微積分下冊總復習

1、總總 復復 習習1 1、多元函數的定義、極限及連續(xù)性、多元函數的定義、極限及連續(xù)性確定極限確定極限不存在不存在的方法的方法(1)(1)此時即可斷言極限不存在。此時即可斷言極限不存在。找兩種不同趨近方式找兩種不同趨近方式, ,但兩者不相等但兩者不相等, ,),(lim00yxfyyxx使使存在存在, ,第七章第七章 多元函數微分學多元函數微分學2 2、偏導數與、偏導數與全微分全微分 )(0,0yxxzxyxfyxxfx ),(),(lim00000),(yxfz 0000),(),(lim0 xxyxfyxfxx ),0()( oyBxAz),(),(0000yxfyyxxfz zd22)()(

2、yx 0dPzdyyxfdxyxfyx),(),(0000 yyzxxzPP 00處處在點在點),(),(000yxPyxfz 可可 微微 連連 續(xù)續(xù)偏導數連續(xù)偏導數連續(xù)偏導存在偏導存在處可微的步驟：處可微的步驟：在在判定判定),(),(00yxyxfz 是是否否存存在在，、判判定定),(),()1(0000yxfyxfyx若不存在，則不可微，若不存在，則不可微， 否則轉下一步；否則轉下一步；，是是否否為為判判定定0),(),(lim)2(00000 yyxfxyxfzyx 若為若為0 0，則可微，則可微， 否則不可微否則不可微。3 3、復合函數求導法、復合函數求導法),(vufz 則復合函數

3、則復合函數),(),(yxyxfz uvxzy xzuz xu vz xv yzuz yu vz yv ),(),(yxvyxu 及及(1) 一個方程情形一個方程情形(二元方程、三元方程二元方程、三元方程)4 4、隱函數的求導法隱函數的求導法隱函數存在定理隱函數存在定理1 1),(yxF),(00yxP設設的某一鄰域內滿足的某一鄰域內滿足: :在點在點, 0),()3(00 yxFy則方程則方程; 0),()2(00 yxF),(xyy ),(00 xyy 的某一鄰域內的某一鄰域內并有并有),(),(ddyxFyxFxyyx (1) 具有連續(xù)偏導數具有連續(xù)偏導數;0),( yxF),(00yx

4、P它它滿足滿足條件條件在點在點恒能恒能唯一唯一確定一個確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數連續(xù)且具有連續(xù)導數的函數的函數(2) 方程組情形方程組情形隱函數的個數隱函數的個數=方程的個數方程的個數隱函數的自變量個數隱函數的自變量個數=總自變量個數總自變量個數 方程的個數方程的個數5. 多元函數微分學的幾何應用多元函數微分學的幾何應用(1) 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面(三種情形三種情形)(2) 空間曲面的切平面與法線空間曲面的切平面與法線(三種情形三種情形)6. 方向導數與梯度方向導數與梯度00000(P)(P )lim.PPPPPP Plfffl與 同向方向導數方向導數梯度梯度., ad

5、rg00PyxPfff.|)(00llgradflfPPcos)( cos)( 00PfPfyx*方向導數與梯度的關系方向導數與梯度的關系函數沿梯度方向的方向導數最大函數沿梯度方向的方向導數最大(即增長最即增長最快快)，且方向導數的最大值為梯度的模。，且方向導數的最大值為梯度的模。7. 多元函數的極值與最值多元函數的極值與最值(1) 極值的必要條件極值的必要條件極值的充分條件極值的充分條件(2) 求條件極值的方法求條件極值的方法代入法，代入法，Lagrange乘數法乘數法, 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy),(),(),(yxyxfyxL *(3) 求最值的方法求最值的方法1

6、. 求求D內所有的駐點和不可導點；內所有的駐點和不可導點；2. 用求條件極值的方法用求條件極值的方法(Lagrange乘數法或乘數法或代入法代入法)求求D的邊界上的條件極值點；的邊界上的條件極值點；3. 求求D的邊界的邊界點；的邊界的邊界點；4. 計算上面三步求出的所有點的函數值，最計算上面三步求出的所有點的函數值，最大者即為大者即為D上的最大值，最小者即為最小值。上的最大值，最小者即為最小值。 1. 理解二重積分、三重積分的概念理解二重積分、三重積分的概念,第八章第八章 重積分重積分2. 掌握二重積分的計算法掌握二重積分的計算法(直角坐標、極直角坐標、極 3. 會用重積分求一些幾何量與物理量

7、會用重積分求一些幾何量與物理量.了解了解重積分的性質重積分的性質.了解三重積分的計算法（了解三重積分的計算法（直角坐標、直角坐標、坐標坐標)，柱面坐標、球面坐標柱面坐標、球面坐標).其中其中 iiniiDfyxfI ),(limd),(10二重積分二重積分是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值.幾何意義幾何意義二重積分二重積分I表示以表示以D為底為底,柱體的體積柱體的體積.z =f (x, y)為曲頂為曲頂, 側面是側面是定義定義1.平面上有界閉區(qū)域平面上有界閉區(qū)域D上二元有界函數上二元有界函數z = f (x, y)的二重積分的二重積分2.當連續(xù)函數當連續(xù)函數,0),(時時

8、 yxfz以以D的邊界為準線的邊界為準線,母線平行于母線平行于z軸的柱面的軸的柱面的曲頂曲頂一般情形一般情形, Dyxf d),(xOy平面上方的曲頂柱體體積平面上方的曲頂柱體體積減減xOy平面下方的曲頂柱體體積平面下方的曲頂柱體體積.物理意義物理意義3.若平面薄片占有平面內有界閉區(qū)域若平面薄片占有平面內有界閉區(qū)域D,),(yx 則它的質量則它的質量M為為:它的面它的面密度為連續(xù)函數密度為連續(xù)函數.d),( DyxM 性質性質1(線性運算性質線性運算性質)為常數為常數, 則則(重積分與定積分有類似的性質重積分與定積分有類似的性質) Dyxgyxf d),(),( 、設設 DDyxgyxf d)

9、,(d),(4 4、二重積分的性質二重積分的性質性質性質2 將區(qū)域將區(qū)域D分為兩個子域分為兩個子域 Dyxf d),()(21DDD 對積分區(qū)域的可加性質對積分區(qū)域的可加性質. 1d),(Dyxf 2d),(Dyxf ,21DD以以1為高的為高的 性質性質3(幾何應用幾何應用) 若若 為為D的面積的面積 注注 D d既可看成是以既可看成是以D為底為底,柱體體積柱體體積. D d1 D d又可看成是又可看成是D的面積的面積. Dyxf d),(特殊地特殊地性質性質4(4(比較性質比較性質) ),(),(yxgyxf 設設,),(Dyx 則則 Dyxg d),( Dyxf d),( Dyxf d)

10、,( ( (保序性保序性) ) DMyxfm d),(性質性質5(5(估值性質估值性質) ),),(Myxfm 設設為為D的面積的面積, 則則性質性質6(6(二重積分中值定理二重積分中值定理) ),( Dyxf d),(體體積等于以體體積等于以D為底為底),( f以以幾何意義幾何意義域域D上連續(xù)上連續(xù),為為D的面積的面積, 則在則在D上至少存在一點上至少存在一點使得使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 設設則曲頂柱則曲頂柱 為高的平頂柱體體積為高的平頂柱體體積.設設f (x, y)在閉區(qū)在閉區(qū)(1)設設f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù). Dyxyxfdd),(

11、若若D關于關于,dd),(21yxyxfD 則則x軸對稱軸對稱, f (x, y)對對y為奇函數為奇函數, 即即, 0,),(),(),(Dyxyxfyxf f (x, y)對對y為偶函數為偶函數, 即即,),(),(),(Dyxyxfyxf 則則 Dyxyxfdd),(其中其中;01 yDD5 5、對稱區(qū)域上奇偶函數的積分性質、對稱區(qū)域上奇偶函數的積分性質(2)設設f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù). Dyxyxfdd),(若若D關于關于,dd),(21yxyxfD 則則 y軸對稱軸對稱, f (x, y)對對x為奇函數為奇函數, 即即, 0,),(),(),(Dyxyx

12、fyxf f (x, y)對對x為偶函數為偶函數, 即即,),(),(),(Dyxyxfyxf 則則 Dyxyxfdd),(其中其中;01 xDD),()(,),( 21xyxbxayxD 其中函數其中函數 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy aD在區(qū)間在區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù).(1) 直角坐標系直角坐標系xOy Dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d 先對先對y 后對后對x的二次積分的二次積分6、二重積分計算、二重積分計算),()(,),( 21yxydycyxD 其中函數其中函數 、)(1y )(2y 在區(qū)間在區(qū)間c, d上連續(xù)上連續(xù). Dyxf d),

13、( dcyyxyxfy)()(21d),(d 先對先對x 后對后對y的二次積分的二次積分.xOyD)(2yx cd)(1yx 交換積分次序的步驟交換積分次序的步驟 (1) 利用已給的二次積分的積分限得出利用已給的二次積分的積分限得出相應的二重積分的積分區(qū)域相應的二重積分的積分區(qū)域,(2) 按相反順序寫出相應的二次積分按相反順序寫出相應的二次積分.并畫出草圖并畫出草圖; Dyxf d),( ddrr極坐標系中的面積元素極坐標系中的面積元素 Drrrrf dd)sin,cos(2) 極坐標系極坐標系 )(1 r)(2 rOAD)()(,),( 21 ryxD其中函數其中函數.,)()(21上連續(xù)上

14、連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間、 d )(2)(1;d)sin,cos( rrrrfD;d)sin,cos(d)(0 rrrrf Dyxf d),(AO )( r)(0 ,),( ryxD其中函數其中函數.,)(上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間 )(020d)sin,cos(d rrrrf極坐標系極坐標系下區(qū)域的下區(qū)域的面積面積.dd Drr DoA)( r)(0 ,20),( ryxD Dyxf d),(其中函數其中函數.,)(上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間 2、三重積分的幾何意義、三重積分的幾何意義表示空間區(qū)域的體積表示空間區(qū)域的體積時時當當 Vdvzyxf,1),(3 3、三重積分的性質、三重積分的性質類似于二重積

15、分的性質類似于二重積分的性質1 1、三重積分的定義、三重積分的定義三重積分三重積分三重積分三重積分vzyxfd),(0為為f的的偶偶函函數數z對稱性質對稱性質),(),(zyxfzyxf 則稱則稱f關于變量關于變量z的的奇奇 函數函數. vzyxfd),(則則 ,坐標面對稱坐標面對稱xOy關于關于的的奇奇函函數數z為為f21 若域若域xOy在在為為其中其中 1坐標面的上半部區(qū)域坐標面的上半部區(qū)域.),(),(zyxfzyxf (偶偶)vzyxfd),(0為為f的偶函數x vzyxfd),(則則 ,坐標面對稱yOz關于關于的奇函數x為為f21 若域若域yOz在為其中1坐標面的前半部區(qū)域坐標面的前

16、半部區(qū)域.三重積分三重積分vzyxfd),(0為為f的偶函數y vzyxfd),(則則 ,坐標面對稱zOx關于關于的奇函數y為為f21 若域若域zOx在為其中1坐標面的右半部區(qū)域坐標面的右半部區(qū)域.三重積分三重積分4 4、三重積分的計算、三重積分的計算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),( ),(21czcDyxzyxz .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf() 直角坐標直角坐標 .,sin,coszzryrx () 柱面坐標柱面坐

17、標.),sin,cos(),( dzrdrdzrrfdvzyxf ,dzrdrddv 21(, )(, )( cos , sin , ) dzzf rrz r z 21( )( )drrr d 注注通常是通常是先積先積再積再積后積后積r、z. .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面坐標球面坐標通常是通常是注注、先先積積r、再再積積 . 后積后積5 5、二重積分的應用、二重積分的應用(1) 體積體積的體積為的體積為之間直柱體之間直柱體與區(qū)域與區(qū)域在曲面

18、在曲面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(設設S曲面的方程為：曲面的方程為：).,(yxfz 曲面曲面S的面積為的面積為 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面面積曲面面積當薄片是均勻的，重心稱為形心當薄片是均勻的，重心稱為形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 設設有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的重重心心為為(3) 重心重心薄片對于薄

19、片對于x軸的轉動慣量軸的轉動慣量薄片對于薄片對于y軸的轉動慣量軸的轉動慣量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 設設有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片對對于于x軸軸和和y軸軸的的轉轉動動慣慣量量為為(4) 轉動慣量轉動慣量薄片對薄片對軸上單位質點的引力軸上單位質點的引力z 設設有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連

20、續(xù)續(xù)，計計算算該該平平面面薄薄片片對對位位于于z 軸軸上上的的點點), 0 , 0(0aM處處的的單單位位質質點點的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 為引力常數為引力常數f(5) 引力引力6 6、三重積分的應用、三重積分的應用. dvM 其中其中,1 dvxMx 設設物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 ，在在點點),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則該該物物體體的的重重心心為為() 重心重心

21、,1 dvyMy .1 dvzMz ,2 dvzIxy ( () ) 轉動慣量轉動慣量 設設物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 ，在在點點),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則該該物物體體對對坐坐標標面面,坐坐標標軸軸及及原原點點的的轉轉動動慣慣量量為為,2 dvxIyz ,2 dvyIzx ,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 dvzyxIo 第九章第九章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系.2. 會計算兩類曲線

22、積分會計算兩類曲線積分.曲線積分與路徑無關的條件曲線積分與路徑無關的條件.1. 理解兩類曲線積分的概念理解兩類曲線積分的概念,了解兩類了解兩類3. 掌握格林掌握格林(Green)公式公式, 會使用平面會使用平面(Gauss) 、5.了解散度、旋度的概念及其計算了解散度、旋度的概念及其計算6. 會用曲線積分、會用曲線積分、4. 了解兩類曲面積分的概念及高斯了解兩類曲面積分的概念及高斯并會并會計算兩類曲面積分計算兩類曲面積分.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式,方法方法.曲面積分求一些曲面積分求一些幾何量與物理量幾何量與物理量. 曲曲 線線 積積 分分第一類曲線積分第一類曲線積分第二類曲線積

23、分第二類曲線積分定定義義 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 聯(lián)聯(lián)系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 計計算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定二代一定 (與方向有關與方向有關)格林公式格林公式與路徑無關的四個等價命題與路徑無關的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導導數數, ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . LQdyPdxD與路徑無關與路徑無

24、關內內在在)1( CDCQdyPdx閉曲線閉曲線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內存在內存在在在),()3(xQyPD ,)4(內內在在等等價價命命題題思路思路 LyQxPIddxQyP xQyP 0dd LyQxPI ),(),(00ddyxyxyQxPI閉合閉合非閉非閉閉合閉合非閉非閉補充曲線或用公式補充曲線或用公式第二類曲線積分第二類曲線積分的計算法的計算法 LyyxQxyxPd),(d),( DyxyPxQIdd)( 如果曲面方程為以下三種：如果曲面方程為以下三種：第一類曲面積分 曲面積分曲面積分;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:)

25、1yxzz 若若曲曲面面則則;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(則則),(:)2zxyy 若曲面若曲面.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),()3zyxx ：若曲面若曲面則則第二類曲面積分),(:)1yxzz 若曲面若曲面yxRQdzdxPdydzddPdxdyQ)(yz)(xzR其中符號當其中符號當取上側時為正，下側時為負。取上側時為正，下側時為負。xyD),(:)2zxyy 若曲面若曲面yxRQdzdxPdydzddP)(xyQdzdxR)(zy其中符號當其中符號當取右側時為正，左側時為負。取右側時為正，左側時為負。zx

26、D),()3zyxx ：若曲面若曲面yxRQdzdxPdydzdd)(yxPdydzQR)(zxyzD其中符號當其中符號當取前側時為正，后側時為負。取前側時為正，后側時為負。注意注意: :對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側必須注意曲面所取的側. .yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos兩類關系0(cos, cos, cos )n高斯公式高斯公式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或設向量場設向量場P, Q, R, 在域在域G內有一階內有一階 連續(xù)連續(xù) 偏導數偏導數, 則則 向量場通過有向曲面向量場通過有向曲面 的通量為的通量為 )

27、,(RQPA SnAd2. 通量與散度通量與散度 G 內任意點處的內任意點處的散度散度為為 zRyQxPAdiv斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式y(tǒng)ozx斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 nRQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd SRQPzyxdcoscoscos2. 2. 旋度旋度. )(ArotRQPzyxkji為向量場的旋度為向量場的旋度稱向量稱向量 .)()()(kyPxQjxRzPizQyR 第二類曲面積分的計算法第二類曲面積分的計算法1. 利用利用Gauss公式公式)1(vzRyQxPd)( yxRxzQz

28、yPdddddd 閉曲面閉曲面具有具有則則取取其中其中 外側外側. .在在若若RQP,中中所圍成的空間域所圍成的空間域 一階連續(xù)偏導數一階連續(xù)偏導數, ,)2(,比較復雜比較復雜非閉而非閉而若若RQP 在在RQP,后后加面加面 )(為閉為閉 中中所構成的空間域所構成的空間域 具有具有一階連續(xù)偏導數一階連續(xù)偏導數, ,則則 I 2. yxRxzQzyPIdddddd面面投投影影在在將將xOy ),(yxfz 的方程為的方程為設曲面設曲面 xyD yxRzQzPyxdd)()(上側為正，下側為負。上側為正，下側為負。常數項級數常數項級數函數項級數函數項級數交錯級 數 正正項項級級數數冪級數冪級數三

29、角級數三角級數收收斂斂半半徑徑R R泰勒展開式泰勒展開式數或函數數或函數函函 數數數數任任意意項項級級數數傅氏展開式傅氏展開式傅氏級數傅氏級數泰勒級數泰勒級數0)(xR為常數為常數nu)(xuunn為函數為函數滿足狄滿足狄 氏條件氏條件0 xx 取取在收斂在收斂 級數與數級數與數條件下條件下 相互轉化相互轉化 第十章第十章 無窮級數無窮級數定義定義0,1 nnnuu.有界有界部分和所成的數列部分和所成的數列正項級數收斂正項級數收斂ns1 1、正項級數及其審斂法、正項級數及其審斂法審斂法審斂法(1) (1) 比較審斂法比較審斂法若若 1nnu收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) )且且)(nnnnvuuv

30、, ,則則 1nnv收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ). .(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式設設 1nnu與與 1nnv都是正項級數都是正項級數,如果如果lvunnn lim,則則(1) 當當 l0時時,二級數有相同的斂散性二級數有相同的斂散性; (2) 當當0 l時，若時，若 1nnv收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂; (3) 當當 l時時, 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散,則則 1nnu發(fā)散發(fā)散;設設 1nnu是是正正項項級級數數,如如果果)(lim1 數數或或nnnuu則則1 時級數收斂時級數收斂;1 時級數發(fā)散時級數發(fā)散; 1 時失效時失效.設設 1nnu是正項級數是正項級數

31、, ,如果如果 nnnulim)( 為數或為數或 , ,則則1 時級數收斂時級數收斂; ; 1 時級數發(fā)散時級數發(fā)散; ;1 時失效時失效. .定義定義 正正 、負項相間的級數稱為交錯級數、負項相間的級數稱為交錯級數. . nnnnnnuu 111)1()1(或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯級數滿足條件如果交錯級數滿足條件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,則則級數收斂級數收斂, , 且其和且其和1us , , 其余 項其余 項nr的絕對值的絕對值1 nnur. .)0( nu其中其中2 2、交錯級數及其審斂法、交錯級數及其審斂法定

32、義定義 正項和負項任意出現(xiàn)的級數稱為任意項級數正項和負項任意出現(xiàn)的級數稱為任意項級數.定定理理 若若 1nnu收收斂斂,則則 1nnu收收斂斂.定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 0nnu為絕對收斂為絕對收斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .3 3、任意項級數及其審斂法、任意項級數及其審斂法4 4、函數項級數、函數項級數(1) (1) 定義定義設設),(,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在RI 上上的的函函數數, ,則則 )()()(211xuxuxunn稱稱為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間I上上的

33、的( (函函數數項項) )無無窮窮級級數數. .(2) (2) 收斂點與收斂域收斂點與收斂域如如果果Ix 0,數數項項級級數數 10)(nnxu收收斂斂,則稱則稱0 x為級數為級數)(1xunn 的的收斂點收斂點, ,否否則則稱稱為為發(fā)發(fā)散散點點. .所有發(fā)散點的全體稱為所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. .函數項級數函數項級數)(1xunn 的所有收斂點的全體稱為的所有收斂點的全體稱為收斂域收斂域, ,(3) (3) 和函數和函數在收斂域上在收斂域上, ,函數項級數的和是函數項級數的和是x的函數的函數)(xs, ,稱稱)(xs為函數項級數的為函數項級數的和函數和函數. .(1) (1) 定義

34、定義形如形如nnnxxa)(00 的級數稱為的級數稱為冪級數冪級數.,00時時當當 x其其中中na為為冪冪級級數數系系數數.5 5、冪級數、冪級數nnnxa 0如如果果級級數數 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. .定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )如如果果級級數數 0nnnxa在在)0(00 xxx處處收收斂斂, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處絕絕對對收收斂斂; ;(2) (2) 收斂性收斂性如如果果冪冪級級數數 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點點收收斂

35、斂, ,也也不不是是在在整整個個數數軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個個完完全全確確定定的的正正數數R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質質: :當當Rx 時時, ,冪冪級級數數絕絕對對收收斂斂; ;當當Rx 時時,冪級數發(fā)散冪級數發(fā)散;當當RxRx 與與時時, ,冪級數可能收斂也可能發(fā)散冪級數可能收斂也可能發(fā)散. .推論推論定義定義: : 正數正數R稱為冪級數的稱為冪級數的收斂半徑收斂半徑.冪級數的收斂域稱為冪級數的冪級數的收斂域稱為冪級數的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.定定理理 2 2 如如果果冪冪級級數數 0nnnxa的的所所有有系系數數0 na,設設 nnnaa1lim (或或 nn

36、nalim)(1) 則則當當0 時時, 1R;(3) 當當 時時,0 R.(2) 當當0 時時, R;a.a.代數運算性質代數運算性質: : 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設設 (3)(3)冪級數的運算冪級數的運算乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內收斂域內b.b.和函數的分析運算性質和函數

37、的分析運算性質: : 冪冪級級數數 0nnnxa的的和和函函數數)(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(RR 內內連連續(xù)續(xù),在在端端點點收收斂斂,則則在在端端點點單單側側連連續(xù)續(xù). 冪級數冪級數 0nnnxa的和函數的和函數)(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內可積內可積,且對且對),(RRx 可逐項積分可逐項積分. 冪級數冪級數 0nnnxa的和函數的和函數)(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內可導內可導, 并可逐項求導任意次并可逐項求導任意次. 如果如果)(xf在點在點0 x處任意階可導處任意階可導,則冪級數則冪級數nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點在點0 x的的

38、泰勒級數泰勒級數.nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在點在點0 x的的麥克勞林級數麥克勞林級數.(4) 冪級數展開式冪級數展開式定理定理 )(xf在點在點0 x的泰勒級數的泰勒級數, ,在在)(0 xU 內收內收斂于斂于)(xf在在)(0 xU 內內0)(lim xRnn. .充要條件充要條件唯一性唯一性定理定理 如果函數如果函數)(xf在在)(0 xU 內內能能展開成展開成)(0 xx 的冪級數的冪級數, , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,則其系數則其系數 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開式是唯一的且展開式是唯一的. .展開方法展開方法a.

39、a.直接法直接法( (泰勒級數法泰勒級數法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級數在收斂區(qū)間內收則級數在收斂區(qū)間內收b.b.間接法間接法 根據唯一性根據唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運算四則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導逐項求導, 逐項積逐項積分分等方法等方法,求展開式求展開式.),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),(

40、 x常見函數展開式常見函數展開式)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x應用應用a.a.近似計算近似計算b.b.歐拉公式歐拉公式,sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit (1) (1) 三角函數系三角函數系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上的積分等于零上的積分等于零任意兩個不同函數在任意兩個不同函數在正交性正交性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函數系三角函數系6 6、傅里葉級數、傅里葉級數),

41、2 , 1( n其中其中 nmnmnxdxmx, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中(2) (2) 傅里葉級數傅里葉級數 10)sincos(2nnnnxbnxaa定義定義三角級數三角級數其中其中 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann稱為傅里葉級數稱為傅里葉級數. 10)sincos(2nnnnxbnxaa(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet(Dirichlet) )充分條件充分條件( (收斂定理收斂定理) ) 設設)(xf是

42、是以以 2為為周周期期的的周周期期函函數數.如如果果它它滿滿足足條條件件:在在一一個個周周期期內內連連續(xù)續(xù)或或只只有有有有限限個個第第一一類類間間斷斷點點,并并且且至至多多只只有有有有限限個個極極值值點點,則則)(xf的的傅傅里里葉葉級級數數收收斂斂,并并且且(1) 當當x是是)(xf的連續(xù)點時的連續(xù)點時,級數收斂于級數收斂于)(xf;(2) 當當x是是)(xf的間斷點時的間斷點時, 收斂于收斂于2)0()0( xfxf;(3) 當當x為端點為端點 x時時,收斂于收斂于2)0()0( ff. 如果如果)(xf為奇函數為奇函數, 傅氏級數傅氏級數nxbnnsin1 稱為稱為正弦級數正弦級數.(4

43、) (4) 正弦級數與余弦級數正弦級數與余弦級數 當當周周期期為為 2的的奇奇函函數數)(xf展展開開成成傅傅里里葉葉 級級數數時時,它它的的傅傅里里葉葉系系數數為為 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann 當周期為當周期為 2的偶函數的偶函數)(xf展開成傅里葉級數展開成傅里葉級數時時,它的傅里葉系數為它的傅里葉系數為), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 如果如果)(xf為偶函數為偶函數, 傅氏級數傅氏級數nxaanncos210 稱為稱為余弦級數余弦級數.奇延拓奇延拓: 0)(000)()(x

44、xfxxxfxF令令的傅氏正弦級數的傅氏正弦級數)(xf.sin)(1 nnnxbxf)0( x(5) (5) 周期的延拓周期的延拓偶延拓偶延拓: 0)(0)()(xxfxxfxF令令的傅氏余弦級數的傅氏余弦級數)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( x式為式為則它的傅里葉級數展開則它的傅里葉級數展開的條件的條件滿足收斂定理滿足收斂定理的周期函數的周期函數設周期為設周期為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 式式的周期函數的傅氏展開的周期函數的傅氏展開周期為周期為 l 2)6(), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln),

45、2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln第十一章第十一章 微分方程微分方程1. 一階微分方程一階微分方程 可分離變量方程可分離變量方程齊次方程齊次方程 (可化為齊次方程可化為齊次方程的方程的方程)一階線性微分方程一階線性微分方程2. 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程Bernoulli方程方程 全微分方程全微分方程).,(),(),()(yyfyyxfyxfyn 和和4. 常系數線性微分方程常系數線性微分方程 (齊次，非齊次齊次，非齊次)3.線性微分方程解的結構線性微分方程解的結構1 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函數的導數或微分的方程凡含有未知函數的導數

46、或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的階微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數的最微分方程中出現(xiàn)的未知函數的最高階導數的階數稱為微分方程的階高階導數的階數稱為微分方程的階微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等代入微分方程能使方程成為恒等式的函數稱為微分方程的解式的函數稱為微分方程的解 通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常數，并且微分方程的解中含有任意常數，并且任意常數的個數與微分方程的階數相同，這樣的任意常數的個數與微分方程的階數相同，這樣的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解確定了通解中的任意常數以后得到的解，確定了通解中的任意常數以后得到的解，叫做微分方程的

47、特解叫做微分方程的特解初始條件初始條件用來確定任意常數的條件用來確定任意常數的條件.初值問題初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題叫初值問題dxxfdyyg)()( 形如形如(1) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分離變量法分離變量法2 2、一階微分方程的解法、一階微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) 齊次方程齊次方程解法解法xyu 作變量代換作變量代換)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齊次方程齊次方程,01時時當當 cc00,xuxyvy令，否則為非齊次方程否則為非齊次方程(

48、3) 可化為齊次的方程可化為齊次的方程解法解法化為齊次方程化為齊次方程是兩直線是兩直線00111cybxacbyax的交點的交點00(,)xy)()(xQyxPdxdy 形如形如(4) 一階線性微分方程一階線性微分方程, 0)( xQ當當上方程稱為齊次的上方程稱為齊次的上方程稱為非齊次的上方程稱為非齊次的., 0)( xQ當當齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey（使用分離變量法）（使用分離變量法）解法解法非齊次微分方程的通解為非齊次微分方程的通解為 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(（使用常數變易法）（使用常數變易法）(5) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方

49、程nyxQyxPdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n方程為線性微分方程方程為線性微分方程.時時，當當1 , 0 n 方程為非線性微分方程方程為非線性微分方程.時時，當當1 , 0 n解法解法 需經過變量代換化為線性微分方程需經過變量代換化為線性微分方程,1 nyz 令令. )1)()()1()()1(1 cdxenxQezydxxPndxxPnnxQyP 全微分方程全微分方程解法解法應用曲線積分與路徑無關應用曲線積分與路徑無關. yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy .),(cyxu 用直接湊用直接湊全微分的方法全

50、微分的方法.通解為通解為0),(),( dyyxQdxyxP其中其中dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 形如形如(6) 全微分方程全微分方程 用不定積分用不定積分的方法的方法.(7) 可化為全微分方程可化為全微分方程).(xQyP 非全微分方程非全微分方程0),(),( dyyxQdxyxP形如形如 若若0),( yx 連連續(xù)續(xù)可可微微函函數數，且且可可使使方方程程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成成為為全全微微分分方方程程.則則稱稱),(yx 為為方方程程的的積積分分因因子子.觀察法觀察法: :熟記常見函數的全微分表達式，通熟記常見函數的全微分表達式，通

51、過觀察直接找出積分因子過觀察直接找出積分因子常見的全微分表達式常見的全微分表達式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xyarctgdyxydxxdy22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可選用積分因子可選用積分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 3 3、可降階的高階微分方程的解法、可降階的高階微分方程的解法解法解法),(xPy 令令特點特點. y不顯含未知函數不顯含未知函數),()2(yxfy 型型)()1()(xfyn 接連積分接連積分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).(,(xPxfP ,Py ( ),yP y 令特點特點.x不不顯顯含含自自變變量量),()3(yyfy 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).,(PyfdydpP ,dydpPy 4 4、高階