現(xiàn)代分析第六章(一)

1、第第6章章 從泰勒公式到學習理論從泰勒公式到學習理論6.1 從泰勒公式談起從泰勒公式談起6.2 從函數(shù)展開到傅立葉變換從函數(shù)展開到傅立葉變換6.3 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)變換變換6.4 從函數(shù)近似到逼近論從函數(shù)近似到逼近論6.5 小波分析小波分析6.6 神經網絡神經網絡6.1 從泰勒公式談起從泰勒公式談起泰勒泰勒 (1685 1731)英國數(shù)學家, 他早期是牛頓學派最優(yōu)秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 線性透視論(1719) 他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .他是有限差分理論的奠基人 .特點:)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰

2、勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xf)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分應用中已知近似公式 :需要解決的問題如何提高精度 ?如何估計誤差 ?xx 的一次多項式xy)(xfy O1. 求求 n 次近似多項式次近似多項式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令)(xpn則)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(0

3、0 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201)0(之間與在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2. 余項估計余項估計)()()(xpxfxRnn令(稱為余項) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()()1(nRnn則

4、有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之間與在xx)102(之間與在x)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn)0(之間與在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn時的某鄰域內當在Mxfxn)() 1(0)0(之間與在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn公式 稱為 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項拉格朗日余項 .泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理 :內具有的某開區(qū)

5、間在包含若),()(0baxxf1n直到階的導數(shù) ,),(bax時, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則當)0(之間與在xx泰勒 公式 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾佩亞諾(Peano) 余項余項 .在不需要余項的精確表達式時 , 泰勒公式可寫為)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到* 可以證明: 階的導數(shù)有直到在點nxxf0)( 式成立特例特例:(1) 當 n

6、= 0 時, 泰勒公式變?yōu)?(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 當 n = 1 時, 泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可見)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 誤差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx稱為麥克勞林麥克勞林( Maclaurin )公式公式 ., 00 x則有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! )

7、1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn則有誤差估計式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林 由此得近似公式, ) 10(x記二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式xxfe)() 1 (,e)()(xkxf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!

8、22x其中)(xRn!) 1( n) 10(1nxxe)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(麥克勞林公式麥克勞林公式 ) 10()sin(212mx)cos() 1(xm)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx!) 12(m)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 1

9、0(麥克勞林公式麥克勞林公式 麥克勞林公式麥克勞林公式 ! )2(2mxmxxfcos)()3(類似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10() 1(,)1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1(

10、) 1(n)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 ) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n因此可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 三、泰勒公式的應用三、泰勒公式的應用1. 在近似計算中的應用在近似計算中的應用

11、 誤差1! ) 1()(nnxnMxRM 為)() 1(xfn在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項數(shù) n ;2) 已知項數(shù) n 和 x , 計算近似值并估計誤差;3) 已知項數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(例例1. 計算無理數(shù) e 的近似值 , 使誤差不超過.106解解: 已知xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(!) 1(e!1!2111nn) 10(由于,3ee0欲使) 1 (nR!) 1(3n610由計算可知當 n =

12、9 時上式成立 ,因此e!91!21112.718282xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為說明說明: 注意舍入誤差對計算結果的影響.本例若每項四舍五入到小數(shù)點后 6 位,則 各項舍入誤差之和不超過,105 . 076總誤差限為6105 . 076106105這時得到的近似值不能保證不能保證誤差不超過.106因此計算時中間結果應比精度要求多取一位 .e!91!2111例例2. 用近似公式!21cos2xx計算 cos x 的近似值,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.解解: 近似公式的誤差)cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x解得588. 0

13、x即當588. 0 x時, 由給定的近似公式計算的結果能準確到 0.005 .2. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限例例3. 求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必達法則不方便 !2x用泰勒公式將分子展到項,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 11)

14、1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式例例4. 證明).0(82112xxxx證證:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx+內容小結內容小結1. 泰勒公式泰勒公式其中余項)(0nxxo當00 x時為麥克勞林公式麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(

15、! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之間與在xx(1) 近似計算(3) 其他應用求極限 , 證明不等式 等.(2) 利用多項式逼近函數(shù) xsin例如2. 泰勒公式的應用泰勒公式的應用泰勒多項式逼近泰勒多項式逼近12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin6422464224xyO泰勒多項式逼近泰勒多項式逼近12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsinxysin!9!7!5!39753xxx

16、xxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy642246Ox4224y泰勒公式的重要意義 1. 對于一個充分光滑的函數(shù)f，它在未知點的信息（估值）可通過一個已知點的信息表達。 2. 在適當條件下（例如Rn(x)0在I上一致），一個復雜 的函數(shù)可通過簡單的多項式函數(shù)來近似。6.2 6.2 從函數(shù)展開到傅立葉變換從函數(shù)展開到傅立葉變換 思想：用簡單函數(shù)近似復雜函數(shù)泰勒展開)(!)()(00)(xxkxfxfokk203012012320111! 3111) 1()sin(21)!12(1) 1()1ln(! 31! 211!1xxxxxxxnxxxxnxxxxxnennnnnnnnnnx

17、 從這些展開式中可以看到，泰勒展開實質從這些展開式中可以看到，泰勒展開實質上是利用函數(shù)的各階導數(shù)值來將函數(shù)展開上是利用函數(shù)的各階導數(shù)值來將函數(shù)展開為不同階多項式的無窮疊加。為不同階多項式的無窮疊加。 難點：各階導數(shù)是不太容易求出的！難點：各階導數(shù)是不太容易求出的！ 問題：能否有不用導數(shù)值而給出一個函數(shù)問題：能否有不用導數(shù)值而給出一個函數(shù)的多項式展開？的多項式展開？切比雪夫（Chebyshev)展開mnmndxxxTxTnxnxTxxxTxxTxxTxTxxxxxxxxxxmnnnn, 011)()(, 2 , 1 , 0),arccoscos()(,34)(, 12)(,)(, 1)()3)3

18、4(41) 1) 12(21111111 -233221032320則有：即：其中展開項：第一類切比雪夫多項式 第一類切比雪夫多項式由以下遞推關系確定)(-)(2)()(1)(1110 xTxxTxTxxTxTnnn前幾個第一類切比雪夫多項式是前六個第一類切比雪夫多項式的圖像 按顏色依次是U0（黑）, U1（紅）, U2（藍）, U3（綠）, U4（黃）， U5（灰）. 第二類切比雪夫多項式第二類切比雪夫多項式 前幾個第二類切比雪夫多項式是前六個第二類切比雪夫多項式的圖像 對任何連續(xù)函數(shù)f(x)有211011)()()()()( 1 , 1, )()()(xxdxxxTxfmfxxTmfxfm

19、mm其中一些函數(shù)的Chebyshev展開0122020202)!1()(1)1(!)()1()(211)(211nnnxtnnnxtnnnnnntnxUxxtshetnxTxtchetxUtxttxTtxtxt 切比雪夫多項式是Hilbert空間上的正交多項式，因此，我們將一個函數(shù)按切比雪夫多項式展開將給計算帶來很大的方便！ 進一步問題： 還能夠將函數(shù)按照什么樣的函數(shù)系展開呢？ 案例 在工程技術中,周期函數(shù)可以展開成傅立葉級數(shù),那么非周期函數(shù)呢?能否用一個周期函數(shù)逼近一個非周期函數(shù)呢? 一個非周期函數(shù)f(t)可以看成是某一周期函數(shù)fT(t)，當周期T時轉化而來的 在數(shù)學分析中,我們給出了以T為

20、周期的函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)的方法,其復數(shù)形式為: 221( )( )TnnTjjtTTnf tfedeT (6-1) 通過轉換可得， 式(6-2)稱為非周期函數(shù)f (t)的傅立葉積分公式傅立葉積分公式(簡稱傅氏積分公式)從數(shù)學上來講，用一個周期函數(shù)來逼近一個非周期函數(shù)是不嚴密的 dedeftjj)(21f (t)= (6-2)傅氏積分定理傅氏積分定理 若f(t)在 上滿足:, (1)在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件； (2)在無限區(qū)間上 絕對可積（即 收斂），則有,dttf|)(| dedeftjj)(21=)()0()0(21)()(在間斷點上在連續(xù)點上tftftf(6-3) 定義定義6.1

21、 6.1 如果函數(shù)f (t)滿足傅立葉積分定理，由式(6-3)，設.2.1.2.1傅立葉變換的概念傅立葉變換的概念1 1、傅立葉變換的概念、傅立葉變換的概念 de )( fFj de )(Ftftj21則（6-4）（6-5） 從上面兩式可以看出，f(t)和F()通過確定的積分運算可以互相轉換(6-4)式稱為f (t)的傅立葉變換式(簡稱傅氏變換)，記為 F()=f (t)， F()稱為f (t)的像函數(shù)像函數(shù)，其積分運算稱為取f (t)的傅氏變換式(6-5)稱作F()的傅氏逆變換式傅氏逆變換式，記為 f(t)= -1 F()，f(t)稱作F()的像原函數(shù)像原函數(shù)，其積分運算叫做取f(t)的傅氏

22、逆變換通常稱像函數(shù)F()與像原函數(shù)f(t)構成一個傅氏變換對 例例1 1 求指數(shù)衰減函數(shù) f(t)= 的傅氏變換及傅立葉積分表達式，0000ttet，解解 f(t) 的傅氏變換de )( fjF()=f (t)= ()22001tj tjtjeedtedtj=其傅立葉積分表達式 f (t) = -1 F()= deFtj)(212212j tjeddtjtj22)sin)(cos(21注意利用奇、偶函數(shù)的積分性質,可得 0221dtsintcostf2 2、函數(shù)及其傅立葉變換函數(shù)及其傅立葉變換 在物理學中，常有集中于一點或一瞬時的量，如脈沖力、脈沖電壓、點電荷、質點的質量等只有引入一個特殊函數(shù)

23、來表示它們的分布密度，才有可能把這種集中的量與連續(xù)分布的量來統(tǒng)一處理 案例案例 取t軸上無窮長的細桿，桿上除在t0點上有質量m1之外，處處沒有質量分布設其在點t的線密度為 (t )，分析可知：(1) t0時， (t )= 0；(2) t=0時， (t )=+ (因t0有集中質量)；(3) 其積分值 是質量dtt)( 顯然,不能用普通函數(shù)定義上面的點密度如不考慮物理意義，經過數(shù)學抽象后，便可引入函數(shù)的概念 單位脈沖函數(shù)又稱為函數(shù)，它通常表示在時間內激發(fā)一個矩形脈沖，其面積為l(圖6.1)，其定義為圖6.1，；，；，tttt00100)(當0時， 的極限就稱為單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)，即)(t)(

24、lim)(0tt 具有如下特點從函數(shù)極值角度看 )(t)(t，000tt 從面積角度看00011lim)(lim)(dtdttdtt 有時將函數(shù)用一個長度等于l的有向線段(圖6.2)表示，線段長度表示函數(shù)的積分值，稱為函數(shù)的強度圖6.2 函數(shù)有一重要性質(篩選性質)，如果函數(shù)與某一連續(xù)函數(shù)(工程上為一連續(xù)信號)相乘，則其乘積僅在t=0處得到f(0)，其余各點(t0)之乘積均為零，于是) 0 ()() 0 () 0 ()(fdttfdtft(6-6) 同理，對于有延時t的函數(shù)(t)，只有在t時才不等于零因此有)()()()()(0000tfdttttfdttftt(6-7) 公式(6-6)、(6

25、-7)表示函數(shù)的篩選(又稱采樣)性質，它表明函數(shù)與任何連續(xù)函數(shù)的乘積在上的積分有明確的意義，這個性質對連續(xù)信號的離散采樣十分重要，因此在工程技術中有廣泛的應用. 由(6-6)式可得函數(shù)的傅立葉變換)(F1|)()(0ttjtjedtett更一般地，對)(0tt 0)()(00tjtjedtetttt所以單位脈沖函數(shù) 與常數(shù)1， 與 分別構成傅氏變換對 .)(t)(0tt 0tje 同樣，若F() ，則由傅氏逆變換，可得)(2 de )(Ftftj211221de )(tj 可見，1和 構成一傅氏變換對；同理， 和 也構成一傅立葉變換對由此可得)(2tje0)(20)(2dtetj)(20)(0

26、dtetj0002sgnjdtxetj 在工程技術上有許多重要的函數(shù)不滿足傅立葉積分定理條件，即不滿足dttf)( 例如常數(shù)、符號函數(shù)、單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)等，但它們的廣義傅氏變換也是存在的(所謂廣義是相對古典意義而言的，這涉及廣義函數(shù)論等較復雜的理論，在此不作深入的討論)利用單位脈沖函數(shù)及其傅立葉變換可以求出它們的傅氏變換下面通過傅氏逆變換來推證單位階躍函數(shù)的傅氏變換及其積分表達式 例2、求單位階躍函數(shù) 的傅氏變換及其積分表達式。 0100)(tttu解解 注意到sgn1 21)(ttu于是 )(F11( )1 sgn1sgn22j tj tj tu tt edtedttedt2

27、1（ 1+ signt ）21)(2j2 j1)(又因為)(tu-1F() de)(jtj12101212121dtsindtsin)( 這就是單位階躍函數(shù)的積分表達式在上式中令t=1，可得狄利克雷積分2sin0dttt 例3、求余弦函數(shù) 的傅氏積分 ttf0cos)(解解 由歐拉公式2cos000tjtjeet及傅氏變換公式，有)(Fdteeedttettjtjtjtj2coscos000000()()1112jtjtedtedt )()()()(00002221同理可得)(Fsin0t)()(j001線性性質。 設F = ，F(xiàn) = ，和 為常數(shù)，則)(1tf)(1F)(2tf)(2F(1.

28、3.12) )()( = )()(F2121FFtftf(1.3.13) )()(= )()(F2121-1tftfFF2位移性質 )13. 3 . 1 ()( F)(F00tfettftj)14. 3 . 1 ()()(F010ttfFetj該性質在無線電技術中也稱為時移性質。 .2.2傅立葉變換的性質3對稱性質 若 ，則 )()(FtfF)14.3 .1 ()(2)(ftFF4相似性質 0),()(aFtfF若，則)15. 3 . 1 ()(1)(aFaatfF5象函數(shù)的位移性質 若 ，則 )()(FtfF)16. 3 . 1 ()()(00FtfeFtj)17. 3 . 1 ()()(0

29、0tjetfFF象函數(shù)的位移性質在無線電技術中也稱為頻移性質。 6.翻轉性質 若 ，則 )()(FtfF)18. 3 . 1 ()()(tfFF 7.微分性質 若f 在 上連續(xù)或只有有限個可去間斷點,且當 時， ，則 t,t0)(tf)19. 3 . 1 ()()(tfjtfFF推論 若 （k=1,2,n）在 上連續(xù)或只有有限個可去間斷點，且 =0，k=0,1,2,(n-1), 則有 )()(tfk),()(lim)(| |tfkt)20. 3 . 1 ()()()()(tfFjtfFnn8.象函數(shù)的微分性質若 ，則dttfttfF)(,F()(）)21. 3 . 1 ()(F)(tjtfFd

30、d一般地，有)22. 3 . 1 ()()()(tftjFddnnnnF若當 時， = ,則)(tgt0)(dttft)23. 3 . 1 ()(1)(FjdttfFt如果 ，則 0)(limttdttf)24. 3 . 1 ()()0()(1)(FFjdttfFt9.積分性質)()(tfFF其中 例4、求矩形單脈沖函數(shù) 其它，00)(tEtf的傅氏變換. 解解 首先由傅氏變換定義,得)(F dte )t (ftftj0tjtjejEdteE222sineE/j 又注意到,記其它，02/|)(1tEtf)(1F 22sinEtf則 )2()(1tftf且 于是有位移性質知 )(F f (t)

31、=)2(1tfje f1 (t)222sineE/j這與上面計算的結果是一樣的.10.象函數(shù)的積分性質)25. 3 . 1 ()()(1dFtfjtF若 ，則dttftfF)(,F()(）11.乘積定理 若 ， ，則 )()(11FtfF)()(22FtfFdFFdttftf)()(21)()(2121)26. 3 . 1 ()()(2121dFF其中 ， 均為t的實函數(shù)， 、 分別為 、 的共軛函數(shù)。 )(1tf)(2tf)(1F)(2F)(1F)(2F12.能量積分 若 ，則 ）F()(tfF)27. 3 . 1 ()(21)(22dFdttf該等式又稱為巴塞瓦等式。 13.卷積定理 設

32、， 都滿足付氏積分定理中的條件， 且 ， ，則 )(1tf)(2tf)()(11FtfF)()(22FtfF )28. 3 . 1 ()()()(*)(2121FFtftfF)29. 3 . 1 ()(*)(21)()(2121FFtftfF.2.3.2.3非周期函數(shù)的頻譜非周期函數(shù)的頻譜1 1周期函數(shù)與離散頻譜周期函數(shù)與離散頻譜 眾所周知，一個諧波函數(shù))cos()(0tAtf是由幅值A，相位和頻率0三個參數(shù)唯一地確定的 對于周期為T的周期函數(shù)f(t),它可展成指數(shù)形式的Fourier級數(shù): 0( )( )jntnf tF n e 對上式兩邊取Fourier變換,并考慮F(n)不是時間t的函數(shù)

33、，由此可得0( )( )jntj tnFF n eedt02( ) ()nF nn 是周期函數(shù)的Fourier變換譜上式表明，周期函數(shù)的頻譜由無窮多個脈沖組成，這些脈沖位于頻率n0處，每個脈沖的脈沖強度為 .)(F)(2nF 需指出，雖然從頻譜的圖形上,這里 的與 是極其相似的，但兩者含義不同當對周期函數(shù)進行Fourier變換時,所得到的是頻譜密度；而將該函數(shù)展成Fourier級數(shù)時，所得到的Fourier系數(shù)，是復指數(shù)分量的幅值 )(F)(nF 可見，引入了脈沖函數(shù)之后、對周期函數(shù)和非周期函數(shù)可以用相同的觀點和方法進行分析運算，這將給信號分析帶來了很大的方便.解解 在區(qū)間 內的表達式為2,2

34、TT22)(TtTtTEtf且對稱于原點,所以是奇函數(shù). 0, 00naa由級數(shù)的展開得2/010), 3 , 2 , 1(1sin4TnnnnEtdtnTEtTb), 6 , 4 , 2(, 2/), 5 , 3 , 1(, 2/nnbAnnn例例5 5 周期鋸齒波如圖6.3(a)所示,求它的頻譜. 圖6.3 tttEtf0003sin312sin21sin)( 其頻譜圖如圖6.3(b)、(c)所示由此可見，周期函數(shù)的頻譜或譜線只出現(xiàn)在0，0,20，等離散點上，分布于整個頻域中，形成離散譜離散譜是周期函數(shù)的重要特征2 2非周期函數(shù)與連續(xù)頻譜非周期函數(shù)與連續(xù)頻譜 我們已經知道，對于非周期函數(shù)f

35、(t)若滿足傅立葉積分定理中的條件，則在f(t)的連續(xù)點處，有 de )(Ftftj21 其傅氏變換式 dte )t (fFtj 在頻譜分析中，傅立葉變換式 又稱為f (t)的頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)，頻譜函數(shù)的模| | 稱為f (t)的振幅頻譜振幅頻譜(亦簡稱頻譜)在傅立葉積分中當n+時，頻率間隔成為d，為連續(xù)變量，故我們稱| |為連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜對一個時間函數(shù)f (t)作傅立葉變換，就是求f (t)的頻譜 )(F)(F)(F例例6 6 作指數(shù)衰減函數(shù) )0(,0,0,0)(tettft的頻譜圖. 圖6.4解解 由例l的結果，得,)(22jF所以有 .1| )(|22F作頻譜圖如圖6.4所示 在工程

36、技術中，我們將經常碰到的一些非周期函數(shù)及其傅立葉變換(或頻譜)可通過查表求得 6.3 6.3 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)變換變換 由上節(jié)可知，需進行傅氏變換的函數(shù)應滿足傅氏積分存在定理的兩個條件，即(1)在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件；(2)在無限區(qū)間 上絕對可積而傅氏變換存在兩個缺點 缺點1：條件(2)過強在實際應用中，許多函數(shù)不能滿足條件(2)(,) 案例案例 單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等，雖滿足狄利克雷條件，但非絕對可積因此，對這些函數(shù)就不能進行古典意義下的傅氏變換盡管在上一節(jié)里，通過引入函數(shù)，在廣義下對非絕對可積函數(shù)進行了傅氏變換，但函數(shù)使用很不方便.

37、 缺點2：進行傅氏變換的函數(shù)須在上 有定義 (,) 案例案例 在物理、無線電技術、機械工程等實際應用中，許多以時間t為自變量的函數(shù)在t0時是無意義的或者是無需考慮的.因此，對這些函數(shù)也不能進行傅氏變換 由此可見，傅氏變換的應用范圍受到了極大的限制，必須引入一種新的變換 .3.1 .3.1 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)變換的概念變換的概念 由于單位階躍函數(shù)u(t)在t0時恒為零，因此f(t)u(t)可使積分區(qū)間從 變成 ，從而克服了缺點2；另外，函數(shù) 具有衰減性質，對于許多非絕對可積的函數(shù)f(t)總可選擇適當大的，使f(t)u(t) 滿足絕對可積的條件，從而克服了缺點1對

38、f(t)u(t) 進行傅氏變換，可得(,) , 0)0(tetete0)()()()()()(dtetfdteetutfetutfFtjtjttjs令，則0)()()(dtetfetutfFstt 上式右邊積分所得為復變量s的函數(shù)，記為F(s)；稱為f (t)的拉普拉斯變換 定義定義6.2 6.2 設函數(shù) 當 時有定義，且廣義積分)(tf0t0)(dtetfst數(shù)為s的函數(shù)在s的某一區(qū)域內收斂，則由此積分確定的參dtetfsFst0)()( (6-8)叫做函數(shù)的拉普拉斯變換，拉普拉斯變換，記作 )(sF)(tf函數(shù)F(s)也可叫做 的像函數(shù)像函數(shù))(tf 在拉氏變換中，只要求 在 內有定義即可

39、為了研究方便，以后總假定在 內， 0另外，拉氏變換中的參數(shù)s是在復數(shù)域中取值的，但我們只討論s是實數(shù)的情況，所得結論也適用于s是復數(shù)的情況)(tf), 0 )0 ,()(tf 例1、求指數(shù)函數(shù) （ 是常數(shù)）的拉氏變換 atetf)(aa, 0解解 由式（6-8）有 dtedteeetasstatat0)(0此積分在s時收斂，有 0)(1asdtetas所以 )(1asaseat 例例2 求狄立克雷函數(shù) 的拉氏變換 其他, 00,1)(tt解解 先對 作拉氏變換 t 00111sststesdtedtett的拉氏變換為 t 0limt sets1lim0用羅必達法則計算此極限，得1lim1lim

40、00ssesess所以 1t.3.2 .3.2 拉普拉斯變換的性質拉普拉斯變換的性質性質性質1 1（線性性質）若（線性性質）若 、 是常數(shù)，且是常數(shù)，且ab ,11sFtf sFtf22ab則 atbftaf21 tf1 tf2 sbFsaF21b 性質1表明，函數(shù)的線性組合的拉氏變換等于各函數(shù)的拉氏變換的線性組合。此性質可以推廣到有限個函數(shù)的線性組合的情形例例3 3 求函數(shù) 的拉氏變換 ateatf11解解 由性質1，有 atea11a11atea1 1ate assassa1111性質性質2（平移性質）（平移性質） 若若 ,則則 sFtf asFtfeat 性質2表明，像原函數(shù)乘以 ，等于

41、其像函數(shù)作位移 ate , 因此性質2稱為平移性質a例例4 求 及 attesinteat解解 由平移性質及 ,12st 22sinst21asteat得 22sinasteat性質性質3（延滯性質）（延滯性質） 若若 , , 則則 sFtf ) 0( asFeatfas 函數(shù) 與 相比，滯后了 個單位，若 表示時間，性質3表明，時間延遲了 個單位，相當于像函數(shù)乘以指數(shù)因子 ，如圖6.6所示)(atf tfataase解解 由 及性質3可得 stu1asesatu1 圖6.6 圖6.7atatatu, 1, 0例例5、求函數(shù)的拉氏變換 其它,0, 1btath拉氏變換例例6、求如圖6.7所示的

42、分段函數(shù)解解 由 得 btuatuth thbtuatuu(ta) -u(tb) =bsasbsaseeseses111 性質性質4 4（微分性質）（微分性質） 若若 ，則則 sFtf 0fssFtf 性質4表明，一個函數(shù)求導后取拉氏變換，等于這個函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù)再減去這個函數(shù)的初值此性質可以推廣到函數(shù)的階導數(shù)的情形 推論推論 若 ，則 sFtf 000121nnnnnffsfssFstf特別地，若 ，則 00001nfff ), 2 , 1(nsFstfnn 性質4使我們有可能將 的微分方程化作 的代數(shù)方程因此性質4在解微分方程中有重要作用 tf sF例例7、用微分性質求tsin解解

43、令 ，則 ttfsin 00 f ttfcos 0f ttfsin2 由式（6-9）得 sin2t 002fsfsFstf 即 22sinst tsin移項并化簡，即得22sinst性質性質5（積分性質）積分性質） 若若 ，則則 sFtf ssFdxxft0 性質5表明，一個函數(shù)積分后取拉氏變換，等于這個函數(shù)的拉氏變換除以參數(shù) 此性質也可以推廣到有限次積分的情形s ),2, 1000nssFdtxfdtdtnnttt（次 除了上述五個性質外，拉氏變換還有一些性質，有興趣的讀者可參閱相關書籍另外，我們并不總是用定義求函數(shù)的拉氏變換，還可以查表求拉氏變換例例8、查表求ttsin解解 查表得 sFs

44、t11sin2從而得 ssdssttsarctan2arctan11sin026.3.3 拉氏變換的逆變換拉氏變換的逆變換 前一節(jié)我們討論了由已知函數(shù) 求它的像函數(shù) 的問題本節(jié)我們討論相反問題已知像函數(shù) ，求它的像原函數(shù) ，即拉氏變換的逆變換( )f t( )F s( )F s( )f t 若 是 的拉氏變換，則稱 是 的拉氏逆拉氏逆變換變換（或叫做 的像原函數(shù)像原函數(shù)）， ( )F s)(tf)(tf( )F s sF)(tf)(sf.3.3.1 .3.3.1 部分分式法部分分式法 在用拉氏變換解決工程技術中的應用問題時，經常遇到的像函數(shù)是有理分式一般可將其分解為部分分式之和，然后再利用拉氏

45、變換表求出像原函數(shù)例例1 求 的拉氏逆變換 6592ssssF解解 先將 分解為部分分式之和 sF323296592sBsAssssss用待定系數(shù)法求得 6, 7BA36276592sssss所以 則有 tf65921sss36271ss=71621s131sttee3267 例例2 2 求 的拉氏逆變換 sssssF44323解解 設22323443sssssss222sCsBsA用待定系數(shù)法求得 214343CBA所以 22322124343443ssssssssF則有 1 sF1221212143143sss431431s12121s1221stttee22214343例例3 求 的拉氏

46、逆變換 22222sssssF解解 先將 分解為部分分式之和 sF 22222sssssF設2222ssCBssA用待定系數(shù)法，求得 212CBA所以 222222sssssF1111112222ssss于是 tf1 sF= 11111112222ssss=122s11112ss11112steteetttsincos22tteettsincos22.3.3.2 .3.3.2 拉氏變換的逆變換的性質拉氏變換的逆變換的性質 在求像原函數(shù)時，常從拉氏變換表中查找，同時要結合拉氏變換的性質因此把常用的拉氏變換的性質用逆變換的形式列出如下設 ， ， sFtf11 sFtf22 sFtf1 1、線性性質

47、、線性性質 1 asbFsaF211 bsF11 sF2 為常數(shù) bataftaf,212 2、平移性質、平移性質 1ateasF1 tfesFat3 3、延滯性質、延滯性質 1 atuatfsFeas例例4 求下列函數(shù)的拉氏逆變換： （1） ； （2） ； 31ssF 221ssF解解 （1）查表，取 可得3a tf1tes331（2）查表，取 可得 2a tf1ttes2221例例5 5 求 的拉氏逆變換 52322ssssF解解 tf152322sss141322ss21254112ss14122stetett2sin252cos2ttet2sin252cos2.3.4 .3.4 拉普拉

48、斯變換的應用拉普拉斯變換的應用 1 1微分方程的拉普拉斯變換解法微分方程的拉普拉斯變換解法 物理、力學以及工程上的許多問題，可以歸結為求解微分方程的問題拉普拉斯變換解法主要借助于拉氏變換把常系數(shù)線性微分方程(組)轉換成復變數(shù)的代數(shù)方程組根據(jù)代數(shù)方程求出像函數(shù)，然后再取逆變換即可求出原微分方程(組)的解方法簡便、為工程技術人員所普遍采用下面通過例題來說明該方法的應用 例例6 6 求方程 滿足初始條件teyyy 20|00ttyy 解解 設 y(t)Y(s)，對方程兩邊同取拉氏變換并考慮到初始條件，得11)()(2)(2ssYssYsYs的解因此有 3)1(1)(ssY查表可得 tetty221)

49、(這就是所求的解 例例7 7 求方程 滿足初始條件yyt00|0, |2ttyy的解 解解 設 y(t)Y(s)，對方程兩邊同取拉氏變換并考慮到初始條件，得到 y= t ,y221( )(0)(0)( )s y ssyyy ss221( )2( )s y ssy ss整理得 這是含未知量Y(s)的代數(shù)方程，整理后解出Y(s)得： 222221211( )(1)11sy ss ssss12122sss1311222ssss取它的逆變換便可以得出所求函數(shù)y(t),故)(ty1tttsssssin3cos1311222 振動問題是日常及工程技術中經常遇到的，例如機床主軸的振動，電路中的電磁振蕩，減振彈簧的振動等等，一般可歸結為微分方程的問題來討論下面以無阻尼強迫振動為例說明其應用 例例8 8、圖6.9所示為一彈簧質量系統(tǒng)，在外力f(t)的作用下，物體在平衡位置開始運動，求其運動規(guī)律(設f(t)=(t)即一單位脈沖力)圖6.9解解 該系統(tǒng)的動力學微分方程為)(tfkyym 其初始條件為0|00ttyy對方程兩邊取拉氏變換， 設y(t)Y(s)，f(t)F(s)， 并由初始條件，得到)()()(2sFskYsYmsmsFsYmksYs)()()(2整理得 對方程兩邊取