代數(shù)精度插值求積及復化公式

1、baaFbFdxxfI )()()( 但是，在工程技術(shù)領(lǐng)域，在實際使用上述求積分方法時，往但是，在工程技術(shù)領(lǐng)域，在實際使用上述求積分方法時，往往會遇到下面情況：往會遇到下面情況： 1. 函數(shù)函數(shù)f (x)沒有具體的解析表達式，只有一些由實驗測試沒有具體的解析表達式，只有一些由實驗測試數(shù)據(jù)形成的表格或數(shù)據(jù)形成的表格或 圖形。圖形。 關(guān)于定積分的計算，我們知道，只要求出關(guān)于定積分的計算，我們知道，只要求出f (x)的一個原的一個原函數(shù)函數(shù)F(x)，就可以利用牛頓，就可以利用牛頓萊布尼慈（萊布尼慈（Newton-Leibniz）公）公式出定積分值：式出定積分值： 3. f (x) 的結(jié)構(gòu)復雜，求原函

2、數(shù)困難，即不定積分難求。的結(jié)構(gòu)復雜，求原函數(shù)困難，即不定積分難求。 等321,ln1,sin,sin)(2xxxexxxfx2. f (x)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示出來，如：的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示出來，如：由于以上種種原因，因此有必要研究積分的數(shù)值計算方法，進由于以上種種原因，因此有必要研究積分的數(shù)值計算方法，進而建立起上機計算定積分的算法。此外，數(shù)值積分也是研究微而建立起上機計算定積分的算法。此外，數(shù)值積分也是研究微分方程和積分方程的數(shù)值解法的基礎(chǔ)。分方程和積分方程的數(shù)值解法的基礎(chǔ)。數(shù)值積分數(shù)值積分1.1 構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想 定積分定積分I=ab f

3、(x)dx在幾何上為在幾何上為x=a, x=b, y=0和和y=f (x)所圍成的曲所圍成的曲邊梯形的面積。定積分計算之所以困難，是不規(guī)則圖形的面積。由邊梯形的面積。定積分計算之所以困難，是不規(guī)則圖形的面積。由積分中值定理，對連續(xù)函數(shù)積分中值定理，對連續(xù)函數(shù)f (x)，在區(qū)間，在區(qū)間a, b 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 ，使：使：)()()( fabdxxfIba也就是說也就是說,曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積I 恰好等于恰好等于底為底為b-a, 高為高為f ( )的規(guī)則圖形的規(guī)則圖形矩形的面矩形的面積積(圖圖7-1), f ( )為曲邊梯形的平均高度為曲邊梯形的平均高度,然然而點而點 的具體

4、位置一般是不知道的的具體位置一般是不知道的,因此難因此難以準確地求出以準確地求出f ( )的值。但是的值。但是,由此可以得由此可以得到這樣的啟發(fā)到這樣的啟發(fā),只要能對平均高度只要能對平均高度f ( )提供提供一種近似算法一種近似算法,便可以相應(yīng)地得到一種數(shù)便可以相應(yīng)地得到一種數(shù)值求積公式。值求積公式。 圖圖7-1 )(xfy )(f如用兩端點的函數(shù)值如用兩端點的函數(shù)值f (a)與與f (b)取算術(shù)平均值作為平均高度取算術(shù)平均值作為平均高度f ( )的近似值的近似值,這樣可導出求積公式：這樣可導出求積公式： 第七章 數(shù)值積分與微分7-3更一般地在區(qū)間更一般地在區(qū)間a, b 上適當選取某些點上適當

5、選取某些點xk (k=0,1,n), 然后然后用用f (xk) 的加權(quán)平均值近似地表示的加權(quán)平均值近似地表示f ( ),這樣得到一般的求積公式：這樣得到一般的求積公式： 1)-(7 )()(0 nnkkkbaIxfAdxxfI其中其中,點點xk 稱為求積節(jié)點稱為求積節(jié)點,系數(shù)系數(shù)Ak 稱為求積系數(shù)，稱為求積系數(shù)，Ak 僅僅與節(jié)僅僅與節(jié)點點xk 的選取有關(guān)的選取有關(guān),而不依賴于被積函數(shù)而不依賴于被積函數(shù)f (x)的具體形式。的具體形式。 ( )( ( )( ) 2 , ( )() 22babab aIf x dxf af ba ba bIf x dxb a f梯形公式取中矩形公式另一方面定積分的

6、定義，另一方面定積分的定義，0 00( )lim()kk nnbkkaMaxxkIf x dxf xx 其中其中 xk是是a, b 的每一個分割小區(qū)間的長度的每一個分割小區(qū)間的長度,它與它與f (x)無關(guān)無關(guān),去掉去掉極限極限,由此得到近似計算公式：由此得到近似計算公式： nkkknkkkbaxfAxxfdxxfI00 )()()( 因此，式（因此，式（7-1）可作為一般的求積公式）可作為一般的求積公式,其特點是將積分問其特點是將積分問題歸結(jié)為函數(shù)值的計算題歸結(jié)為函數(shù)值的計算,從而避開了使用牛頓一萊布尼慈公式需從而避開了使用牛頓一萊布尼慈公式需要求原函數(shù)的困難要求原函數(shù)的困難,適合于函數(shù)給出時

7、計算積分適合于函數(shù)給出時計算積分,也非常便于設(shè)計也非常便于設(shè)計算法算法,便于上機計算。便于上機計算。 求積公式（求積公式（7-1）的截斷誤差為：）的截斷誤差為： 0( )( )()nbnnkkakR fRIIf x dxA f x Rn也稱為也稱為積分余項積分余項.1.2 代數(shù)精度代數(shù)精度 如果某個求積公式對所有次數(shù)不大于如果某個求積公式對所有次數(shù)不大于m的多項式都精確成的多項式都精確成立，而至少對一個立，而至少對一個m +1次多項式不精確成，則稱該公式具次多項式不精確成，則稱該公式具有有m次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 一般來說，代數(shù)精度越高，求積公式越好。為了便于應(yīng)用，一般來說，代數(shù)精度越高，求

8、積公式越好。為了便于應(yīng)用，由定義由定義1容易得到下面定理。容易得到下面定理。 數(shù)值積分是一種近似計算數(shù)值積分是一種近似計算,但其中有的公式能對較多的函數(shù)但其中有的公式能對較多的函數(shù)準確成立準確成立,而有的只對較少的函數(shù)準確成立。為了反映數(shù)值積分而有的只對較少的函數(shù)準確成立。為了反映數(shù)值積分公式的準確差別公式的準確差別,引入代數(shù)精度的概念。引入代數(shù)精度的概念。 試驗證梯形公式具有一次代數(shù)精度。試驗證梯形公式具有一次代數(shù)精度。 例例1 22 22 223322 2 ,( )1,1d,(11),.21( ),d(),()222. 1( ),d(),(),32,.1,bababafxbaxbababa

9、bafxxx xbaabbafxxxxbaabx解對 于 梯 形 公 式 當時左 端右 端此 時 公 式 精 確 成 立當時 左 端右 端公 式 也 精 確 成 立當時 左 端右 端此 時 左 端右 端 即 公 式 對不 精 確 成 立故 由 定 理 知 梯 形 公 式.的 代 數(shù) 精 度 為 一 次定理定理1 一個求積公式具有一個求積公式具有m次代數(shù)精度的充分必要條件是該求次代數(shù)精度的充分必要條件是該求積公式對積公式對 1,x,x2,xm 精確成立，而對精確成立，而對xm+1不精確成立。不精確成立。 第七章 數(shù)值積分與微分7-6 上述過程表明上述過程表明,可以從代數(shù)精度的角度出發(fā)來構(gòu)造求積公

10、式可以從代數(shù)精度的角度出發(fā)來構(gòu)造求積公式. 如如,對于求積公式（對于求積公式（7-1）,若事先選定一組求積節(jié)點若事先選定一組求積節(jié)點xk (k=0,1,n,), xk可以選為等距點可以選為等距點,也可以選為非等距點也可以選為非等距點,令公式對令公式對f(x)=1,x,xn 精精確成立確成立,即得：即得：2)-(7 1211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn 這是關(guān)于這是關(guān)于A0、A1、An的線性方程組的線性方程組,系數(shù)行列式為范德系數(shù)行列式為范德蒙行列式蒙行列式,其值不等于零其值不等于零,故方程組存在唯一的一組解。故方程組存在唯一的一組解。

11、 求解方程組求解方程組(7-2)確定求積系數(shù)確定求積系數(shù)Ak,這樣所得到的求積這樣所得到的求積公式公式(7-1)至少具有至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度. 例例2 確定求積公式確定求積公式 使其具有盡可能高的代數(shù)精度。使其具有盡可能高的代數(shù)精度。 解：求積公式中含有三個待定參數(shù)解：求積公式中含有三個待定參數(shù),可假定近似式（可假定近似式（7-3）的代）的代數(shù)精度為數(shù)精度為m =2,則當則當f (x)=1，x，x2時，式（時，式（7-3）應(yīng)準確成立，）應(yīng)準確成立，即有：即有：代回去可得代回去可得： ) 37()() 0()()(101 hfAfAhfAdxxfIhh34,3)(32)(0201111

12、2311101hAhAAAAhhAAhAAAh) 47()(3) 0(34)(3)( hfhfhhfhdxxfba 檢查（檢查（7-4）對）對 m = 3 是否成立是否成立,為此為此,令令 f(x)=x3 代入（代入（7-4）,此時左邊此時左邊 ,3)(333右邊hhhh第七章 數(shù)值積分與微分7-8),(3)(344hhhh 右邊左邊再檢查（再檢查（7-4）對）對m=4是否成立是否成立,令令f(x)=x4代入代入(7-4),此時此時:因此近似式（因此近似式（7-4）的代數(shù)精度為）的代數(shù)精度為m=3.由待定系數(shù)法確定的求積公式?jīng)]有確切的誤差估計式，只由待定系數(shù)法確定的求積公式?jīng)]有確切的誤差估計式

13、，只能從其所具有的代數(shù)精度去判定求積公式的準確程度。能從其所具有的代數(shù)精度去判定求積公式的準確程度。上述方法稱為待定系數(shù)法，在具有盡可能高的代數(shù)精度的要上述方法稱為待定系數(shù)法，在具有盡可能高的代數(shù)精度的要求下，利用它可以得出各種求積公式。求下，利用它可以得出各種求積公式。1.3 插值型求積公式插值型求積公式 設(shè)給定一組節(jié)點設(shè)給定一組節(jié)點a x0 x1 xn-1xn b，且已知，且已知f (x) 在在這些節(jié)點上的函數(shù)值，則可求這些節(jié)點上的函數(shù)值，則可求 得得f (x)的拉格朗日插值多項式：的拉格朗日插值多項式： nkkknxlxfxL0)()()(其中其中l(wèi)k(x) 為為n次插值基函數(shù)。取次插值

14、基函數(shù)。取f (x) Ln(x)，則有：，則有： nkkbakbankkkbanbaxfxxlxxlxfxxLxxfI0 0 )(d)(d)()(d)(d)(記：記：5)-(7 ), 1 , 0( d)( nkxxlAbakknknkkbaIxfAxxfI0 )(d)(則有：則有：這種求積系數(shù)由式（這種求積系數(shù)由式（7-5）所確定的求積公式稱為插值型求積公式）所確定的求積公式稱為插值型求積公式. 根據(jù)插值余項定理，插值型求積公式的求積余項為：根據(jù)插值余項定理，插值型求積公式的求積余項為：其中其中 a,b 與與x有關(guān)有關(guān).6)-(7 d)()!1()(d )()( 0) 1( bankknban

15、nnxxxnfxxLxfIIR關(guān)于插值型求積公式的代數(shù)精度，有如下定理。關(guān)于插值型求積公式的代數(shù)精度，有如下定理。 具有具有n +1個節(jié)點的數(shù)值求積公式（個節(jié)點的數(shù)值求積公式（7-1）是插值型求積公式的）是插值型求積公式的充分必要條件是該公式至少具有充分必要條件是該公式至少具有n次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。定理定理2說明說明,當求積公式（當求積公式（7-1）選定求積節(jié)點）選定求積節(jié)點xk后后,確定求積系確定求積系數(shù)數(shù)Ak有兩條可供選擇的途徑：求解線性方程有兩條可供選擇的途徑：求解線性方程 組（組（7-2）或者計算）或者計算積分（積分（7-5）,即利用即利用n次代數(shù)精度或插值型積分來確定求積系數(shù)次代

16、數(shù)精度或插值型積分來確定求積系數(shù). 由此得到的求積公式都是插值型的由此得到的求積公式都是插值型的,其代數(shù)精度均不小于其代數(shù)精度均不小于n次次. 0( )() (7-1)nbkknakIf x dxA f xI 證：證：(充分性充分性) 設(shè)求積公式（設(shè)求積公式（7-1）至少具有）至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度,那么那么,由于插值基函數(shù)由于插值基函數(shù) li(x) (i=0,1,n)均是次數(shù)為均是次數(shù)為n的多項式的多項式,故式（故式（7-1）對對li(x)精確成立精確成立,即即: ( d niikk ikik 0biia1ki)l ( x)l ( x )A l ( x )A0(ki)l ( x) x

17、A(i0,1,n)71由于滿足： 所以：故：所以，求積公式是插值型的。 (必要性必要性) 設(shè)求積公式（設(shè)求積公式（7-1）是插值型的，則對所有次數(shù)不大于）是插值型的，則對所有次數(shù)不大于n的多項式的多項式f (x)，按（，按（7-6）其求積余項）其求積余項Rn = 0，即這時插值型求積公，即這時插值型求積公式是精確成立的。由定義式是精確成立的。由定義1,n+1個節(jié)點的插值型求積公式至少具有個節(jié)點的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度。（證畢）次代數(shù)精度。（證畢）例例3 考察求積公式：考察求積公式： 111f ( x )dx( f ( 1)2 f (0 )f (1)2具有幾次代數(shù)精度具有幾次代數(shù)精度

18、. 次代數(shù)精度。所以此求積公式具有一右邊左邊時當右邊左邊時當右邊公式左邊時檢查當解：1) 1021 (2132d ,)(0) 1021(210d ,)(2) 121 (212d ,1)( 1 1 221 1 1 1 xxxxfxxxxfxxf 注：注：n+1個節(jié)點的求積公式不一定具有個節(jié)點的求積公式不一定具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度.其原因是其原因是此求積公式不一定是插值型的。此求積公式不一定是插值型的。 例：例：2 牛頓一柯特斯牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式公式 本節(jié)介紹節(jié)點等距分布時的插值型求積公式，即牛頓一柯特本節(jié)介紹節(jié)點等距分布時的插值型求積公式，即牛頓一柯特斯（斯（New

19、ton-Cotes）公式。）公式。 2.1 牛頓一柯特斯（牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式）公式 設(shè)將積分區(qū)間設(shè)將積分區(qū)間a, b 劃分為劃分為n等分等分,步長步長h=(b-a)/n,求積節(jié)點取為求積節(jié)點取為xk = a+kh(k=0,1,n),由此構(gòu)造插值型求積公式由此構(gòu)造插值型求積公式,則其求積系數(shù)為則其求積系數(shù)為: 0nn 0 0j 0j 0j kj k( )dd (0,1,)( 1):d()d (0,1,)!()!引引入入變變換換則則有有nbbjkkaajkjjknknnkxxAlxxxknxathxxtjbaAhttjtknkjnknk 記：記：7)-(7 ), 1 ,

20、0( d)()!( !) 1( 0 nkj0j)(nktjtknnkCnknnk 于是得求積公式則,)()(nkkCabA8)-(7 )()(0)(nkknknxfCabI稱之為稱之為n階牛頓一柯特斯（階牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式）公式簡記為簡記為N-C公式公式， 稱稱 為柯特斯系數(shù)。顯然，柯特斯系數(shù)與被積函數(shù)為柯特斯系數(shù)。顯然，柯特斯系數(shù)與被積函數(shù)f (x) 和積和積分區(qū)間分區(qū)間a, b 無關(guān)，且為多項式積分，其值可以事先求出備用。無關(guān)，且為多項式積分，其值可以事先求出備用。表表7-1中給了了部分柯特斯系數(shù)。中給了了部分柯特斯系數(shù)。 )(nkC柯特斯系數(shù)柯特斯系數(shù) 表表7-

21、1 989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 9891/283508751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 7511/172807 41 216 27 272 27 216 411/8406 19 75 50 50 75 191/2885 7 32 12 32 71/904 1 3 3 11/8 1 4 1 ), 1 ,0( )(nkBACknknABk經(jīng)計算或查表得到柯特斯系數(shù)后，便可以寫出對應(yīng)的牛頓一柯特經(jīng)計算或查表得到柯特斯系數(shù)后，便可以寫出對應(yīng)的牛頓一柯特斯（斯（Newton-Cotes）公式。）公式。 當當n =1

22、時時,按公式（按公式（7-7）有：）有： 21 21) 1(! 1! 0111 0 )1(11 0 )1(0tdtCdttC得求積公式得求積公式：9)-(7 )()(2)()(10) 1 (1TbfafabxfCabIkkk即即梯形公式梯形公式 0122 2(2)0 01 2(2)1 01 2(2)2 0,(77):2( 1)1(1)(2)2 0! 2!6( 1)4(2)2 1! 1!6( 1)1(2)2 1! 1!6abxa xxbCttdtCt tdtCt tdt 相相應(yīng)應(yīng)的的節(jié)節(jié)點點按按公公式式當當n =2時時第七章 數(shù)值積分與微分7-15相應(yīng)的求積公式：相應(yīng)的求積公式：10)-(7 )

23、(24)(62SbfbafafabI稱為稱為辛卜生辛卜生(Simpson)公式公式. 4 4( 4 )0 03 4( 4 )1 02 4( 4 )2 01 4( 4 )3 0( 4 )4(1)7(1)(2)(3)(4)40! 4!90(1)32(2)(3)(4),4 1! 3!90(1)12(1)(3)(4)42! 2!90(1)32(1)(2)(4),43! 1!90(1CttttdtCt tttdtCt tttdtCt tttdtC，0 4 0)7(1)(2)(3)44! 0!90t tttdt當當n=4時，所得的公式稱作時，所得的公式稱作柯特斯公式柯特斯公式，它有五個節(jié)點，其系數(shù)：，它有

24、五個節(jié)點，其系數(shù)：所以柯特斯公式是所以柯特斯公式是：11)-(7 )(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfabC (0,1,2,3,4), 4其其中中kbaxakh kh 柯特斯系數(shù)的性質(zhì)柯特斯系數(shù)的性質(zhì)1、與積分區(qū)間無關(guān)與積分區(qū)間無關(guān):當當n確定后確定后,其系數(shù)和都等于其系數(shù)和都等于1,即即 10)(nknkC2、對稱性對稱性：)()(nknnkCC此特性由表此特性由表7-1很容易看出，對一般情況可以證明。很容易看出，對一般情況可以證明。(略略) 3、柯特斯系數(shù)并不永遠都是正的柯特斯系數(shù)并不永遠都是正的。表表7-1看出當看出當n = 8時時,出現(xiàn)了負系數(shù)出現(xiàn)了

25、負系數(shù),在實際計算中將使舍入誤差增在實際計算中將使舍入誤差增大大,并且往往難以估計并且往往難以估計, 從而牛頓一柯特斯公式的收斂性和穩(wěn)定性從而牛頓一柯特斯公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證得不到保證,因此實際計算中不用高階的。因此實際計算中不用高階的。 第七章 數(shù)值積分與微分7-17102100N -C1 !1 !nnbnjajnnxathnnjfRxxdxnhftjdtnn+1個 節(jié) 點 的求 積 公 式 的 截 斷 誤 差 為 :第七章 數(shù)值積分與微分7-182n階階Newton-Cotes公式至少具有公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 我們知道，由我們知道，由n次插值多項式導出的次

26、插值多項式導出的n次牛頓一柯特斯公式至次牛頓一柯特斯公式至少具有少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度. 由于節(jié)點等距，更進一步有以下結(jié)論：由于節(jié)點等距，更進一步有以下結(jié)論：定理定理證：計算知由證：計算知由2n次插值多項式導出的求積公式次插值多項式導出的求積公式 的截斷誤差為的截斷誤差為0即可即可.31.NCnn定理 實際上是說,n+1個節(jié)點的公式的代數(shù)精度 為偶時為 222221200222122200222222-N-C21 !,=14=0nnnnnjnnnnnjnnnhRftjdtnfxxRhtj dthx xxxndx2n+1個 節(jié) 點 的求 積 公 式 的 截 斷 誤 差 為 :取例例4驗證辛

27、卜生驗證辛卜生(Simpson)公式公式: )()2(4)(6bfbafafabS具有三次代數(shù)精度。（定理具有三次代數(shù)精度。（定理3直接得到）直接得到）解：由定理解：由定理2, 3個節(jié)點的插值積分公式辛卜生公式至少具有二次個節(jié)點的插值積分公式辛卜生公式至少具有二次代數(shù)精度代數(shù)精度,因此只需檢查對因此只需檢查對f (x)=x3成立否。當成立否。當f (x)=x3時：時： 4)(24)(61)2(4(6)()2(4)(6 4)(4432244333 443ababbabaaabbbaaabbfbafafabSabdxxdxxfIbaba而所以所以I = S，表明辛卜生公式對于次數(shù)不超過三次的多項式

28、準確成，表明辛卜生公式對于次數(shù)不超過三次的多項式準確成立，用同樣的方法可以驗證對于立，用同樣的方法可以驗證對于f (x)=x4，辛卜生公式不成立，因此，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代數(shù)精度可以達到三次。辛卜生公式的代數(shù)精度可以達到三次。 在幾種低階在幾種低階N-C公式中公式中, 感興趣的是梯形公式（最簡單感興趣的是梯形公式（最簡單,最基本）最基本）辛卜生公式和柯特斯公式。辛卜生公式和柯特斯公式。例例5解：解：由由梯形公式（梯形公式（7-9）： 由由辛卜生公式（辛卜生公式（7-10）得：得：由由柯特斯公式（柯特斯公式（7-11）得：得：2449787. 011179 . 011328 .

29、011127 . 011326 . 0117906 . 0122222CI事實上，事實上，積分的積分的精確值精確值：24497866.0d1116.01 6.0 2arctgxxxI 與之相比可以看到，柯特斯公式的結(jié)果最好，具有七位有效數(shù)與之相比可以看到，柯特斯公式的結(jié)果最好，具有七位有效數(shù)字；辛卜生公式的結(jié)果次之，具有四位有效數(shù)字；而梯形公式的結(jié)字；辛卜生公式的結(jié)果次之，具有四位有效數(shù)字；而梯形公式的結(jié)果最差果最差,只有兩位有效數(shù)字只有兩位有效數(shù)字。 分別用梯型公式、辛卜生公式和柯分別用梯型公式、辛卜生公式和柯特斯公式計算積分：特斯公式計算積分：1 6.0 2d11xxI2449546. 0

30、1118 . 01146 . 01166 . 01222 SI2470588.01116 .01126 .0122 TI2.2 幾種低價幾種低價N-C求積公式的余項求積公式的余項 1. 考察梯形公式考察梯形公式,按按N-c的截斷誤差知的截斷誤差知,梯形公式（梯形公式（7-9） 的余項的余項： 3 1 0()()()d2!=() (1)dt2!bTafRITxaxbxbaft t這里被積函數(shù)中的因子這里被積函數(shù)中的因子t(t1)在區(qū)間在區(qū)間0, 1 上不變號（非正），上不變號（非正），故由積分中值定理，在故由積分中值定理，在0, 1 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 ，使：，使： 3 13 0( )

31、( )=(1)dt=() , , (7-12)2!12TbaffRt tbaa b2. 對于辛卜生公式對于辛卜生公式, (4) 2 54(4)(4)( )()() ()d4!2()( )=( ) ( , ) (7-13)18022880bSafabRxaxxbxbababaffa b 需要注意的是，關(guān)于牛頓需要注意的是，關(guān)于牛頓-科特斯公式的收斂性，可以證明，科特斯公式的收斂性，可以證明，并非對一切連續(xù)函數(shù)并非對一切連續(xù)函數(shù)f (x),都有：都有： , 也就是說牛頓也就是說牛頓柯特柯特斯公式的收斂性沒有保證。當斯公式的收斂性沒有保證。當n趨于無窮時，它的穩(wěn)定性也沒趨于無窮時，它的穩(wěn)定性也沒有保

32、證，因此，在實際計算中，一般不采用高階有保證，因此，在實際計算中，一般不采用高階(n 8) 的牛頓的牛頓-柯特斯公式?？绿厮构?。0limnnR3. 柯特斯公式（柯特斯公式（6-10）的余項為）的余項為)147(, ),(4945)(2)6(6bafababCIRC在實際計算中常用前面三種低價在實際計算中常用前面三種低價N-C公式，但若積分區(qū)間公式，但若積分區(qū)間比較大，直接使用以上三種低階求積公式，則精度難以保證；比較大，直接使用以上三種低階求積公式，則精度難以保證；若增加節(jié)點，就要使用高階的若增加節(jié)點，就要使用高階的N-C公式，然而前面已指出，當公式，然而前面已指出，當n 8時，由于時，由于

33、N-C公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此不能公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此不能采用高階的公式。事實上，增加節(jié)點，從插值的角度出發(fā)，必采用高階的公式。事實上，增加節(jié)點，從插值的角度出發(fā)，必然會提高插值多項式的次數(shù)，然會提高插值多項式的次數(shù)，Runge現(xiàn)象表明，一般不采用高現(xiàn)象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高階次插值，亦即不用高階N-C公式。公式。為提高精度，當增加求積節(jié)點時，考慮對為提高精度，當增加求積節(jié)點時，考慮對被積函數(shù)用分段低次被積函數(shù)用分段低次多項式近似多項式近似，由此導出復化求積公式。，由此導出復化求積公式。3 復化求積公式復化求積公式 3.1 復化梯形公式復化梯形公式用分

34、段線性插值函數(shù)來近似被積函數(shù)用分段線性插值函數(shù)來近似被積函數(shù),等于把積分區(qū)間分成等于把積分區(qū)間分成若干小區(qū)間若干小區(qū)間,在每個小區(qū)間上以梯形面積近似曲邊梯形面積在每個小區(qū)間上以梯形面積近似曲邊梯形面積,即用即用梯形公式求小區(qū)間上積分的近似值梯形公式求小區(qū)間上積分的近似值.這樣求得的近似值顯然比整區(qū)這樣求得的近似值顯然比整區(qū)間上用梯形公式計算精度高。間上用梯形公式計算精度高。 a,bnddk 1kkkk 1n 1n-1bxkk 1axk 0k 0ba,h,xakh(k0,1,n).n x ,x(k0,1,n1),hf ( x ) xf ( x ) x f ( x )f ( x)2將積分區(qū)間等分

35、記在每個小區(qū)間上用梯形公式并求和 得15)-(7 )(2)()(2)d( 11 nnkkbaTxfbfafhxxf整理得式（式（7-15）稱為）稱為復化梯形公式復化梯形公式。因為因為f (x) 在在a, b 連續(xù)，由介值定理，存在連續(xù)，由介值定理，存在(a, b)，使得：，使得： 10)(1)(nkkfnf從而有：從而有：16)-(7 ),( )(12)(12d)()(23 bafhabf nhTxxffRnbaT 這就是這就是復化梯形公式的截斷誤差復化梯形公式的截斷誤差. bankknTkkkxxkkkkkfhTxxffRxxfhxfxfhxxfxxbaCxfkk 1031 311)2()(

36、12)d()(),( )(12)()(2d)(,)(1因此：梯形公式的截斷誤差為上在小區(qū)間如果3.2 復化復化Simpson公式和復化公式和復化Cotes公式公式 如果用分段二次插值函數(shù)近似被積函數(shù)，即在小區(qū)間上用如果用分段二次插值函數(shù)近似被積函數(shù)，即在小區(qū)間上用Simpson公式計算積分近似值，就導出復化公式計算積分近似值，就導出復化Simpson公式公式。 22222222221 22122 1 0221 , ,(0,1,2 ),2,:( )d()4()()3( )d( )d()4()(6kkkkkkkkxkkkxnbxaxkkka bnxakh knbahxxxnSimpsonhfxxf

37、xfxfxfxxfxxhfxfxfx將 區(qū) 間分 成 2 等 分 分 點 為小 區(qū) 間的 中 點 為用公 式 求 積 分 則 有求 和 得 ：12201121201)( )4()2()( )3nkknnkkkkhfafxfxf b如果如果f (x) C(4)a, b,由式（由式（7-13）可得復化）可得復化Simpson公式的截斷誤公式的截斷誤差為：差為：11 221 005(4)2221()( )d( )( )2()4()32() ,2880nnbSkkakknkkkkkhRff xxf af bf xf xhfxx整理得：整理得：式（式（7-17）稱為）稱為復化復化Simpson公式公式。

38、 11 221 10( )d ( )( )2()4() (7-17)3nnbkknakkhf xxf af bf xf xS因為因為f (4)(x) 連續(xù)，故存在連續(xù)，故存在 (a, b)，使得：，使得：4(4)()( ) ( , ) (7-18)180SbaRfh fa b (4)(4)11( )()nkkffn若用復化求積公式計算積分若用復化求積公式計算積分:的近似值，要求計算結(jié)果有四位有效數(shù)字，的近似值，要求計算結(jié)果有四位有效數(shù)字，n應(yīng)取多大？應(yīng)取多大？ 1 0 dexIx解解 因為當因為當0 x1時有時有0.3e-1e-x1于是：于是： 1de3 .01 0 xx要求計算結(jié)果有四位有效

39、數(shù)字要求計算結(jié)果有四位有效數(shù)字,即要求誤差不超過即要求誤差不超過10-4 / 2.又因為又因為:422102112)(121 hfhRT 1 , 0 1e)()(xxfxk由復化梯形公式誤差估計式：由復化梯形公式誤差估計式： 式（式（7-18）表明）表明,步長步長h越小越小,截斷誤差越小截斷誤差越小.與復化梯形公式的分與復化梯形公式的分析相類似析相類似,可以證明可以證明,當當n 時時,用復化用復化Simpson公式所求得的近似公式所求得的近似值收斂于積分值值收斂于積分值,而且算法具有數(shù)值穩(wěn)定性而且算法具有數(shù)值穩(wěn)定性.4(4)()( ) ( , ) (7-18)180SbaRfh fa b 例子

40、的計算結(jié)果表明，為達到相同的精度，用復化例子的計算結(jié)果表明，為達到相同的精度，用復化Simpson公公式所需的計算量比復化梯形公式少，這也說明了復化式所需的計算量比復化梯形公式少，這也說明了復化Simpson公式公式的精度較高，實際計算時多采用復化的精度較高，實際計算時多采用復化Simpson公式。公式。 復化求積方法又稱為復化求積方法又稱為定步長定步長方法。復化求積公式方法。復化求積公式,根據(jù)預(yù)先給根據(jù)預(yù)先給定的精度能估計出合適的步長或定的精度能估計出合適的步長或 n,進而確定對積分區(qū)間的等分數(shù)進而確定對積分區(qū)間的等分數(shù),如同例如同例7一樣一樣. 然而當被積函數(shù)稍復雜一些，要由誤差估計式給出

41、合然而當被積函數(shù)稍復雜一些，要由誤差估計式給出合適的步長，就要估計被積函數(shù)導數(shù)的上界值，而這一點是相當困難適的步長，就要估計被積函數(shù)導數(shù)的上界值，而這一點是相當困難的。的。8 .40106142nn即：因此若用復化梯形公式求積分因此若用復化梯形公式求積分,n應(yīng)等于應(yīng)等于41即即41等分才能達到精度等分才能達到精度.若用復化若用復化Simpson公式公式,由式（由式（7-18） 44)4(41021180)(180hfhRS即得即得n 1.6.故應(yīng)取故應(yīng)取n = 2即即4等分等分. h=1/nh=1/2n復化復化Cotes公式公式 將區(qū)間將區(qū)間a, b分成分成n 等分等分,分點為：分點為：nab

42、hnkkhaxk ),1 ,0(在每個小區(qū)間：在每個小區(qū)間：,1kkxx上，共五個點：上，共五個點：1434241,kkkkkxxxxx19)-(7 )(7)(14)(32)(12)(32)(79010114/31010424/1 nknkkknknkkknbfxfxfxfxfafhC20)-(7 ),(),(4945)(2)()6(6bafhabCIfRnc881125, 0,1342. 01631810213112)()01 (1231)(,211d)2cos(max)(d)2cos(d)cos()(,dcossin)(3221 0 1 0 10)(1 0 1 0 )(1 0 abhhhfhRxfkkdtttkntxtxftktxttxtdxdxftxtxxxfTkkxkkkkk 因此可取時當故：所以由于1 0 sindxxxI要使截斷誤差不超過要使截斷誤差不超過10-3 / 2，h應(yīng)取多大？應(yīng)取多大？辛普生公式又怎么樣？辛普生公式又怎么樣？ 用復化梯形求積公式計算積分用復化梯形求積公式計算積分:作作業(yè)業(yè)第七章 數(shù)值積分與微分7-324 逐次分半算法逐次分半算法(