圓錐曲線解題技巧和方法綜合經(jīng)典

1、-圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲藏：1. 直線方程的形式1直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。2與直線相關(guān)的重要容傾斜角與斜率點(diǎn)到直線的距離夾角公式：3弦長公式直線上兩點(diǎn)間的距離： 或4兩條直線的位置關(guān)系=-1 2、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)、橢圓的方程的形式有幾種.三種形式 標(biāo)準(zhǔn)方程： 距離式方程： 參數(shù)方程：(2)、雙曲線的方程的形式有兩種 標(biāo)準(zhǔn)方程： 距離式方程：(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎.(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎.如：是橢圓的兩個焦點(diǎn)，平面一個動點(diǎn)M滿足則動點(diǎn)M的軌跡是 A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線(5)、焦點(diǎn)

2、三角形面積公式：其中(6)、記住焦半徑公式：1，可簡記為"左加右減，上加下減。 2 3(6)、橢圓和雙曲線的根本量三角形你清楚嗎.第二、方法儲藏1、點(diǎn)差法中點(diǎn)弦問題設(shè)、，為橢圓的弦中點(diǎn)則有，；兩式相減得=2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎.經(jīng)典套路是什么.如果有兩個參數(shù)怎么辦. 設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個二次方程，使用判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到兩個式子，然后-，整體消元······，假設(shè)有兩個字母未知數(shù)，則要找到

3、它們的聯(lián)系，消去一個，比方直線過焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn)A、B、F共線解決之。假設(shè)有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為，就意味著k存在。例1、三角形ABC的三個頂點(diǎn)均在橢圓上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個端點(diǎn)點(diǎn)A在y軸正半軸上.1假設(shè)三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;2假設(shè)角A為，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程.分析：第一問抓住"重心，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為可得出ABAC，從而得，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方程；解：1設(shè)B,C(,),BC中點(diǎn)為(),

4、F(2,0)則有兩式作差有 (1)F(2,0)為三角形重心，所以由，得，由得，代入1得直線BC的方程為2)由ABAC得 2設(shè)直線BC方程為，得， 代入2式得，解得或直線過定點(diǎn)0，設(shè)D*,y，則，即所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是。4、設(shè)而不求法例2、如圖，梯形ABCD中，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)時，求雙曲線離心率的取值圍。分析：本小題主要考察坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。建立直角坐標(biāo)系，如圖，假設(shè)設(shè)C，代入，求得，進(jìn)而求得再代入，建立目標(biāo)函數(shù)，整理，此運(yùn)算量可見是難上加難.我們對可采取設(shè)而不求的

5、解題策略,建立目標(biāo)函數(shù)，整理,化繁為簡. 解法一：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標(biāo)系，則CD軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于軸對稱 依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得， 設(shè)雙曲線的方程為，則離心率由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得， 由式得 ， 將式代入式，整理得 ，故 由題設(shè)得，解得 所以雙曲線的離心率的取值圍為分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式, 用的橫坐標(biāo)表示，回避的計(jì)算, 到達(dá)設(shè)而不求的解題策略 解法二：建系同解法一，又，代入整理，由題設(shè)得，解得 所以雙曲線的

6、離心率的取值圍為5、判別式法例3雙曲線，直線過點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為，試求的值及此時點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從"有且僅有這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點(diǎn)B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂"有且僅有一點(diǎn)B到直

7、線的距離為，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解問題關(guān)于*的方程有唯一解簡解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離為：于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .點(diǎn)評：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)展問題轉(zhuǎn)換，充分表達(dá)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4橢圓C:和點(diǎn)P4，1，過P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使，求動點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從

8、何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可到達(dá)解題的目的.由于點(diǎn)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來.一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開場解題，但對于如何解決此題，已經(jīng)做到心中有數(shù). 將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理利用點(diǎn)Q滿足直線AB的方程：y = k (*4)+1，消去參

9、數(shù)k點(diǎn)Q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于的方程不含k，則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設(shè)，則由可得：，解之得： 1設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于 *的一元二次方程： 2代入1，化簡得： (3)與聯(lián)立，消去得：在2中，由，解得 ，結(jié)合3可求得 故知點(diǎn)Q的軌跡方程為： .點(diǎn)評：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參.，而"引參、用參、消參三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效

10、通道.6、求根公式法例5設(shè)直線過點(diǎn)P0，3，和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值圍.分析：此題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于*個或*幾個參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式或方程，這只需利用對應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系.分析1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由于有兩個變量，同時這兩個變量的圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線AB的斜率k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲

11、出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = k*+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于*的一元二次方程*A= fk，*B = gk得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB = *A / *B由判別式得出k的取值范圍簡解1：當(dāng)直線垂直于*軸時，可求得;當(dāng)與*軸不垂直時，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .分析2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達(dá)定理

12、總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但此題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對稱關(guān)系式.把直線l的方程y = k*+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于*的一元二次方程*A+ *B = fk，*A *B = gk構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達(dá)定理AP/PB = *A / *B由判別式得出k的取值范圍簡解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 *則令，則，在*中，由判別式可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .結(jié)合得. 綜上，.點(diǎn)評：圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)

13、形結(jié)合法等等. 此題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實(shí)質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里.第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由的數(shù)學(xué)命題得出新命題的根本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，到達(dá)解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系充分性、必要性、充要性等，做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長

14、軸端點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；記橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，問：是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心.假設(shè)存在，求出直線的方程;假設(shè)不存在，請說明理由。思維流程：寫出橢圓方程由， 由F為的重心兩根之和，兩根之積得出關(guān)于m的方程解出m消元 解題過程：如圖建系，設(shè)橢圓方程為,則又即 ，故橢圓方程為假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且恰為的垂心，則設(shè)，故，于是設(shè)直線為 ，由得， 又得 即 由韋達(dá)定理得解得或舍 經(jīng)檢驗(yàn)符合條件點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零例7、橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、三點(diǎn)求橢圓的方程：假設(shè)點(diǎn)D為橢圓上

15、不同于、的任意一點(diǎn)，當(dāng)切圓的面積最大時，求心的坐標(biāo)；由橢圓經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)設(shè)方程為得到的方程組解出思維流程： 由內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值最大最大為橢圓短軸端點(diǎn)面積最大值為 得出點(diǎn)坐標(biāo)為解題過程： 設(shè)橢圓方程為，將、代入橢圓E的方程，得解得.橢圓的方程 ，設(shè)邊上的高為 當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時，最大為，所以的最大值為 設(shè)的切圓的半徑為，因?yàn)榈闹荛L為定值6所以， 所以的最大值為所以切圓圓心的坐標(biāo)為.點(diǎn)石成金：例8、定點(diǎn)及橢圓，過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn).假設(shè)線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù).假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.思維

16、流程：解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將代入， 消去整理得 設(shè)則由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是， 得，解得，符合題意。所以直線的方程為 ，或 . 解：假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使為常數(shù). 當(dāng)直線與軸不垂直時，由知 所以將代入，整理得 注意到是與無關(guān)的常數(shù)， 從而有， 此時 當(dāng)直線與軸垂直時，此時點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，當(dāng)時， 亦有 綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù).點(diǎn)石成金：例9、橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在*軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M2，1，平行于OM的直線在y軸上的截距為mm0，交橢圓于A、B兩個不同點(diǎn)。 求橢圓的方程； 求m的取值圍； 求證直線MA、MB與*軸始終圍成一個等腰三角形.思維流程：解：

17、1設(shè)橢圓方程為則橢圓方程為直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m又KOM=由直線l與橢圓交于A、B兩個不同點(diǎn)， 設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可設(shè)則由而故直線MA、MB與*軸始終圍成一個等腰三角形.點(diǎn)石成金：直線MA、MB與*軸始終圍成一個等腰三角形例10、雙曲線的離心率，過的直線到原點(diǎn)的距離是1求雙曲線的方程；2直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值. 思維流程：解：1原點(diǎn)到直線AB：的距離. 故所求雙曲線方程為 2把中消去y，整理得 . 設(shè)的中點(diǎn)是，則即故所求k=±.點(diǎn)石成金: C，D都在以B為圓心的圓上BC=BDBECD;例11、橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在*軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；II假設(shè)直線y=k*+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)A、B不是左右頂點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)思維流程：解：由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為II設(shè)聯(lián)立得，則又因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的右頂點(diǎn)，即. 解得：，且均滿足當(dāng)時，的方程，直線過點(diǎn)，與矛盾；當(dāng)時，的方程為，直線過定點(diǎn)所以，直線過定點(diǎn)，定