高等流體力學第二章配套例題

1、1. 試對柱坐標形式的微六面體,建立運動方程.rdrdzxzd解:系統(tǒng)總動量變化率 = 控制體內動量變化率 + 經控制面凈流出的動量控制體內動量變化率:經控制面凈流出的動量r 方向 方向Z 方向()()()()()rrrrrrrrrru urzu urzu uru urrzu uru urrzrru urrzr ()u urz ()zu rurzz ()urrzt 系統(tǒng)總動量變化率()()()()11()()()rzrzrzuru uru uu rurztrzuuuuuruu ruuruurztrrrztrrzDur rzDt 柱坐標中, , rrrzzreeuu eu eu eee 2()(

2、)()()()rzrrzzrrrrrzrrrzzzzzrzzuDuuuu eu eu eDttrrzuuuuuuuuetrrzruuuuuu uuuetrrzruuuuuuuetrrz于是()()()()()()()() SrzrrrzrrrrzzrzzzzpFrprpd dzdrrzrrerzrrerzrre drd dzzz微元體所受的表面力微元體所受的重力()BrrzzFgr rzg eg eg e r rz 依據(jù)動量定理1()()rzpDugrprpDtrrz21()()1()()1()rrrrrzrxrrzrrrzrrzzzzzrzzrzuuuuuuuutrrzrgrrrrzuuuu

3、uu uuutrrzrgrrrrzuuuuuuutrrzgrrz()zzzrz sincoszzryrx tgarc22zzxyyxr cos sin sin coswuvuuvuuzr cossinsincoszzrryrrx2. 教科書(1.6)在下邊習題求解中會用到以下公式，請參閱有關資料。柱坐標與直角坐標A(r, , z)XZrY( , , )( , , )( , ), ( , ), sincoscossinrzx y zrr x yx yzzrxrxxrrryryyrrzz cos sin sin cos rrzzrrrrzzzzuivjwku eu eu euui evj ewk

4、euvuui evj ewk euvuui evj ewk ew sincoscossin1cos sin sin cos rzuuvwxyzuvwrrrrzuvuvwrrzuuurrz cos sin sin coswuvuuvuuzr cossinsincoszzrryrrx()cos ()sin()cossin cossincossin cossincos srrzrzrzruuuuuvuuuuuvvvuuuurrzrrzuuvuvurrruvuzzuur2in (cos sin )( sin cos ) (cos sin )zrrrrzrrrrzuvuvuvruuvzuuuuuuurr

5、zuuuuuuurrzr cos sin sin coswuvuuvuuzr cossinsincoszzrryrrx cossinsincossinrzryrx tgarcz tgarc22222xyyxzyxr cos sin )sin( sincos coscos cos sinsin cossinvuuwvuuwvuursinsincoscoscossinrrrxsincossincossinsinrrryrrzsincos 球坐標與直角坐標3. 小球在理想流體中作緩慢勻速直線運動，試給出小球表面流體速度 所必須滿足的邊界條件 wvu,解： 取固定坐標系如圖,球面方程為 22220)(

6、azytxx22220)(azytxxF0DtDF0zFwyFvxFutF022)(2)(2000zwyvxxuuxxdttdxu)(00令物面邊界條件為 ,式中:0)(00wzvyuuxx0 xx00dxudto 又解: 取運動坐標系 固結在小球上 , zyxo2222azyx2222azyxF球面方程 令流體相對于動坐標系速度 動坐標系和固定坐標系間關系為, ,0wvuu zzyyxxx,00nur kwj viuuur)(02 2 2 Fx iy jz knFF0)(00wzvyuuxx將以上兩式代入物面條件得：yx0u4. 試寫出自由表面波動時的運動學邊界條件 ),(tzxy),(tz

7、xyF0zFwyFvxFutFDtDF0zwvxut)(utzwxutv解： ),(tzxyxyh5. 分別寫出繞流固體圓球，圓球狀液滴，圓球狀汽泡時的邊界條件： 解： 1) 固體圓球： ar 0, 0ruurppUuUur,sin,cos2) 液滴 0r為有限值 uur,ar RRruuu)2()1()2()1(, 0rppUuUur,sin,cos3)氣泡 ar 0RrppUuUur,sin,cos請注意上述情況均為軸對稱運動。2pa 2pa （水平方向 =0）6. 從N-S方程出發(fā)，作出適當?shù)募俣?。推導以下各方程。設不可壓縮流體. (a) (b) (c) 2021( )uuuuv tty

8、xy ygypdttdv1)(02()ut )(0tvv 0 0 ( , )uvuuu y txyx22221()xuuupuuuvgtxyxxy 2021( )uupuv ttyxy xg（a）設解： ygypdttdv1)(0(b) 方向的N-S方程22221()yvvvpvvuvgtxyxxy 2222()zzzzzuvtxyxy 2()ut yuxvzc)22221()xuuupuuuvgtxyxxy 對 y 求偏導22221()yvvvpvvuvgtxyxxy 對 x 求偏導求導后的兩式相減7. 方程簡化：兩無窮大平板間的充分發(fā)展流動（層流）. 0 0uvwx 0uzz方向無限長 0

9、ut定常流 )(yuu 解： hxyyU 22221()uupuuuvxyxxy 22221()vvpvvuvxyyxy xpydud220ypdxdpydud22Uuhyuy00邊界條件：8. 圓管內的充分發(fā)展流動（層流）. 0uur()110 0rzzuruuurrrzz 0zut定常流動 0zu軸對稱流動)(ruuzz解：連續(xù)方程rxyazuz 2222()2 ()rrrrrzrrruuuuuuuutrrrruupufrrr 222()12 ()rrzruuuuuu uuutrrrruupufrrr zzzzzzrzfuzpzuuururuutu2)(zrrrrr2222221)(1式中0 0 1 0()zprpuprzrrr dzdprurrrz1)(10,zuarzur, 0邊界條件 ：為有有限值9 圓管進口段，多孔壁，層流定常流動,ConstVw0u0 , 0rrrr rwuuuVx軸對稱流動 且為常數(shù) 0rut定常流動)(ruurr1 ()0 ( , )xrxxuruuu r xrrx連續(xù)方程解： 軸對稱流動 ; ( ), ( , ), 0.rrxxuu ruu r xuxrxuru0r.wVconst.wVconst2222()2 ()rrrrrxrrruuuuuuuutrrxruupufrrr 222(