè)粒子的時(shí)間間隔等兩個(gè)粒子的時(shí)間間隔等 定義：定義：若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 具有概率具有概率密度密度3. 指數(shù)分布指數(shù)分布0)( . 0 , 0 , 0 , )(xxexfx則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，記成的指數(shù)分布，記成 X E()。例例3：設(shè)某電子管的使用壽命設(shè)某電子管的使用壽命X(單位：小時(shí)單位：小時(shí))服從參數(shù)服從參數(shù)=0.0002的指數(shù)分布，求的指數(shù)分布，求電子管使電子管使用壽命超過用壽命超過3000小時(shí)的概率。小時(shí)的概率。. 5488.0 0002.0 )(300

21、0 6 .0 3000 0002.0 3000 edxedxxfXPx解：解：2.3.4 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 定義定義2: 設(shè)設(shè) X( ) 是一個(gè)隨機(jī)變量，稱函數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，稱函數(shù) F(x) = PXx, - - x 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù)。分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)(1).(1). a b, ,總有總有F( (a)F( (b)()(單調(diào)非減性單調(diào)非減性) )；(2).(2).F( (x) )是一個(gè)右連續(xù)函數(shù)；是一個(gè)右連續(xù)函數(shù)；(3).(3). x R，總有，總有00F( (x)1()1(有界性有界性) )，且，且。， 1)(lim 0)(lim

22、xFxFxx. )()(lim ),()(limFxFFxFxx為為常記證明：證明：僅證僅證 (1)。因因 aa = Xb - - Xa，而而 Xa Xb，所以，所以 PaXb = PXb - - PXa = F(b) - - F(a) .又又，因，因 PaXb0， 故故 F(a)F(b) .注意：注意：上述證明中我們得到一個(gè)重要公式上述證明中我們得到一個(gè)重要公式: : P aXb=F(b)- -F(a).它表明隨機(jī)變量落在區(qū)間它表明隨機(jī)變量落在區(qū)間( (a, ,b 上的概率可上的概率可以通過分布函數(shù)來計(jì)算。以通過分布函數(shù)來計(jì)算。 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的概率分布為的概率分布為 pk = P X=xk , k=1,2, X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)xxkkxXPxXPxF)(. xxkxxkkkpxXP離散型隨機(jī)變量的離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù) F(x) 是一個(gè)右連是一個(gè)右連續(xù)的函數(shù)，