大學(xué)物理 (166)

1、第三節(jié)第三節(jié) 位移分量的求出位移分量的求出第四節(jié)第四節(jié) 簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載第五節(jié)第五節(jié) 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力例題例題教學(xué)參考資教學(xué)參考資料料第一節(jié)第一節(jié) 逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 多項式解答多項式解答第二節(jié)第二節(jié) 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲習(xí)題的提示與答案習(xí)題的提示與答案第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答1.當(dāng)體力為常量，按應(yīng)力函數(shù) 求解平面應(yīng)力問題時， 應(yīng)滿足按 求解)(. 04aS)(. ,bflmfmlysxyyxsyxx 多連體中的位移單值條件。 (c) S = 上應(yīng)力邊界條件, A內(nèi)相容方程第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 對于單連體，(c)

2、通常是自然滿足的。只須滿足(a),(b)。 由 求應(yīng)力的公式是,22xfyxx,22yfxyy.2yxxy(d)第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答2 .逆解法 先滿足(a),再滿足(b)。 步驟:04 ;.)()(,sxyyysxyxxlmfmlf(e)逆解法; , ,xyyx 先找出滿足 的解 在給定邊界形狀S下，由式(b)反推出 各邊界上的面力， 代入(d), 求出第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 從而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和應(yīng)力。 逆解法 逆解法沒有針對性，但可以積累基本解答。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例1 一次式 =ax+by+c,對應(yīng)于無體力，無面力，無應(yīng)力狀態(tài)。故

3、應(yīng)力函數(shù)中加減一次式，不影響應(yīng)力。例2 二次式 ，分別表示常量 的應(yīng)力和邊界面力。如圖示。22cybxyax逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例3逆解法 設(shè)圖中所示的矩形長梁，l h，試考察應(yīng)力函數(shù) 能解決什么樣的受力問題？)43(2223yhxyhFyxol h/2 h/2 ( l h)第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答解：按逆解法。 1. 將 代入相容方程，可見 是滿足的。 有可能成為該問題的解。04 2. 由 求出應(yīng)力分量,).41 (23, 0,1222222322hyhFyxxhFxyyxyyx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 3. 由邊界形狀和

4、應(yīng)力分量反推邊界上的面力。 在主要邊界（大邊界） 上， 2/hy, 0y0yx 。 2/hy 因此，在 的邊界面上，無任何面力作用，即0yxff第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答在x = 0，l的次要邊界（小邊界）上，).41 (23)( ,12)( ),();41 (23)( , 0)( ),(02232200hyhFfyhFlfxlxhyhFffxxlxxyylxxxxxyyxxx面正面負(fù)第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 在x = 0,l 小邊界上的面力 ,如下圖(b) 所示，而其主矢量和主矩,如(c)所示。 由此，可得出結(jié)論：上述應(yīng)力函數(shù)可以解決懸臂梁在x = 0處受集中力F作用的問題。yxf

5、f ,第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答FFMFl(b)(c)xxy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 代入 ，解出 ；3.半逆解法 步驟：04 半逆解法 由應(yīng)力(d)式，推測 的函數(shù)形式； 假設(shè)應(yīng)力的函數(shù)形式 （根據(jù)受力情況，邊界條件等）；第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 由式（d），求出應(yīng)力；半逆解法 校核全部應(yīng)力邊界條件（對于多連體， 還須滿足位移單值條件）. 如能滿足，則為正確解答；否則修改假 設(shè)，重新求解。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答思考題半逆解法1. 在單連體中，應(yīng)力函數(shù)必須滿足哪些條件？逆解法和半逆解法是如何滿足這些條件的？2. 試比較逆解法和半逆解法的區(qū)別。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解

6、答 梁lh1，無體力，只受M作用（力矩/單寬，與力的量綱相同）。本題屬于純彎曲問題。 問題提出 h/2 h/2lyx ( l h)oMM第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 由逆解法得出，可取 ，且滿足 求應(yīng)力 . 04 ,6ayx. 0 xyy3ay(a) 求解步驟：04 本題是平面應(yīng)力問題,且為單連體，若按 求解， 應(yīng)滿足相容方程及 上的應(yīng)力邊界條件。ss 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 檢驗應(yīng)力邊界條件，原則是: 邊界條件 b.后校核次要邊界（小邊界），若不能精確滿足應(yīng)力邊界條件，則應(yīng)用圣維南原理，用積分的應(yīng)力邊界條件代替。 a.先校核主要邊界（大邊界），必須精確滿足應(yīng)力邊界條件。第三章 平面

7、問題的直角坐標(biāo)解答主要邊界 , 2/hy , 0)(2/ hyy)( . 0)(2/bhyxy 從式(a)可見，邊界條件(b)均滿足。, 0)(, 0 lxxy滿足。主要邊界次要邊界x=0,l,(c) 的邊界條件無法精確滿足。x第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答次要邊界)(1d)(, 01d)(,02/2/2/2/,0dMyyylxhhxhhlxx。 用兩個積分的條件代替 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 當(dāng) 時，即使在 邊界上面力不同于 的分布，其誤差僅影響梁的兩端部分上的應(yīng)力。式(d)的第一式自然滿足，由第二式得出。3/2hMa最終得應(yīng)力解,123yIMyhMx(e)hl lx, 0 x. 0

8、xyy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 思考題 如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程已經(jīng)滿足，且除了最后一個小邊界外，其余的應(yīng)力邊界條件也都分別滿足。則我們可以推論出，最后一個小邊界上的三個積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）必然是滿足的，因此可以不必進行校核。試對此結(jié)論加以說明。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 在按應(yīng)力求解中，若已得出應(yīng)力，如何求出位移？以純彎曲問題為例，已知, yIMx, 0 xyy試求解其位移。問題提出第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答1. 由物理方程求形變,。0)1 (2,)(1,)(1xyxyxyyyxxEyEIMEyEIME求形變第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答2. 代入幾何方程

9、求位移,)( 0)( ,)( ,cyuxvbyEIMyvayEIMxuxyyx。求位移第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 對式(a)兩邊乘 ,積分得 xd),(1yfxyEIMu 對式(b)兩邊乘 ，積分得 yd。)(222xfyEIMv求位移第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 再代入(c) , 并分開變量，。)(d)(dd)(d12yyfxxfEIMx 上式對任意的 x , y 都必須成立，故兩邊都必須為同一常量 。求位移第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答由此解出.2)(,)(02201vxxEIMxfuyyf求位移。022022,vxxEIMyEIMvuyxyEIMu得出位移為3.待定的剛體位移分量

10、，00,vu, 須由邊界約束條件來確定。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 歸納：從應(yīng)力求位移的步驟：vu,。 ,00vu3.由邊界約束條件確定剛體位移分量2.代入幾何方程，積分求 ；1.由物理方程求出形變；第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 純彎曲問題的討論：1. 彎應(yīng)力 與材力相同。xxEIMyu2. 鉛直線的轉(zhuǎn)角 故在任一 截面x 處，平面截面假設(shè)成立。3.縱向纖維的曲率 (常曲率)， 同材力。故在純彎曲情況下，彈力解與材力解相同。 EIMxv221第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答思考題 1. 彈性力學(xué)中關(guān)于純彎曲梁的解答，與材 料力學(xué)的解答在應(yīng)力、形變等方面完全 一致。由此是否可以說在純彎曲情況

11、下 材料力學(xué)中的平截面假設(shè)成立？ 2. 試證明剛體位移 實際上表示彈 性體中原點的平移和轉(zhuǎn)動分量，并應(yīng)用 本節(jié)的解答加以驗證。（提示：微分體 的轉(zhuǎn)動分量 ）,00vu。yuxv21第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答簡支梁 ，受均布荷載 及兩端支撐反力 。12hlq。ql問題qqlqlyxoll h/2 h/2第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,)(21)( 2xlqxlqlMx);()()( 3212yfyxfyfxx 可假設(shè)),( xlqqlFsxy);()( 21yfyxfxy可假設(shè), 常數(shù)qy?？杉僭O(shè))( yfy書中采用假設(shè),半逆解法 按半逆解法求解。 假設(shè)應(yīng)力分量。由材力,qFMysx. 常數(shù)

12、 qy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 由應(yīng)力分量推出應(yīng)力函數(shù)的形式。由),(22yfxy對 x 積分，),()(1yfyxfx。)()()(2212yfyxfyfx對x再積分，(a)半逆解法第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 將 代入相容方程，求解 :. 0)d)(d2d)(d(d)(dd)(d2122424414244yyfyyfxyyfxyyf相容方程對于任何 均應(yīng)滿足,故yx,012,xxx的系數(shù)均應(yīng)等于0。由此得三個常微分方程,半逆解法第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答.610,2345223123KyHyyByAfGyFyEyfDcyByAyf式(b)中已略去 的一次式。將式(b)代入式(a

13、)，即得 。(b)半逆解法從而解出:第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 對稱性條件由于結(jié)構(gòu)和荷載對稱于 軸， 應(yīng)為 的偶函數(shù)， 為 x的奇函數(shù)，故 。 由 求應(yīng)力。yyx ,xxy0GFE,半逆解法 在無體力下，應(yīng)力公式如書中式( f ), (g),(h)所示。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 考察邊界條件。.0)( ,)( ,0)(2/2/2/hyxyhyyhyyq由此解出系數(shù)A , B , C , D 。 主要邊界, 2/ hy 主要邊界第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答次要邊界 x=l 上,。qldyydydyhhlxxylxhhxlxhhx1)(, 01)(, 01)(2/2/2/2/2/2/次

14、要邊界由此解出H，K.另一次要邊界(x= - l ) 的條件，自然滿足。應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分條件:第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 最后應(yīng)力解答為：)534()(622223hyhyqyxlhqx),534(22hyhyqyIM應(yīng)力,)4(6223bISFyhxhqSxy.)21)(1 (22hyhyqy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 關(guān)于應(yīng)力的量級:當(dāng) 時, x l 同階，y h 同階.hl x 第一項 同階,（與材力解同）;2)(hlq第二項 同階,（彈力的修正項）.qxy)(hlq同階,（與材力解同）.應(yīng)力的量級yq同階, （材力中不計）.第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答當(dāng) 時, 量

15、級的值很小,可以不計。 應(yīng)力與材力解比較:最主要量級 ,和次要量級 , 在材力 中均已反映,且與彈力相同。2)(hlqhlq最小量級 , 在材力中沒有:q當(dāng) 時, 僅占主項 的1/15 ( 6 %) ,hl yIMhlq應(yīng)力比較第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 彈力與材力的解法比較:應(yīng)力比較 彈力嚴(yán)格考慮并滿足了A內(nèi)的平衡微分方程 ,幾何方程和微分方程,以及S上的所有邊界條件(在小邊界上盡管應(yīng)用了圣維南原理,但只影響小邊界附近的局部區(qū)域)。 材力在許多方面都作了近似處理,所以得出的是近似解答。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答幾何條件中引用平截面假定 沿 為直線分布；bxhdxu,yy例如：在材力中

16、邊界條件也沒有嚴(yán)格考慮；材力解往往不滿足相容條件。平衡條件中，略去 作用，沒有考慮微分體的平衡，只考慮 的內(nèi)力平衡；第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 對于桿件，材力解法及解答具有足夠的精度; 對于非桿件，不能用材力解法求解，應(yīng)采用彈力解法求解。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答思考題1. 當(dāng)問題中的y軸為對稱軸時，試說明 和 應(yīng)為x 的偶函數(shù)，而 應(yīng)為x的奇函數(shù)。2. 對于梁的彎曲問題，試回憶在材料力學(xué)中是如何考慮平衡條件的？vyx,uxy,第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 3. 試說明從彈性力學(xué)得出的解答（3-6）不 符合平面截面假設(shè)。 4. 材料力學(xué)的解答往往不滿足相容條件， 為什么？第三章 平面

17、問題的直角坐標(biāo)解答 設(shè)有楔形體，左面垂直，頂角為，下端無限長，受重力及齊頂液體壓力, 0 xf.1gfyoyxn2g1g2問題第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 用半逆解法求解。 應(yīng)力 , 而應(yīng)力的量綱只比高一次（L），應(yīng)力 (x , y 一次式）,即可假設(shè)應(yīng)力為x , y 的一次式。gg,21 gg,21 gg,21 （1）用量綱分析法假設(shè)應(yīng)力:第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答（2）由應(yīng)力 關(guān)系式， 應(yīng)為x,y的三次式，（3） 滿足相容方程. 04 （4）由 求應(yīng)力，,6222dycxxfyxx,26122gybyaxyfxyy.222cybxyxxy.3223dycxyybxax第三章 平面問題

18、的直角坐標(biāo)解答（5）考察邊界條件本題只有兩個大邊界，均應(yīng)嚴(yán)格滿足應(yīng)力邊界條件:x=0 鉛直面，,)(20gyxx, 0)(0 xxy解出;62gd. 0c)(a解出第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答tanyx 斜邊界上，, 0)(tanyxyxxml. 0)(tanyxxyylm)(b須按一般的應(yīng)力邊界條件來表示，有第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答其中,cos),cos(xnl.sin),cos(ynm由式（b)解出a、b,最后得應(yīng)力解答,)( .cot,)cot( )cotcot(,223212212cgxyggxg2ggyxyyx應(yīng)力第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答水平截面上的應(yīng)力分布如圖所示。x

19、yyx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 楔形體解答的應(yīng)用: 作為重力壩的參考解答, 分縫重力壩接近于平面應(yīng)力問題， 在壩體中部的應(yīng)力，接近于楔形體的解答。 重力壩規(guī)范規(guī)定的解法 材料力學(xué)解法（重力法）。 重力壩的精確分析，可按有限單元法進行。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答思考題 重力法是按應(yīng)力求解的，試回憶應(yīng)力分量 必須滿足哪些條件？在重力法中考慮了哪些條件？（參考本章教學(xué)參考資料）xyyx , ,第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 1例題2例題3例題4例題8例題7例題6例題5第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例題1 設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力可以不計， 如圖，試用應(yīng)力函數(shù) 求

20、解應(yīng)力分量。hl 332DxyCyByAxy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答332DxyCyByAxy圖3-5xxyMsFNFydyyxl h/2 h/2o) 1,(hl第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答解： 本題是較典型的例題，已經(jīng)給出了應(yīng)力函數(shù) ，可按下列步驟求解。1. 將 代入相容方程，顯然是滿足的。2. 將 代入式(2-24)，求出應(yīng)力分量，。)3( , 0,6622DyADxyCyBxyyx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答3. 考察邊界條件： 主要邊界 上應(yīng)精確滿足：2/hy )( . 043 , 0)( , 0)(22/2/aDhAhyxyhyy得滿足；第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 在次

21、要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的邊界條件代替。注意x=0是負(fù)x面，圖中表示了負(fù)x面上的 的正方向，由此得：xyx 和第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答)( . 41 ,d) (;2 ,d) (;2 ,d) (302/2/302/2/02/2/bFDhAhFyhMCMyyhFBFyssxxYhhxxhhNNxxhh得得得第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答由(a),(b) 解出 . 2 ,23 3hFDhFAss 最后一個次要邊界條件(x=l上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答代入應(yīng)力公式，得

22、).41 (23 0, ,1212 2233hyhFxyhFyhMhFsxyysNx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例題2 擋水墻的密度為 ，厚度為b,如圖,水的密度為 ，試求應(yīng)力分量。12yox2b2bg1g2第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答解：用半逆解法求解。1. 假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。 因為在 y=-b/2邊界上， y=b/2邊界上， ，所以可假設(shè)在區(qū)內(nèi) 沿x 向也應(yīng)是一次式變化，即 ; 0ygxy2y。)(yxfy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答2. 按應(yīng)力函數(shù)的形式，由 推測 的形式，).()()(6 , )()(2 ),( 2131222yfyxfyfxyfy fxxyxfxy則y第三

23、章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 3. 由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。代入 得, 04 . 0dd2dddddd622424414443yfxyfyfxyfx要使上式在任意的x處都成立，必須 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答. ,0dd;610 , 0dd2dd; , 0dd23242423451224142344FyEyf yfIyHyGyyByAfyfyfDCyByAyfyf得得得 代入 ，即得應(yīng)力函數(shù)的解答，其中已略去了與應(yīng)力無關(guān)的一次式。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 4. 由應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。將 代入式(2-24) ,注意體力 ，求得應(yīng)力分量為0 ,1yxfgf,)26 ()2622( )3(

24、123322gxFEyHGyByAyxBAyxxfyxx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答).23322( )23(2 ),( 2342222322IHyGyyByACByAyxyxDCyByAyxyfxxyyy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答5. 考察邊界條件： 主要邊界 上,有2/by. 0)431232( ) 43( 2 , 0) ()(; 0)248( , 0) ()( ;)248( ,) (234222/232/22322/IHbbGbBbACBbbAxbDbCbBbAxagxDbCbBbAxgxbyxybyybyy得得得第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 由上式得到),( 0431232),

25、( 0 432342feIHbbGbBbAdcCBbbA第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答求解各系數(shù)，由 0C43 )()( , 21 0, )()( , 2128 )()( ,21 4 )()(222322。得得得得bAdcgDBdcgbCbAbagDbBba第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答由此得 23 ,2223。gbCgbA又有. 04332 )()(0 )()(24IbGbAfeHfe得，得代入A,得)( . 431622gGbgbI第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 在次要邊界（小邊界）x=0上，列出三個積分的邊界條件：)( . 480 , 0d) (; 0 , 0d) (; 0 , 0d)

26、(2202 /2 /02 /2 /02 /2 /hGbgbIyEyyFyxxybbxxbbxxbb得得得由式(g),(h)解出 . 101 ,8022gbGgbI第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答代入應(yīng)力分量的表達(dá)式，得最后的應(yīng)力解答：。)80103()433( );21322( ,4532 332322233213322332ybbybygybbygxbybygxgxxybgxybgyxbgxyyx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例題3已知, )();()( )(42223422222EyDxyyCxyBxAxbyxCBxyxaAya試問它們能否作為平面問題的應(yīng)力函數(shù)？第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解

27、答解：作為應(yīng)力函數(shù)，必須首先滿足相容程，. 04 將 代入，(a) 其中A= 0，才可能成為應(yīng)力函數(shù)；(b) 必須滿足 3(A+E)+C=0,才可能成為應(yīng)力函數(shù)。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例題4 圖中所示的矩形截面柱體，在頂部受有集中力F 和力矩 的作用，試用應(yīng)力函數(shù) 求解圖示問題的應(yīng)力及位移，設(shè)在A點的位移和轉(zhuǎn)角均為零。2FbM ,23BxAx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答bbAyxhOFFb/2) 1,(bh第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答解： 應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解：(1) 校核 相容方程 ，滿足.04 (2) 求應(yīng)力分量 ，在無體力時，得. 0 ,26xyxyBAx(3) 考察主要邊界條件

28、，均已滿足。 , 0 , 0 , xyxbx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答考察次要邊界條件，在y=0上，。得得滿足；20008 ,2d)(;2 ,d)( , 0)(bFAFbxxbFBFxbbyybbyyyxy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 上述應(yīng)力已滿足了 和全部邊界條件，因而是上述問題的解。04 代入，得應(yīng)力的解答，.0 ),231 (2xyxybxbF第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答(4) 求應(yīng)變分量，。0 ),231 (2),231 (2xyyxbxEbFbxEbF第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答(5) 求位移分量，).()23(2 ),231 (2 );()43(2 ),231 (221

29、2xfbxyyEbFvybxEbFyvyfbxxEbFuxbxEbFxuyx積分得對由積分得對由第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答將u,v代入幾何方程的第三式，。0 xyyuxv兩邊分離變量，并令都等于常數(shù)，即。yEbFyyfxxf21243d)(dd)(d第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答從上式分別積分，求出,)(02vxxf。022183)(uyyEbFyf代入 u,v, 得.)23(2,83)43(200222vxbxyyEbFvuyyEbFbxxEbFu第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答再由剛體約束條件，。得；得；得hEbFvvhEbFuuhEbFyuhyxhyxhyx2 ,0)(83 ,0)(4

30、3 ,0)(0,0220,02,0第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答。，)231)(2)(83)43(2222bxyhEbFvyhEbFbxxEbFu代入u,v,得到位移分量的解答在頂點x=y=0，。EbFhvyx2)(0第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例題5 圖中矩形截面的簡支梁上，作用有三角形分布荷載。試用下列應(yīng)力函數(shù), 333533FxyExDxyyCxBxyyAx求解應(yīng)力分量。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答yx6ql3qllxqo h/2 h/2l) 1,(lh第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解：(1) 將 代入相容方程，。得B35ABA , 012072 , 04由此

31、，。FxyExDxyyCxBxyyBx33353335第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答(2) 代入應(yīng)力公式，在無體力下，得。，)33515(66106201022422333FDyCxByyBxExCxyBxyDxyBxyyBxxyyx(3) 考察主要邊界條件),2/(hy得 , 0 , 2/xyhy。0)43165()4153(2422FDhBhBhCx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答對于任意的x值，上式均滿足，由此得, 041532BhC。04316524FDhBh(a)(b), 0)6345( , 0 , 2/3EChBhxhyy.)6345(, 2/3lxqEChBhxlxqhyy(c)(

32、d)第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答由(c)+(d)得。lqE12由(c)-(d)得。lhqCBh23452由(e)-(a)得(e)。lhqClhqB4 ,53第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答(4) 考察小邊界上的邊界條件(x=0),由,6d)(02/2/qlyxhhxy得)(.641635fqlFhhDhB由式(b)和(f)解出).480(),1013(3hllhqFlhhlqD第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答另兩個積分的邊界條件，, 0d)(, 0d)(02/2/02/2/yyyxhhxxhhx顯然是滿足的。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 于是將各系數(shù)代入應(yīng)力表達(dá)式，得最后的應(yīng)力解答。)203)

33、(41 (4),431 (2),1032(22222332222222lhylhlhxhlhyqhyhylxqhyhxllhxyqxyyx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 讀者試校核在 x=l 的小邊界上，下列條件是滿足的，.3d)(, 0d)( 0d)(2/2/2/2/2/2/qlyyyylxhhxylxhhxlxhhx，第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例題6矩形截面的柱體受到頂部的集中力 和力矩M的作用，不計體力，試用應(yīng)力函數(shù)求解其應(yīng)力分量。F2332DyCxyBxyAyMF245qqhyxo b/2 b/2 ) 1,(bh第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解：(1) 代入

34、相容方程，滿足。 , 04 (2) 求應(yīng)力分量，在無體力下，。)3(, 0,662CyBDyCxyAxyyx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答(3)考察邊界條件，在主要邊界),2/(by)(.43 , , 0 , 2/2aqCbBqbyxyy滿足；. ,)3( d)(b/2b/2-202 /2 /bFAFDyAyFyxhhx得，在小邊界x= 0,第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答)(41)( d)(;2,)22( ,d)(2b/2b/2-302/2/3b/2b/2-3202/2/bbFCbBFCyByFybMDMDyyAMyyxhhxyxhhx。，得，得第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答再由(a),(b)

35、式解出).3(21 ),(22bFqBbFqbC代入，得應(yīng)力解答，。2232)(6)3(21, 0,12)(12ybFqbbFqybMxybFqbbFxyyx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例題7 試用應(yīng)力函數(shù)求解圖中所示的半無限平面體在的邊界上受均布壓力q的問題。,)arctan(222xyxyyxq0 x第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答xoy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 解：應(yīng)校核相容方程和邊界條件，若這些條件均滿足，就可以求出其應(yīng)力分量。 本題得出的應(yīng)力解答是。2222222),(arctan),(arctanyxyqyxxyxyqyxxyxyqxyyx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答例題8

36、 試用應(yīng)力函數(shù) 求解圖中所示的半平面體在 的邊界上受均布切力q的問題。,arctan)ln(212222yxyxyyxyq0 x第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答xoqy第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 解：應(yīng)校核相容方程和邊界條件，若這些條件均滿足，就可以求出其應(yīng)力分量。本題得出的應(yīng)力解答是。)(arctan,),2(2222222222yxxyxyqyxyqyxyyxlnqxyyx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答3-1 本題屬于逆解法，已經(jīng)給出了應(yīng)力函數(shù)，可按逆解法步驟求解： （1）校核相容條件是否滿足，（2）求應(yīng)力，（3）推求出每一邊上的面力 從而得出這個應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。,yxff第三章

37、 平面問題的直角坐標(biāo)解答3-2 用逆解法求解。由于本題中 lh, x=0,l 屬于次要邊界（小邊界），可將小邊界上的面力化為主矢量和主矩表示。3-3 見3-1例題。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答3-4 本題也屬于逆解法的問題。首先校核 是否滿足相容方程。再由 求出應(yīng)力后，并求對應(yīng)的面力。本題的應(yīng)力解答如習(xí)題3-10所示。應(yīng)力對應(yīng)的面力是：主要邊界：,0)(,0)(2/2/hyyhyyx所以在 邊界上無剪切面力作用。2/hy下邊界無法向面力；第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答上邊界有向下的法向面力q。,)(2/qhyy次要邊界：,0)(0 xxyx=0面上無剪切面力作用；),534()(220hyh

38、yqxx但其主矢量和主矩在 x=0 面上均為零。因此，本題可解決如習(xí)題3-10所示的問題。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答3-5 按半逆解法步驟求解。（1）可假設(shè)（2）可推出（3）代入相容方程可解出f、 ，得到（4）由 求應(yīng)力。（5）主要邊界x=0,b上的條件為。)()(1xfxyf。0 x。)()(2323FxExCxBxAxy。qbxxyxxybxx)( , 0)( , 0)(0, 01f第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答次要邊界y=0上，可應(yīng)用圣維南原理，三個積分邊界條件為。0)(, 0)(, 0)(000000dxxdxdxybyxybyyby讀者也可以按 或 的假設(shè)進行計算。xyy第三章

39、平面問題的直角坐標(biāo)解答3-6 本題已給出了應(yīng)力函數(shù) ，應(yīng)首先校核相容方程是否滿足，然后再求應(yīng)力，并考察邊界條件。在 各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界條件，即2/bx .)( , 0)(22qbxxybxx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答而在次要邊界 y=0 上， 已滿足，而 的條件不可能精確滿足（否則只有A=B=0，使本題無解），可用積分條件代替：0)(0yy0)(0yyx.0)(022ybbyx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答3-7 見例題2。3-8 同樣，在 的邊界上，應(yīng)考慮應(yīng)用一般的應(yīng)力邊界條件(2-15)。3-9 本題也應(yīng)先考慮對稱性條件進行簡化。3-10 應(yīng)力函數(shù) 中的多項式超過四次冪時，為滿足

40、相容方程，系數(shù)之間必須滿足一定的條件。tany第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答3-11 見例題3。3-12 見圣維南原理。3-13 m個主要邊界上，每邊有兩個精確的應(yīng)力邊界條件，如式(2-15)所示。n個次要邊界上，每邊可以用三個積分的條件代替。3-14 見教科書。3-15 嚴(yán)格地說，不成立。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 （一）本章學(xué)習(xí)重點及要求 本章是按應(yīng)力求解平面問題的實際應(yīng)用。其中采用應(yīng)力函數(shù) 作為基本未知數(shù)進行求解，并以直角坐標(biāo)來表示問題的解答。在學(xué)習(xí)本章時，應(yīng)重點掌握：第三章 教學(xué)參考資料第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答1. 按應(yīng)力函數(shù) 求 解時， 必須滿足的條件。2. 逆解法和半逆解

41、法。3. 由應(yīng)力求位移的方法。4. 從簡支梁受均布荷載的問題中，比較彈力學(xué)和材料力學(xué)解法的異同。 在早期應(yīng)用逆解法和半逆解法，曾經(jīng)得出許多平面問題的解答。但是對于有復(fù)雜荷載和邊界條件的工程實際問題，是第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答難以用這些方法找出函數(shù)式解答的。我們可以采用彈性力學(xué)的近似解法來求解工程實際問題。因此，我們不要求讀者去求解新的問題的解答，而是要求讀者了解彈性力學(xué)問題是如何求解的，如何滿足有關(guān)的方程和邊界條件的。從而使讀者能閱讀和理解彈性力學(xué)已有的解答，并應(yīng)用到工程實踐中去。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 （二）本章內(nèi)容提要1. 按應(yīng)力函數(shù) 求解時， 必須滿足： (1) 區(qū)域A內(nèi)的

42、相容方程，（2） 上的應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件）（3）多連體的位移單值條件。2. 在半逆解法中尋找應(yīng)力函數(shù) 時，通常采用下列方法來假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式 （1）由材料力學(xué)解答提出假設(shè)，（2）由邊界受力情況提出假設(shè)，（3）用量綱分析方法提出假設(shè)。ss第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 3. 在校核應(yīng)力邊界條件時，必須注意以 下幾點（見（四）。 4. 學(xué)習(xí)本章的重點，是掌握彈性力學(xué)問 題按應(yīng)力求解的方法。要求讀者在掌 握這些基本理論之后，能閱讀和理解 彈性力學(xué)文獻(xiàn)，并將已有的解答應(yīng)用 到工程實踐中去。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答5. 對于工程實際問題，由于邊界形狀和受 力、約束條件較為復(fù)雜，難以得出微分方 程的函數(shù)式解答。因此，并不要求讀者去求解新的解答，只要求能掌握基本理論，并能應(yīng)用彈性力學(xué)近似解法（見后面幾章）去解決工程實際問題。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 （三）重力壩的材力解法 一般重力壩的分析，采用的是材料力學(xué)的解法，稱