線性代數總結匯總+經典例題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上線性代數知識點總結1 行列式（一）行列式概念和性質1、逆序數：所有的逆序的總數2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數和3、行列式性質：（用于化簡行列式）（1）行列互換（轉置），行列式的值不變（2）兩行（列）互換，行列式變號（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數k，等于用數k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。（6）兩行成比例，行列式的值為0。（二）重要行列式4、上（下）三角（主對角線）行列式的值等于主對角線元素的乘積5、副

2、對角線行列式的值等于副對角線元素的乘積乘 6、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則7、n階（n2）范德蒙德行列式數學歸納法證明8、對角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：（三）按行（列）展開9、按行展開定理：（1）任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各個元素與另一行（列）對應元素的代數余子式乘積之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=kn|A|（2）|AB|=|A|B|（3）|AT|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值1、2、n，則 （7）若A與B相

3、似，則|A|=|B|（五）克萊姆法則 11、克萊姆法則：（1）非齊次線性方程組的系數行列式不為0，那么方程為唯一解（2）如果非齊次線性方程組無解或有兩個不同解，則它的系數行列式必為0（3）若齊次線性方程組的系數行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。2 矩陣（一）矩陣的運算1、矩陣乘法注意事項：（1）矩陣乘法要求前列后行一致；（2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對矩陣不適用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)時，可以用交換律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。2、轉置的性質（5條）（1）（A+B）T=AT+BT（2）（kA）T=kAT（3）（

4、AB）T=BTAT（4）|A|T=|A|（5）（AT）T=A（二）矩陣的逆3、逆的定義：AB=E或BA=E成立，稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A-1注：A可逆的充要條件是|A|04、逆的性質：（5條）（1）（kA）-1=1/kA-1 (k0)（2）（AB）-1=B-1A-1（3）|A-1|=|A|-1（4）（AT）-1=（A-1）T（5）（A-1）-1=A5、逆的求法：（1）A為抽象矩陣：由定義或性質求解（2）A為數字矩陣：（A|E）初等行變換（E|A-1）（三）矩陣的初等變換6、初等行（列）變換定義：（1）兩行（列）互換；（2）一行（列）乘非零常數c（3）一行（列）乘k加到另一行（列）7

5、、初等矩陣：單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣。8、初等變換與初等矩陣的性質：（1）初等行（列）變換相當于左（右）乘相應的初等矩陣（2）初等矩陣均為可逆矩陣，且Eij-1=Eij（i，j兩行互換）；Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）（四）矩陣的秩9、秩的定義：非零子式的最高階數注：（1）r（A）=0意味著所有元素為0，即A=O（2）r（Ann）=n（滿秩） |A|0 A可逆；r（A）n|A|=0A不可逆；（3）r（A）=r（r=1、2、n-1）r階子式非零且所有r+1子式均為0。10、秩的性質：（7條）（1）A為mn階矩陣，

6、則r（A）min（m,n）（2）r（AB）r（A）（B）（3）r（AB）minr（A），r（B）（4）r（kA）=r（A）（k0）（5）r（A）=r（AC）（C是一個可逆矩陣）（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）（7）設A是mn階矩陣，B是ns矩陣，AB=O，則r（A）+r（B）n11、秩的求法：（1）A為抽象矩陣：由定義或性質求解；（2）A為數字矩陣：A初等行變換階梯型（每行第一個非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數（五）伴隨矩陣12、伴隨矩陣的性質：（8條）（1）AA*=A*A=|A|E A*=|A|A-1（2）（kA）*=kn-1A*（3）（AB）*=B

7、*A*（4）|A*|=|A|n-1（5）（AT）*=（A*）T（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1（7）（A*）*=|A| n-2A（8）r（A*）=n （r（A）=n）； r（A*）=1 （r（A）=n-1）； r（A*）=0 （r（A）n-1）（六）分塊矩陣13、分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。14、分塊矩陣求逆：3 向量（一）向量的概念及運算1、向量的內積：（，）=T=T2、長度定義： |= 3、正交定義：（，）=T=T=a1b1+a2b2+anbn=04、正交矩陣的定義：A為n階矩陣，AAT=E A-1=AT ATA=E |A|=1（二）線性組合和線性表示5、線性表示的

8、充要條件：非零列向量可由1，2，s線性表示(1)非齊次線性方程組（1，2，s）（x1，x2，xs）T=有解。(2)r（1，2，s）=r（1，2，s，）（系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗）6、線性表示的充分條件：（了解即可）若1，2，s線性無關，1，2，s，線性相關，則可由1，2，s線性表示。7、線性表示的求法：（大題第二步）設1，2，s線性無關，可由其線性表示。（1，2，s|）初等行變換（行最簡形|系數）行最簡形：每行第一個非0的數為1，其余元素均為0（三）線性相關和線性無關8、線性相關注意事項：（1）線性相關=0（2）1，2線性相關1，2成比例9、線性相關的充要條件：向量組

9、1，2，s線性相關（1）有個向量可由其余向量線性表示；（2）齊次方程（1，2，s）（x1，x2，xs）T=0有非零解；（3）r（1，2，s）s 即秩小于個數 特別地，n個n維列向量1，2，n線性相關（1） r（1，2，n）n（2）|1，2，n |=0（3）（1，2，n）不可逆10、線性相關的充分條件：（1）向量組含有零向量或成比例的向量必相關（2）部分相關，則整體相關（3）高維相關，則低維相關（4）以少表多，多必相關推論：n+1個n維向量一定線性相關11、線性無關的充要條件向量組1，2，s 線性無關（1）任意向量均不能由其余向量線性表示；（2）齊次方程（1，2，s）（x1，x2，xs）T=0只

10、有零解（3）r（1，2，s）=s特別地，n個n維向量1，2，n 線性無關r（1，2，n）=n |1，2，n |0 矩陣可逆12、線性無關的充分條件：（1）整體無關，部分無關（2）低維無關，高維無關（3）正交的非零向量組線性無關（4）不同特征值的特征向量無關13、線性相關、線性無關判定（1）定義法（2）秩：若小于階數，線性相關；若等于階數，線性無關【專業(yè)知識補充】（1）在矩陣左邊乘列滿秩矩陣（秩=列數），矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣，矩陣的秩不變。（2）若n維列向量1，2，3 線性無關，1，2，3 可以由其線性表示，即（1，2，3）=（1，2，3）C，則r（1，2，3）=r（C），從而線

11、性無關。r（1，2，3）=3 r（C）=3 |C|0（四）極大線性無關組與向量組的秩14、極大線性無關組不唯一15、向量組的秩:極大無關組中向量的個數成為向量組的秩對比：矩陣的秩:非零子式的最高階數注:向量組1，2，s 的秩與矩陣A=（1，2，s）的秩相等16、極大線性無關組的求法（1）1，2，s 為抽象的：定義法（2）1，2，s 為數字的：（1，2，s）初等行變換階梯型矩陣則每行第一個非零的數對應的列向量構成極大無關組（五）向量空間17、基（就是極大線性無關組）變換公式：若1，2，n 與1，2，n 是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為（1，2，n）=（1，2，n）Cnn其中，C是從基1，

12、2，n 到1，2，n 的過渡矩陣。C=（1，2，n）-1（1，2，n）18、坐標變換公式：向量在基1，2，n與基1，2，n 的坐標分別為x=（x1，x2，xn）T，y=（y1，y2，yn）T，即=x11 + x22 + +xnn =y11 + y22 + +ynn，則坐標變換公式為x=Cy或y=C-1x。其中，C是從基1，2，n 到1，2，n 的過渡矩陣。C=（1，2，n）-1（1，2，n）（六）Schmidt正交化19、Schmidt正交化設1，2，3 線性無關（1）正交化令1=1（2）單位化4 線性方程組（一）方程組的表達形與解向量1、解的形式： (1)一般形式(2)矩陣形式：Ax=b；(

13、3)向量形式：A=（1，2，n）2、解的定義：若=（c1，c2，cn）T滿足方程組Ax=b，即A=b，稱是Ax=b的一個解（向量）（二）解的判定與性質3、齊次方程組：（1）只有零解r（A）=n（n為A的列數或是未知數x的個數）（2）有非零解r（A）n4、非齊次方程組：（1）無解r（A）r（A|b）r（A）=r（A）-1（2）唯一解r（A）=r（A|b）=n（3）無窮多解r（A）=r（A|b）n5、解的性質：（1）若1，2是Ax=0的解，則k11+k22是Ax=0的解（2）若是Ax=0的解，是Ax=b的解，則+是Ax=b的解（3）若1，2是Ax=b的解，則1-2是Ax=0的解【推廣】（1）設1，

14、2，s是Ax=b的解，則k11+k22+kss為 Ax=b的解 （當ki=1） Ax=0的解 （當ki=0）（2）設1，2，s是Ax=b的s個線性無關的解，則2-1，3-1，s-1為Ax=0的s-1個線性無關的解。變式：1-2，3-2，s-22-1，3-2，s-s-1（三）基礎解系6、基礎解系定義：（1）1，2，s 是Ax=0的解（2）1，2，s 線性相關（3）Ax=0的所有解均可由其線性表示基礎解系即所有解的極大無關組注：基礎解系不唯一。任意n-r（A）個線性無關的解均可作為基礎解系。7、重要結論：（證明也很重要）設A施mn階矩陣，B是ns階矩陣，AB=O（1）B的列向量均為方程Ax=0的解

15、（2）r（A）+r（B）n（第2章，秩）8、總結：基礎解系的求法（1）A為抽象的：由定義或性質湊n-r（A）個線性無關的解（2）A為數字的：A初等行變換階梯型自由未知量分別取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基礎解系（四）解的結構（通解）9、齊次線性方程組的通解（所有解）設r（A）=r，1，2，n-r 為Ax=0的基礎解系，則Ax=0的通解為k11+k22+kn-rn-r （其中k1，k2，kn-r為任意常數）10、非齊次線性方程組的通解設r（A）=r，1，2，n-r 為Ax=0的基礎解系，為Ax=b的特解，則Ax=b的通解為+ k11+k22+kn-rn-r （其中

16、k1，k2，kn-r為任意常數）（五）公共解與同解11、公共解定義：如果既是方程組Ax=0的解，又是方程組Bx=0的解，則稱為其公共解12、非零公共解的充要條件：方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解 有非零解 13、重要結論（需要掌握證明）（1）設A是mn階矩陣，則齊次方程ATAx=0與Ax=0同解，r（ATA）=r（A）（2）設A是mn階矩陣，r（A）=n，B是ns階矩陣，則齊次方程ABx=0與Bx=0同解，r（AB）=r（B）5 特征值與特征向量（一）矩陣的特征值與特征向量1、特征值、特征向量的定義： 設A為n階矩陣，如果存在數及非零列向量，使得A=，稱是矩陣A屬于特征值的特征向量。2、特

17、征多項式、特征方程的定義：|E-A|稱為矩陣A的特征多項式（的n次多項式）。|E-A |=0稱為矩陣A的特征方程（的n次方程）。注:特征方程可以寫為|A-E|=03、重要結論：（1）若為齊次方程Ax=0的非零解，則A=0，即為矩陣A特征值=0的特征向量（2）A的各行元素和為k，則(1，1，1)T為特征值為k的特征向量。（3）上（下）三角或主對角的矩陣的特征值為主對角線各元素。4、總結：特征值與特征向量的求法（1）A為抽象的：由定義或性質湊（2）A為數字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程|E-A|=0，得矩陣A的n個特征值1，2，n注：n次方程必須有n個根(可有多重根，寫作1=

18、2=s=實數，不能省略)（2）解齊次方程（iE-A）=0，得屬于特征值i的線性無關的特征向量，即其基礎解系（共n-r（iE-A）個解）6、性質：（1）不同特征值的特征向量線性無關（2）k重特征值最多k個線性無關的特征向量 1n-r（iE-A）ki（3）設A的特征值為1，2，n，則|A|=i，i=aii（4）當r（A）=1，即A=T，其中，均為n維非零列向量，則A的特征值為1=aii=T=T，2=n=0（5）設是矩陣A屬于特征值的特征向量，則Af（A）ATA-1A*P-1AP（相似）f（）-1|A|-1/P-1（二）相似矩陣7、相似矩陣的定義：設A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P-

19、1AP，稱A與B相似，記作AB8、相似矩陣的性質（1）若A與B相似，則f（A）與f（B）相似（2）若A與B相似，B與C相似，則A與C相似（3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項式、特征方程、特征值、跡（即主對角線元素之和）【推廣】（4）若A與B相似，則AB與BA相似，AT與BT相似，A-1與B-1相似，A*與B*也相似（三）矩陣的相似對角化9、相似對角化定義：如果A與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP= ，稱A可相似對角化。注：Ai=ii（i0，由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特征值i的特征向量10、相似對角化的充要條件（1）A有n個線性無關的特征向量（2）A的k重特征值有

20、k個線性無關的特征向量11、相似對角化的充分條件：（1）A有n個不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關）（2）A為實對稱矩陣12、重要結論：（1）若A可相似對角化，則r（A）為非零特征值的個數，n-r（A）為零特征值的個數（2）若A不可相似對角化，r（A）不一定為非零特征值的個數（四）實對稱矩陣13、性質（1）特征值全為實數（2）不同特征值的特征向量正交（3）A可相似對角化，即存在可逆矩陣P使得P-1AP=（4）A可正交相似對角化，即存在正交矩陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=6 二次型（一）二次型及其標準形1、二次型： （1）一般形式（2）矩陣形式（常用）2、標準形：如果二次型只含平方項，

21、即f（x1，x2，xn）=d1x12+d2x22+dnxn2 這樣的二次型稱為標準形（對角線）3、二次型化為標準形的方法：（1）配方法：通過可逆線性變換x=Cy（C可逆），將二次型化為標準形。其中，可逆線性變換及標準形通過先配方再換元得到。（2）正交變換法：通過正交變換x=Qy，將二次型化為標準形1y12+2y22+nyn2 其中，1，2，n 是A的n個特征值，Q為A的正交矩陣注:正交矩陣Q不唯一，i與i 對應即可。（二）慣性定理及規(guī)范形4、定義：正慣性指數：標準形中正平方項的個數稱為正慣性指數，記為p；負慣性指數：標準形中負平方項的個數稱為負慣性指數，記為q；規(guī)范形：f=z12+zp2-zp

22、+12-zp+q2稱為二次型的規(guī)范形。5、慣性定理：二次型無論選取怎樣的可逆線性變換為標準形，其正負慣性指數不變。注：（1）由于正負慣性指數不變，所以規(guī)范形唯一。（2）p=正特征值的個數，q=負特征值的個數，p+q=非零特征值的個數=r（A）（三）合同矩陣6、定義：A、B均為n階實對稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同7、總結：n階實對稱矩陣A、B的關系（1）A、B相似（B=P-1AP）相同的特征值（2）A、B合同（B=CTAC）相同的正負慣性指數相同的正負特征值的個數（3）A、B等價（B=PAQ）r（A）=r（B）注：實對稱矩陣相似必合同，合同必等價（四）正定二次型與正定

23、矩陣8、正定的定義二次型xTAx，如果任意x0，恒有xTAx0，則稱二次型正定，并稱實對稱矩陣A是正定矩陣。9、n元二次型xTAx正定充要條件：（1）A的正慣性指數為n（2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的順序主子式均大于0（k階順序主子式為前k行前k列的行列式）10、n元二次型xTAx正定必要條件：（1）aii0（2）|A|011、總結：二次型xTAx正定判定（大題）（1）A為數字：順序主子式均大于0（2）A為抽象：證A為實對稱矩陣：AT=A；再由定義或特征值判定12、重要結論：（1）若A是正定矩陣，則kA（k0），Ak，AT，A-1，A*正定（2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定線性代數行列式經典例題例1計算元素為aij = | ij|的n階行列式.解 方法1 由題設知，=0，故其中第一步用的是從最后一行起，逐行減前一行第二步用的每列加