第3章水動力學

1、 3.1 3.1 描述液體運動的兩種方法描述液體運動的兩種方法 3.2 3.2 歐拉法的若干基本概念歐拉法的若干基本概念 3.3 3.3 恒定總流的連續(xù)性方程恒定總流的連續(xù)性方程 3.4 3.4 恒定總流的能量方程恒定總流的能量方程 3.5 3.5 恒定總流的動量方程恒定總流的動量方程第三章第三章 水動力學基礎水動力學基礎基本概念基本概念:運動要素：運動要素：液體運動狀態(tài)的主要物理量，如：流速、液體運動狀態(tài)的主要物理量，如：流速、加速度、密度、動水壓強等。加速度、密度、動水壓強等。恒定流：恒定流：運動要素不隨時間變化的液流。運動要素不隨時間變化的液流。非恒定流：非恒定流：運動要素隨時間變化的液

2、流。運動要素隨時間變化的液流。按按運動要素運動要素與與空間坐標空間坐標的關系可將流動分為的關系可將流動分為一元流一元流、二元流二元流、三元流三元流。 一元流：一元流：運動要素僅隨時間和一個坐標變化的液流。運動要素僅隨時間和一個坐標變化的液流。流體質(zhì)點：流體質(zhì)點：指在流體內(nèi)宏觀上足夠小，是一個沒指在流體內(nèi)宏觀上足夠小，是一個沒有空間尺寸的幾何點，但是具有一定的物理量，有空間尺寸的幾何點，但是具有一定的物理量，同時在微觀上又足夠大，其包含足夠大的分子數(shù)同時在微觀上又足夠大，其包含足夠大的分子數(shù)目，又稱為流體微團。目，又稱為流體微團?？臻g點：空間點：是個幾何點，僅僅表示一個空間位置，是個幾何點，僅僅

3、表示一個空間位置，可用于建立的空間坐標，如直角坐標來表示。可用于建立的空間坐標，如直角坐標來表示。拉格朗日法拉格朗日法: :著眼于液體各質(zhì)點的運動情況，追蹤每著眼于液體各質(zhì)點的運動情況，追蹤每一質(zhì)點研究各質(zhì)點的運動歷程，通過足夠多質(zhì)點的一質(zhì)點研究各質(zhì)點的運動歷程，通過足夠多質(zhì)點的運動情況來獲得整個液體運動的規(guī)律。運動情況來獲得整個液體運動的規(guī)律。),(),(),(tcbazztcbayytcbaxxa a、b b、c c、t t稱為稱為拉格朗日變量拉格朗日變量。3.1 3.1 描述液體運動的兩種方法描述液體運動的兩種方法3.1.1 3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法ttcbaxtxux),(tt

4、cbaytyuy),(ttcbaztzuz),(速度速度: :22txtuaxx22tytuayy22tztuazz加速度加速度: :拉格朗日法：拉格朗日法：tcbaff,歐拉法歐拉法: :只著眼于液體經(jīng)過流場中空間各固定點時只著眼于液體經(jīng)過流場中空間各固定點時的運動情況的運動情況, ,通過綜合流場中足夠的空間點上各質(zhì)通過綜合流場中足夠的空間點上各質(zhì)點的運動要素及其變化規(guī)律，來獲得整個流場的運點的運動要素及其變化規(guī)律，來獲得整個流場的運動特性。動特性。 3.1.2 3.1.2 歐拉法歐拉法 各運動要素是各運動要素是空間坐標空間坐標x x、y y、z z和和時間變量時間變量t t的函數(shù)。的函數(shù)。

5、x x、y y、z z、t t為為歐拉變量歐拉變量。tzyxff,流速場：流速場：設流速設流速u u在在x x、y y、z z三個坐標軸方向的投影是三個坐標軸方向的投影是u ux x、u uy y、u uz zkujuiuuzyx),(tzyxuu tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx,流體質(zhì)點在流體質(zhì)點在x x方向的加速度：方向的加速度：dtdzzudtdyyudtdxxutudtduaxxxxxxzyxudtdzudtdyudtdx,zuuyuuxuutudtduaxzxyxxxxxzuuyuuxuutudtduaxzxyxxxxxzuuyuuxuutudtduayzyyyxy

6、yyzuuyuuxuutudtduazzzyzxzzzuutua)(當?shù)丶铀俣龋寒數(shù)丶铀俣龋罕硎驹谝还潭臻g點處，純粹因時間表示在一固定空間點處，純粹因時間變化而引起的加速度。變化而引起的加速度。遷移加速度：遷移加速度：表示在同一時刻，因空間不同點處速表示在同一時刻，因空間不同點處速度不同而引起的加速度。度不同而引起的加速度。3.1.3 3.1.3 拉格朗日描述與歐拉描述的相互轉(zhuǎn)化拉格朗日描述與歐拉描述的相互轉(zhuǎn)化 由拉格朗日描述變換到歐拉描述：由拉格朗日描述變換到歐拉描述： ),(),(),(tcbazztcbayytcbaxx求反函數(shù)：求反函數(shù)：),(),(),(tzyxcctzyxbbtz

7、yxaa速度表達式：速度表達式： tttzyxctzyxbtzyxayttcbaztzutttzyxctzyxbtzyxayttcbaytyutttzyxctzyxbtzyxaxttcbaxtxuzyx),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx例：在拉格朗日法下二元流的速度表達式例：在拉格朗日法下二元流的速度表達式1) 1(txeau1) 1(tyebua a，b b為為t=0t=0時刻流體質(zhì)點坐標。時刻流體質(zhì)點坐標。求：歐拉描述下加速度表達式求：歐拉描述下加速度表達式由歐拉描述變換到拉格朗日描述：

8、由歐拉描述變換到拉格朗日描述： ),(),(),(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx對對t t積分：積分：),(),(),(321321321tccczztcccyytcccxx式中式中c c1 1、c c2 2、c c3 3為積分常數(shù)為積分常數(shù) t t為初始為初始t t0 0時刻，時刻，x x、y y、z z分別為分別為a a、b b、c c：),(),(),(032103210321tccccctcccbbtcccaa解出解出c c1 1、c c2 2、c c3 3，代入前式：代入前式：),(),(),(tcbazztcbayytcbaxx歐拉描述：歐拉描述：yuxuyx ,

9、初始條件初始條件t t=0=0，x=x=a a，y y=b=b，求：速度和加速度拉格朗日表示方法求：速度和加速度拉格朗日表示方法3.2 3.2 歐拉法的若干基本概念歐拉法的若干基本概念 3.2.1 3.2.1 流線與跡線流線與跡線1.1.跡線跡線：流體質(zhì)點運動時的軌跡線。即在拉格朗日：流體質(zhì)點運動時的軌跡線。即在拉格朗日法中，某一流體質(zhì)點在不同時刻所占據(jù)的空間點的法中，某一流體質(zhì)點在不同時刻所占據(jù)的空間點的連線。連線。a a、b b、c c為確定的點時，為為確定的點時，為跡線的方程跡線的方程。消去。消去t t，得參數(shù)式的跡線方程。得參數(shù)式的跡線方程。 ),(),(),(tcbazztcbayy

10、tcbaxx2.2.流線流線：是某一時刻在流場中畫出的一條空間曲線：是某一時刻在流場中畫出的一條空間曲線,曲曲線線 上所有質(zhì)點的流速矢量均與這條曲線相切。上所有質(zhì)點的流速矢量均與這條曲線相切。物理意義：物理意義：表明了該時刻這條曲線上各點的流速方向。表明了該時刻這條曲線上各點的流速方向。流線特征流線特征 : : 1、流線不可能相交流線是光滑曲線。流線不可能相交流線是光滑曲線。 2、流線充滿整個流場，即流場中每一點都有流線流線充滿整個流場，即流場中每一點都有流線 通過通過構成流譜。構成流譜。 3、在恒定流條件下（運動要素不隨時間變化）流在恒定流條件下（運動要素不隨時間變化）流 線跡線重合。線跡線

11、重合。 4、對于不可壓液體，流線密的地方流速大，疏的對于不可壓液體，流線密的地方流速大，疏的 地方速度小。地方速度小。流經(jīng)彎道的流線流經(jīng)彎道的流線 繞過機翼剖面的流線繞過機翼剖面的流線繞葉片的流線繞葉片的流線繞突然縮小管道的流線繞突然縮小管道的流線總流：總流：元流的有限集合體。元流的有限集合體。3.2.2 3.2.2 流管、元流、總流、過水斷面流管、元流、總流、過水斷面 流管：流管：在流場中通過任意封閉曲線上各點作流線而構在流場中通過任意封閉曲線上各點作流線而構 成的管狀面稱為流管。流體質(zhì)點只能在流管內(nèi)成的管狀面稱為流管。流體質(zhì)點只能在流管內(nèi) 部或沿流管表面流動。部或沿流管表面流動。 元流：元

12、流：充滿于流管中的液流（又稱微小流束、一元充滿于流管中的液流（又稱微小流束、一元 流）。流）。過水斷面：過水斷面：與元流或總流所有流線正交的橫斷面。與元流或總流所有流線正交的橫斷面。微小流管微小流管封閉曲線封閉曲線 過水斷面為平面過水斷面為平面 過水斷面過水斷面A A過水斷面過水斷面A過水斷面為曲面過水斷面為曲面 均勻流：均勻流：液體中同一流線上各質(zhì)點的流速矢量沿程不液體中同一流線上各質(zhì)點的流速矢量沿程不 變的液流。變的液流。非均勻流：非均勻流：液體中同一流線上各質(zhì)點的流速矢量沿程變液體中同一流線上各質(zhì)點的流速矢量沿程變 化的液流?；囊毫?。均勻流的特征：均勻流的特征：流線為平行直線（方向不變

13、）。流線為平行直線（方向不變）。過水斷面上的流速分布沿流程不變（大小不變）。過水斷面上的流速分布沿流程不變（大小不變）。過水斷面為平面（因流線為平行直線）。過水斷面為平面（因流線為平行直線）。在非均勻流中可分為在非均勻流中可分為漸變流漸變流( (小時小時,R,R大時大時) )和和急變急變流流( (大時大時,R,R小時小時) )：流線與平行線的夾角：流線與平行線的夾角：流線的曲率半徑：流線的曲率半徑RR結論：恒定均勻流結論：恒定均勻流 常數(shù)。恒定漸變流常數(shù)。恒定漸變流 常數(shù)。恒定急變流常數(shù)。恒定急變流 常數(shù)。常數(shù)。pzpzpz漸變流過水斷面性質(zhì)：漸變流過水斷面性質(zhì)： 1 1、漸變流過水斷面近似為

14、平面。、漸變流過水斷面近似為平面。2 2、恒定漸變流過水斷面上，動水壓強（流體流動、恒定漸變流過水斷面上，動水壓強（流體流動時的壓強）近似地按靜水壓強分布。時的壓強）近似地按靜水壓強分布。流量流量Q Q：單位時間內(nèi)通過過水斷面的液體體積單位時間內(nèi)通過過水斷面的液體體積 3.2.3 3.2.3 流量與斷面平均流速流量與斷面平均流速udAQ d元流流量：元流流量：AudAQ總流流量：總流流量：AdAu1212AuQdd AuQQAQdd dQ斷面平均流速：斷面平均流速：以一個設想的流速（以一個設想的流速（ ）代替各點的實際流速，該）代替各點的實際流速，該流速就稱為斷面平均流速。流速就稱為斷面平均流

15、速。uvvAudAAvQAQv 進行進行斷面平均流速斷面平均流速處理，總流的運動要素就僅處理，總流的運動要素就僅僅是僅是時間時間t t和和流程流程s s的函數(shù)，總流也就成為的函數(shù)，總流也就成為一元流一元流。3.3.1 3.3.1 恒定元流連續(xù)性方程的推導恒定元流連續(xù)性方程的推導 3.3 3.3 恒定總流的連續(xù)性方程恒定總流的連續(xù)性方程AdAu12121122u dAu dAdQ恒定元流的連續(xù)性方程恒定元流的連續(xù)性方程: 對于不可壓縮液體，元流的流速與其過水斷面對于不可壓縮液體，元流的流速與其過水斷面面積成反比；流線密集的地方（過水斷面面積小）面積成反比；流線密集的地方（過水斷面面積?。┝魉俅?；

16、流線疏的地方（過水斷面面積大）流速小。流速大；流線疏的地方（過水斷面面積大）流速小。物理意義：物理意義： 3.3.2 3.3.2 總流連續(xù)性方程總流連續(xù)性方程引入斷面平均流速：引入斷面平均流速： 221121dAudAudQAA1122QV AV A132QQQ113322V AV AV A1Q3Q2Q213QQQ221133V AV AV A1Q3Q2Q3.4 3.4 恒定總流的能量方程恒定總流的能量方程二、能量方程的物理意義和幾何意義二、能量方程的物理意義和幾何意義三、恒定總流的能量方程三、恒定總流的能量方程一、恒定元流的能量方程一、恒定元流的能量方程四、能量方程在工程中的應用四、能量方程

17、在工程中的應用質(zhì)量力質(zhì)量力xyzoxyzdxdydz表面力表面力表面力表面力由歐拉運動微分方程推導恒定元流的能量方程由歐拉運動微分方程推導恒定元流的能量方程由牛頓定律推導恒定元流的能量方程由牛頓定律推導恒定元流的能量方程dpdddpp)(1z2zdsdG11221d2d1u2u1p2p1z2z1122由動能定理推導恒定元流的能量方程由動能定理推導恒定元流的能量方程不可壓縮不可壓縮重力勢能增量：重力勢能增量：21()dQdt zz表面力做功：表面力做功：12()dQdt pp動能增量：動能增量：2221()2dQdt uu理想流體元流的能量方程：理想流體元流的能量方程：2211221222pup

18、uzzgg22upzcg二、能量方程的物理意義和幾何意義二、能量方程的物理意義和幾何意義1 1、物理意義、物理意義: :單位重量液體的單位重量液體的重力勢能重力勢能（位能）（位能）: :單位重量液體的單位重量液體的動能動能: :單位重量液體的單位重量液體的壓強勢能壓強勢能（壓能）（壓能）zgu22p2211221222pupuzzgg二、能量方程的物理意義和幾何意義二、能量方程的物理意義和幾何意義1 1、物理意義、物理意義pz gupz22: :質(zhì)點總的質(zhì)點總的機械能機械能: :質(zhì)點所具有的質(zhì)點所具有的勢能勢能2211221222pupuzzgg二、能量方程的物理意義和幾何意義二、能量方程的物

19、理意義和幾何意義1 1、物理意義、物理意義2211221222pupuzzgg實際流體：實際流體：2211221222wpupuzzhggwh: :水頭損失水頭損失2 2、幾何意義、幾何意義位置水頭位置水頭, ,為元流過水斷面上某點的位置高度為元流過水斷面上某點的位置高度壓強水頭壓強水頭, ,p p為相對壓強時也即測壓管高度為相對壓強時也即測壓管高度zp流速水頭流速水頭，以速度，以速度u u垂直向上噴射達到的高度垂直向上噴射達到的高度gu22測壓管水頭測壓管水頭pz 總水頭總水頭gupz222211221222pupuzzgg0021121z1pgu2212z2pgu222/wh實際液體總水頭

20、線實際液體總水頭線測壓管水頭線測壓管水頭線基準面基準面測壓管坡度：測壓管坡度：沿元流單位流程的勢能（測壓管水沿元流單位流程的勢能（測壓管水頭）的減少量。頭）的減少量?？偹^線坡度：總水頭線坡度：實際液體沿元流單位流程上的水實際液體沿元流單位流程上的水頭損失（水力坡度）。頭損失（水力坡度）。均勻流均勻流時，時，總水頭線坡度總水頭線坡度和和測壓管坡度測壓管坡度相等相等2()2wpud zdhgJdldl ()ppd zJdl 三、恒定總流的能量方程三、恒定總流的能量方程單位時間內(nèi)通過元流兩過水斷面的全部液體的能單位時間內(nèi)通過元流兩過水斷面的全部液體的能量關系式為：量關系式為：dQhdQgupzdQ

21、gupzw)2()2(222221111122dQu dAu dA12211111222222()2()2AwAQpuzu dAgpuzu dAhdQg113111111()()2AApuzu dAdAg223222222()()2AApuzu dAdAgwQhdQ1 1、第一類積分為、第一類積分為()ApzudA過水斷面取在漸變流中：過水斷面取在漸變流中：常數(shù)pz()()AppzudAzQ()ApzudA3()2AudAg33Au dAV A33()22AudAV Agg（動能修正系數(shù)）（動能修正系數(shù)）2 2、第二類積分為、第二類積分為2()2VQg3 3、第三類積分為、第三類積分為dQhQ

22、wQhdQhwQwwhgVpzgVpz222222221111實際液體總流的能量方程實際液體總流的能量方程:四、能量（伯努利）方程在工程中的應用四、能量（伯努利）方程在工程中的應用四、能量（伯努利）方程在工程中的應用四、能量（伯努利）方程在工程中的應用1.1.測速管（畢托管）測速管（畢托管）M0MuH0MphHzgupzMMM2200M0MuH0Mph 和和 在同一直線上：在同一直線上：M0MMMzz0M0MuH0MphHgupM2200MpHhghu2因為實際液體有誤差，引入因為實際液體有誤差，引入修正系數(shù)修正系數(shù) （1.01.01.041.04）ghu2水柱：水柱：汞柱：汞柱：2 (1)2

23、12.6pughgh2.2.文丘里流量計文丘里流量計1221d2d1基準面基準面001p1z2z2phhgddV21)(142112111412142()1dQV Ag hddgdddK21)(4142121令令 , ,稱為稱為文丘里管系數(shù)文丘里管系數(shù)實際液體有流量損失，實際流量比理論流量略小，實際液體有流量損失，實際流量比理論流量略小，引入修正系數(shù)引入修正系數(shù) ，稱之為，稱之為流量系數(shù)流量系數(shù) =0.95=0.950.990.99hKQ汞柱：汞柱：phKQ6 .12QKh應用恒定總流能量方程解題的幾點說明：應用恒定總流能量方程解題的幾點說明： 1.1.基準面可以任選，但必須是水平面，且對于量

24、基準面可以任選，但必須是水平面，且對于量 不同過水斷面，必須選取同一基準面。不同過水斷面，必須選取同一基準面。2.2.選取均勻流或漸變流過水斷面是運用能量方程選取均勻流或漸變流過水斷面是運用能量方程 解題的關鍵，應將均勻流或漸變流過水斷面取解題的關鍵，應將均勻流或漸變流過水斷面取 在已知數(shù)較多的斷面上。在已知數(shù)較多的斷面上。3.3.過水斷面的計算點為方便起見，通常對于管流過水斷面的計算點為方便起見，通常對于管流 取在斷面形心（管軸中心）點。取在斷面形心（管軸中心）點。4.4.壓強必須采用相同的計算標準（絕對或相對壓壓強必須采用相同的計算標準（絕對或相對壓 強）。強）。例例1 1： 如圖所示，用

25、一根直徑為如圖所示，用一根直徑為d=200mmd=200mm的管道從水的管道從水箱中引水，水箱中的水由于不斷得到外界的補充箱中引水，水箱中的水由于不斷得到外界的補充而保持水位恒定，若需流量而保持水位恒定，若需流量 ，問水箱中，問水箱中水位于管道出口斷面中心的高差水位于管道出口斷面中心的高差H H應保持多大？假應保持多大？假設水箱截面積遠大于管道截面積，水流總水頭損設水箱截面積遠大于管道截面積，水流總水頭損失失 。60 /Ql s25hmH O解：取漸變流過水斷面：水箱液面為解：取漸變流過水斷面：水箱液面為2-22-2斷面，管道出口斷斷面，管道出口斷面為面為1-11-1斷面取基準面斷面取基準面0

26、-00-0，位于通過，位于通過1-11-1斷面中心的水平面斷面中心的水平面上。上。 對對2-22-2斷面，由于水箱截面積遠大于管道截面，且水位斷面，由于水箱截面積遠大于管道截面，且水位恒定恒定,V,V2 2=0=0。1-11-1，2-22-2斷面的斷面的p p1 1與與p p2 2等于周圍（介質(zhì)）大氣壓等于周圍（介質(zhì)）大氣壓強，其相對壓強為零，則恒定總流的能量方程可寫成：強，其相對壓強為零，則恒定總流的能量方程可寫成：取取 =1=1則則： 21 12VHhg312260 101.91 /1/41/4 3.14 0.2QVm sd121.9150.18655.1862 9.8Hm例例2 2： 一

27、離心式水泵（如圖）的抽水量為一離心式水泵（如圖）的抽水量為 ，安裝高度安裝高度 ，吸水管直徑，吸水管直徑d=100mmd=100mm，若吸水，若吸水管總的水頭損失管總的水頭損失 ，試求水泵，試求水泵2-22-2處的處的真空值真空值 。320/Qmh20.25hmH O2vpmHZ5 . 5解：取水池液面為解：取水池液面為1-11-1斷面，對斷面，對1-11-1、2-22-2斷面建立恒定總流斷面建立恒定總流的能量方程，且選基準面的能量方程，且選基準面0-00-0在自由液面上，在自由液面上，122112222zpVpVHhgg1app10V 2222azppVHhg2222avzzppVhHhg2

28、22200.707/1/41/4 3600 3.14 0.1QVm sd20.7075.50.255.782 9.80vzhm29800 5.7856.6/vzvzphkN m3.5 3.5 恒定總流的動量方程恒定總流的動量方程動量定理：單位時間內(nèi)物體的動量變化等于作用于動量定理：單位時間內(nèi)物體的動量變化等于作用于此物體的外力的合力。此物體的外力的合力。dtumdFxyzo112211221u2u1dA2dA總流的動量定理為：總流的動量定理為：)(1122VVQF)(1122XXxVVQF)(1122yyyVVQF)(1122zzzVVQF水流流量為水流流量為Q,Q,從噴嘴水平射向一相距不遠的

29、靜止鉛垂面從噴嘴水平射向一相距不遠的靜止鉛垂面板，水流隨即在平板上向四周散開，試求射流對平板的板，水流隨即在平板上向四周散開，試求射流對平板的沖擊力沖擊力R R。例：例：矩形斷面平坡渠道中水流越過一平頂障礙物。已知渠寬矩形斷面平坡渠道中水流越過一平頂障礙物。已知渠寬b=1.2mb=1.2m，上游斷面水深，上游斷面水深h h1 1=2.0m=2.0m，障礙物頂中部，障礙物頂中部2-22-2斷面斷面水深水深h h2 2=0.5m=0.5m，已測得，已測得v v1 1=0.4m/s=0.4m/s，試求水流對障礙物迎，試求水流對障礙物迎水面的沖擊力水面的沖擊力R R。例：例： 嵌入支座內(nèi)的一段水平輸水

30、管，其直徑由嵌入支座內(nèi)的一段水平輸水管，其直徑由d1d1為為1.5m1.5m變化為變化為d2d2為為1m1m，如圖所示，水流由過水斷面，如圖所示，水流由過水斷面2-22-2。若不計。若不計能量損失，試求作用在該管壁上的軸向力能量損失，試求作用在該管壁上的軸向力R R。43139.210,1.8/pP a Qms例：例： 如圖：輸水管道在某處水平方向轉(zhuǎn)如圖：輸水管道在某處水平方向轉(zhuǎn)6060的彎，管徑的彎，管徑d=500mmd=500mm，流量流量Q=1m3/sQ=1m3/s。已知。已知p1=18mH2Op1=18mH2O柱，柱，p2=17.7mH2Op2=17.7mH2O柱，要求確柱，要求確定水

31、流對彎管的作用力。定水流對彎管的作用力。例例3 3：解：彎管內(nèi)的水流為急變流，對水流進行受力分析解：彎管內(nèi)的水流為急變流，對水流進行受力分析x x、y y方方向的表達式：向的表達式：xxxRPPVVQ21112260cosyyyRPVVQ60sin11122222113.14 0.50.19644Adm1215.1/0.196QVVm sAsmVVx/55. 25 . 01 . 560cos11smVVy/42. 4866. 01 . 560sin11smVVx/1 . 52202yVKNApP6 .34196. 01881. 911KNApP0 .34196. 07 .1781. 922令：令： 1 1= = 2 2=1.0=1.0，代入上式：，代入上式：xR345 . 06 .3455. 21 . 5181. 981. 9yR866. 06 .3442. 40181. 981. 9RR與與x x方向的夾角方向的夾角 為：為：水流對彎管的作用力水流對彎管的作用力R